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|T=zh:傅里叶变身; zh-cn:傅里叶变换; zh-tw:傅立葉變換;
|T=zh:傅里叶变换; zh-cn:傅里叶变换; zh-tw:傅立葉變換;
日 (日) 09:08的版本
傅里叶变换（Fourier变换）是一种線性的。因其基本思想首先由学者系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。
Fourier transform 或Transformée de Fourier（法文）有多个译名，常见的有「傅里叶变换」、「傅立叶变换」、「付立叶变换」、「傅利葉轉換」、「傅氏轉換」及「傅氏變換」等等。为方便起见，本文统一写作「傅里叶变换」。
傅里叶变换在、、、、、、、、、、、、、等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成分量和分量。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个表示成（和/或）或者它们的的。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如和。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
傅里叶变换属于。
傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。
正弦基函数是的，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。
指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段。
离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的实现（其算法称为（FFT））。
两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数和的傅里叶变换和都存在，和为任意常系数，则；傅里叶变换算符可经成为。
若函数存在傅里叶变换，则对任意，函数也存在傅里叶变换，且有。式中花体是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果（复函数），e 为的底，i 为单位。
若函数当时的为0，而其导函数的傅里叶变换存在，则有，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子。更一般地，若，且存在，则，即k 阶的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子。
若函数及都在上，则卷积函数（或者）的傅里叶变换存在，且。卷积性质的逆形式为，即两个函数卷积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的乘积乘以。
若函数且平方可积，则。其中F(ω) 是f(x) 的傅里叶变换。
更一般化而言，若函数和皆，则。其中F(ω) 和G(ω) 分别是f(x) 和g(x) 的傅里叶变换, *代表。
一般情况下，若「傅里叶变换」一词不加任何限定语，则指的是「连续傅里叶变换」(连续函数的傅里叶变换)。连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。
这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。
连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为
即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。
一般可称函数f（t）为，而称函数F(ω)为傅里叶变换的，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。
除此之外，還有其它型式的變換對，以下兩種型式亦常被使用。在通訊或是訊號處理方面，常以來代換，而形成新的變換對:
或者是因係數重分配而得到新的變換對：
一种对连续傅里叶变换的推广称为（Fractional Fourier Transform）。
当f（t）为偶函数（或奇函数）时，其正弦（或余弦）分量将消亡，而可以称这时的变换为（cosine transform）或（sine transform）.
另一个值得注意的性质是，当f（t）为纯实函数时，F(-ω) = F*(ω)成立.
连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数 (Fourier series)的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：
其中为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：
其中an和bn是频率分量的振幅。
最初是研究现象，即傅里叶级数的，后来通过傅里叶变换将其推广到了非周期性现象。理解这种推广过程的一种方式是将非周期性现象视为周期性现象的一个特例，即其为无限长。
离散傅里叶变换是（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆轉換。
为了在科学计算和等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数xn定义在离散点而非连续域内，且须满足或条件。这种情况下，使用离散傅里叶变换，将函数xn表示为下面的求和形式：
其中是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的为，而（FFT）可以将复杂度改进为。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。
以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意的上的傅里叶变换。这一问题属于的范畴。在调和分析中，一个变换从一个群变换到它的（dual group）。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里叶变换的广义理论基础参见（Pontryagin duality）中的介绍。
，和试图得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受的限制。
下表列出了傅里叶变换家族的成员。容易发现，函数在时（频）域的离散对应于其像函数在频（时）域的周期性.反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性.
連續，非週期性
連續，非週期性
連續，週期性
離散，非週期性
離散，非週期性
連續，週期性
離散，週期性
離散，週期性
下表列出常用的傅里叶变换对。 和分别代表函数和的傅里叶变换. 和可以使可积函数或衰减的分布。
角频率表示的
傅里叶变换
弧频率表示的
傅里叶变换
频域平移，变换2的频域对应
如果值较大，则会收缩到原点附近，而会扩散并变得扁平.当趋向无穷时，成为。
傅里叶变换的二元性性质。通过交换时域变量和频域变量得到.
傅里叶变换的微分性质
变换6的频域对应
表示和的卷积—这就是
变换8的频域对应。
角频率表示的
傅里叶变换
弧频率表示的
傅里叶变换
和归一化的
变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，是这类滤波器对冲击的响应。
变换12的频域对应
的傅里叶变换是他本身.只有当时，这是可积的。
领域应用较多
变换本身就是一个公式
J0(t) 是。
上一个变换的推广形式; Tn (t) 是。
Un (t)是。
角频率表示的
傅里叶变换
弧频率表示的
傅里叶变换
代表分布.这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换
变换23的频域对应
由变换3和24得到.
由变换1和25得到，应用了:
由变换1和25得到
这里, 是一个. 是狄拉克δ函数分布的阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有。
此处为；注意此变换与变换7和24是一致的.
变换29的推广.
变换29的频域对应.
此处是;此变换根据变换1和31得到.
——有助于解释或理解从连续到的转变.
角频率表示的
傅里叶变换
弧频率表示的
傅里叶变换
两个函数都是高斯函数，而且可能都没有单位体积.
此圆有单位半径，如果把circ(t)认作阶梯函数u(1-t); Airy分布用J1 (1阶)表达; fr是频率矢量的量值{fx,fy}.
角频率表示的
傅里叶变换
弧频率表示的
傅里叶变换
此球有单位半径；fr是频率矢量的量值{fx,fy,fz}.
林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》，科学出版社，北京。原版书名为C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974
R. N. Bracewell, The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed., Boston, McGraw Hill, 2000.
電機電子類科《工程數學》，，作者陳錫冠、曾致煌老師，高立出版社。
：隐藏分类：5. 傅里叶变换_百度文库
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5. 傅里叶变换|
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你可能喜欢简述傅里叶变换 的时域卷积定理结束了，挂了…
考试中…帮帮
悲剧呀，原来他说好给我抄的，可是他老早做好了也不让我抄，所以我就挂了…
[ 本帖最后由 小七的天蓝 于 日 17:30 编辑 ]
该帖共收到 12 条回复！
发表于 日 15:34
救命妮& & 帮帮忙
发表于 日 15:35
傅立叶变换-中文译名Transformée de Fourier有多种中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“傅立叶变换”、“付立叶变换”、“富里叶变换”、“富里哀变换”等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。应用傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。傅立叶变换-概要介绍* 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的（参见：林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》，科学出版社，北京。原版书名为 C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974）。* 傅里叶变换属于谐波分析。* 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;* 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;* 卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;* 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).傅立叶变换-基本性质线性性质两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数f left( xright )和g left(x right)的傅里叶变换mathcal【f】和mathcal【g】都存在，α 和 β 为任意常系数，则mathcal【alpha f+beta g】=alphamathcal【f】+betamathcal【g】；傅里叶变换算符mathcal可经归一化成为么正算符；频移性质若函数f left( xright )存在傅里叶变换，则对任意实数 ω0，函数f(x) e^{i omega_ x}也存在傅里叶变换，且有mathcal【f(x)e^{i omega_ x}】=F(omega + omega _0 ) 。式中花体mathcal是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果（复函数），e 为自然对数的底，i 为虚数单位sqrt；微分关系若函数f left( xright )当|x|rightarrowinfty时的极限为0，而其导函数f'(x)的傅里叶变换存在，则有mathcal【f'(x)】=-i omega mathcal【f(x)】 ，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 ? iω 。更一般地，若f(pminfty)=f'(pminfty)=ldots=f^{(k-1)}(pminfty)=0，且mathcal【f^{(k)}(x)】存在，则mathcal【f^{(k)}(x)】=(-i omega)^ mathcal【f】 ，即 k 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子( ? iω)k。卷积特性若函数f left( xright )及g left( xright )都在(-infty,+infty)上绝对可积，则卷积函数f*g=int_{-infty}^{+infty} f(x-xi)g(xi)dxi的傅里叶变换存在，且mathcal【f*g】=mathcal【f】cdotmathcal【g】 。卷积性质的逆形式为mathcal^【F(omega)G(omega)】=mathcal^【F(omega)】*mathcal^【G(omega)】 ，即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积。Parseval定理若函数f left( xright )可积且平方可积，则int_{-infty}^{+infty} f^2 (x)dx = frac{2pi}int_{-infty}^{+infty} |F(omega)|^domega 。其中 F(ω) 是 f(x) 的傅里叶变换。傅里叶变换的不同变种连续傅里叶变换主条目：连续傅立叶变换一般情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。f(t) = mathcal^【F(omega)】 = frac{sqrt{2pi}} intlimits_{-infty}^infty F(omega) e^{iomega t},domega.上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。反过来,其正变换恰好是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transform pair)。一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。当f(t)为奇函数(或偶函数)时,其余弦(或正弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦转换(cosine transform) 或 正弦转换(sine transform).另一个值得注意的性质是,当f(t) 为纯实函数时,F(?ω) = F(ω)*成立.傅里叶级数主条目：傅里叶级数连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：f(x) = sum_{n=-infty}^{infty} F_n ,e^ ,其中Fn 为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：f(x) = fraca_0 + sum_{n=1}^inftyleft【a_ncos(nx)+b_nsin(nx)right】,其中an和bn是实频率分量的振幅。离散时间傅里叶变换主条目：离散时间傅里叶变换离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆。离散傅里叶变换主条目：离散傅里叶变换为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数xn 定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下, 使用离散傅里叶变换，将函数 xn 表示为下面的求和形式：x_n = frac1 sum_{k=0}^ X_k e^{ifrac{2pi} kn} qquad n = 0,dots,N-1其中Xk是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的计算复杂度为mathcal(n^2)，而快速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进为mathcal(n log n)。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。在阿贝尔群上的统一描述以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中, 一个变换从一个群变换到它的对偶群(dual group)。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里叶变换的广义理论基础参见庞特里雅金对偶性（英文版）中的介绍。时频分析变换主条目：时频分析变换小波变换，chirplet转换和分数傅里叶转换试图得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的限制。傅里叶变换家族下表列出了傅里叶变换家族的成员. 容易发现,函数在时(频)域的离散对应于其像函数在频(时)域的周期性.反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性.变换         时间         频率连续傅里叶变换         连续, 非周期性         连续, 非周期性傅里叶级数         连续, 周期性         离散, 非周期性离散时间傅里叶变换         离散, 非周期性         连续, 周期性离散傅里叶变换         离散, 周期性         离散, 周期性傅里叶变换的基本思想首先由法国学者傅里叶系统提出，所以以其名字来命名以示纪念。傅立叶变换-其它从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。傅立叶变换属于调和分析的内容。&分析&二字，可以解释为深入的研究。从字面上来看，&分析&二字，实际就是&条分缕析&而已。它通过对函数的&条分缕析&来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看，&分析主义&和&还原主义&，就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。在数学领域，也是这样，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。&任意&的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是,现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用,让人不得不感叹造物的神奇:1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;4. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;5. 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT)).正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。收藏分享到：顶[0]编辑词条互动百科的词条（含所附图片）系由网友上传，如果涉嫌侵权，请与客服联系，我们将按照法律之相关规定及时进行处理。如需转载，请注明来源于。附图上传图片被引用：傅立叶变换已被如下媒体引用我来补充开放分类：我来补充数学函数电子科技讨论区回复你还可以输入140个字基本信息浏览次数：8756创 建 者：机器jiqi高级编辑协作人数：4（历史版本）最新协作：数联天地tiger-c中国振动联盟机器jiqi相关词条群上调和分析暂态频域分析光学信息处理程民德电磁场的泛函法快速傅里叶变换微积分傅里叶分析函数逼近论拉普拉斯变换完 善每日推荐冰川F杆菌冻结数千年细菌，让老鼠和苍蝇的寿命成功延长一倍，可能助人类活到140岁。[详细]·作女：为获得异性更多关爱而不停折腾·飞鸽新娘：假装未婚女对异地男青年骗婚谋财·裸体比基尼：德国发明最性感比基尼 入水即溶·谢缅科：俄罗斯美男子间谍 曾长期住在中国·毕业不分手！“见家长宴”流行始末及妙处·关于做B超 医生最不愿意告诉你的几个小秘密·哭天抢地 横眉冷对 盘点美女打针时的10种表情·你知道吗？古代一两银子折合人民币到底多少钱纳斯湖“水怪”现身赤练蛇...分享家他们很有趣，关注一下吧:P亿伊yiyi亿伊yiyiTA的粉丝女性生活文章分享玉米娃儿玉米娃儿TA的粉丝心理学分享家任天糖任天糖TA的粉丝最新游戏资讯分享互动百科词媒体T恤,仅售49元互动百科的新鲜事儿全国驾校查询[图]全球最大中文百科互动百科是什么怎样编写词条怎样写文章怎样上传组图怎样分享视频互动小组是什么热词：大力神杯章鱼保罗许馨月词条文章图片进入词条搜 索百科推荐文章词条图片视频人物词立方百科导航百科分类地理历史文化科技生活社会艺术经济体育百科产品知识云任务小组HDWiki时光机维吧分类个人空间关于我们新闻中心服务条款合作伙伴招聘信息联系我们站点地图Copyright © 2005- Ltd. 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发表于 日 15:37
因为不懂就没办法帮楼主筛选了
这是互动百科的
发表于 日 15:45
考试没时间仔细看…
不过好像没有
发表于 日 15:49
无能为力了呀
发表于 日 15:57
真够多的啊……
发表于 日 16:48
咋不认识呢？
发表于 日 17:24
貌似我还没学过……
发表于 日 17:31
发现可以相信的只有几个人，有个同学上次给别人抄被逮到后这次还是给人抄…可惜他离我太远了
发表于 日 19:39
路过。连帖子题目都木有看懂
发表于 日 19:39
原帖由 小七的天蓝 于 日 15:32 发表
考试中…帮帮
悲剧呀，原来他说好给我抄的，可是他老早做好了也不让我抄，所以我就挂了…
是考的信号与系统吧！偶下午才考过…
发表于 日 20:22
为什么&&我没看懂题目什么意思
GMT+8, 日 22:59快速傅里叶变换 离散傅里叶变换 傅里叶变换公式 傅里叶变换性质 傅里叶级数 matla..
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傅里叶变换
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日 (一) 11:21的版本
傅里叶变换（Fourier变换）是一种線性的。因其基本思想首先由学者系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。
Fourier transform 或Transformée de Fourier（法文）有多个译名，常见的有「傅里叶变换」、「傅立叶变换」、「付立叶变换」、「傅利葉轉換」、「傅氏轉換」及「傅氏變換」等等。为方便起见，本文统一写作「傅里叶变换」。
傅里叶变换在、、、、、、、、、、、、等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成分量和分量。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个表示成（和/或）或者它们的的。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如和。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
傅里叶变换属于。
傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。
正弦基函数是的，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。
指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段。
离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的实现（其算法称为（FFT））。
两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数和的傅里叶变换和都存在，和为任意常系数，则；傅里叶变换算符可经成为。
若函数存在傅里叶变换，则对任意，函数也存在傅里叶变换，且有。式中花体是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果（复函数），e 为的底，i 为单位。
若函数当时的为0，而其导函数的傅里叶变换存在，则有，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子。更一般地，若，且存在，则，即k 阶的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子。
若函数及都在上，则卷积函数（或者）的傅里叶变换存在，且。卷积性质的逆形式为，即两个函数卷积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的乘积乘以。
若函数且平方可积，则。其中F(ω) 是f(x) 的傅里叶变换。
更一般化而言，若函数和皆，则。其中F(ω) 和G(ω) 分别是f(x) 和g(x) 的傅里叶变换, *代表。
一般情况下，若「傅里叶变换」一词不加任何限定语，则指的是「连续傅里叶变换」(连续函数的傅里叶变换)。连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。
这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。
连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为
即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。
一般可称函数f（t）为，而称函数F(ω)为傅里叶变换的，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。
除此之外，還有其它型式的變換對，以下兩種型式亦常被使用。在通訊或是訊號處理方面，常以來代換，而形成新的變換對:
或者是因係數重分配而得到新的變換對：
一种对连续傅里叶变换的推广称为（Fractional Fourier Transform）。
当f（t）为偶函数（或奇函数）时，其正弦（或余弦）分量将消亡，而可以称这时的变换为（cosine transform）或（sine transform）.
另一个值得注意的性质是，当f（t）为纯实函数时，F(-ω) = F*(ω)成立.
连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数 (Fourier series)的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：
其中为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：
其中an和bn是频率分量的振幅。
最初是研究现象，即傅里叶级数的，后来通过傅里叶变换将其推广到了非周期性现象。理解这种推广过程的一种方式是将非周期性现象视为周期性现象的一个特例，即其为无限长。
离散傅里叶变换是（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆轉換。
为了在科学计算和等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数xn定义在离散点而非连续域内，且须满足或条件。这种情况下，使用离散傅里叶变换，将函数xn表示为下面的求和形式：
其中是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的为，而（FFT）可以将复杂度改进为。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。
以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意的上的傅里叶变换。这一问题属于的范畴。在调和分析中，一个变换从一个群变换到它的（dual group）。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里叶变换的广义理论基础参见（Pontryagin duality）中的介绍。
，和试图得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受的限制。
下表列出了傅里叶变换家族的成员。容易发现，函数在时（频）域的离散对应于其像函数在频（时）域的周期性.反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性.
連續，非週期性
連續，非週期性
連續，週期性
離散，非週期性
離散，非週期性
連續，週期性
離散，週期性
離散，週期性
下表列出常用的傅里叶变换对。 和分别代表函数和的傅里叶变换. 和可以使可积函数或衰减的分布。
角频率表示的
傅里叶变换
弧频率表示的
傅里叶变换
频域平移，变换2的频域对应
如果值较大，则会收缩到原点附近，而会扩散并变得扁平.当趋向无穷时，成为。
傅里叶变换的二元性性质。通过交换时域变量和频域变量得到.
傅里叶变换的微分性质
变换6的频域对应
表示和的卷积—这就是
变换8的频域对应。
角频率表示的
傅里叶变换
弧频率表示的
傅里叶变换
和归一化的
变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，是这类滤波器对冲击的响应。
变换12的频域对应
的傅里叶变换是他本身.只有当时，这是可积的。
领域应用较多
变换本身就是一个公式
J0(t) 是。
上一个变换的推广形式; Tn (t) 是。
Un (t)是。
角频率表示的
傅里叶变换
弧频率表示的
傅里叶变换
代表分布.这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换
变换23的频域对应
由变换3和24得到.
由变换1和25得到，应用了:
由变换1和25得到
这里, 是一个. 是狄拉克δ函数分布的阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有。
此处为；注意此变换与变换7和24是一致的.
变换29的推广.
变换29的频域对应.
此处是;此变换根据变换1和31得到.
——有助于解释或理解从连续到的转变.
角频率表示的
傅里叶变换
弧频率表示的
傅里叶变换
两个函数都是高斯函数，而且可能都没有单位体积.
此圆有单位半径，如果把circ(t)认作阶梯函数u(1-t); Airy分布用J1 (1阶)表达; fr是频率矢量的量值{fx,fy}.
角频率表示的
傅里叶变换
弧频率表示的
傅里叶变换
此球有单位半径；fr是频率矢量的量值{fx,fy,fz}.
林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》，科学出版社，北京。原版书名为C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974
R. N. Bracewell, The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed., Boston, McGraw Hill, 2000.
電機電子類科《工程數學》，，作者陳錫冠、曾致煌老師，高立出版社。
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