求空间向量的垂直向量
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（注：这帖是我的微博好友@ 纸张青年 发在上的。 我觉得发在死理性派可能更合适，经他同意，就搬了过来。）这篇帖子源于对一条微博的思考：这种证明要用什么数学语言呢？ 我分享了《上帝掷骰子吗——量子物理史话》的一段话：这些文字带给我的第一感觉糟糕透了（稍后再吐槽），我们先看看如何将作者的论点翻译为数学语言，然后证明它。论点是什么我猜测作者想传达给我们的论点是这样的：从一个高维空间内任意两条选两条直线或平面（选比画容易），它们互相垂直的概率非常大。OK，怎么才算高呢，这个问题简单，作者认为1000亿就可以了；那怎么才算大呢，是0.7，0.8，0.9，还是0.99？我实在猜不出“几乎必定是基本垂直”是个什么概念，姑且算作0.6吧。。。如何表征直线两点即可确定一条直线，向量也只需两点便可确定，所以我们可以用向量来表示直线。如果两直线垂直，则它们对应的向量也垂直，且向量的内积为0，反之亦然。需要注意的两点：向量的长度并不影响是否垂直向量的正反也不影响是否垂直例如：在2维空间中，直线x-y=0，可以表示为(1,1), (2,2), (-1, -1)等向量；直线x+y=0，可以表示为(3,-3), (-5, 5)等。这两条直线是垂直的，所以它们对应向量的内积都为0.如何表征平面一个平面可以用过一个垂直于它的向量来确定，我们称这个向量为这个平面的法向量。类似于直线，如果两平面垂直，那它们的法向量内积为0，反之亦然。传统平面的概念仅存在于2维和3维空间，维数大于3的空间中的平面一般被称为超平面。我猜文中的平面是指超平面这个玩意？这篇文章对直线和平面的定义有规范的数学介绍：等价论点从一个高维的空间内任选两个向量，它们互相垂直的概率非常大。（终于把直线和平面表征为同一个东西了。。其实我还想对空间做个定义，因为感觉会有很大差别啊，可是我也了解的不深入。。）如何证明非常感谢您有耐心看到这里，其实俺也不会证明。。。只是希望抛出这块砖，引来一块玉，过个好年。非常欢迎您分享一些好的想法和观点，能给出详细证明，那必是极好的。吐槽这是那段原文（第9章，477页）但是，假如不是2维，而是在很多维的空间中，我们随便画两条直线，其互相垂直的程度就很可能要比2维中的来得大。因为它比2维有着多得多的维数，亦即自由度，直线可以寻求在多个方向上的发展而互不干扰。如果有一个非常高维的空间，比如说1000亿维空间，那么我们随便画两条直线或者平面，它们就几乎必定是基本垂直了。如果各位不相信，不妨自己动手证明一下。槽点：垂直的程度。这个词语的意思是告诉我们两直线之间除了有“不垂直”，“垂直”两种可能之外，还有不太垂直，比较垂直，很垂直，非常垂直之类的关系吗？比如：两直线的夹角是89°，那就是非常非常垂直？80°算是比较垂直？1000亿维空间中随便画两条直线或者平面。我的想象力有限，想象出4维空间的线或平面都让我的大脑沸腾了，更别说画出来了。1000亿维的，还是给我把刀吧。。。几乎必定是基本。我被这3个华丽的程度副词给闪瞎了氪金狗眼，大脑由于瞬间温度过高而宕机，不知道写点啥了。。如果各位不相信。唯物主义走开，哥的论点都建立在相不相信哥的基础上。信哥，则得道升天；不信，一边完蛋去，哥都证不出来，你还想证出来？很多，随便，多得多，非常高。。。搜一搜作者的名字，结果很有趣哦。神一般的贴吧在搜索资料时看到这么一个帖子：高维空间里的任意两条直线互相垂直的可能性比低维空间的大吗？看完了整篇帖子后，感觉这些人还是在认真讨论的，虽然我看不懂。。。就想膜拜一下是哪个贴吧，以后常来逛逛，也能涨涨姿势，和人吹牛时也多点谈资。等我滚回页首时，我的心情是复杂的。。。（尼玛，我这是浏览到了某个高等文明位面的帖子的投影吗，还是我读取贴吧名字的方式不对，应该是“中二宁南”？谁可以告诉我答案。。。）推荐阅读方式我没看完全本，只看了几段就感觉收获不少，推荐大家有空读读，不必深入。呵呵，这本书的豆瓣评分有9.3哦。
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少年，高中生没有足够的数学知识储备，来讨论这种问题基本不会有明确的想法。基本可以负责任地说：你对“高维空间”的想象是错的。那么“正确的”想象是什么样子的？答案是：根本就没有一个正确的想象方法。人是3维空间的生物，就能想象3维的物体。不要试图去用直观理解高维空间。那怎么办？不要想象，要去计算。一句量子力学界的名言，实际上可以套到所有你觉得十分玄乎的东西：Shut up and calculate!咳咳，吐槽完毕。稍微认真地说一下这是什么意思吧。为了照顾高中生有所简化。这里指的高维空间应该是线性代数中的概念。你既然是高中生，应该知道向量（2维，3维），也知道他们的内积。同时也要求知道单位向量的意思：长度为1的向量。不考虑种种推广，只说欧式空间的话，那句话的意思是：任选2个n维单位向量，随着n越大，他们的内积越可能变小。为什么内积小了就“基本垂直”了呢？如果你已经知道了“向量的夹角”这个概念的话。。。这是可以在高维向量上推广的。用两个n维向量的内积除以他们的长度，得到的数就定义为夹角的余弦。所以，两个单位向量，内积小，就有夹角余弦小，夹角就接近90度，那么，就“基本垂直”了。
引用 的话：任选2个n维单位向量，随着n越大，他们的内积越可能变小高中生想知道怎么来的，您忙的话请给链接谢谢！
引用 的话：高中生想知道怎么来的，您忙的话请给链接谢谢！这个是线性代数的内容一个n维向量x（x1,x2,x3,……,xn）乘以一个n维向量y（y1,y2,y3,……,yn）你可以算一下这两个向量的点乘的结果是0的可能性是多少等等。。。
引用 的话：这个是线性代数的内容一个n维向量x（x1,x2,x3,……,xn）乘以一个n维向量y（y1,y2,y3,……,yn）你可以算一下这两个向量的点乘的结果是0的可能性是多少等等。。。懂了，谢谢从来没有把空间几何里的向量和线代里的向量联系起来……
引用 的话：懂了，谢谢从来没有把空间几何里的向量和线代里的向量联系起来……线代是有几何意义的
引用 的话：线代是有几何意义的能给个链接么，目前关于线代的知识是MOOC上看来的，感觉就算题目会做，遇到这类型的我就傻了
引用 的话：能给个链接么，目前关于线代的知识是MOOC上看来的，感觉就算题目会做，遇到这类型的我就傻了这个俺是听老师上课讲的啊。。。么有链接的啊。。。n个n维向量相乘，代表的是一个n阶“矩形”的“体积”（因为n维的情况恐怕不能叫它矩形了，也不能叫体积了，所以我打了引号），比如2个2维向量算出来的就是一个平行四边形的面积，3个3维向量乘出来是一个平行六面体的体积。。。
引用 的话：能给个链接么，目前关于线代的知识是MOOC上看来的，感觉就算题目会做，遇到这类型的我就傻了线代很坑的一点是我觉得所有知识都是糊在一块的，根本不像微积分那样东是东西是西，我也很混乱- -
引用 的话：这个俺是听老师上课讲的啊。。。么有链接的啊。。。n个n维向量相乘，代表的是一个n阶“矩形”的“体积”（因为n维的情况恐怕不能叫它矩形了，也不能叫体积了，所以我打了引号），比如2个2维向量算出来的就...你真的没上过测度论只上过线性代数么。。。。。。
引用 的话：你真的没上过测度论只上过线性代数么。。。。。。原谅我这个学工科的傻屌orz
引用 的话：你真的没上过测度论只上过线性代数么。。。。。。引用 的话：你真的没上过测度论只上过线性代数么。。。。。。我们连级数都没开，直接就给我们来了一发积分变换啊！拉普拉斯变换傅里叶变换啊！我还没学过复变函数呐！老师说你不用理解，宰了你也理解不了，背就行了这尼玛见鬼了啊这是！
引用 的话：这个俺是听老师上课讲的啊。。。么有链接的啊。。。n个n维向量相乘，代表的是一个n阶“矩形”的“体积”（因为n维的情况恐怕不能叫它矩形了，也不能叫体积了，所以我打了引号），比如2个2维向量算出来的就...不好意思让你花时间打字，所以求链接了，能再问几个问题么比如向量[1 2 3]能不能理解为一个从原点指向（1,2,3）的空间向量？矩阵[1 2] 如何表示一个平行四边形的面积呢？ [3 4]
引用 的话：我们连级数都没开，直接就给我们来了一发积分变换啊！拉普拉斯变换傅里叶变换啊！我还没学过复变函数呐！老师说你不用理解，宰了你也理解不了，背就行了这尼玛见鬼了啊这是！怎么会理解不了。。。。。一般来说普通大学课程里面最理解不了的抽象代数，你上20个大课也能懂一点了不过这也涉及到了工科的特点吧，会算会用就行？
引用 的话：不好意思让你花时间打字，所以求链接了，能再问几个问题么比如向量[1 2 3]能不能理解为一个从原点指向（1,2,3）的空间向量？矩阵[1 2] 如何表示一个平行四边形的面积呢？[3 4]我想想。。记不大清楚了，线代我也学的不是很好。。。第一个可以这么理解，直接往空间几何里面套就是了第二个。。应该是(1,2)·（3,4）才是一个面积。。
引用 的话：我想想。。记不大清楚了，线代我也学的不是很好。。。第一个可以这么理解，直接往空间几何里面套就是了第二个。。应该是(1,2)·（3,4）才是一个面积。。1 23 4我本来是想这么写的，吞空格了我感觉面积是标量，所以用四个值去表现感觉很奇怪，求更详细解释
引用 的话：怎么会理解不了。。。。。一般来说普通大学课程里面最理解不了的抽象代数，你上20个大课也能懂一点了不过这也涉及到了工科的特点吧，会算会用就行？引用 的话：怎么会理解不了。。。。。一般来说普通大学课程里面最理解不了的抽象代数，你上20个大课也能懂一点了不过这也涉及到了工科的特点吧，会算会用就行？关键是老师神奇的讲课方式你知道吗老师开课了先讲傅里叶变换的例题，我发誓我没有走神他讲例题1的解法在黑板上写写画画搞掉了半块黑板，然后告诉我们，这是例题2的答案！例题1的答案被拆开了混在前面和后面！你特么啥时候开始解的例题2你都没有说过！就是这么鬼畜的老师在讲课，然后你认为一个智力正常的人类能够根据老师结题的蛛丝马迹种种线索推理出老师到底特么在解书上的哪道题吗？咱是大学生不是死神小学生啊魂淡！总之理学院的老师基本都是搞研究搞傻了的，就别指望工科生能有多好的数学功底了
引用 的话：1 23 4我本来是想这么写的，吞空格了我感觉面积是标量，所以用四个值去表现感觉很奇怪，求更详细解释引用 的话：1 23 4我本来是想这么写的，吞空格了我感觉面积是标量，所以用四个值去表现感觉很奇怪，求更详细解释嗯，其实。。1 23 4不是矢量，也不是标量，是张量。。。。。。。。话说我记得矩阵不是代表一个面积啊orz
引用 的话：嗯，其实。。1 23 4不是矢量，也不是标量，是张量。。。。。。。。话说我记得矩阵不是代表一个面积啊orz好吧……我去买书从头学
引用 的话：不好意思让你花时间打字，所以求链接了，能再问几个问题么比如向量[1 2 3]能不能理解为一个从原点指向（1,2,3）的空间向量？矩阵[1 2] 如何表示一个平行四边形的面积呢？[3 4]我认为基础要打扎实。。。。从头看起吧，现在学费点时间而已还有线性代数也好，矩阵也好，向量也好，群环域也好我引用一个比喻，你不看电视，不看小说，就说一个“鬼”，你能说清楚“鬼”是WHAT么？数学干的就是这件事情，从零开始，用最少最必要的公理，说清楚这个“鬼”
引用 的话：好吧……我去买书从头学据说国外的线性代数是直接从几何意义等等方面入手的，对理解很有帮助嗯我是据说的。。可以的话你可以考虑弄个电子版，毕竟国外的教材的价格实在太屌
引用 的话：我认为基础要打扎实。。。。从头看起吧，现在学费点时间而已还有线性代数也好，矩阵也好，向量也好，群环域也好我引用一个比喻，你不看电视，不看小说，就说一个“鬼”，你能说清楚“鬼”是WHAT么？数学干...我们老师就是在让我们活见鬼。。。。。。
引用 的话：据说国外的线性代数是直接从几何意义等等方面入手的，对理解很有帮助嗯我是据说的。。可以的话你可以考虑弄个电子版，毕竟国外的教材的价格实在太屌谢谢
引用 的话：我认为基础要打扎实。。。。从头看起吧，现在学费点时间而已还有线性代数也好，矩阵也好，向量也好，群环域也好我引用一个比喻，你不看电视，不看小说，就说一个“鬼”，你能说清楚“鬼”是WHAT么？数学干...谢谢，我在的高中学的不是国内教材，感觉很多东西有点乱，我还是准备多看点书
这个本来是用来解释不确定原理的“多世界解释”的。我记得其中一个版本说的是“投影”。
由于有大量的公式，所以直接采用插图的方式，请见谅
下面是文字版本，，没注意到果壳可以插入公式，不过吐槽一个，太丑了，真难排版先做点准备工作：1、如何随机选取由于垂直条件仅跟直线的方向向量有关，因此假设在维球面上面随机选取点作为方向向量2、为了进一步化简问题，根据对称性，可以假设选取的第一条直线方向向量为3、关于垂直的程度。这是一个有点争议性的说法，其实作者想要表达的是如果两个直线的夹角越接近$\frac{\pi}{2}$，那么两个向量之间的相关性就越低，所以所谓的垂直的程度可以理解为两个向量的夹角接近直角的程度。下面假设当两直线夹角满足时认为两个直线“充分垂直”，其中是取定的阀值。下面做个数学推导：记,那么利用球坐标变换现在的问题是计算的极限，只需要做个简单的分段估计：其中只跟有关。上述放缩利用了正弦函数的单调性。又所以上面就证明了当维数趋近于无穷的时候，对于任意选取的均有极限趋近于1，也就是任意选取的两条直线很可能“差不多垂直”另外可以注意到，当选定之后，随着的增大，以至少是指数的速度收敛，说明速度是非常快的，就用(也就是1000亿)做估计,取（时就不够大了）有由于上面的放缩比较松，实际值可以更小。但是在特别小的时候，要求非常非常之大才能使得概率非常接近于1，希望有人能做一个大概的尺度表，我的笔记本算不过来了。补充说明：在开始的3个假设实际上并不是非常必要的，只是这样假设计算相对简单，特别是第3条关于垂直程度采用夹角来度量可能会有争议，但实际上这也是不影响的，用其他的度量方式都是可以的，这里只是选取最简单的方式。
引用 的话：面是文字版本，，没注意到果壳可以插入公式，不过吐槽一个，太丑了，真难排版先做点准备工作：1、如何随机选取由于垂直条件仅跟直线的方向向量有关，因此假设在维球面上面随机选取点作为方向向量2、为...这两天由于工作较忙，很抱歉没能及时回复。非常感谢您的回答，让我受益匪浅，俺觉得还是图片版好，不会打乱排版。。。不过俺的底子没打实，证明看起来真吃力。之前是在知乎上发的贴， Qian 给出了一篇科学网的博客，里面有概率分布，推荐一下。科学网：知乎原帖：
楼主可以先学习一下内积空间的概念和性质，垂直意味着内积是零，归一化标准正交基底下就是分量相乘再相加，这个值可以看做n个随机变量的和。维数趋于无穷时候，这个和一定趋于零（好比-1~+1内随机取1000个数相加的和差不多也是零一个道理）。另外楼主如果了解线性空间多少有点了解，其实根本不必纠结维数的问题，维数只是线性空间抽象的一种记号，是表示一个线性空间中极大线性无关组的个数，而欧几里德空间又是极为特殊的一种内积空间，当维数取3时，恰好是我们生活的空间而已。线性空间本身的意义不在于你如何去想象四维五维六维是什么样子的，维数只是一个记号而已。很多人再纠结这个问题，甚至有人做成视频说明一维到十维都是什么样的，其实真的没有任何意义。来自
引用 的话：面是文字版本，，没注意到果壳可以插入公式，不过吐槽一个，太丑了，真难排版先做点准备工作：1、如何随机选取由于垂直条件仅跟直线的方向向量有关，因此假设在维球面上面随机选取点作为方向向量2、为...非常感谢您的推导。但是以楼主的高中生+MOOC功底能否看懂表示十分怀疑。
引用 的话：1 23 4我本来是想这么写的，吞空格了我感觉面积是标量，所以用四个值去表现感觉很奇怪，求更详细解释行列式才表示面积。矩阵不是来自
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