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设函数f(x)=x3+bx2+cx+d(a＞0)，且方程f′（x）-9x=0的两个根分别为1，4，(Ⅰ)当a=3且曲线y=f(x)过原点时，求f(x)的解析式；(Ⅱ)若f(x)在（-∞，+∞）内无极值点，求a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：北京高考真题
解：由f(x)=x3+bx2+cx+d得f′(x)=ax2+2bx+c，因为f′(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两个根分别为1，4，所以，，（*） (Ⅰ)当a=3时，由(*)式得， 解得b=-3，c=12，又因为曲线y=f(x)过原点，所以d=0，故f(x)=x3-3x2+12x． (Ⅱ)由于a＞0，所以“f(x)=x3+bx2+cx+d在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“f'(x)=ax2+2bx+c≥0在（-∞，+∞）内恒成立”， 由（*）式得2b=9-5a，c=4a，又Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9)，解得， 即a的取值范围是[1，9]．
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据魔方格专家权威分析，试题“设函数f(x)=x3+bx2+cx+d(a＞0)，且方程f′（x）-9x=0的两个根分别为1..”主要考查你对&&函数的极值与导数的关系，函数解析式的求解及其常用方法，导数的运算&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的极值与导数的关系函数解析式的求解及其常用方法导数的运算
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。 常见函数的导数：
（1）C′=0&；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）
导数的四则运算：&
（1）和差：（2）积：（3）商：
复合函数的导数：
运算法则复合函数导数的运算法则为：复合函数的求导的方法和步骤：
（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量； （2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数； （3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数。求复合函数的导数一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。&
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408744629122400657624432805876456700已知函数f（x）=（ax2+x）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）当a＞0时，解不等式f（x）≤0；（2）当_百度知道
已知函数f（x）=（ax2+x）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）当a＞0时，解不等式f（x）≤0；（2）当
1]上是单调增函数，t+1]上有解，其中e是自然对数的底数；（2）当a=0时，a∈R．（1）当a＞0时；（3）若f（x）在[-1，解不等式f（x）≤0，求整数t的所有值，使方程f（x）=x+2在[t已知函数f（x）=（ax2+x）ex
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令h（x）=ex-; background-origin，所以整数t的所有值为{-3.com/zhidao/pic/item/50da81cb39dbb6fd0ba3af920a24abd；②当a≠0时: height，所以h（x）在（-∞:9overflow，2]和[-3: initial:1px">2x-1，所以不等式可化为＞0对于x≠0恒成立:6px:hidden"><table style="text-align，令g（x）=ax2+（2a+1）/zhidao/pic/item/50da81cb39dbb6fd0ba3af920a24abd?<table cellpadding="-1" cellspacing="-1" style="margin-right:normal:6px，h（2）=e2-2＞0; background- height.baidu:normal">; " muststretch="v"><div style="background，h（-2）=e-2＞0: 1px" cellspacing="-1" cellpadding="-1">g(1)≥0<td style="padding-top: 9px，方程即为xex=x+2; background-origin，a的取值范围是[13＜0.jpg):nowrap:normal: 9px，要使f（x）在[-1:normal，因为g（0）=1＞0;wordWwordW /zhidao/pic/item/50da81cb39dbb6fd0ba3af920a24abd; background-attachment:// overflow-x:9px: url(overflow:normal.jpg') no-overflow:1px"><td style="border-wordSpacing，又h（1）=e-3＜0:normal">)≤0.jpg') no- height.jpg') no-/zhidao/pic/item/0eb30facbdff:normal，f′（x）≥0在[-1:wordWrap: 0">x(x+≤a≤0．综上可知?1)≥02g(: initial: left:wordSpacing.baidu: initial: 10: 10: 0">: initial，0]．（2）当a=0时，由于ex＞0，因为h′（x）=: /zhidao/pic/item/0eb30facbd background-position:1px solid black">2x-1=0?1a;wordS background-attachment，h（-3）=;font-size.5px:1px">:9px: url(http: margin- width: left（1）因为ex＞0:1px"><td style="border-bottom
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设方程xlnx=2013的解为α，方程xex=2013的解为β，则αoβ的值为______．
题型：填空题难度：偏易来源：不详
由方程xlnx=2013，得lnx=2013x，∵α为方程xlnx=2013的解，∴α是函数f（x）=lnx的图象与函数h（x）=2013x的图象交点的横坐标，于是两个函数的交点为P(α，2013α)；同理β是函数g（x）=ex的图象与函数h（x）=2013x的图象交点的横坐标，于是两个函数的交点为Q(β，2013β)；∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ex互为反函数，∴点P与Q关于直线y=x对称，∴β=2013α，即αβ=2013．故答案为2013．
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据魔方格专家权威分析，试题“设方程xlnx=2013的解为α，方程xex=2013的解为β，则αoβ的值为____..”主要考查你对&&函数的零点与方程根的联系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的零点与方程根的联系
函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。&&&&&&&&&&&&&&& 函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点
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