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切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段同步辅导
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切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段同步辅导
作者：网络 文章来源：本站原创 点击数： 更新时间： 23:10:30
一. 教学内容：
&&& 切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段
［学习目标］
& 1. 切线长概念
&&& 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
& 2. 切线长定理
&&& 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
& 3. 弦切角、顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
&&& 直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）
& 4. 弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
& 5. 弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
& 6. 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。
& 7. 与圆有关的比例线段
相交弦定理
⊙O中，AB、CD为弦，交于P
PA?PB＝PC?PD
连结AC、BD，证：△APC∽△DPB
相交弦定理的推论
⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P
PC2＝PA?PB
用相交弦定理
切割线定理
⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于A
PT2＝PA?PB
连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT
切割线定理推论
PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、C
PA?PB＝PC?PD
过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理
⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦
P'C?P'D＝r2－OP'2
PA?PB＝OP2－r2
r为⊙O的半径
延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证
& 8. 圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
【典型例题】
& 例1. 如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。
&&& 解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE
&&& 设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理
&&& ∴，，
& 例2. ⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。
&&& 解：由相交弦定理，得
&&& AE?BE＝CE?DE
&&& ∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，
&&& ∴CE＝3cm或CE＝4cm。
&&& 故应填3或4。
&&& 点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。
& 例3. 已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则________。
&&& 解：∵∠P＝∠P
&&& ∠PAC＝∠B，
&&& ∴△PAC∽△PBA，
&&& 又∵PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得
&&& 即& ，
&&& 故应填PC。
&&& 点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。
& 例4. 如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。
&&& 解：∵PC是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，且PA：PB＝1：4
&&& ∴PB＝4PA
&&& 又∵PC＝12cm
&&& 由切割线定理，得
&&& ∴PB＝4×6＝24（cm）
&&& ∴AB＝24－6＝18（cm）
&&& 设圆心O到AB距离为d cm，
&&& 由勾股定理，得
&&& 故应填。
& 例5. 如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，（1）求证：；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。
&&& 点悟：要证，即要证△CED∽△CBE。
&&& 证明：（1）连结BE
&&& 又∵，
&&& ∴厘米。
&&& 点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。
& 例6. 如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E。
&&& 求证：
&&& 证明：连结BD，
&&& ∵AE切⊙O于A，
&&& ∴∠EAD＝∠ABD
&&& ∵AE⊥AB，又AB∥CD，
&&& ∴AE⊥CD
&&& ∵AB为⊙O的直径
&&& ∴∠ADB＝90°
&&& ∴∠E＝∠ADB＝90°
& &&∴△ADE∽△BAD
&&& ∵CD∥AB
&&& ∴AD＝BC，∴
& 例7. 如图6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。求证：AD?BC＝CD?AB
&&& 点悟：由结论AD?BC＝CD?AB得，显然要证△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC
&&& 证明：∵PA切⊙O于A，
&&& ∴∠PAD＝∠PBA
&&& 又∠APD＝∠BPA，
&&& ∴△PAD∽△PBA
&&& 同理可证△PCD∽△PBC
&&& ∵PA、PC分别切⊙O于A、C
&&& ∴PA＝PC
&&& ∴AD?BC＝DC?AB
& 例8. 如图7，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC于点D，过D点作⊙O的切线交AC于E。
&&& 求证：BC＝2OE。
&&& 点悟：由要证结论易想到应证OE是△ABC的中位线。而OA＝OB，只须证AE＝CE。
&&& 证明：连结OD。
&&& ∵AC⊥AB，AB为直径
&&& ∴AC为⊙O的切线，又DE切⊙O于D
&&& ∴EA＝ED，OD⊥DE
&&& ∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB
&&& 在Rt△ABC中，∠C＝90°－∠B
&&& ∵∠ODE＝90°
&&& ∴∠C＝∠EDC
&&& ∴ED＝EC
&&& ∴AE＝EC
&&& ∴OE是△ABC的中位线
&&& ∴BC＝2OE
& 例9. 如图8，在正方形ABCD中，AB＝1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。
&&& 当∠DEF＝45°时，求证点G为线段EF的中点；
&&& 解：由∠DEF＝45°，得
&&& ∴∠DFE＝∠DEF
&&& ∴DE＝DF
&&& 又∵AD＝DC
&&& ∴AE＝FC
&&& 因为AB是圆B的半径，AD⊥AB，所以AD切圆B于点A；同理，CD切圆B于点C。
&&& 又因为EF切圆B于点G，所以AE＝EG，FC＝FG。
&&& 因此EG＝FG，即点G为线段EF的中点。
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一、选择题
& 1. 已知：PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（&&& ）
&& &A. &&&&&&&&&&&&&&&& B. &&&&&&&&&&&&&&&&& C. 5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D. 8
& 2. 下列图形一定有内切圆的是（&&& ）
&&& A. 平行四边形&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B. 矩形
&&& C. 菱形&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D. 梯形
& 3. 已知：如图1直线MN与⊙O相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数（&&& ）
&&& A. 50°&&&&&&&&&&&&&&&& B. 40°&&&&&&&&&&&&&&&& C. 60°&&&&&&&&&&&&&&&& D. 55°
& 4. 圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（&&& ）
&&& A. 8cm&&&&&&&&&&&&&&&&& B. 10cm&&&&&&&&&&&&&&& C. 12cm&&&&&&&&&&&&&&& D. 16cm
& 5. 在△ABC中，D是BC边上的点，AD，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（&&& ）
&&& A. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B.
&&& C. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.
& 6. PT切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段PD上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于（&&& ）
&&& A. 20&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B. 10&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& C. 5&&&&&&&&&&&&&& D.
二、填空题
& 7. AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，EF是⊙O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF＝_____________度。
& 8. 已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA?PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_____________。
& 9. 若PA为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，，则PC的长为_____________。
& 10. 正△ABC内接于⊙O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交⊙O于点D，连结BD交AC于P，则_____________。
三、解答题
& 11. 如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的切点，DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长。
& 12. 如图3，已知P为⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求证：CB平分∠DCP。
& 13. 如图4，已知AD为⊙O的直径，AB是⊙O的切线，过B的割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB，求⊙O的半径。
【试题答案】
一、选择题
& 1. A&&&&&&&&&&&&&&&&&& 2. C&&&&&&&&&&&&&& 3. A&&&&&&&&&&&&&& 4. B&&&&&&&&&&&&&& 5. B&&&&&&&&&&&&&& 6. A
二、填空题
& 7. 90&&&&&&&&&&&&&&&& 8. 1&&&&&&&&&&&&&&& 9. 30&&&&&&&&&&&&& 10.
三、解答题：
& 11. 由切线长定理得△BDE周长为4，由△BDE∽△BAC，得DE＝1cm
& 12. 证明：连结AC，则AC⊥CB
&&& ∵CD⊥AB，∴△ACB∽△CDB，∴∠A＝∠1
&&& ∵PC为⊙O的切线，∴∠A＝∠2，又∠1＝∠2，
&&& ∴BC平分∠DCP
& 13. 设BM＝MN＝NC＝xcm
&&& 又∵OA是过切点A的半径，∴OA⊥AB即AC⊥AB
&&& 在Rt△ABC中，由勾股定理，得，
&&& 由割线定理：，又∵
&&& ∴半径为。
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反​正​从4​年​到1​年​我​能​找​到​的​我​都​收​入​其​中​了​;​在​同​类​的​资​料​中​应​该​是​很​好​的​了​。​因​为​我​也​收​集​过年​了​。
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