已知函数f（x）=plnx+（p-1）x2+1。（1）当p=1时，f（x）≤λx恒成立，求
练习题及答案
已知函数f（x）=plnx+（p-1）x2+1。（1） 当p=1时，f（x）≤λx恒成立，求实数λ的取值范围。（2） 当p&0时，讨论函数f（x）的单调性。
题型：解答题难度：中档来源：山东省期中题
所属题型：解答题
试题难度系数：中档
答案（找答案上）
解：（1）当p=1时，f（x）≤kx恒成立，f（x）的定义域为（0，+∞）令，则， 因为，由，得x=1，且当时，；当时，， 所以h（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，所以，故k≥1； （2）f（x）的定义域为（0，+∞），… 当p&1时，＞0，故f（x）在（0，+∞）单调递增；当0＜p＜1时，令=0，解得， 则当时，f′（x）＞0；时，＜0，故f（x）在单调递增，在单调递减。
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高中二年级数学试题“ 已知函数f（x）=plnx+（p-1）x2+1。（1）当p=1时，f（x）≤λx恒成立，求”旨在考查同学们对
函数的最值与导数的关系、
函数的单调性与导数的关系、
……等知识点的掌握情况，关于数学的核心考点解析如下：
此练习题为精华试题，现在没时间做？，以后再看。
根据试题考点，只列出了部分最相关的知识点，更多知识点请访问。
考点名称：
函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；
②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；
③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&
生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，
不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；
(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；
(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．
&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，
&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；
& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
考点名称：
函数单调性判定：
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 &G 且 x 1＜ x 2 时
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是增函数；
2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是减函数；
单调函数的图象特征：G = ( a , b )
若 f(x) 在G上是增函数或减函数，则 f(x) 在G上具有严格的单调性。G 称为单调区间
(1)函数的单调性也叫函数的增减性；
(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。
(3)单调区间：针对自变量x而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。
以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1&x2的前提下,比较f(x1)&f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f&（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f&（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f&（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f&（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。
利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域；
②计算导数f&（x）；
③求出f&（x）=0的根；
④用f&（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f&（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f&（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f&（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f&(x)=0，在其余的点恒有f&（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f&(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&
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CopyRight & 沪江网2015已知函数f（x）=x3-3ax，（a＞0）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）求函数y=f（x）在x∈[0，1]上的最小值．考点：；．专题：．分析：（1）将a=1代入，求出函数的导数，利用导数求出其单调区间即可．（2）求出函数的导数，利用导数研究函数在区间[0，1]上的单调性，求出最小值即可．本题中导数带着参数，故求解时要对其范围进行讨论．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x3-3x，所以f'（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）．令f'（x）=0得x=±1，列表：
（-∞，-1）
（1，+∞）
↗∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间是（-1，1）（6分）（2）由3-3ax，(a＞0)，得f′(x)=3x3-3a=3(x+a)(x-a)∵x∈[0，1]①当0＜a＜1时，
1-3a当取得最小值，最小值为．（9分）②当a≥1时，f'（x）≤0，f（x）在x∈[0，1]上是减函数，当x=1时，f（x）取得最小值，最小值为1-3a．综上可得：min=-2aa，(0＜a＜1)1-3a．(a≥1)（12分）点评：本题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值，求解的关键是正确求出函数的导数，以及根据参数的取值范围及导数得出函数的单调区间，确定最值的存在位置．列表表示函数的性质比较直观，解题时要善于运用．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：　日期：日☆☆☆☆☆推荐试卷&
解析质量好解析质量中解析质量差已知函数f(x)=1╱x,求x=1时导数_百度知道
已知函数f(x)=1╱x,求x=1时导数
xf（x）=x^（-1）f‘（x）=-x^（-2）f’（1）=-1^（-2）f‘（1）=-1亲，谢谢，您的采纳是我答题的动力，请【采纳答案】f（x）=1&#47
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出门在外也不愁已知函数f（x）=1-x/ax+lnx(a＞0)（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，求f（x）在[1/2，2]上的最大值和最小值；（3）当a=1时，求证对任意大于1的正整数n，lnn＞1/2+又1/3+又1/4+…+又1/n恒成立．-乐乐题库
& 利用导数研究函数的单调性知识点 & “已知函数f（x）=1-x/ax+lnx(...”习题详情
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已知函数f（x）=1-xax+lnx(a＞0)（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，求f（x）在[12，2]上的最大值和最小值；（3）当a=1时，求证对任意大于1的正整数n，lnn＞12+13+14+…+1n恒成立．　&
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“已知函数f（x）=1-x/ax+lnx(a＞0)（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，求f（x）在[1/2，2]上的最大值和最小值；（3）当a=1时，求证对任意大于...”的分析与解答如下所示：
（1）对函数f（x）进行求导，令导函数大于等于0在[1，+∞）上恒成立即可求出a的范围．（2）将a=1代入函数f（x）的解析式，判断其单调性进而得到最大值和最小值．（3）先判断函数f（x）的单调性，令x=nn-1代入函数f（x）根据单调性得到不等式lnnn-1＞1n，令n=1，2，…代入可证．
解：（1）∵f（x）=1-xax+lnx∴f′（x）=ax-1ax2（a＞0）∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数∴f′（x）=ax-1ax2≥0对x∈[1，+∞）恒成立，∴ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，即a≥1x对x∈[1，+∞）恒成立∴a≥1（2）当a=1时，f′（x）=x-1x2，∴当x∈[12，1）时，f′（x）＜0，故f（x）在x∈[12，1）上单调递减；当x∈（1，2]时，f′（x）＞0，故f（x）在x∈（1，2]上单调递增，∴f（x）在区间[12，2]上有唯一极小值点，故f（x）min=f（x）极小值=f（1）=0又f（ 12）=1-ln2，f（2）=-12+ln2，f（ 12）-f（2）=32-2ln2=lne3-ln162∵e3＞16∴f（ 12）-f（2）＞0，即f（ 12）＞f（2）∴f（x）在区间[12，2]上的最大值f（x）max=f（ 12）=1-ln2．综上可知，函数f（x）在[12，2]上的最大值是1-ln2，最小值是0．（3）当a=1时，f（x）=1-xx+lnx，f′（x）=x-1x2，故f（x）在[1，+∞）上为增函数．当n＞1时，令x=nn-1，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0∴f（ nn-1）=1-nn-1nn-1+ln nn-1=-1n+ln nn-1＞0，即ln nn-1＞1n∴ln 21＞12，ln 32＞13，ln 43＞14，…，ln nn-1＞1n∴ln 21+ln 32+ln 43+…+ln nn-1＞12+13+14+…+1n∴lnn＞12+13+14+…+1n即对大于1的任意正整数n，都有lnn＞12+13+14+…+1n．
此题是个中档题．本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题，体现了转化的数学思想，很好的考查了学生的计算能力．
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已知函数f（x）=1-x/ax+lnx(a＞0)（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，求f（x）在[1/2，2]上的最大值和最小值；（3）当a=1时，求证...
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经过分析，习题“已知函数f（x）=1-x/ax+lnx(a＞0)（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，求f（x）在[1/2，2]上的最大值和最小值；（3）当a=1时，求证对任意大于...”主要考察你对“利用导数研究函数的单调性”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的单调性．
与“已知函数f（x）=1-x/ax+lnx(a＞0)（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，求f（x）在[1/2，2]上的最大值和最小值；（3）当a=1时，求证对任意大于...”相似的题目：
设a＞0，已知函数f（x）=ex（ax2+x+1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=x2-2bx+4．若对?x1∈[0，1]，?x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2）．求实数b的取值范围．&&&&
已知函数y=f(x)=lnxx．（1）求函数y=f（x）的图象在x=1e处的切线方程；（2）求y=f（x）的单调区间．&&&&
若函数f（x）=-x+2√x-a的单调递增区间为[0，1]，则a=&&&&．
“已知函数f（x）=1-x/ax+lnx(...”的最新评论
该知识点好题
1设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=-2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是&&&&
2函数y=12x2-lnx的单调递减区间为&&&&
3已知f（x）=x3-6x2+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正确结论的序号是&&&&
该知识点易错题
1函数f（x）=axn（1-x）2在区间（0.1）上的图象如图所示，则n可能是&&&&
2设p：f（x）=x3+2x2+mx+1在（-∞，+∞）内单调递增，函数q：g（x）=x2-4x+3m不存在零点则p是q的&&&&
3若0＜x＜π2，则2x与3sinx的大小关系&&&&
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已知函数f（x）=lnx，g(x)=ax，设F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当a=1时，求函数F（x）的单调区间；（Ⅱ）若以函数y=F（x）（0＜x≤3）图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线斜率k≤12恒成立，求实数a的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）由已知a=1，可得F(x)=f(x)+g(x)=lnx+1x，函数的定义域为（0，+∞），则F′(x)=1x-1x2=x-1x2由F′(x)=1x-1x2=x-1x2＞0可得F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，F′(x)=1x-1x2=x-1x2＜0得F（x）在（0，1）上单调递减；（Ⅱ）由题意可知k=F′(x0)=x0-ax20≤12对任意0＜x0≤3恒成立，即有x0-12x20≤a对任意0＜x0≤3恒成立，即(x0-12x20)max≤a，令t=x0-12x20=-12(x20-2x0)=-12(x0-1)2+12≤12，则a≥12，即实数a的最小值为12．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=lnx，g(x)=ax，设F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当a=1时，求函..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，导数的概念及其几何意义，函数的单调性与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的奇偶性、周期性导数的概念及其几何意义函数的单调性与导数的关系
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|平均变化率:
一般地，对于函数y =f(x)，x1,x2是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率&&上式中的值可正可负，但不为0．f(x)为常数函数时，&
瞬时速度:如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限．
函数y=f（x）在x=x0处的导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作或，即。
如果函数y =f(x)在开区间(a，6)内的每一点都可导，则称在(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx）在(a，b)内的导函数，简称为f（x）在(a，b)内的导数，记作f′(x)或y′．即f′(x）=
切线及导数的几何意义：
（1）切线：PPn为曲线f（x）的割线，当点Pn（xn，f（xn））（n∈N）沿曲线f（x）趋近于点P（x0，f（x0））时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。 （2）导数的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k=。瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值．②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
&函数y=f（x）在x=x0处的导数特别提醒：
①当时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．②自变量的增量可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但．而函数的增量可正可负，也可以为0．③在点x=x0处的导数的定义可变形为:&&&&
导函数的特点：
①导数的定义可变形为： ②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数，③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
导数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：
①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x0处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)（x- x0）．②若函数在x= x0处可导，则图象在(x0，f(x0))处一定有切线，但若函数在x= x0处不可导，则图象在（x0，f(x0））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，④显然f′（x0）&0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）&o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f(x0) =0，切线与x轴平行；f′(x0)不存在，切线与y轴平行．导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&
发现相似题
与“已知函数f（x）=lnx，g(x)=ax，设F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）当a=1时，求函..”考查相似的试题有：
482303449650557764860069839837494528