采样频率小于奈尼奎斯特采样定理频率的情况

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-02-09 20:45 标签： 奈奎斯特采样定理
满足奈奎斯特采样定理时,信号的频率特性w为什么只能限带于小于π的范围?
数字频率π对应于采样频率的一半,即fs/2,那如果超过了,说明信号带宽大于采样频率的一半了,自然就不满足采样定理了.
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采样频率与带宽的“陷阱”
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发布时间： 16:36:17
作者：ljl_yinhe
　　对于功率分析仪，用户最为关心的两个指标是测量精度和带宽，商家也是对于自身产品在这两个关键指标上重点突出及重点宣传，为了突显其优势，可谓是下足了功夫，无所不用其极，运用“断章取义”、“以偏概全”等陷阱来误导用户。正是由于各种怪像，发生了某企业火药味十足地将自身产品与另外一个企业的产品完整参数数据对比公开发表在杂志上，原因是实在无法忍受后者对于自身产品测量精度宣传时的夸大、断章取义的卑劣做法。详细情况见：。
　　今天就来解开在采样频率与宽带宣传中的陷阱。首先来看几个概念：
　　1、采样，模数转换器每隔一定的时间间隔对连续信号采样，得到当时时间点上连续信号的离散值，也就是连续信号转换为离散信号。
　　2、采样频率，表示数字信号采样自模拟信号的速率，对模拟信号采样的频度。它代表了离散信号在和时域和空间域上的精确度。
　　3、采样定理(据奈奎斯特定理)，在进行模拟数字信号的转换过程中，当采样频率大于信号中最高频率(信号带宽)的2倍时，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息。
　　所以采样定理确定了信号最高频率的上限，或能获取连续信号的所有信息的采样频率的下限。
　　4、混叠，如果信号带宽高于或等于奈奎斯特频率(即采样频率的二分之一)，会导致混叠现象。带宽高于奈奎斯特频率的信号会被重建成低于奈奎斯特频率的混叠信号(混叠信号的频率为信号频率与采样率之差);带宽等于奈奎斯特频率的信号会被重建成频率不变，但是幅值相位变化的混叠信号。
　　例如：一个2KHZ的正弦信号在1.5KHZ采样频率的转换后，会被重建为500HZ的正弦信号。一个2KHZ的正弦信号在2KHZ采样频率的转换后，会被重建为2KHZ幅值相位发生变化的正弦信号。
　　为了避免混叠现象，通常采用两种措施：
　　提高采样频率，达到信号最高频率的两倍以上;输入信号通过抗混叠滤波器(低通滤波器)进行滤波处理，过滤掉频率高于采样率一半的信号。
　　5、固有带宽，由功率分析仪的硬件电路决定的，受电感电、电容影响，不可避免的带宽限制，这个带宽一般是指标中最宽的。
　　6、数字带宽，是指分析仪采用数字采样技术，满足采样定理，带宽为采样频率的1/2。
　　7、防混叠滤波器带宽，是指将被测量信号频率限制在采样频率1/2以内的低通滤波器的带宽。
　　8、有效带宽，数字带宽及防混叠滤波器带宽中较小的一个。
　　陷阱——不标称实际有效带宽
　　某款产品在首页对于其采样频率的描述：
　　看到这个参数，可能会有疑问了，这个带宽与采样率是什么关系，如果按照采样定理，它的带宽应该是1MHz才对，5MHz表示什么?
　　在规格中描述功率带宽：
　　这里带宽1MHz满足了采样定理。
　　但是在手册后面谐波测量中描述：
　　看到这些参数可以了解到，原来采样频率不是固定的，根据基波频率的不同，采样率会变化，从4.096KHz到665.6KHz，如果依照采样定理，最高带宽也就332.8KHz，而在低频的表现就很难满足高精度的测量。
　　看完这些，似乎有点糊涂了，这台功率分析仪的带宽到底是5MHz，1MHz还是332.8KHz?
　　不过可以发现，上面功率分析仪标称的带宽指标，与功率测量，尤其是谐波分析等测量功能，并无直接关系!对于用户实际使用的有意义的有效带宽并没有直接体现，宣传中有明显的夸大行为!
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简单地说：你想要刷完知乎上已关注人的所有消息，你刷知乎的速度就不得低于其中发消息速度最快的人的两倍。：p
私以为采样定理的核心在于：频域上『采样的频率足够高，使得频域中的原信号频谱的副本(copies)不会混叠(aliasing)，从而可以用个低通滤波器截下一块完整的频谱重建信号』（可直接看图），时域上『采样点足够密集，使得能获得足够多的频率信息』而理解采样定理的关键是分清一个信号在频域和时域上的区别这个问题蛮好的，我曾经也很长时间没有认真理解采样定理，因为光是做题的话套用公式实在太简单了...采样时域上看肥肠直观：我唱了一首歌，于是获得了一段时域上连续的唱歌信号。
这个连续信号频率必须是有一定带宽限制的（比如我唱歌的音域也是蛮窄），这是为了让我的采样频率至少能快得过你。假设采样频率快不过信号：试想一下你睁一次眼睛算一次采样，两次睁眼间隔五天，是没法观测太阳升起的频率的。我决定一下要在哪个时间点采样，于是引入来表示实际上也可以不用规则地使用周期，凌乱地采样但是还是那句话『采样点要足够密集』。有了连续信号和采样位置，就有了采样信号其中是其中第个采样点频域上能清楚看出来采样定理的作用：先进行一下傅里叶变换：，，我那带宽有限的歌声在频域中是这样的：采样后的也就是说在无穷多个点上都有（高矮有些变化的）形状相似的的copy。如果采样频率大于奈奎斯特频率（copies间隔得炒鸡宽）：采样频率等于奈奎斯特频率：采样频率采样频率小于奈奎斯特频率（copies间隔不够宽）：只有前两种，在使用低通滤波器的时候可以保留一份完整的原始信号频谱，而不产生混叠现象。只有前两种，在使用低通滤波器的时候可以保留一份完整的原始信号频谱，而不产生混叠现象。Plus，在满足采样频率条件的时候所谓的可以『完美重建』(exactly reconstruct) 信号，也不能说那么完美啦。频域中的低通滤波器，在时域中表现为采样点之间用sinc函数插值得到的连续信号。但因为『采样点足够密集』，这样的误差是很小可以忽略的。希望有助于理解，如有表述不清欢迎指出；如理解有误望不吝赐教~
我觉得最好的解释方法，是用数字电路中的时钟去解释，你设想一个方波时钟1hz的，那么你想完整的采样这个时钟需要多少频率，题主自己可以画一个方波出来，然后用距离相同的点在方波上画出来，你看只有当最少2hz的点频才可以描述出那个1 hz的方波。画个图试试题主，很容易看出来。ps尽管这个方法并没有证明这个定理，但是却是理解它的一个好方法。鄙人拙见，轻喷。
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&&& 在数字信号处理中，要求待处理的信号都是离散的，而且还要是经过量化的。但在现实的世界中，比如电压、温度等都是连续的量，也即是通常所说的模拟信号。因此，在进行数字信号处理之前，需要把这些连续的信号转变为数字信号。这种转换由ADC来完成。将模拟信号转换为数字信号，实际上包含着两部分的工作，一是离散，二是量化。
&&& 先来看连续信号离散化的问题。连续信号经过什么样的变换才能变为离散信号呢？如何保证这种变换不会损失连续信号所携带的信息呢？连续信号的离散化等效于连续信号与冲激串相乘，这样，只有在冲激串有值的地方，对应的连续信号才保留下来了，完成连续信号的离散化。那么冲激串的间隔为多少的情况下不损失连续信号所携带的信息呢？答案就在于奈奎斯特采样定理：采样频率大于或等于2倍的信号带宽。因为冲激串的频谱仍然为冲激串，而且间隔为采样频率fs。由卷积定理可知，时域的相乘等效于频域相卷，如果满足奈奎斯特定理要求的话，在频域就不会出现频谱混叠，也即是没有损失连续信号所携带的信息。换句话说，在满足奈奎斯特采样定理的情况下，理论上通过离散信号可以完全重构原始的联系信号。这也就是说，从离散化的角度，采样频率只需满足奈奎斯特定理就可以了。
&&& 再来看量化的问题。由于数字信号仅在某些点上有值，具体与量化的位数有关。但连续信号是在任意点都可能有值。这样就会出现这样的问题：连续信号的某个值位于两个数字值之间。比如说采用8位量化，连续信号的取值范围为0到1。这时数字信号最小能表示的单位为0.，如果连续信号在某个时刻的值为0.004的话，经过量化后只能表示成0.，也即是。这样，量化的过程就会产生误差了，这就是所谓的量化误差，或者说量化噪声。研究表明，量化噪声的功率为(Lsb)2/12，其中Lsb为最低位所表示的值，在刚才的例子中，就是0.。相应地，量化噪声的功率谱为(Lsb)2/(12*fs)。在实际采样的过程中，我们当然希望尽量减小噪声的影响了。这时有两个办法：一是增加采样位数，以降低Lsb的值；二是提高采样频率。这也就是说，为了降低量化误差，希望采样频率尽可能大。但在实际中，采样频率也不能无限的大，因为采样率越大，意味着数据率越高，对系统的存储、处理都带来了很大的负担。为了解决这个矛盾，在采样时往往采用过采样的方法，也既是采样频率大于奈奎斯特频率，一般为2-4倍。这样可以有效降低量化噪声的影响。在处理中采用多速率的方法，通过抽取降低实际处理过程中的采样率。关于多速率处理，以后再讨论。
&&& 综上所述，在实际中，采样频率的选择要遵循如下原则：最重要的是奈奎斯特采样定理；其次是适当的过采样。
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