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什么是质数,质数是什么意思
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质数又称。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。换句话说，只有两个（1和自己）的自然数即为素数。比1大但不是素数的数称为。1和0既非素数也非合数。素数在中有着很重要的地位。关于素数，有一个常为人所知的的著名问题，即。素数因其特殊性在计算和数理分析中占有重要地位。
质数公式素数定理
定理描述素数的大致分布情况。 素数的出现规律一直困惑著。一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数x，定义π(x)为不大于x的素数个数。数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长。以下是第一个这样的估计。 π(x)≈x/ln x 其中ln x为x的。上式的意思是当x趋近∞，π(x) 和x/ln x的比趋 近1（注：该结果为所发现）。但这不表示它们的数值随着x增大而接近。 下面是对π(x)更好的估计： π(x)=Li (x) + O (x e^(-(ln x)^(1/2)/15)，当 x 趋近∞。 其中 Li(x) = ∫(dt/ln x2,x)，而关系式右边第二项是误差估计，详见大O符号。 下表比较了π(x)，x/ln x和Li(x)： x π(x) π(x) - x/ln(x) Li(x) - π(x) x/π(x)
可以给出第n个素数p(n)的渐近估计： :p(n)～n/ln n. 它也给出从中抽到素数的。从不大于n的自然数随机选一个，它是的概率大约是1/ln n。 这定理的式子於1798年法国数学家提出。1896年法国数学家(Jacques )和比利时数学家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後独立给出证明。证明用到了，尤其是ζ函数。 因为黎曼ζ函数与π(x)关系密切，关于黎曼ζ函数的对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进误差的估计。1901年数学家Helge von Koch证明出，假设黎曼猜想成立，以上关系式项的估计可改进为 :π(x)=Li (x) + O (x^(1/2) ln x) 至於大O项的则还未知道。
质数公式初等证明
有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明於1949年由数学家保罗·艾狄胥（“爱尔多斯”，或“爱尔多希”）和挪威数学家阿特利·西尔伯格合作得出。 在此之前一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家便说过素数定理必须以证明，显出定理结果的「深度」。他认为只用到实数不足以解决某些问题，必须引进来解决。这是凭感觉说出来的，觉得一些方法比别的更高等也更厉害，而素数定理的初等证明动摇了这论调。Selberg－艾狄胥的证明正好表示，看似初等的，威力也可以很大。 但是，有必要指出的是，虽然该初等证明只用到初等的办法，其难度甚至要比用到的证明远为困难。
质数公式素数简介
质数公式质数的无穷性的证明
质数的个数是无穷的。最经典的证明由证得，在他的《》中就有记载。它使用了现在证明常用的方法：。具体的证明如下：
●假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设 N = p1 × p2 × …… × pn，那么，N+1是或者不是素数。
●如果N+1为素数，则N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。
●如果N+1为，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。
●因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个之外还存在着其他素数。
●对任何有限个素数的集合来说，用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数集合中的结论。
●所以原先的假设不成立。也就是说，有无穷多个。
其他数学家也给出了他们自己的证明。利用证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，Hillel Furstenberg则用加以了证明。
质数公式对于一定范围内的素数数目的计算
尽管整个是无穷的，仍然有人会问“100000以下有多少个素数?”，“一个随机的100位数多大可能是素数?”。可以回答此问题。
质数公式费马数2^(2^n)+1
被称为“17世纪最伟大的法国数学家”的，也研究过质数的性质。他发现，设Fn=2^(2^n)+1，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大（F5=），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。这便是。但是，就是在F5上出了问题！费马死后67年，25岁的瑞士数学家证明：
F5==641×6700417，它并非质数，而是一个！
更加有趣的是，以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。目前由于开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495。这可是个超级，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。
质数公式梅森质数
17世纪还有位法国数学家叫，他曾经做过一个猜想：2^p-1 ，当p是质数时，2^p-1是质数。他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，证明p=31时，2^p-1是质数。 p=2，3，5，7时，2^p-1都是，但p=11时，所得却不是素数。
还剩下p=67、127、257三个，由于太大，长期没有人去验证。梅森去世250年后，美国数学家证明，2^67-1=×，是一个。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得这样杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。
美国数学教授柯蒂斯·库珀(CurtisCooper)领导的研究小组于1月25日发现了已知的最大梅森质数——2^(即2的次方减1)；该质数有位，如果用普通字号将它连续打印下来，它的长度可超过65公里！[1]
人们在寻找梅森质数的同时，对其重要性质——分布规律的研究也一直在进行着。英、法、德、美等国的数学家都曾分别给出过有关梅森质数分布的猜测，但都以近似表达式给出，与实际情况的接近程度均难如人意。中国数学家、语言学家是这方面研究的领先者，他于1992年首次给出了梅森质数分布的精确表达式。这一成果后来被国际上命名为“”。
质数公式相关猜想
哥德巴赫猜想
（Goldbach Conjecture）大致可以分为两个猜想（前者称“强”或“二重哥德巴赫猜想”后者称“弱”或“三重猜想”)：1、每个不小于6的都可以表示为两个之和；2、每个不小于9的奇数都可以表示为三个之和。
黎曼猜想是一个困扰数学界多年的难题，最早由德国数学家提出，迄今为止仍未有人给出一个令人完全信服的合理证明。即如何证明“关于质数的的所有意义的解都在一条上”。
此条质数之规律内的质数经过整形，“关于质数的的所有意义的解都在一条直线上”化为球体质数分布。
孪生质数猜想
1849年，波林那克提出孪生质数猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生质数。
猜想中的“”是指一对质数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，016959等等都是。
016959是发生在第333899位序号质数月的中旬[18±1]的孪生质数。
质数公式算术基本定理
任何一个大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积 N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an) , 这里P_1&P_2&...&P_n是，其诸方幂 ai 是正整数。
这样的分解称为N 的标准分解式。
算术基本定理的内容由两部分构成：分解的存在性、分解的唯一性（即若不考虑排列的顺序，正整数分解为乘积的方式是唯一的）。
算术基本定理是中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。
此定理可推广至更一般的交换代数和代数数论。证明复整数环Z[i]也有唯一分解定理。它也诱导了诸如唯一分解，等等概念。 更一般的还有理想分解定理。
质数公式素数等差数列
等差数列是的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等。该差值称为公差。类似7、37、67、97、127、157。这样由组成的数列叫做等差素数数列。2004年，格林和证明存在任意长的素数等差数列。日，两人宣布：他们证明了“存在任意长度的素数等差数列”，也就是说，对于任意值K，存在K个成等差级数的素数。例如 K=3，有素数序列3, 5, 7 （每两个差2）……K=10，有素数序列 199, 409, 619, 829, , ,
（每两个差210）[1]
．电脑报在线．[引用日期]梅森素数是什么？ 为什么对其研究异常火爆？|美森素数|计算机_业界_新浪科技_新浪网
梅森素数是什么？ 为什么对其研究异常火爆？
　　据瑞士媒体日前报道，世界上目前有190多个国家和地区近62万人，参加了一个名为“互联网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际合作项目，并动用了超过114万台计算机联网来寻找梅森素数(Mersenne prime)。可见，梅森素数的探究异常火爆；这在数学史上是前所未有的，在科学史上也是极为罕见的。
　　梅森素数之所以探究异常火爆，与其自身强大的吸引力是分不开的。众所周知，素数是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数。2300年前，古希腊数学家欧几里德就已证明素数有无穷多个，并提出一些素数可写成“2^P-1”(其中指数P也是素数)的形式。这种特殊形式的素数，具有独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家(包括数学大师费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫等)和无数的业余数学爱好者对它进行探究。
　　17世纪的法国数学家、法兰西科学院的奠基人马林·梅森(Marin Mersenne)对“2^P-1”型的素数做过较为系统且深入的探究。为了纪念他，数学界就将这种素数称为“梅森素数”。迄今为止，人类仅发现48个梅森素数。这种素数稀奇而迷人，故被人们称为“数海明珠”。
　　梅森素数貌似简单，但当指数P值较大时，其素性检验的难度就会很大；它的探究不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。1772年，享有“数学英雄”美誉的瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了2^31-1(即)是个素数。它具有10位数，堪称当时世界上已知的最大素数；此外，他还证明了欧几里德关于完全数定理的逆定理，从而表明梅森素数和偶完全数是一一对应的。欧拉的毅力与技巧都令人赞叹不已；难怪法国大数学家拉普拉斯向他的学生们说：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。”在“手算笔录年代”，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数。
　　电子计算机的出现，大大加快了探究梅森素数的步伐。1952年，美国数学家拉斐尔?鲁宾逊将著名的“卢卡斯-莱默检验法”编译成计算机程序，使用大型计算机在短短几小时之内，就找到了5个梅森素数：2^521-1、2^607-1、2^^^2281-1。随着指数P值的增大，每一个梅森素数的产生都艰辛无比；而科学家及业余研究者们仍乐此不疲，激烈竞争。例如，在日，当美国克雷研究公司的计算机专家戴维?史洛温斯基和哈利?纳尔逊宣布他们找到第26个梅森数2^23209-1时，有人告诉他们：在两星期前美国加州的高中生兰登?诺尔就已经给出了同样结果。为此他们发愤忘食，又花了一个半月的时间，使用超级计算机找到了新的更大的梅森素数2^44497-1。
　　人们在寻找梅森素数的同时，对其重要性质——分布规律的研究也一直在进行着。英、法、德、美等国的数学家曾提出过有关梅森素数分布的猜测，但都以近似表达式给出，且与实际情况的接近程度均难如人意。中国数学家、语言学家周海中是这方面研究的领先者，他运用联系观察法和不完全归纳法，于1992年率先给出了梅森素数分布的精确表达式。这一重要成果后来被国际上命名为“周氏猜测”。美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格认为，周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法；其创新性还表现在揭示新的规律上。
　　分布式计算技术的出现使梅森素数的寻找工作如虎添翼。1996年初，美国数学家、计算机专家乔治?沃特曼编写了一个寻找梅森素数的计算程序，并把它放在网上供数学家和业余数学爱好者免费使用；它就是举世闻名的GIMPS项目，也是世界上第一个基于互联网的分布式计算项目。现在人们只要从该项目下载开放源代码的Prime95和MPrime软件，就可以马上搜索梅森素数了。
　　为了激励人们寻找梅森素数和促进分布式计算技术发展，总部设在美国旧金山的“电子前沿基金会”(EFF)于1999年3月向全世界宣布了为通过GIMPS项目来寻找梅森素数而设立的奖金。它规定向第一个找到超过100万位数的个人或机构颁发5万美元。后面的奖金依次为：超过1000万位数，10万美元；超过1亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元。
　　1999年6月，住在美国密歇根州的数学爱好者那扬?哈吉拉特瓦拉通过GIMPS项目找到了第一个超过100万位的梅森素数2^，他获得了5万美元的奖励。2008年8月，美国加州大学洛杉矶分校计算机专家埃德森?史密斯找到了第一个超过1000万位的梅森素数2^，他获得了10万美元的奖励，其发现被著名的《时代》周刊评为“2008年度50项最佳发明”之一；这一巨大素数有位，如果用普通字号将它打印下来，其长度可超过50公里！
　　2013 年1月，美国中央密苏里大学数学家柯蒂斯?库珀找到了第48个梅森素数2^;这个超大素数有位，是目前已知的最大素数。美国数学学会发言人迈克·布林说，“这个超大素数令数学家和计算机科学家感到兴奋。”他认为这是素数探究的一项重大突破。美国威斯康辛大学麦迪逊分校数学家乔丹·埃伦伯格说，“发现一个梅森素数就像是在干草堆里找一根针那样困难。这项发现在计算机工程领域的价值要远大于数学领域的价值。”
　　据悉，大多数研究者参与GIMPS项目不是为了名利而是出于好奇心、求知欲和荣誉感。迄今为止，人们通过该项目已经找到14个梅森素数，其发现者来自美国(8个)、德国(2个)、英国(1个)、法国(1个)、挪威(1个)和加拿大(1个)。著名的《自然》杂志曾声称，GIMPS项目不仅会进一步激发人们对梅森素数探究的热情，而且会引起人们对分布式计算技术应用的高度重视。
　　梅森素数的探究在当代已有了十分丰富的意义。寻找梅森素数是发现已知最大素数的最有效的途径。另外，寻找梅森素数是测试计算机运算速度及其他功能的有力手段，如第34个梅森素数2^就是美国克雷研究公司1996年9月在测试其超级计算机的运算速度时得到的。
　　梅森素数的探究推动了“数学皇后”——数论的研究，促进了计算技术、程序设计技术和计算机检测技术的发展。梅森素数在密码学方面有着潜在的应用。现在人们已将大素数用于现代密码设计领域，其原理是：将一个很大的数分解成若干素数的乘积非常困难，但将几个素数相乘却相对容易得多。在这种密码设计中，需要使用较大的素数，素数越大，密码被破译的可能性就越小。另外，梅森素数的探究还推动了快速傅立叶变换的应用。
　　许多科学家认为，梅森素数的探究成果，在一定程度上反映了一个国家的科技水平。英国牛津大学数学家马科斯?索托伊甚至认为，梅森素数的探究进展不但是人类智力发展在数学上的一种标志，也是整个科技发展的里程碑之一。
　　最后一提的是，素数有无穷多个，这一点早为欧几里德发现并证得。然而，梅森素数是否有无穷多个？这是一个千百年来悬而未解之谜；而揭开这一未解之谜，正是科学追求的目标。让我们以德国数学大师希尔伯特的名言来结束本文：“我们必须知道，我们必将知道。”(作者为瑞士苏黎世联邦理工学院博士后 万国祥)
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数学是科学的女王，数论是数学的女王。
数论，是研究数字的一门数学分支。如同大海，它清澈透明而又深不见底。它的基础概念，自然数、加法、乘法，每个小学生都清楚；但关于自然数的定理，却可以让人穷尽一生而不得其解。而这篇文章要介绍的，只是这个广阔海洋中一个小小的海域。即便如此，我们仍未知道此处海深几何，尽管最近张益唐的突破性工作，使我们比以往更接近真理，但这远远不够。
尽管笔者才疏学浅，有恐贻笑方家。但如能为读者勾勒出一点点数学之美，也不枉费一番心思。
素数何时成双对
可以说，素数是数论中最基础而最重要的概念。如果一个大于二的正整数，除了1和它本身之外，不是任何数的倍数，那么它就是一个素数。比如说，6不是一个素数，除了1和它本身以外，它还是2和3的倍数；而5则是一个素数。
在古希腊，人们已经有了素数的概念，对素数的研究也略有所得。在欧几里德的《原本》中，第七、八、九篇讲述的是“关于整数及其比值的性质”，实际上也就是数论。在这几卷中，欧几里德指出了今天所说的“算术基本定理”：将自然数分解成素数乘积的方法是唯一的。也就是说，如果用乘法的眼光来看自然数，那么素数就是自然数的最小组成单元。它们不能被分解成更小的数的乘积，而所有自然数都可以分解成它们的乘积。
那么，我们自然要问：素数作为自然数的组成单元，它们有多少个？
有无限个，欧几里德不仅回答了这个问题，还给出了一个经典的证明。
不妨反设只有有限个素数，考虑它们的积，它是一个有限的自然数。所以，也是一个自然数，它也应该是一些素数的积。但根据假设，每一个素数都不整除，这不可能！所以，素数必定有无限个。
这个精巧的证明，是人类探寻素数奥秘的第一步。
2、3、5、7、11、13……最初的几个素数，要找出来并不困难，但随着数字增大，如果一个一个数字按照定义去筛选是否素数，工作量会很快变得十分庞大。同为古希腊数学家的埃拉托色尼，给出了一个比较省力的算法，后人称之为埃拉托色尼筛法。
首先，列出从2开始的数。然后，将2记在素数列表上，再划去所有2的倍数。根据定义，剩下的最小的数——在这里是3——必定是素数。将这个数记在素数列表上，再划去所有它的倍数，这样又会剩下一些数，取其中最小的，如此反复操作。最后剩下的都是素数。
【埃拉托色尼筛法，图片出处：维基百科】
当古希腊人用这种方法计算出长长的素数列表时，他们也许也曾惊异于素数分布的秩序缺失。这些自然数的组成单元，在自然数中的排列却毫无规律，时而靠近，时而疏远。用类似欧几里德证明中的构造，我们知道，两个相邻素数之间的距离可以要多大有多大。而随着数目越来越大，相邻素数之间的距离似乎也越拉越长。
在无限延伸的自然数集中，向无穷的地平线望去，虽然仍有无穷的素数，但它们似乎也愈变孤独。
这种孤独甚至是可以度量的。在十八世纪的尾巴，年仅15岁的高斯独立提出了一个猜想：在n附近素数的密度大约是n的对数。也就是说，相邻素数之间的平均距离大概与它们的对数成正比，虽然增长很慢，但却义无反顾奔向无穷。但即使是高斯，也无法严格地证明他的猜想，要等两个世纪后的阿达玛（J. Hadamard）和德拉瓦莱普森（C. J. de la Vallée-Poussin），才能将这个猜想变成现在的“素数定理”。
虽然如此，偶尔也会有成对出现的素数，它们之间只相差2。像这样成对出现的素数，在那些孤独的同伴看来，无疑是异类。
它们被称为孪生素数。
漫天星河难理清
一个自然的问题是，孪生素数有多少？
孪生素数猜想断言，有无限对这样的孪生素数。但还没有人能严格地证明这一点。在1849年，数学家A. de Polignac甚至猜想，对于任意的偶数，都有无数对相邻的素数，它们的差恰好是。
这不是一个容易的问题。素数是乘法的产物，而孪生素数的定义则涉及到加法。即使只是加上2，也需要同时用到自然数的加法和乘法的性质。而在数论中的很多看似简单但无比困难的问题，比如哥德巴赫猜想和华林问题，核心也在于加法和乘法的交织。这种相互作用给数论学者们带来了无穷的头痛，以及对咖啡的无尽渴求。
与此同时，行外人的评价却似乎异常中肯：“为什么素数要相加呢？素数是用来相乘而不是相加的”。
当然，如果只将素数用在只与乘法有关的问题上，事情当然简单得多。但如果我们想要更多地了解自然数的玄机，那必然涉及到加法和乘法的相互作用。缩在“容易”的圈子里从来无补于事。如同探险家一般，数学家也有着征服难题的渴望，因为在那困难的山巅上，有着无尽的风光。为了难题产生的新方法、新思想，可能会开辟出意想不到的新天地。
【画在平面上的素数分布，图片出处：维基百科】
孪生素数的难点在于，它是一个关于素数的具体分布的问题，而我们对素数的具体分布知之甚少。素数定理只告诉我们素数的大体分布，而对于具体一个个素数的位置却无能为力。如同繁星，素数点缀着自然数的夜空，放眼望去，它们朝向无限的地平线愈见稀薄。但要想分清这无限繁星中的每一颗，即使用上最好的望远镜，也无可奈何。
所以，在很长一段时间里，对于孪生素数猜想，人们仍然停留在揣测和估计的层面。
首先尝试直接猜测的，是英国数学家哈代（G. H. Hardy）和李特尔伍德（J. E. Littlewood），他们在1923年开始了一系列的猜测。
【霸气的哈代，图片出处：维基百科】
素数定理告诉我们，对于足够大的自然数N，在N附近随机抽取一个自然数n，它是素数的概率大概就是。那么，在同样的区间，随机独立选取的两个数都是素数的概率就是之前概率的平方，也就是。
那么，在N附近随机抽取一个自然数n，n和n+2是一对孪生素数的概率是否就是大概呢？很遗憾，并非如此，因为n和n+2并非完全独立的，所以不能直接应用之前的结果。不过这个估计虽不中亦不远，只要乘上一个修正系数，借此表达两个数相差2的性质，就能得到对孪生素数密度的估计：。在这里，修正系数是一个关于所有质数的无穷乘积。如果密度确实如此，那么显然有无限对孪生素数，孪生素数猜想应该是正确的。
实际上，这是所谓“第一哈代-李特尔伍德猜想”的一个特殊情况，难度甚至远高于孪生素数猜想：它不仅隐含了孪生素数猜想，而且对具体的分布作出了精细的估计。虽然上面的论证看上去很诱人，但它并不是一个严谨的证明，因为它的大前提——素数是随机分布的——本来就不成立。素数的分布有着深刻的规律，远远不是一句“随机分布”所能概括的。
但哈代和李特尔伍德并非等闲之辈，作为当时英国的学科带头人，既然提出这个猜想，当然经过了深思熟虑。现在看来，依据之一是，望向无限，素数的分布的确看似随机：对于那些“简单”的操作（比如说加上2）来说，数值越大，越靠近无限的地平线，看上去也越“随机”。所以，在考虑各种素数形式的分布时，假定素数按照素数定理的密度随机分布，不失为一个估计的好办法。更为重要的是，数值计算的结果也与哈代和李特尔伍德的猜测所差无几。这更增添了我们对这个估计的信心。
然而，猜测只是猜测，不是严谨的证明。无论用数值计算验证到什么高度，有多符合，对于无限而言，都是沧海一粟。李特尔伍德本人就曾证明过一个类似的结论。
人们此前猜测，小于某一个数N的素数个数必定小于所谓的“对数积分”函数，而根据素数表，这个规律直到10的14次方都成立。但李特尔伍德在1914年证明了一个惊人的结论：对于足够大的，不仅可以大于，而且它们的大小关系会无穷次地逆转！但直到今天，对于第一次打破这个规律的N，我们仍然不知道它的具体数值，只知道它大概是个有三百多位的数。
这个例子足以说明素数可以多么深不可测而又出人意料，同时提醒我们，面对无限，不能掉以轻心。无论有多少计算的证据，都不能轻易下定论。征服无限的工具，只有严谨的数学证明。
狂沙淘尽始得金
既然难以知道孪生素数具体有多少，那么不妨换个思路：孪生素数最多能有多少呢？
这就是数学家的思路，如果正面久攻不下，那么就从侧面包围。当难以直接得到某个量时，数学家的“本能”会指引他们，尝试从上方和下方去逼近，证明这个量不可能小于某个下界，或者不可能大于某个上界。如此慢慢缩小包围圈，就有希望到达最终的目标。
而在1919年，挪威数学家布伦（V. Brun）走的就是这么一条路：他证明了，孪生素数的密度不可能超过。籍此，他证明了所有孪生素数倒数的和是有限的。要知道，所有素数倒数的和是无穷大，可见孪生素数在素数中有多么稀少。人们将所有孪生素数的倒数和称为布伦常数，它的具体数值大约是1.90216...。
关于布伦常数，还有个有趣的小插曲。1994年，美国一位教授在计算布伦常数时，无意中发现当时英特尔公司的奔腾处理器在计算浮点除法时，在极稀有的情况下，会产生错误的结果。虽然英特尔声明这种错误对于日常使用来说不足为患，但对于消费者来说，这种托辞实在难以接受。最后，英特尔不得不承诺免费更换有问题的处理器。帮助发现硬件问题，这可算是数论在现实中的一个小小应用。
【出问题的那款芯片，图片出处：维基百科】
但布伦的证明意义远不止于此。他的这个证明，正是现代筛法的开端。
布伦所用的筛法，根源可以追溯到古希腊的埃拉托色尼筛法。还记得我们怎么用埃拉托色尼筛法列出素数表吗？每次获得一个新的素数，我们都要划去所有新素数的倍数，然后剩下最小的数又是一个新的素数。用类似的方法，我们可以估计在某个区间中，比如说在和之间，大约有多少素数。
首先，我们假设手头上已有足够大的素数表（大概到的所有素数）。用这个素数表，我们打算把从到的所有合数都划去一遍，剩下的就是素数。对于每个素数，我们将所有的倍数划去一遍。在和之间，对于每个素数，大约有个这样的倍数。当然，如果不是的倍数，这样的估计会有误差，但在数学家看来，只要能把握误差的大小，最终仍然可以得到正确的结论。
这样，剩下的数的个数就是减去所有的和，是这样吗？并不尽然，因为有些数可能被划去了几次。比如说1000，它能被2整除，也能被5整除，于是在处理2和5的倍数时，它分别被划去了两遍。对于每一对素数，每个的倍数在之前都被划去了两遍，而我们只希望将它们划去一遍。为了得到正确结果，我们需要对这些数作出补偿：将这些数加回去，一共是个，加上一点点误差。
但这就是尽头吗？如果考虑三个素数的倍数，我们发现补偿得又太多了，需要重新划去；继续考虑四个素数的倍数，划去得又太多了，需要重新补偿……如此一正一反，损有余，补不足，一项一项估计下去，才能从自然数的海洋中，精确筛选出所有我们想要计算的那些素数。
但我们是否需要做到如此精细呢？在整个计算中，虽然每一项看似简单，但简单的代价是误差。虽然每一项的误差很小，但因为数目巨大，累土而成九层之台，累计误差可以比需要估计的量还要多。所以，在现代的筛法中，过于精细反而是一种累赘。况且，我们的目的是获得上界或者下界，所以结果无需完美，只需误差可控。一般而言，由于越到后面的项贡献越小，往往忽略它们的计算，直接将其计入误差。这样可以有效减少需要计算的项的数目，同时也能间接减少误差。当然，如果忽略的项太多，它们引起的误差又会太大，也会导致不够精确的结果。
布伦相对于前人的改进，正在于此。如果盲目计算所有的项，必然深陷误差的泥沼。而布伦则大胆截去那些贡献很小却占绝大多数的项，而对于剩下的项也果断采用更粗放的近似来简化计算。虽然看似不依章法，但通过仔细调校，布伦得以有效控制总误差，从而获得他想要的结果。
布伦的这个思路，开启了解析数论之中一大类方法的大门。我们不知道怎么数素数，是因为它们的分布实在难以捉摸。而现在，布伦的筛法指出了一条用简单的集合来逼近素数集合的道路，这自然令数学家如获至宝。
在更精细的筛选与更微小的误差之中寻找那一线的平衡，这大概是筛法的醍醐。但这样的平衡，显然依赖于我们如何估计每一项的具体数值。可以每项分开估计，但合起来也无伤大雅。无论做法如何，估计的误差越小，筛选可以越深入，结果也越逼近真实。即使估计方法不变，如果有更好的方法决定每一项的取舍，取贡献大而误差小之项，而舍贡献小而误差大之项，当然也能得到更好的结果。
但为何拘泥于每一项？对于每一项，为什么要么取要么不取，不能站在中间立场吗？只要能控制误差，将每一项拆解开来，根据贡献和误差来赋予不同的权值，再求和，这样的结果岂不是更精细？再者，有时不拘泥于素数，放松限制去筛选那些“殆素数”，也就是那些只有少数几个素因子的数，在某些情况下也能得到更好的结果。在严谨的前提下，只要能做出更好的结果，数学家对于突破原有思路毫不犹豫。
这就像一场对素数的围捕战。数学家们拿着筛法这个工具，不断打磨它、改装它，不断练习，正着用，反着用，与别的领域的工具配合着用，绞尽脑汁发明新的用法，殚精竭力用它来围捕那些调皮的素数。欲擒故纵，反客为主，无中生有，李代桃僵，数学家们在对各种各样素数的围捕中，借着筛法，将一套兵法使得淋漓尽致，精彩之处，三国亦为之失色。
在筛法的力量下，孪生素数终于露出了一鳞半爪：
在1920年，同样是布伦，证明了有无穷对9-殆素数，它们之间只相差2。所谓9-殆素数，或者更一般的-殆素数，就是那些至多有个素数因子的自然数（包括重数）。而1-殆素数就是素数。模仿哥德巴赫猜想的记号，布伦证明的就是（9 - 9）。
在1947年，匈牙利数学家雷尼（A. Rényi）证明了，存在一个常数，使得有无穷对自然数，其中是素数，是一个-殆素数，而两者之间只相差2。也就是说，他证明了（k - 1）。
在1950年，挪威数学家塞尔伯格（A. Selberg）证明了，有无穷对整数和，它们的素因子一共至多有5个。而孪生素数定理相当于素因子至多有2个的情况。
在1966年，意大利数学家E. Bombieri与英国数学家H. Davenport证明了，孪生素数的密度至多是。也就是说，孪生素数的数量至多是哈代与李特尔伍德所估计的4倍。
【陈景润的雕像，图片出处：维基百科】
在1978年，在证明了哥德巴赫猜想的（1 + 2）后，陈景润用相同的筛法改进了雷尼的结果：他证明了，有无穷对自然数，其中是素数，是一个-殆素数，而两者之间只相差2。也就是说，他证明了（2 - 1）。
而最新的结果则是D. Goldston、J. Pintz和C. Yildirim在2009年发表的。他们证明了，两个素数之间的差距，相比起平均值而言可以非常小。在假定某个强有力的猜想后，他们还证明了，存在无限对素数，它们之间相差不过16，与目标的2只有八倍的差距。但问题在于，即便16这个数目相当诱人，但他们的假定过于强大，强大得不像是对的，也使人们对他们结果的信心打了个折扣。
在整个过程中，数学家们动用了解析数论中的大量工具：L函数、西格尔零点的估计、多种版本的筛法、克鲁斯特曼和的估计、自守形式，如此等等，不一而足。每样工具，都是心血的结晶。但即便如此，我们离孪生素数猜想还很遥远。尽管Goldston、Pintz和Yildirim的结果非常强大，但也不能在无假定的情况下，推出有无穷对素数，它们相差恰好是一个有限的确定值。
虽然只差那么一点点。只要关于所谓“素数分布水平”的引理稍微强一点点，就能得到有无穷对相差不远的素数的结论。但就在这个关口，人们却处处碰壁。希望就在伸手可及之处，却似乎总是差那么一点点。“此路不通”的想法开始弥漫开来。
在众人束手无策之际，当时默默无闻的张益唐向《数学年刊》提交了一份论文。
梅花香自苦寒来
【张益唐，图片出处：新罕布什尔大学】
一份三十公分的意大利面包，纵向剖开，抹上金枪鱼泥，放上四片奶酪，放到烤炉烤一分钟，撒上生菜，铺上酸黄瓜和番茄，包起来，切成两半，就是又一个三明治。
这也是张益唐曾经蹉跎的岁月。
在博士毕业后，因为种种原因，虽有真才实学，但张益唐未能在学术界找到一份工作。为了生活，他不得不打工维持生计。即使在他的同学帮助他，找到新罕布什尔大学的一份代课讲师工作后，即使在转正成为一名大受学生好评的讲师后，正式而言他仍不是一名研究人员。
时运不齐，命途多舛；冯唐易老，李广难封。
但数学无需官方认可，研究也不需要正式的职位。张益唐受过正式的数学研究训练，有扎实的功底，有充分的能力，知道怎么去做研究，心里也时刻揣着数学。即使没有正式的职位，他骨子里仍然是一位研究数学的学者。
而他心里装着的，正是素数的分布问题，特别是孪生素数。即使没有正式的研究职位，他仍然做着一名研究者会做的事。他紧跟当前解析数论学界的发展，阅读了J. Friedlander和H. Iwaniec在筛法上的突破性工作，阅读了Goldston，Pintz和Yildirim关于素数间隔的工作，还有很多不同的新工作。他思考着新的方法，尝试沿着前人的路径走下去，相信能用新的技巧，把道路走通，证明有无穷对相差不远的素数。
但这谈何容易！即使从Goldston等人强有力的方法出发，要得到想要的结果，也难倒了众多学者。张益唐花了三年时间，不断尝试新的方法，屡战屡败，屡败屡战。数学研究，莫不如是。
终于，在2012年6月，他到朋友家作客时，灵光一闪，找到了开启关键的钥匙。
要说起来，张益唐的方法并非那种横空出世的新构想，而是利用现有的工具，用新的策略将它们组合起来，再加上一点点新的思想。Goldston等人所用的筛法相对精细，但却稍欠回旋余地，而张益唐稍稍放松了这个筛法，虽然能作出的估计稍欠精细，却换来了更大的游刃之余，得以对筛法中误差与精细的天平作出更精巧的调整，结合一些新的结果，特别是Iwaniec等人的工作，反而能获得更好的估计。箇中精彩之处，恕笔者学识浅薄，难以一一尽述。
用他的新筛法，张益唐证明了，有无穷对素数，它们相差不过七千万。他将他的新方法与新结论，用简洁明了的语言，写成了一篇论文，投稿到数学界的顶级期刊《数学年刊》。
这篇论文名为Bounded gaps between primes（《素数间的有界间隔》）。
收到这篇论文的编辑想必十分意外。在一所不起眼的大学做着讲师的工作，在数学的研究共同体中也不活跃，之前一篇论文还是十多年前发表的，这样的一位默默无闻的数学家，突然声称自己解决了一个困扰众多学者几十年的问题，引起的第一反应自然是怀疑。但毕竟，数学证明就是他学识的证明，他的论文写得如此清楚明白，而所用的方法又是如此合情合理，这冲破了原有的一点点怀疑。编辑认为，张益唐的结论很可能是对的，而他的方法对于解析数论而言，也可能是个重要的进步。
因为很多数学证明都相当艰深晦涩，即使是同一个领域的专家，有时也要花上一大段时间来咀嚼揣摩，才能断定证明是否无误。所以，数学论文的审稿时间通常不短，少则数月，多则数年，期间匿名审稿人通常需要通过编辑与作者多次通信，才能决定一篇论文的命运。而张益唐的论文是如此激动人心，编辑认为他们等不起如此漫长的时间，于是对他的论文进行了“特殊对待”。他们请了筛法方面的大家Iwaniec教授与另一位匿名审稿人（可能是Goldston）来审核这篇论文，很快就有了回音。
两位审稿人都认为这篇文章没有明显的错误。实际上，评审报告中写着这样的评价：“论文的主要结果是第一流的”，“在素数分布领域的一个标志性的定理”。从论文寄出到审稿结束，仅仅花了三个星期的时间。
自此，消息不胫而走。在哈佛大学的丘成桐教授，知悉这个消息之后，很快邀请了张益唐来哈佛做关于他的工作的学术报告。消息很快在数学界与新闻界传开，张益唐几乎是一夜之间，从默默无闻变成举世知名。据说，他的妻子听说有记者要采访时，跟张益唐讲的第一件事，就是把发型整理一下。
作为励志故事，这个结尾再好不过了。
路漫漫其修远兮
当然，故事仍未结束。
在数学界中，对于久攻不下的问题，一旦有人打破一个缺口，其他人很快就会跟进，把缺口弄得更大。张益唐的结果也不例外。
在张益唐的论文中，他给出的结果是，存在无数对相邻素数，它们的差相差不过7000万。但这只是一个估计，并非张益唐的方法能得到的最好结果。在论文出炉后，一些数学家吃透了新方法，开始试着改进这个常数。
张益唐的论文在5月14号面世，两个星期后的5月28号，这个常数下降到了6000万。
仅仅过了两天的5月31号，下降到了4200万。
又过了三天的6月2号，则是1300万。
次日，500万。
6月5号，40万，连原来的百分之一都不到。
在笔者写下这行的今天，剩下的只有区区的25万。
这些结果，可以说是互联网的结晶。这样快的改进速度，对于仅仅依靠一年发行数次的期刊做研究的时代，完全是不可想象的。而在今天，数学家们在网上，你一言我一语，不停发布最新的思考和计算，以最高的速度，汇聚所有人的智慧，才能创造出如此奇观。
张益唐带来的影响不止于此。利用他的新方法，可以解决更多的问题。Pintz指出，从张益唐的工具出发，可以得知存在一个常数，使得对于每个连续偶数，都存在无穷对相邻的素数，它们的差是这些偶数之一。也就是说，Polignac的猜想，起码对于的偶数来说是正确的。所以，不仅素数本身难以捉摸，它们之间的差更是剧烈起伏不定。
实际上，大数学家Erd?s在1955年就猜测，相邻两对素数差的比值，可以要多大有多大，要多小有多小。而同样借助张益唐的工具，Pintz不仅证明了这个猜想，而且证明了比值之差以不低的速度趋向于两极分化。用他本人的话来说：在刚刚过去的几个月里，一系列十年前会被认为是科幻小说的定理都被证明了。
但孪生素数猜想本身又如何呢？我们知道，如果将张益唐论文中的常数从7000万改进到2，就相当于证明孪生素数猜想。既然现在数学家们将常数改进得如此的快，那么我们是否已经很接近最终的目标呢？
很遗憾，实际上还差很远。
张益唐的方法，本质上还是筛法，而筛法的一大问题，是所谓的“奇偶性问题”。简单来说，如果一个集合中所有数都只有奇数个素因子，那么用传统的筛法无法有效估计这个集合至少有多少元素。而素数组成的集合，恰好属于这种类型。
正因如此，当陈景润做出哥德巴赫猜想的突破性结果（1 + 2）时，他得到的评价是“榨干了筛法的最后一滴油”。因为如果只靠筛法，是无法证明哥德巴赫猜想的。（1 + 2）是筛法所能做到的最好结果。
但数学家们从不固步自封。要想打破“奇偶性问题”的诅咒，可以将合适的新手段引入传统筛法，籍此补上筛法的缺陷。张益唐的出发点——之前提到Goldston，Pintz和Yildirim的结果——正是这种新思路的成果。但对于孪生素数猜想而言，这些进展仍然远远不够。学界认为，虽然不能断定张益唐的方法，即使经过改进，是否仍然不能解决孪生素数猜想，但可能性似乎微乎其微。
但不能低估人类的才智。发明割圆术的刘徽，他对于无知的态度更适合我们：
敢不阙疑，以俟能言者！
参考资料：
Bounded gaps between primes, Yitang Zhang, Annals of Mathematics
Open question: The parity problem in sieve theory, Terence Tao,
Are there infinitely many twin primes?, D. A. Goldston,
关于相邻素数之差的笔记（张益唐及其他）, 木遥,
Polymath上常数改进的页面：
张益唐和北大数学78级, 汤涛, 数学文化,
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