一九九一年第一试一、选择题 本题共有 8 个小题，每小题都给出了（A）（B） 、 （C）（D）四个答案结论， 、 其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １． 设等式 a( x ? a) + a( y ? a) = x ? a ? a ? y 在实数范围内成立，其中 3 x 2 + xy ? y 2 的值是 x 2 ? xy + y 2
5 （D） ． 3a，x，y 是两两不同的实数，则（A）3 ；1 （B） ； 3（C）2；答（ ２． 如图，AB‖EF‖CD，已知 AB=20，CD=80，BC=100，那么 EF 的值是 （A） 10； （B）12； （C） 16； （D）18． 答（ ） ３． （A） 方程 x 2 ? x ? 1 = 0 的解是1± 5 ； 2 1± 5 ?1± 5 或 ； 2 2）（B）?1± 5 ； 2 ?1± 5 ． 2（C）（D） ±答（1 1）４． 是? 1 已知： x = (1991 n ? 1991 n ) （n 是自然数） ．那么 ( x ? 1 + x 2 ) n ，的值 2（Ａ） 1991?1 ； （Ｃ） (?1) n 1991 ；（Ｂ） ? 1991?1 ； （Ｄ） (?1) n 1991?1 ． 答（ ）５．若 1 × 2 × 3 × L × 99 × 100 = 12 n M ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ） ６． 若 a，c，d 是整数，b 是正整数，且满足 a + b = c ，b + c = d ，c + d = a ， 那么 a + b + c + d 的最大值是 （Ａ） ? 1 ； （Ｂ） ? 5 ； （Ｃ） 0 ； （Ｄ）１． 答（ ） ７． 如图，正方形 OPQR 内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分 别是 S1 = 1 ， S 2 = 3 和 S 3 = 1 ，那么，正方形 OPQR 的边长是 （Ａ） 2 ； （Ｂ） 3 ； （Ｃ）2 ； （Ｄ）3． 答（ ８． ）S2 = 3S 3 =1S1 = 1在锐角ΔABC 中， AC = 1 ， AB = c ，∠A = 60 o ，ΔABC 的外接圆半径 R ≤1 ； 21，则 1 （Ａ） & c & 2 ； 2 （C）c & 2；（Ｂ）0& c ≤ （D）c = 2．答（）答（）二、填空题 １．Ｅ是平行四边形 ABCD 中 BC 边的中点，AE 交对角线 BD 于 G，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形 ABCD 的面积是 ． ２．已知关于 x 的一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 没有实数解．甲由于看错了 二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两 2b + 3c 根为－１和４，那么， = 么 ． a( x + 1) m ( x + 1) p ?1 = 恒成立， xn xq3．设 m，n，p，q 为非负数，且对一切 x &０， 则( m 2 + 2n + p ) 2 q =．４．四边形 ABCD 中，∠ ABC = 135 o ，∠BCD = 120 o ，AB = 6 ，BC = 5 ? 3 ，CD = 6，则 AD =．120 o 135o第二试x + y， x － y， x y，x y四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y） ． 二、ΔABC 中，AB＜AC＜BC，D 点在 BC 上，E 点在 BA 的延长线上，且 BD＝BE＝AC，ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于 F 点（如图） ． 求证：BF＝AF＋CF，把相对的顶 三、将正方形 ABCD 分割为 n 2 个相等的小方格（n 是自然数） 点 A，C 染成红色，把 B，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜 色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．一九九二年第一试一.选择题 选择题本题共有 8 个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是 正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1.满足 a ? b + ab = 1 的非负整数 (a, b) 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2. 若 x0 是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的根 , 则判别式 ? = b 2 ? 4ac 与平方式 M = (2ax0 + b) 2 的关系是(A) ? & M (B) ? = M (C) ? & M ; (D)不确定.3.若 x 2 ? 13 x + 1 = 0 ,则 x 4 + x ?4 的个位数字是 (A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答()4.在半径为 1 的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于 1 且小于 2 ,则这个多边形的边数必为 (A)7;(B)6;(C)5;(D)4.答(5. 如图 , 正比例函数 y = x和y = ax(a & 0) 的图像与反比例函)数k (k & 0) 的图像分别相交于 A 点和 C 点.若 Rt?AOB 和 ?COD x 的面积分别为 S1 和 S2,则 S1 与 S2 的关系是 y= (A) S1 & S 2 (C) S1 & S 2 (B) S1 = S 2 (D)不确定答()6.在一个由 8 × 8 个方格组成的边长为 8 的正方形棋盘内放一个半径为 4 的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为 S1 ,把圆周经过的所有小 方格的圆内部分的面积之和记为 S 2 ,则(A)0; (B)1;S1 的整数部分是 S2(C)2; (D)3.答()7. 如 图 , 在 等 腰 梯 形 ABCD 中 , AB//CD, AB=2CD, ∠A = 60° ,又 E 是底边 AB 上一点,且 FE=FB=AC, FA=AB. 则 AE:EB 等于 (A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( )8.设 x1 , x 2 , x3 ,? ? ?, x9 均为正整数,且 x1 & x 2 & ? ? ? & x9 , x1 + x 2 + ? ? ? + x9 = 220 , 则 当 x1 + x 2 + x3 + x 4 + x5 的 值 最 大时, x9 ? x1 的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答()二.填空题 1.若一等腰三角形的底边上的高等于 18cm,腰上的中线等 15cm,则这个等腰 三角形的面积等于________________.2.若 x ≠ 0 ,则1+ x2 + x4 ? 1+ x4 的最大值是__________. x3.在 ?ABC 中, ∠C = 90 o , ∠A和∠B 的平分线相交于 P 点，又 PE⊥AB 于 E 点，若 BC = 2, AC = 3 ，则 AE ? EB =4.若 a, b 都是正实数，且.1 1 1 b a ? ? = 0 ，则 ( ) 3 + ( ) 3 = a b a+b a b.第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程 x 2 ? 6 x + a = 0 的两根，当 这样的三角形只有一个时，求 a 的取值范围. 二、如图，在 ?ABC 中， AB = AC , D 是底边 BC 上一点， E 是线段 AD 上一 点，且 ∠BED = 2∠CED = ∠A . 求证： BD = 2CD .三、某个信封上的两个邮政编码 M 和 N 均由 0，1，2，3，5，6 这六个不 同数字组成，现有四个编码如下： A：320651 B：105263 C：612305 D：316250 已知编码 A、B、C、D 各恰有两个数字的位置与 M 和 N 相同.D 恰有三个 数字的位置与 M 和 N 相同.试求：M 和 N.一九九三年 第一试一.选择题 选择题本题共有 8 个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个 是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1.多项式 x12 ? x 6 + 1 除以 x 2 ? 1 的余式是(A)1; (B)-1; (C) x ? 1 ; (D) x + 1 ; 2.对于命题 Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形. Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错. (A)Ⅰ,Ⅱ都对3.设 x 是实数, y = x ? 1 + x + 1 .下列四个结论: Ⅰ. y 没有最小值; Ⅱ.只有一个 x 使 y 取到最小值; Ⅲ.有有限多个 x (不止一个)使 y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个 x 使 y 取到最小值. 其中正确的是 (A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ4.实数 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 满足方程组? x1 + x 2 + x3 = a1 ; ?x + x + x = 3 4 2 ? 2 ? ? x3 + x 4 + x 5 = a3 ; ?x + x + x = 5 1 4 ? 4 ? x5 + x1 + x 2 = a 5 . ?其中 a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 是实常数,且 a1 & a 2 & a3 & a 4 & a5 ,则 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 的 大小顺序是 (A) x1 & x 2 & x3 & x 4 & x5 ; (C) x3 & x1 & x 4 & x 2 & x5 ; (B) x 4 & x 2 & x1 & x3 & x5 ; (D) x5 & x3 & x1 & x 4 & x 2 .5.不等式 x ? 1 & ( x ? 1) 2 & 3 x + 7 的整数解的个解(A)等于 4(B)小于 4(C)大于 5(D)等于 56.在 ?ABC 中, ∠A是钝角, O是垂心, AO = BC , 则 cos((A) ? ∠OBC + ∠OCB ) 的值是2 2(B)2 21 . 2(C)3 2(D) ?答(7.锐角三角 ABC 的三边是 a, b, c,它的外心到三边的距离分别 为 m, n, p,那么 m:n:p 等于 1 1 1 (A) : : ; (B) a : b : c a b c (C) cos A : cos B : cos C (D) sin A : sin B : sin C .)答(8. 3 3 (3)4 3 2 3 1 ?1 ? + ) 可以化简成 9 9 9(B) 3 3 (3 2 ? 1) (C) 3 2 ? 1 (D) 3 2 + 1(A) 3 3 (3 2 + 1) ;答()二.填空题 填空题1.当 x 变化时,分式3 x 2 +6 x + 5 的最小值是___________. 1 2 x + x +1 22.放有小球的 1993 个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有 7 个小球, 且每四个相邻的盒里共有 30 个小球,那么最右面的盒里有__________个小球. 3.若方程 ( x 2 ? 1)( x 2 ? 4) = k 有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则 k =____________. 4.锐角三角形 ABC 中, ∠A = 30° .以 BC 边为直径作圆,与 AB, AC 分别交于 D, E,连接 DE, 把三角形 ABC 分成三角形 ADE 与四边形 BDEC,设它们的面积分别为 S1, S2,则 S1:S2=___________.第二试一.设 H 是等腰三角形 ABC 垂心,在底边 BC 保持不变的情况下让顶点 A 至底 边 BC 的距离变小,这时乘积 S ?ABC ? S ?HBC 的值变小,变大,还是不变? 证明你的结论. 二. ?ABC 中, BC=5, AC=12, AB=13, 在边 AB ,AC 上分别取点D, E, 使线段 DE 将 ?ABC 分成面积相等的两部分.试求这样的线段 DE 的最小长 度.′ ′ 三.已知方程 x 2 +bx + c = 0及x 2 + cx + b = 0 分别各有两个整数根 x1 , x 2 及 x1 , x 2 , ′ 2 且 x1 x 2 & 0, x1 x ′ & 0 . ′ (1)求证: x1 & 0, x 2 & 0, x1 & 0, x ′ & 0; 2(2)求证: b ? 1 ≤ c ≤ b + 1 ;(3)求 b, c 所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题 年全国初中数学联赛试题 年全国初中数学联第一试 (4月3日上午8：30―9：30) 考生注意：本试共两道大题，满分80分 考生注意：本试共两道大题，满分 分. 选择题（本题满分48分 每小题6分 一、选择题（本题满分 分，每小题 分） 本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个 是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内， 每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写 在圆括号内） ，一律得0分.〔答〕( ) 2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z 2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a A．都不小于0 B．都不大于0 C．至少有一个小0于 D．至少有一个大于0 〔答〕( ) 3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余 三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则 AB的长 A．等于4 B．等于5 C．等于6 D．不能确定 〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001 D． 2001 -2 〔答〕( ) 5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD 相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角 A．4对B．8对 C．12对 D．16对 〔答〕( )〔答〕()7 ． 设 锐 角 三 角 形 ABC 的 三 条 高 AD ， BE ， CF 相 交 于 H 。 若 BC=a,AC=b,AB=c,则AH?AD+BH?BE+CH?CF的值是〔 ( )答〕A．1001 B． C． D．89 二、填空题（本题满分32分，每小题8分） 各小题只要求在所给横线上直接填写结果.〔答〕()3． 在△ABC中， 设AD是高， BE是角平分线， 若BC=6， CA=7， AB=8， 则DE=______. 4．把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两 两外切，若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个 大圆形纸片的最小半径等于______. 第二试 (4月3日上午10：00―11：30) 考生注意：本试共三道大题，满分60分 考生注意：本试共三道大题，满分 分. （本题满分 一、 本题满分 分） （本题满分20分 如图所示，在△ABC中，AB=AC.任意延长CA到P，再延长AB到Q， 使AP=BQ.求证： △ABC的外心O与A,P,Q四点共圆。（本题满分 分 二、 本题满分20分） （本题满分 周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证 明；若存在，请证明共有几个？ （本题满分 三、 本题满分 分） （本题满分20分 某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n(n=0,1,2,……,15)个题的 人数的一个统计. n 0 1 2 3 …… 12 13 14 15 做对n个题的人数 7 8 10 21 …… 15 6 3 1 如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做 对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了 多少人？ 1994年全国初中数学联赛参考答案 年全国初中数学联赛参考答案 第一试答案 一、选择题； 小题号 1 2 3 4 5 答案 A D B B D 二、填空题：6 C7 B8 C第二试提示及答案. 第二试提示及答案 一、连结OA，OC，OP，OQ.证明△OCP≌△OAQ，于是 ∠CPO=∠AQO，所以O，A，P，Q四点共圆.三、这个表至少统计了200人.1995年全国初中数学联赛试题 年全国初中数学联赛试题第一试 一、选择题 1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有［ ] A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜bD．a＜c＜bA．1 B．2 C．3 D．4 2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三 3．如果方程(x－1)(x 边之长，那么实数m的取值范围是4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆 ] 的周长为 ［ A．62π B．63π C．64π D．65π 5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M ＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则 [ ][A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定 6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则 ] A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0 二、填空题 1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且 OC2＝AC?BC，则∠CAB＝______．第二试 一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°， 点B在CE上， CA＝CB＝CD， 经A、 C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为△CDE的内心。二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数理由。三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的 自然数之和。1995年全国初中数学联赛参考答案 年全国初中数学联赛参考答案 第一试 一、选择题 1．讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指 数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有 c＝(53)11＝12511 ＜24311＝(35)11＝a ＜25611＝(44)11＝b。选C。 利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越 性。 2．讲解：这类方程是熟知的。先由第二个方程确定z＝1,进而可求出 两个解：(2，21，1)、(20，3，1)．也可以不解方程组直接判断：因为x≠y(否则不是正整数)，故方程组①或无解或有两个解， 对照选择支，选B。 3．讲解：显然，方程的一个根为1，另两根之和为x1＋x2＝2＞1。三 根能作为一个三角形的三边，须且只须｜x1－x2｜＜1又有0≤4－4m＜1．4．讲解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在 且唯一．又由 AB2＋AD2 ＝252＋602 ＝52×（52＋122） ＝52×132 ＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2 故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D． 5．讲解：此题的得分率最高，但并不表明此题最容易，因为有些考 生的理由是错误的．比如有的考生取AB为直径，则M＝N＝0，于是就选B．其实，这只能排除A、C，不能排除D． 不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B． 若过C、D、O分别作AB的垂线（图3） ，CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥ AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦 定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有 ｜CE－DF｜＝2OL．即M＝N．选B． 6．讲解：取a＝-1、b＝2可否定A、C、D，选B．一般地，对已知不 等式平方，有 ｜a｜(a＋b)＞a｜a＋b｜． 显然｜a｜｜(a＋b)｜＞0（若等于0，则与上式矛盾） ，有两边都只能取1或-1，故只有1＞-1，即有a＜0且a＋b＞0，从而b＞-a＞0．选B． 二、填空题 1．讲解：本题虽然以计算为载体，但首先要有试验观察的能力．经 计算12，22，…，102，知十位数字为奇数的只有42＝16，62＝36．然后， 对两位数10a＋b，有 （10a＋b）2＝20a（5a＋b)＋b2． 其十位数字为b2的十位数字加上一个偶数，故两位数的平方中，也 中有b＝4或6时，其十位数字才会为奇数，问题转化为，在1，2，…，95 中个位数出现了几次4或6，有2×9＋1＝19． 2.讲解：这类问题一般都先化简后代值，直接把a学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确，最后又不会将a2 ＋a作为整体代入． 这里关键是整体代入， 抓住这一点， 计算可以灵活． 比 如，由①有由②－①，得由③－②并将④代入，得还可由①得⑥÷⑤即得所求． 3．讲解：这个题目是将二次函数y＝x2－x与反比例函数因而x＝1时，y有最小值1． 4．讲解：此题由笔者提供，原题是求sin ∠CAB，让初中生用代数、几何相结合的方法求特殊角的三角函数值 sin75°、sin15°．解法如下：与AB2＝AB2＋AC2 ② 联立，可推出而式①、③表明，AB、AC是二次方程改为求∠CAB之后，思路更宽一些．如，由第二试 一、讲解：首先指出，本题有IMO29-5（1989年）的背景，该题是： 在直角△ABC中，斜边BC上的高，过△ABD的内心与△ACD的内心的直 线分别交边AB和AC于K和L，△ABC和△AKL的面积分别记为S和T．求 证S≥2T．在这个题目的证明中，要用到AK ＝AL＝AD． 今年的初中联赛题相当于反过来，先给出AK＝AL＝AD(斜边上的 ． 高)，再求证KL通过△ABD、△ADC的内心（图7） 其次指出，本题的证法很多，但思路主要有两个：其一，连FC、FD、 FE，然后证其中两个为相应的角平分线；其二是过F作三边的垂线，然后证明其中两条垂线段相等．下面是几个有代表性的证法． 证法1：如图6，连DF，则由已知，有连BD、CF，由CD＝CB，知 ∠FBD＝∠CBD－45° ＝∠CDB－45°＝∠FDB， 得FB＝FD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上， 从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是∠ECD的平分线． 由于F是△CDE上两条角平分线的交点，因而就是△CDE的内心． 证法2：同证法1，得出∠CDF＝45°＝90°－45°＝∠FDE之后， 由于∠ABC=∠FDE，故有B、E、D、F四点共圆．连EF，在证得 ∠FBD=∠FDB之后，立即有∠FED＝∠FBD＝∠FDB＝∠FEB，即EF是 ∠CED的平分线． 本来，点E的信息很少，证EF为角平分线应该是比较难的，但四点共 圆把许多已知信息集中并转移到E上来了，因而证法2并不比证法1复杂．由这个证明可知，F是△DCB的外心．证法4：如图8，只证CF为∠DCE的平分线．由∠AGC＝∠GBA＋∠ GAB＝45°＋∠2， ∠AGC=∠ADC=∠CAD=∠CAB+∠1 =45°+∠1 得∠1＝∠2． 从而∠DCF＝∠GCF， 得CF为∠DCE的平分线． 证法5：首先DF是∠CDE的平分线，故 △CDE的外心I在直线DF上． 现以CA为y轴、CB为x轴建立坐标系，并记CA＝CB＝CD＝d,则直线AB是一次函数 y＝-x＋d ① 的图象（图9） ．若记内心I的坐标为（x1，y1） ，则 x1＋y1＝CH＋IH ＝CH＋HB＝CB＝d 满足①，即I在直线AB上，但I在DF上，故I是AB与DF的交点．由交点的 唯一性知I就是F，从而证得F为Rt△CDE的内心． 还可延长ED交⊙O于P1，而CP为直径来证． 二、讲解：此题的原型由笔者提供．题目是：于第一象限内，纵坐标小于横 坐标的格点． 这个题目的实质是解不等式求正整数解．直接解，数字较繁．但有巧法，由及1≤y＜x， 知1＋2＋…＋(x－1)＜＋…＋x． 但＋…＋62＜＋…＋62＋63＝2016，得x＝63，从 而y＝21，所求的格点为(21，63)． 经过命题组的修改之后，数据更整齐且便于直接计算．有x2－x＋18≤10｜x｜． 当x≥0时，有x2－11x＋18≤0， 得2≤x≤9，代入二次函数，得合乎条件的4个整点：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9); 当x＜0时，有 x2＋9x＋18≤0， 得-6≤x≤-3，代入二次函数，得合乎条件的2个整点： (-6,6),(-3,3)．对x≥0，取x＝2,4,7,9,12,14,…顺次代入，得(2，2)、(4，3)、(7，6)、 (9，9)，且当x＞9时，由对x&0，取x＝-1,-3,-6,-8,…顺次代入，得(-3，3)、(-6，6)，且当x&-6 时，由知y&-x，再无满足y≤｜x｜的解． 故一共有6个整点，图示略． 解法3：先找满足条件y＝｜x｜的整点，即分别解方程 x2－11x＋18＝0 ① 2＋9x＋18＝0 ② x 可得(2，2)、(9，9)、(-6，6)、(-3，3)． 再找满足y＜｜x｜的整点，这时 2＜x＜9或-6＜x＜-3， 依次检验得(4，3)、(7，6)．故共有6个整点． 三、讲解：直观上可以这样看，当n＞6时，在2，3，…，n－2中，必有 一个数A与n互质(2≤A≤n－2)，记 B＝n－A≥2， 有n＝A＋B．此时，A与B必互质，否则A与B有公约数d＞1，则d也是n的约数，从 而A与n有大于1的公约数，与A、n互质矛盾． 但是，对于初中生来说，这个A的存在性有点抽象，下面分情况，把 它具体找出来． (1)当n为奇数时，有 n＝2＋(n－2)，(2)当n为偶数，但不是4的倍数时，有(3)当n为偶数，且又是4的倍数时，有1996年全国初中数学联赛试题 年全国初中数学联赛试题第一试 选择题（本题满分42分 每小题7分 一、选择题（本题满分 分，每小题 分）A．M＞NB．M=NC．M＜ND．不确定A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B 是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于 [ ]4．设x1、x2是二次方程x2+x?3=0的两个根，那么x13?4x22+19的值等 ] A．?4 B．8 C．6 D．0 5．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必 通过这个三角形的 [ ] A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 6．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的 正多边形的个数有 [ ] A．4个 B．8个 C．12个 D．24个 填空题（本题满分28分 每小题7分 二、填空题（本题满分 分，每小题 分） 于 [2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABN=∠MBC，BM=NM，BN=a， 则点N到边BC的距离等于______．3．设6y3=1997z3，xyz＞0，且4．如图，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至 AB＇C＇D＇的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是______．第二试 （本题满分 分 一、 本题满分20分） （本题满分 某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐 款总数与乙班的9个男人和n个女生的捐款总数相等，都是 (m?n+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每 人的捐款数． （本题满分 二、 本题满分 分） （本题满分25分 设凸四边形ABCD的对角线AC、 BD的交点为M， 过点M作AD的平行 线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心OM 为半径的圆上一点（位置如图所示） ，求证：∠OPF=∠OEP．（本题满分 分 三、 本题满分25分） （本题满分 已知a、b、c都是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交 点A、B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值．1996年全国初中数学联赛参考答案 年全国初中数学联赛参考答案 年全国初中数学联赛参 第一试 一、选择题 1．B 2．A 4．D 5．A 二、填空题3．B 6．C第二试 一、 据 题 意 m+11=n+9 ， 且 整 除 mn+9m+11n+145 ， 而 解 mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46，故m+11，n+9都整除46，由此得综上可知，每人捐款数为25元或47元． 二、 证 作AD、BO的延长线相交于G，∵OE三、 解 据题意，方程ax2+bx+c=0有两个相异根，都在(?1，0)中，故经检验，符合题意，∴a+b+c=11最小．一九九七年 第一试一.选择题 本题共有 6 小题,每一个小题都给出了以(A), (B), (C), (D)为代号的四个答案, 其中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内. 1.下述四个命题 (1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是 1; (2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; (3) a 2 的平方根是 ± (4)大于直角的角一定是钝角. (A)1 个 (B)2 个; 4 3+ 2 4 5? 3 (C)3 个; (D)4 个. 答( 2.已知 &x& ,那么满足上述不等式的整数 x 的个数是 答( (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( ) ) )3.若实数 a, b, c 满足 a 2 + b 2 + c 2 = 9 , 代数式 (a ? b) 2 + (b ? c) 2 + (c ? a ) 2 的最 大值是 (A)27(B)18; (C)15; (D)12.答( ) 4.给定平面上 n 个点,已知 1,2,4,8,16,32 都是其中两点之间的距离,那么点 数 n 的最小可能值是 (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( )5. 在 梯 形 ABCD 中 , AD = DC , ∠B = 30 0 , ∠C = 60 0 ,E,M,F,N 分 别 为AB,BC,CD,DA 的中点,已知 BC=7,MN=3,则 EF 之值为(A)4(B) 41 2(C)5;(D)6.答()6. 如 图 , 已 知 ∠A = ∠B ,AA1 , PP1 , BB1 均 垂 直 于A1 B1 , AA1 = 17 , PP = 16 , BB1 = 20 , A1 B1 = 12 ,则 AP+PB 等于 1（A）12；（B）13；（C）14；（D）15.答()二、填空题1.从等边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为 1,3,5, 则这个等边三角形的面积是 . 2.当 a 取遍 0 到 5 的所有实数值时,满足 3b = a (3a ? 8) 的整数 b 的个数是 . 3.若 a , b 满足 3 a + 5 b = 7 ,则 S = 2 2 ? 3 b 的取值范围是 4.若正整数 x, y 满足 x 2 + y 2 = 1997 ,则 x + y 等于___________. .第二试一.设 P 为等腰直角三角形 ACB 斜边 AB 上任意一点, PE 垂直 AC 于点 F, PF 垂直 BC 于点 F, PG 垂直 EF 于点 G, 延长 GP 并在其延长线上取一点 D, 使得 PD=PC,试证: BC⊥BD ,且 BC=BD.二.已知 a, b 为整数,且 a & b ,方程 3 x 2 + 3(a + b) x + 4ab = 0 的两个根 α , β 满足关系式α (α + 1) + β ( β + 1) = (α + 1)( β + 1)试求所有的整数点对( a, b ). 三.已知定理:“若三个大于 3 的质数, a, b, c 满足关系式 2a + 5b = c ,则 a + b + c 是整数 n 的倍数”.试问:上述定理中的整数 n 的最大可能值是多少?并证明你的结 论.1998 年全国数学联赛试卷一、选择题： （每小题 6 分，共 30 分） 1、已知 a、b、c 都是实数，并且 a & b & c ，那么下列式子中正确的是（ （Ａ） ab & bc （Ｂ） a + b & b + c （Ｃ） a ? b & b ? c （Ｄ） ）a b & c c）2、如果方程 x 2 + px + 1 = 0( p & 0 ) 的两根之差是 1，那么 p 的值为（ （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ） 3 （Ｄ） 53、在△ABC 中，已知 BD 和 CE 分别是两边上的中线，并且 BD⊥CE，BD=4，CE=6，那 么△ABC 的面积等于（ ） （Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18 4、已知 abc ≠ 0 ，并且a+b b+c c+a = = = p ，那么直线 y = px + p 一定通过第（ c a b）象限 （Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组 ??9 x ? a ≥ 0 的整数解仅为 1，2，3，那么适合这个不等式组的整数 a、b ?8 x ? b & 0） 的有序数对（a、b）共有（ （Ａ）17 个（Ｂ）64 个（Ｃ）72 个（Ｄ）81 个 二、填空题： （每小题 6 分，共 30 分） 6、在矩形 ABCD 中，已知两邻边 AD=12，AB=5，P 是 AD 边上任意一点，PE⊥BD，PF ⊥AC，E、F 分别是垂足，那么 PE+PF=___________。 7、已知直线 y = ?2 x + 3 与抛物线 y = x 2 相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于___________。 8、已知圆环内直径为 acm，外直径为 bcm，将 50 个这样的圆环一个接一个环套地连成一条 锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm。 9、已知方程 a 2 x 2 ? 3a 2 ? 8a x + 2a 2 ? 13a + 15 = 0 （其中 a 是非负整数） ，至少有一个整 数根，那么 a=___________。 10、B 船在 A 船的西偏北 450 处，两船相距 10 2 km，若 A 船向西航行，B 船同时向南航 行，且 B 船的速度为 A 船速度的 2 倍，那么 A、B 两船的最近距离是___________km。()三、解答题： （每小题 20 分，共 60 分） 11、如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=1，∠A=900，点 E 为腰 AC 中点，点 F 在底边 BC 上，且 FE⊥BE，求△ CEF 的面积。 12、设抛物线 y = x + (2a + 1)x + 2a +2A E5 的图象与 x 轴 4?6BFC只有一个交点， （1） a 的值； 求 （2） a + 323a 求18的值。13、A 市、B 市和 C 市有某种机器 10 台、10 台、8 台，现在决定把这些机器支援给 D 市 18 台，E 市 10 台。已知：从 A 市调运一台机器到 D 市、E 市的运费为 200 元和 800 元；从 B 市调运一台机器到 D 市、E 市的运费为 300 元和 700 元；从 C 市调运一台机器到 D 市、E 市的运费为 400 元和 500 元。 （1）设从 A 市、B 市各调 x 台到 D 市，当 28 台机器调运完毕后，求总运费 W（元）关于 x（台）的函数关系式，并求 W 的最大值和最小值。 （2）设从 A 市调 x 台到 D 市，B 市调 y 台到 D 市，当 28 台机器调运完毕后，用 x、y 表示 总运费 W（元） ，并求 W 的最大值和最小值。1998年全国初中数学联赛参考答案 年全国初中数学联赛参考答案 一、选择题 1．B 根据不等式性质． 2．D 由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x2为方程 的两根，那么有x1+x2=-p，x1x2=l．又由 (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2， 得l2=(-p)2-4．∴p2=5，3．C 如图连ED，又∵DE是△ABC两边中点连线．故选C． 4．B得 2(a+b+c)=p(a+b+c)． ∴有p=2或a+b+c=0． 当p=2时，y=2x+2．则直线通过第一、二、三象限． 当a+b+c=0时，不妨取a+b=-c，于是∴y=-x-1，则直线通过第二、三、四象限． 综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限，故选B． 5．C在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间，如下图∴a=1，2，3…9，共9个．∴b=3×8+1，3×8+2，3×8+3，…， 3×8+8．共8个． ∵9×8=72（个） ，故选C． 二、填空题6．解如图，过A作AG⊥BD于G，∵“等腰三角底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高” ． ∴PE+PF=AG． ∵AD=12，AB=5， ∴BD=13．7． 解如图， 直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1， B(-3， 1)，9)，作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1，∴S△OAB=S梯形AA-S -S 1B1B △AA1O △BB1O8．解如图，当圆环为3个时，链长为3a+故a可取1，3或5． 10．解 如图，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1，B1，设AA1=x，于是BB1=2x．∴A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|．三、解答题 11．解法1 过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D，∵∠ABE+∠AEB=90°， ∠CED+∠AEB=90°， ∴∠ABE=∠CED． 于是Rt△ABE∽△CED，又∠ECF=∠DCF=45°，所以，CF是∠DCE的平分线，点F到CE和 CD的距离相等．解法2作FH⊥CE于H，设FH=h．∵∠ABE+∠AEB=90°， ∠FEH+∠AEB=90°， ∴∠ABE=∠FEH． ∴Rt△EHF∽Rt△BAE．即EH=2h，又∵HC=FH，12．解(1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程(2)由(1)知，a2=a+1，反复利用此式可得 a4=(a+1)2=a2+2a+1=3a+2， a8=(3a+2)2=9a2+12a+4=21a+13， a16=(21a+13)2=441a2+546a+169 =987a+610． 18=(987a+610)(a+1)=987a2+84a+1597． a∵a2-a-1=0，∴64a2-64a-65=-1， 即 (8a+5)(8a-13)=-1．∴a18+323a-6=+323(-8a+13)=5796． 13．解(1)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分x，x， 18-2x，发往E市的机器台数分别为10-x，10-x，2x-10．于是 W=200x+300x+400(18-2x)+800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)=-800x+17200．∴5≤x≤9． ∴W=-800x+17200(5≤x≤9，x是整数) 由上式可知，W是随着x的增加而减少的，所以当x=9时，W取到最 小值10000元；当x=5时，W取到最大值13200元． (2)由题设知， A市、 B市、 C市发往D市的机器台数分别为x， 18-x-y， y， 发往E市的机器台数分别是10-x，10-y，x+y-10，于是 W=200x+800(10-x)+300y+700(10-y)+400(19-x-y)+500(x+y-10) =-500x-300y-17200∴W=-500x-300y+17200，W=-200x-300(x+y)+17200 ≥-200×10-300×18+． 当x=10，y=8时，W=9800．所以，W的最小值为9800． 又W=-200x-300(x+y)+17200 ≤-200×0-300×10+． 当x=0，y=10时，W=14200，所以，W的最大值为14200．1999 年全国初中数学联合竞赛试卷第一试 （4 月 4 日上午 8:30--9:30） 考生注意：本试两大题共 10 道小题，每题 7 分。全卷满分 70 分。 一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 本题共有 6 个小题，每小题都给出了（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其 中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每 小题选对得 7 分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号 内），一律得 0 分。1、计算的值是（ ）。（A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。 2、△ABC 的周长是 24，M 是 AB 的中点，MC＝MA＝5，则△ABC 的面积是（ ）。 （A）12；（B）16；（C）24；（D）30。 3、设 ，将一次函数 与 的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组的取值，使得下列 4 个图中的一个为正确的是（ ）。4、若函数 ，则当自变量 取 1、2、3、…、100 这 100 个自然数时，函数值的和是（ ）。 （A）540；（B）390；（C）194；（D）97。 5、如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB∥DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点 P 在线段 AD 上，则满足条件∠BPC＝90°的点 P 的个数为（ ）。（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于 3 的整数。 6、有下列三个命题：（甲）若 是不相等的无理数，则 是无理数；（乙）若是不相等的无理数，则是无理数；（丙）若是不相等的无理数，则是无理数。其中正确命题的个数是（ ）。（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。 二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分） 本题共有 4 道小题，要求直接把答案写在横线上。1、已知且，则＝________。2、如图，在△ABC 中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB 的平分线交 BC 于 M， △ABC 的外接圆的切线 AN 交 BC 的延长线于 N，则△ANM 的最小角等于________。3、已知为整数，且满足，则＝________。 4、在正方形 ABCD 中，N 是 DC 的中点，M 是 AD 上异于 D 的点，且∠NMB＝∠MBC， 则 tg∠ABM＝________。=============== =============== =============== 第二试 （4 月 4 日上午 10:00--11:30） 考生注意：本试三大题，第一题 20 分，第二、三题各 25 分，全卷满分 70 分。 一、（本题满分 20 分） 某班参加一次智力竞赛，共 中题 满分 20 分，题 、题 三题，每题或者得满分或者得 0 分。其 满分分别为 25 分。竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有 1 人，答对其中两道题的有 15 人，答对题 与答对题 答对题 的人数之和为 29，答对题 的人数与答对题 的人数与答对题的人数的人数之和为 25，的人数之和为 20，问这个班的平均成绩是多少分？二、（本题满分 25 分） 如图，设△ABC 是直角三角形，点 D 在斜边 BC 上，BD＝4DC。已知圆过点 C 且与 AC 相交于 F，与 AN 相切于 AB 的中点 G。求证：AD⊥BF。三、（本题满分 25 分）已知 和为整数，方程的两根都大于－1 且小于 0，求的值。 =============== =============== =============== 第一试参考答案一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 本题共有 6 个小题，每小题都给出了（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其 中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每 小题选对得 7 分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号 内），一律得 0 分。1、计算的值是（ D ）。（A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。解：原式＝。2、△ABC 的周长是 24，M 是 AB 的中点，MC＝MA＝5，则△ABC 的面积是（ C ）。 （A）12；（B）16；（C）24；（D）30。 解：∵MA＝MB＝MC＝5，∴∠ACB＝90°，已知周长是 24，则 AC＋BC＝14，AC ＋BC2＝102。∴2AC×BC＝（AC＋BC）2－（AC2＋BC2）＝142－102＝4×24。2∴。3、设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组的取值，使得下列 4 个图中的一个为正确的是（ B ）。解：由方程组的解知两直线的交点为，而图 A 中交点横坐标是负数，故图 A 不对；图 C 中交点横坐标是 2≠1，故图 C 不对；图 D 中 交点纵坐标是大于 ，小于 的数，不等于 ，故图 D 不对；故选 B。4、若函数 ，则当自变量 1、2、3、…、100 这 100 个自然数时，函数值的和是（ B ）。 （A）540；（B）390；（C）194；（D）97。取解：当 。∴当自变量时， 取 2、3、…、98时，函数值都为 0。而当取 1、99、100 时， ，故所求的和为：。 5、如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB∥DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点 P 在线段 AD 上，则满足条件∠BPC＝90°的点 P 的个数为（ C ）。（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于 3 的整数。 解：AD 的中点 M 对 BC 张成 90°角，又在 AD 上取点 N 使 AN＝998，则 ND＝1001。 由△ABN 和△DCN 都为等腰三角形推知∠BNC＝90°，注意到以 BC 为直径的圆与 AD 至多有两个交点，可知所求点的个数为 2。 6、有下列三个命题：（甲）若 是不相等的无理数，则 是无理数；（乙）若是不相等的无理数，则是无理数；（丙）若是不相等的无理数，则是无理数。其中正确命题的个数是（ A ）。（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。解： ， ，则，只要令 为有理数，故（甲）不对；又若令，，则为有理数，故（乙）不对；又若令 为有理数，故（丙）不对；故正确命，则 题个数是 0，应选（A）。二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分） 本题共有 4 道小题，要求直接把答案写在横线上。1、已知且，则＝ 2 。解：，即 ， ， ，，，。2、如图，在△ABC 中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB 的平分线交 BC 于 M， △ABC 的外接圆的切线 AN 交 BC 的延长线于 N，则△ANM 的最小角等于 44° 。解：∵∠B＝36°，∠ACB＝128°，AM 为∠CAB 的平分线，∴∠CAM＝∠MAB＝， ∵∠AMC＝44°。 AN 为切线， 又 ∴∠NAC＝∠B ＝36°，∠NAM＝44°，∴∠N＝180°－44°－44°＝92°，∴△ANM 的最小角 为 44°。3、已知为整数，且满足，则＝ 3 。解：左边＝ 数，且不相等，，即， 只可能取值 或，而为整。不妨设，则，或，∵（2）无整数解，由（1）得，。4、在正方形 ABCD 中，N 是 DC 的中点，M 是 AD 上异于 D 的点，且∠NMB＝∠MBC，则 tg∠ABM＝。解：延长 MN 交 BC 的延长线于 T，设 MB 的中点为 O，连 TO，则△BAM∽△TOB， ∴，即 AM＝ （1）式得 ，BM＝。令 DN＝1，CT＝MD＝/，BT＝，则 ，代入，注意到，解得。 =============== =============== =============== 第二试参考答案 一、（本题满分 20 分） 某班参加一次智力竞赛，共 中题 满分 20 分，题 、题 三题，每题或者得满分或者得 0 分。其 满分分别为 25 分。竞赛结果，每个学生至少答 的人数对了一题，三题全答对的有 1 人，答对其中两道题的有 15 人，答对题 与答对题 答对题 的人数之和为 29，答对题 的人数与答对题 的人数与答对题的人数之和为 25，的人数之和为 20，问这个班的平均成绩是多少分？解：设分别表示答对题、题、题的人数，则有， ， ，∴答对一题的人数 为 37－1×3－2×15＝4，全班人数为 1＋4＋15＝20，∴平均成绩为。 答：班平均成绩为 42 分。二、（本题满分 25 分） 如图，设△ABC 是直角三角形，点 D 在斜边 BC 上，BD＝4DC。已知圆过点 C 且与 AC 相交于 F，与 AN 相切于 AB 的中点 G。求证：AD⊥BF。证： DE⊥AC 于 E， AC＝ 作 则AE， AG＝ED。 由切割线定理有： 2＝AF?AC， AG∴ ED2＝AF? AE，∴5ED2＝AF?AE，∴AB?ED＝AF?AE，∴ ， ∴△BAF∽△AED，∴∠ABF＝∠EAD，而∠EAD＋∠DAB＝90°，∴∠ABF＋∠DAB ＝90°，∴AD⊥BF。 三、（本题满分 25 分）已知 和为整数，方程的两根都大于－1 且小于 0，求的值。解：根据函数 ，∴的图象和题设条件知：当 …①；当 时，时， ，∴ ∴…②。抛物线顶点的横坐标 …③。满足，∵，即，∴ ，若…④，由①、③、④得 ，则由②、④得 且 ，得；若，则且，无整数解；若，则且，无整数解；若，则且，无整数解；故所求的值为2000 年全国初中数学联合竞赛试卷第一试（4 月 2 日上午 8:30----9:30） 一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）1、计算的值是（ ）。（A）1；（B）；（C）；（D）5。2、若，则的值是（ ）。（A）；（B）；（C）5；（D）6。3、设 是不相等的任意正数，又 个数一定（ ）。，则这两（A）都不大于 2；（B）都不小于 2；（C）至少有 1 个大于 2；（D）至少有 1 个小于 2。4、正整数 过小于 100，并满足等式 有（ ）。，其中表示不超的最大整数，这样的正整数（A）2 个；（B）3 个；（C）12 个；（D）16 个。 5、已知一个梯形的四条边的长分别为 1、2、3、4，则此梯形的面积等于（ ）。（A）4；（B）6；（C）；（D）。6、已知 ABCD 是一个半径为 R 的圆的内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长 AB 和 DC，它们相交于 P 且 BP＝8，∠APD＝60°，则 R 等于（ ）。（A）10；（B）；（C）；（D）14。二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分）1、是正数， 并且抛物线和都与轴有公共点，则的最小值是________。2、某果品店组合销售水果，甲种搭配：2 千克 A 水果，4 千克 B 水果；乙种搭配： 3 千克 A 水果，8 千克 B 水果，1 千克 C 水果；丙种搭配：2 千克 A 水果，6 千克 B 水果，l 千克 C 水果。A 水果价格每千克 2 元，B 水果价格每千克 1.2 元，C 水 果价格每千克 10 元。某天该店销售三种搭配共得 441.2 元，其中 A 水果的销售 额为 116 元，则 C 水果的销售额为________元。3、实数 ________。满足和，则4、设正三角形 ABC 的边长为 2，M 是 AB 边上的中点，P 是边 BC 上的任意一点， PA＋PM 的最大值和最小值分别记为 和 ，则 ________。第二试（4 月 2 日上午 10:30----11:30） 一、（本题满分 20 分）设 点是实数， 二次函数 。的图象与轴有两个不同的交（1）求证：；（2）若间的距离不超过，求的最大值。二、（本题满分 25 分） EFGH 是正方形 ABCD 的内接四边形，两条对角线 EG 和 FH 所夹的锐角为 θ， 且∠BEG 与∠CFH 都是锐角。已知 EG＝ ，FH＝ ，四边形 EFGH 的面积为 。（1）求证：；（2）试用表示正方形 ABCD 的面积。三、（本题满分 25 分）设关于的二次方程 的值。的两根都是整数，求满足条件的所有实数=============== =============== =============== 第一试试题答案 一、1、（C）；2、（A）；3、（C）；4、（D）；5、（D）；6、（B）。二、1、20；2、150；3、4；4、。第二试部分试题答案三、。2001 年全国初中数学联赛一、选择题（每小题 7 分，共 42 分） 1、 b， 为有理数， a， c 且等式 a + b 2 + c 3 = 5 + 2 6 成立， 2a+999b+1001c 则 的值是（ ） （A） 1999（B）2000（C）2001（D）不能确定 2、若 ab ≠ 1 ，且有 5a2+ 及 9b 2 + 2001b + 5 = 0 ，则 a 的值是（b）（A） 9 （B） 5 （C） ? 2001 （D） ? 20015 9 5 93、已知在△ABC 中，∠ACB=90 ，∠ABC=150，BC=1，则 AC 的长为（ （A） 2 + 3 （B） 2 ? 3 （C） 0 ? 3 （D） 3 ? 20）4、如图，在△ABC 中，D 是边 AC 上的一点，下面四种情况中，△ABD∽ △ACB 不一定成立的情况是（ ） （A） AD ? BC = AB ? BD （C）∠ABD=∠ACB （B） AB 2 = AD ? AC （D） AB ? BC = AC ? BD2a2 5、①在实数范围内，一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的根为 x = ? b ± b ? 4ac ；②在△ABC 中，若 AC 2 + BC 2 & AB 2 ，则△ABC 是锐角三角形；③在△ABC 和?A1 B1C1 中，a，b，c 分别为△ABC 的三边， a1 , b1 , c1 分别为 ?A1 B1C1 的三边，若 a & a1 , b & b1 , c & c1 ，则△ABC 的面积 S 大于 ?A1 B1C1 的面积 S1 。以上三个命题中，假命题的个数是（ ） （A）0（B）1（C）2（D）3 6、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过 200 元，则不予折 扣；②如一次购物超过 200 元但不超过 500 元的，按标价给予九折优惠；③如一 次购物超过 500 元的，其中 500 元按第②条给予优惠，超过 500 元的部分则给予 八折优惠。某人两次去购物，分别付款 168 元和 423 元；如果他只去一次购物同 ） 样的商品，则应付款是（ （A）522.8 元（B）510.4 元（C）560.4 元（D）472.8 二、填空题（每小题 7 分，共 28 分） 1、 已知点 P 在直角坐标系中的坐标为 （0， ， 为坐标原点， 1） O ∠QPO=1500， 且 P 到 Q 的距离为 2，则 Q 的坐标为 。 2、已知半径分别为 1 和 2 的两个圆外切于点 P，则点 P 到两圆外公切线的 距离为 。 3 、 已 知 x, y 是 正 整 数 ， 并 且 xy + x + y = 23, x 2 y + xy 2 = 120 ， 则x2 + y2 =。4、一个正整数，若分别加上 100 和 168，则可得到两个完全平方数，这个 正整数为 。 三、解答题（共 70 分） 1、 在直角坐标系中有三点 A （0， ， （1， ， （2， ； 1） B 3） C 6） 已知直线 y = ax + b 上横坐标为 0、1、2 的点分别为 D、E、F。试求 a, b 的值使得 AD2+BE2+CF2 达 到最大值。 （20 分）（1） 证明：若 x 取任意整数时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 总取整数值，那么2a, a ? b, c 都是整数；（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论。 （25 分） 3、 如图， E 是△ABC 边 BC 上的两点， 是 BC 延长线上的一点， D， F ∠DAE= ∠CAF。 （1）判断△ABD 的外接圆与△AEC 的外接圆的位置关系，并证明你的 结论； （2）若△ABD 的外接圆的半径的 2 倍，BC=6，AB=4，求 BE 的长。F A B D E CA E θ O FHDG CB解答题： 1、如图，EFGH 是正方形 ABCD 的内接四边形，两条对角线 EG 和 FH 所 夹的锐 角为θ，且∠BEG 与∠CFH 都是锐角。已知 EG=k，FH= l ，四边形 EFGH 的面 积为 S。 （1）求证：sinθ= 2S ；kl（2）试用 k , l , S 来表示正方形的面积。 2、求 所 有 的 正 整 数 a ， b ， c ， 使 得 关 于 x 的 方 程 x 2 ? 3ax + 2b = 0 ，x 2 ? 3bx + 2c = 0 ， x 2 ? 3cx + 2a = 0 的所有的根都是正整数。3、在锐角△ABC 中，AD⊥BC，D 为垂足，DE⊥AC，E 为垂足，DF⊥AB， F 为垂足。O 为△ABC 的外心。 求证： （1）△AEF∽△ABC； （2）AO⊥EF 4、如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，直线 l 平行于 BD，且与 AB、DC、BC、AD 及 AC 的延长线分别相交于点 M、N、R、S 和 P。 求证：PM ? PN＝PR ? PSA B O C DlM N P R S2002 年全国初中数学联合竞赛试卷（2002 年 4 月 21 日 8：30―10：30） 一、选择题（本题 42 分，每小题 7 分） 1、已知 a= 2 -1，b=2 2 - 6 ，c= 6 -2，那么 a，b，c 的大小关系是（ (A) a&b&c (B) b&a&c (C) c&b&a (D)c&a&b ）2、若 m2=n+2，n2=m+2(m≠n)，则 m3-2mn+n3 的值为（ ） (A) 1 (B)0 (C)-1 (D)-2 3、已知二次函数的图象如图所示，并设 M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|，则（ ） (A)M&0 (B)M＝0 (C)M &0 (D)不能确定 M 为正、为负或为 0 4、直角三角形ＡBC 的面积为 120，且∠BAC=90?，AD 是斜边上的中线，过 D 作 DE⊥AB 于 E，连 CE 交 AD 于 F，则△AFE 的面积为（ ） (A)18 (B)20 (C)22 (D)24 5、圆 O1 与 O2 圆外切于点 A，两圆的一条外公切线与圆 O1 相切于点 B，若 AB 与两圆的另 一条外公切线平行，则圆 O1 与圆 O2 的半径之比为（ ） (A)2：5 (B)1：2 (C)1：3 (D)2：3 6、如果对于不小于 8 的自然数 n，当 3n+1 是一个完全平方数是，n+1 都能表示成个 k 完全 平方数的和，那么 k 的最小值为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 yO1 -1 O 1 x BAO2二、填空题（每小题 7 分，共 28 分） 1、已知 a&0，ab&0，化简，1 = |a ?b?3 2 |?|b?a + 3 |.2、如图，7 根圆形筷子的横截面圆的半径均为 r，则捆扎这 7 根筷子一周的绳子和长度为 3、甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有 8 元和 9 元， 若两人购买商品一共花费了 172 元， 则其中单价为 9 元的商品有 件。 4、设 N=23x+92y 为完全平方数，且不超过 2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y） 共有 对。三、 （本题满分 70 分） 1、 （本题满分 20 分）a+b=8 ? 已知：a ，b，c 三数满足方程组 ? ，试求方程 bx2+cx-a=0 的根。 ab ? c 2 + 8 3c = 48 ?2、 （本题满分 25 分） 如图，等腰三角形 ABC 中，P 为底边 BC 上任意点，过 P 作两腰的平行线分别与 AB， AC 相交于 Q，R 两点，又 P`的对称点，证明：P'在△ABC 的外接圆上。A P' RQ C B P 3、 （本题满分 25 分） 试确定一切有理数 r，使得关于 x 的方程 rx2+(r+2)x+r-1=0 有且只有整数根。 参考答案 一、BDCBCC 二、1、3 2+ 3 152、 2( π + 6) r3、124、27三、1、由方程组得：a、b 是方程 x2-8x+c2- 8 2 c+48=0 的两根 △=-4(c- 8 2 )2≥0，c=4 2 所以原方程为 x2+ 2 x-1=0 a=b=4? 2+ 6 ? 2? 6 ，x2= 2 2 2、连结 BP'、P'R、P'C、P'P （1）证四边形 APPQ 为平行四边形 （2）证点 A、R、Q、P'共圆 （3）证△BP'Q 和△P'RC 为等腰三角形 （4）证∠P'BA=∠ACP'，原题得证x1=3、 （1）若 r=0，x=1 ，原方程无整数根 2 r+2 r ?1 （2）当 r≠0 时，x1+x2= ? x 1x 2= r r 消去 r 得：4x1x2-2(x1+x2)+1=7 得(2x1-1)(2x2-1)=7 1 由 x1、x2 是整数得：r= ? ，r=1 32003 年全国初中数学联合竞赛试卷第一试（4 月 13 日上午 8:30―9:30）一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1. 2 3 ? 2 2 + 17 ? 12 2 等于 A. 5 ? 4 2 B. 4 2 ? 1 C.5 D.1 2.在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是 A.0 B.1 C.3 D.53.若函数 y = kx ( k & 0 ) 与函数 △ABC 的面积为 A.1 B.2 C.k D. k 2 4.满足等式 x A.1 B.2 C.3y=1 x 的图象相交于A，C 两点，AB 垂直 x 轴于 B，则y + x y ? 2003 x ? 2003 y + 2003xy = 2003 的正整数对 ( x，y ) 的个数是D.4AD = 1 AB 35.设△ABC 的面积为 1，D 是边 AB 上一点，且 使四边形 DECB 的面积为 4 ，则 EA 的值为1 1 1 1 3 CE．若在边 AC 上取一点 E，B. 3 C. 4 D. 5 A. 2 6.如图， □ABCD 中， A， C 三点的圆交 AD 于 E， 在 过 B， 且与 CD 相切． AB=4， 若 D BE=5，则 DE 的长为15 16CA.3 B.4 C. 4 D. 5 E 二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分） 2 1.抛物线 y = ax + bx + c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C．若△ABC 是直角 三角形，则 ac=__________． 2. 设 m 是 整 数 ， 且 方 程 3 x 2 + mx ? 2 = 0 的 两 根 都 大 于 5 而 小 于 7 ， 则 m=____________． 3.如图， AA ' ， BB ' 分别是∠EAB，∠DBC 的平分线．若 AA ' = BB ' = AB ，则∠BAC B' 的度数为_____________．C E A B D?9 3ABA'4.已知正整数 a，b 之差为 120，它们的最小公倍数是其最大公约数的 105 倍，那 么 a，b 中较大的数是_________．2003 年全国初中数学联合竞赛试卷第二试（A） 月 13 日上午 10:00―11:30） （4考生注意：本试三大题，第一题 20 分，第二、三题各 25 分，全卷满分 70 分． 一、 （本题满分 20 分） 试求出这样的四位数， 它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平 方，恰好等于这个四位数． 二、 （本题满分 25 分） 在△ABC 中，D 为 AB 的中点，分别延长 CA，CB 到点 E，F，使 DE=DF；过 E， F 分别作 CA，CB 的垂线，相交于 P．设线段 PA，PB 的中点分别为 M，N． 求证：⑴△DEM≌△DFN；⑵∠PAE=∠PBF． 三、 （本题满分 25 分） 已知实数 a，b，c，d 互不相等，且a+1 =b+1 =c+ 1 =d + 1 = x b c d a ，试求x 的值．2003 年全国初中数学联合竞赛试卷第二试（B） 月 13 日上午 10:00―11:30） （4考生注意：本试三大题，第一题 20 分，第二、三题各 25 分，全卷满分 70 分． 一、 （本题满分 20 分） 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方， 恰好等于这个四位数． 二、 （本题满分 25 分） 在△ABC 中，D 为 AB 的中点，分别延长 CA，CB 到点 E，F，使 DE=DF；过 E， F 分别作 CA，CB 的垂线，相交于 P．求证：∠PAE=∠PBF． 三、 （本题满分 25 分） 已知四边形 ABCD 的面积为 32，AB，CD，AC 的长都是整数，且它们的和为 16． ⑴这样的四边形有几个？ ⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值．2003 年全国初中数学联合竞赛试卷第二试（C） （4 月 13 日上午 10:00―11:30）考生注意：本试三大题，第一题 20 分，第二、三题各 25 分，全卷满分 70 分． 一、 （本题满分 20 分）c d a 已知实数 a，b，c，d 互不相等，且 b ，试求 x 的值． 二、 （本题满分 25 分） 在△ABC 中，D 为 AB 的中点，分别延长 AC，BC 到点 E，F，使 DE=DF；过 E， F 分别作 AC，BC 的垂线，相交于 P．求证：∠PAE=∠PBF． 三、 （本题满分 25 分） 已知四边形 ABCD 的面积为 32，AB，CD，AC 的长都是整数，且它们的和为 16． ⑴这样的四边形有几个？ ⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值． a+1 =b+1 =c+ 1 =d + 1 = x2004 年全国初中数学联合数学竞赛试题第一试一．选择题a2 b2 c2 + + 的值是（ 1．已知 abc≠0，且 a+b+c=0, 则代数式 bc ca ab）(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 2 2．已知 p,q 均为质数，且满足 5p +3q=59，则以 p+3,1-p+q,2p+q-4 为边长的三角形是 （ ） (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形 3． 一个三角形的边长分别为 a,a,b，另一个三角形的边长分别为 b,b,a，其中 a&b，若两个 三角形的最小内角相等，则a 的值等于（ b(C)）(A)3 +1 2(B)5 +1 23+2 2(D)5+2 2） ）4．过点 P(-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为 5，这样的直线可以作（ (A) 4 条 (B) 3 条 (C) 2 条 (D) 1 条 2 2 5． 已知 b -4ac 是一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的一个实数根， ab 的取值范围为 则 （ (A) ab ≥1 8(B) ab ≤1 8(C) ab ≥1 4(D) ab ≤1 46．如图，在 2×3 矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直 角三角形的个数为（ ） (A) 24 (B) 38 (C) 46 (D) 50D CN P A B二．填空题 1．计算1 1 1 1 + + +L + = 1+ 2 2+ 3 3+ 4 2003 + 2004BN = NC.2．如图 ABCD 是边长为 a 的正方形，以 D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半 圆交于另一点 P，延长 AP 交 BC 于点 N，则 .3．实数 a,b 满足 a3+b3+3ab=1,，则 a+b= . 4．设 m 是不能表示为三个合数之和的最大整数，则 m=.第二试一． 已知方程 x -6x-4n -32n=0 的根都是整数，求整数 n 的值。 二． （A） 已知如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC, 以两腰 AB,CD 为一边分别向两边作正方形 ABGE 和 DCHF，设线段 AD 的垂直平分线 l 交线段 EF 于点 M，EP⊥l 于 P，FQ⊥l 于 Q。 求证：EP=FQ2 2l E M Q A G H B C D P F二． （B） 已知如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC, 以两腰 AB,CD 为一边分别向两边作正方形 ABGE 和 DCHF，设线段 AD 的垂直平分线 l 交线段 EF 于点 M。 求证：M 为 EF 的中点。l E M F A GG A D H B C E M FDH B C二． （C）已知如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC, 以两腰 AB,CD 为一边分别向两边作正方 形 ABGE 和 DCHF， 连接 EF，设线段 EF 的中点为 M。 求证：MA=MD。 三． 已知点 A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2)为抛物线 y＝x2 上位于三角形 ABC 内（包括边 界）的一动点，BP 所在的直线交 AC 于 E， CP 所在的直线交 AB 于 F。将 量 t 的函数。 参考答案： 参考答案： 一试 一．ＡＢＢＣＢＤ 二．1． 2 501 ? 1 2．BF 表示为自变 CE1 23．1 或-24．17二试 一． -18，-8，0，10二． （略）三．t 2 + 2t + 5 (?1 ≤ t ≤ 1) t 2 ? 2t + 52005 年全国初中数学联赛初赛试卷3 月 25 日下午 2：30－4:30 或 3 月 26 日上午 9：00－11：30 学校___________ 题 得 号 分 一 考生姓名___________ 二 三 四 五 合 计评卷人 复核人 一、选择题（每小题 7 分，共计 42 分） 1、若 a、b 为实数，则下列命题中正确的是（ ） 2 2 2 2 （A）a＞b ? a ＞b (B)a≠b ? a ≠b (C)|a|＞b ? a2＞b2 (D)a＞|b| ? a2＞b2 2、已知：a+b+c=3,a2+b2+c2=3,则 a+c2005 的值是（ ） 2005 (D)3?22005 （A） 0 (B) 3 (C) 2 3、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六 边形， （如图） ，如果缝制好的这种足球黑皮有 12 块，则白皮有（ ）块。 (A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22 4、在 Rt△ABC 中，斜边 AB=5，而直角边 BC、AC 之长是一元二次方程 x －(2m－1)x+4(m －1)=0 的两根，则 m 的值是（ ） （A）4 （B）－1 （C）4 或－1 （D）－4 或 1 5、在直角坐标系中， 横坐标都是整数的点称为整点，设 k 为整数， 当直线 y=x－3 与 y=kx+k 的交点为整数时，k 的值可以取（ ） （A）2 个 （B）4 个 （C）6 个 （D）8 个 2 ） 6、如图，直线 x=1 是二次函数 y=ax +bx+c 的图像的对称轴，则有（ （A）a+b+c=0 （B）b＞a+c （C）c＞2b （D）abc＜0 二、填空题 （每小题 7 分，共计 28 分） 1、已知：x 为非零实数，且 x + x1 2 ? 1 22x2 +1 = a, 则 =_____________。 x2 22、已知 a 为实数，且使关于 x 的二次方程 x +a x+a = 0 有实根，则该方程的根 x 所能取到 的最大值是_______________________. 3、p 是⊙o 的直径 AB 的延长线上一点，PC 与⊙o 相切于点 C，∠APC 的角平分线交 AC 于 Q，则 则∠PQC = _________. 4、对于一个自然数 n，如果能找到自然数 a 和 b，使 n=a+b+ab,则称 n 为一个“好数” ， 例如： 3=1+1+1×1，则 3 是一个“好数” ，在 1~20 这 20 个自然数中， “好数”共有__________个。 三、 （本题满分 20 分）设 A、B 是抛物线 y=2x +4x－2 上的点，原点位于线段 AB 的中点处。 试求 A、B 两点的坐标。2过 四、 （本题满分 25 分） 如图，AB 是⊙o 的直径，AB=d， A 作⊙o 的切线并在其上取一点 C， 使 AC=AB，连结 OC 叫⊙o 于点 D，BD 的延长线交 AC 于 E，求 AE 的长。 BO D A E C五、 （本题满分 25 分）设 x = a+b－c ,y = a+c－b ,z = b+c－a ,其中 a、b、c 是待定的质 数，如果 x = y , z ?2y = 2,试求积 abc 的所有可能的值。2005 年全国初中数学联赛初赛试题参考解答及评分标准一、选择题（每小题 7 分，共计 42 分） 1、D 2、B 3、C 4、A 二、填空题 （每小题 7 分，共计 28 分） 1、 a －2235、C6、C2、2 23、 45°4、 12三、解：∵原点是线段 AB 的中点 ? 点 A 和点 B 关于原点对称 设点 A 的坐标为 （a， ， b） 则点 B 的坐标为 （Da， Db） ……………………………… 5分 又 A、B 是抛物线上的点，分别将它们的坐标代入抛物线解析式，得： b = 2a +4a－2 ………………………………………………………………… …10 分 －b = 2a －4a－2 解之得： a = 1 , b = 4 或者 a = －1 ,b = －4…………………………………………………… 15 分 故 A 为（1，4） 为（－1，－4） 或者 A（－1，－4） ，B ，B（1，4）.……………………… 20 分 四、解：如图连结 AD，则∠1=∠2=∠3=∠4 ∴ΔCDE∽ΔCAD ∴ B 2 ………………5 分 O 1 ② ………………10 分 A 3 D 4 E C2 2T ? 1 T + 1 CD CA ? = 2 2 DE AD AE AB = DE AD①又∵ΔADE∽ΔBDA ∴由①、②及 AB=AC，可得 AE=CD …………15 分 又由ΔCDE∽ΔCAD 可得CD CE 2 2 = ，即 AE =CD =CE CA …………20 分 CA CD2设 AE=x，则 CE=d－x ，于是 x =d(d－x) 即有 AE = x =5 ?1 d 2（负值已舍去）…………………………25 分五、解：∵a+b－c=x, ∴a=a+c－b=y, b + c－a =z , b= (x + z) , c= (y + z)1 2 1 2…………………5 分1 (x + y) , 2又∵y=x2 ,故1 2 1 b= (x + z) -----(2) 2 1 c= (x 2 + z) ----(3) 2a= (x + x 2 ) ---(1);∴x=?1 ± 1+8a 2---------------(4)2∵x 是整数，得 1+8a=T 于是，2a= ∴T=5，其中 T 是正奇数。………………10 分T ?1 T + 1 T ?1 T +1 ? ，其中 a 是质数，故有 =2， =a 2 2 2 2……………………15 分 得，a=3 x=2 或－3.将 a=3 代入（4） 当 x=2 时，y=x2=4,因而 z －2=2， z=16 ，代入（2）（3）可得 b=9 、，c=10，……………………………………20 分与 b、c 是质数矛盾，当舍去。 当 x=－3 时，y=9.z －3=2,∴z=25代入（2）（3）可得 、b=11，c=17………………………………………25∴abc=3×11×17=561分2005 年全国初中数学联赛决赛试卷一、选择题：(每题 7 分，共 42 分) 1、化简：1 4＋ 59+30 2＋1 3－ 66－40 2的结果是＿＿。A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数 2、圆内接四条边长顺次为 5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。 A、78.5 B、97.5 C、90 D、102 3、设 r≥4，a＝ －1 r1 ，b＝ 1 － 1 ，c＝ 1 ，则下列各式一定成立的是 r+1 r r+1 r( r + r+1)＿＿。 A、a&b&c B、b&c&a C、c&a&b D、c&b&a 4、图中的三块阴影部分由两个半径为 1 的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的 面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。 A、5 2B、6 2C、1 25－π 2 2D、1 16－π 2 25、已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示， 记 p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，则＿＿。 A、p&q B、p＝q C、p&q D、p、q 大小关系不能确定 0y1x6、若 x1，x2，x3，x4，x5 为互不相等的正奇数，满足(2005－x1)(2005－x2)(2005－x3)(2005 －x4)(2005－x5)＝242，则 x1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 的未位数字是＿＿。 A、1 B、3 C、5 D、7 二、填空题(共 28 分) 1、不超过 100 的自然数中，将凡是 3 或 5 的倍数的数相加，其和为＿＿。 2、 7x +9x+13+ 7x －5x+13=7x，则 x＝＿＿＿。2 22 2 2 2 23、若实数 x、y 满足x ＋ y =1, x ＋ y =1, 则 x＋y＝＿＿。 3 +43 33 +63 53 +43 53 +6334、已知锐角三角形 ABC 的三个内角 A、B、C 满足：A＞B＞C，用 a 表示 A－B，B－C 以 及 90°－A 中的最小者，则 a 的最大值为＿＿＿。 三、解答题(第 1 题 20 分，第 2、3 题各 25 分) 1、a、b、c 为实数，ac＜0，且 2a+ 3b+ 5c=0 ，证明：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有 大于3 而小于 1 的根。 42、锐角ΔABC 中，AB＞AC，CD、BE 分别是 AB、AC 边上的高，过 D 作 BC 的垂线交 BE 于 F，交 CA 的延长线于 P，过 E 作 BC 的垂线，交 CD 于 G，交 BA 的延长线于 Q， 证明：BC、DE、FG、PQ 四条直线相交于一点。3、a、b、c 为整数，且 a2＋b3＝c4，求 c 的最小值。参考答案： 一、1、D 2、C 3、D 4、D 二、1、2418 2、5、C 6、A12 73、x＋y＝33＋43＋53＋63＝432 4、15°三、1、略 2、略 3、c 的最小值为 6。 年全国初中数学联合数学竞赛试题及答案(word版本)―汇集和整理大量word文档,专业文献,应用文书,考试资料,教学教材,办公文档,教程攻略,文档搜索下载下载,拥有海量中文文档库,关注高价值的实用信息,我们一直在努力,争取提供更多下载资源。