小学数学竞赛辅导3（质数、合数与分解质因数）
（3）质数、合数与分解质因数
〖老师告诉你〗
质数与合数是数论里最基本、最重要的概念之一，许多有趣的课题都与它紧密相关。例如著名的哥德巴赫猜想就是一个关于质数、合数的问题。
1、质数与合数
一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其它自然数整除，那么它就叫做质数（也叫素数）。
例如，100以内的质数共有25个，从小到大依次是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，还能被其它自然数整数，那么它就叫做合数。
例如：4、6、8、10、12、14、……都是合数。根据质数、合数的定义，每个质数只有两个约数：1和它们本身；每个合数至少有三个约数：1、它本身、其它约数。例如6的约数除1和6外，还有2、3，所以6是合数。
要特别记住：1既不是质数，也不是合数。
全体自然数可以分成三类：（1）1（自然数的单位），（2）质数，（3）合数。质数有无限多个，合数也有无限多个。最小的质数是2，最小的合数是4。在质数中只有2是偶数，其余的质数全是奇数。
2．质因数与分解质因数
如果一个质数是某个自然数的约数，那么这个质数就叫做这个自然数的一个因数。
例如，质数2和3都是36的约数，所以2好都是36的质因数。6是36的约数，但6不是质数，所以6不是36的质数因数。
把一个自然数表示成因数相乘的形式，可以有多种方法。例如，12=2&6=3&4=2&2&3。但把12表示成质因数相乘的形式，则只有一种方法：2&2&3。“算术基本定理”说的就是这一事实：任何一个合数都可以表示成若干个质因数相乘的形式，如果不考虑质因数的顺序，这种表示方法是唯一的。
把一个合数表示成质因数相乘积的形式，叫做把这个合数分解质因数。
在分解质因数时，相同质因数连乘可以写成乘方的形式。例如，
600=2&2&2&3&5&5=2 &3&5
3．约数的个数
我们利用分解质因数来解决求一个数的约数个数问题。
例如求72是所有约数写出来就是：1、2、4、8、3、9、6、12、24、18、36、72。它们利用由2 的约数（1、2、2 、2
）与3 的约数（1、3、3 ）两两相乘得到，也就是可以用下面的数阵形式列出：
1&&&&&&&&&&&&
3&&&&&&&&&&&&
2&&&&&&&&&&&
2&3&&&&&&&&&
&3&&&&&&&&&
&3&&&&&&&&&
这个数阵共有4行、3列，包含了72的全部12（12=4&3）个约数。
一般地，我们有如下重要结论：
一个大于1的整数的约数个数，等于它的质因数分解试中每个质因数的指数加1后的连乘积。
〖请你读一读〗
例1．有三张卡片在它们上面各写着一个数字1、2、3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数。请你将其中的质数都写出来。
【分析与解答】因为1、2、3三个数字之和是6，可知抽三张卡片时，无论按什么顺序排列后所得的三位数都能被3整除，所以它们都不是质数。
从中任取二张卡片，按不同的顺序排列的两位数有：12、21、13、31、23、32，其中13、31和23是质数；从中任取一张卡片得到的一位数中2和3是质数。
这样，所求的质数共有2、3、13、23和31五个。
答：所求的质数共有2、3、13、23和31五个。
例2．用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成质数，如果每个数字都要用到，并且只能用一次，那么这九个数字最多能组成多少个质数。
【分析与解答】由“每个数字都要用到，且只能用一次，同时组成的质数的个数最多”的条件，可知组成质数时，注意尽可能将合数4、6、8、9和最小自然数1组成两位数，还要注意质数的含义。因为8和9可以组成质数89，还可以组成合数98。而4和6不可以组成质数，但6和1可以组成质数61，剩下的4可以与3组成质数43。
这样九个数组成2、5、7、43、61和89六个质数。
答：这样九个数组成2、5、7、43、61和89六个质数。
例3．360这个数有约数？这些约数的和是多少？
【分析与解答】360=2&2&2&3&3&5，所以360的任何一个约数都等于至多三个2（可以是零个，下同），至多两个3和至多一个5的积。如果我们把下面的式子（1+2+4+8）&（1+3+9）&（1+5）展开成一个和式，和式中的每一个加数都是在每个括号里各取一个数相乘的积。由前面的分析不难看出，360的每一个约数都附带好是这个展开式中的一个加数。由于第一个括号里有4个数，第二个括号里有3个数，第二个括号里2个数，所以这个展开式中的加数个数为4&3&2=24，而这也就是360的约数的个数。另一方面，360的所有约的和就等于这个展开式的和，因而也就等于（1+2+4+8）&（1+3+9）&（1+5）=15&13&6=1170。
答：360的约数有24个，这些约数的和是1170。
例4．有8个不同约数的自然数中，最小的一个是多少？
【分析与解答】因为8=1&8=2&4=2&2&2，所以所求自然数，只可能有三种情况：x ，x &x ，x &x &x ，其中x
、x 、x 是不同的质数。
又因为要求的自然数是最小的，则质数x 、x 、x 应尽最小，所以这个数有三种可能：
（1）2 =128
（2）3&2 =24（2&3 &3&2 ）
（3）2&3&5=30。
因此，有8个约数的最小自然数是24。
答：有8个约数的最小自然数是24。
试一试：有5个不同约数的自然数中，最小的一个是多少？
例5．恰好有6个约数的两位数共有多少个？
【分析与解答】根据自然数N所有不同约数的个数计算公式：T =（r +1）&（r +1）&……&（r +1）进行解答。
因为6=1&6=2&3，所以有r =1－1=0，r =6－1=5和r =2－1=1，r
=3－1=2两种组合形式。根据所求数值是两位数的条件，可知应为小于25的质数作为质因数进行搭配组合。
r =0，r =5组合形式：2 =32一种；
r =1，r =2组合形式：
2 &3 =18&&& 2
&5 =50&&& 2 &7
3 &2 =12&&& 3
&5 =75&&& 5 &2
5 &3 =45&&& 7
&2 =28&&& 7 &3
11 &2 =44&&&
11 &3 =99&&& 13
17 &2 =68&&&
19 &2 =76&&& 23
共十五种。
因此，恰好有6个约数的两位数共有16个。
答：恰好有6个约数的两位数共有16个。
例6．在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？
【分析与解答】因为长方体的正面和上面的面积之和为长&高+长&宽=长&（高+宽）=209，所以我们只要将209分解成一个质数与另两个质数和的乘积，即可求得长方体的长、宽
因为209=11&19，又因为小于19的质数有2、3、5、7、11、13、17。其中不存在两个和为11的质数；而只有2+17=19。所以209=11&（2+17），即长方体的体积是11&2&17=374。
试一试：边长1米的正方体2100个，堆成一个实心长方体。它的高是10米，长、宽都大于高。问长方体的长和宽的和是几米？
例7．将下列八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等：
0.14& 0.33&
0.35& 0.3& 0.75&
0.39& 1.43& 1.69
【分析与解答】根据所给数的特点，把它们都扩大100倍将小数化成整数：14、33、35、30、75、39、143、169后，只需将这些数分成等积的两组即可。
要使两组数的乘积相等，这两组数中的每个因数虽然不一定相等，但是他们所含有的质因数必须相同。因此，先将这八个整数分解质因数：14=2&7，33=3&11，35=5&7，30=2&3&5，75=3&5&5，39=3&13，143=11&13，169=13&13。
其中质因数3、5、13各有四个，质因数2、7、11各有两个，这样所分的每组四个数中应有质因数3、5、13各两个，质因数2、7、11各一个。
按上述进行组合即得75&14&169&33=35&30&143&39
因此，原题等式为0.75&0.14&1.69&0.33=0.35&0.3&1.43&0.39。
另外还有一种分法，你不妨试一试。
试一试：把20、26、33、35、39、42、44、55、91等九个数分成三组，使每组的数的乘积相等。
例8．把26、33、34、35、63、85、91和143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1，那么至少要分成多少组？
【分析与解答】根据每组中任意两个数的最大公约数是1的条件，可知每组中的数是两两互质的关系，即每组中的任意两个数所含有的质因数没有相同的。通过分解质因数的方法将这八个数按题意进行搭配组合。
26=2&13，33=3&11，34=2&17，35=5&7，85=5&17，91=7&13，143=11&13，63=3&3&7。
其中26、91、143都含有质因数13，因此它们必须分为三组。又91还含有质因数7，所以含有质因数7的另外两个数35和63只能分别分在另外两组里，然后将其它的数33，34，85按题目要求搭配组合，即为：26，35；33，85，91和34，63，143三个数组。
例9．有1&2&3&4&5&……&99&100的积的尾部有多少个连续的零。
【分析与解答】因为2&5=10，这样含有质因数一个2和一个5，乘积的末尾就有一个0。同时在这100个因数中，含质因数2的个数一定多于质因数5的个数，所以只需知道乘积中含有质因数5的个数就可知积的末尾连续零的个数。
这100个数中是5的倍数有5、10、15、……100共二十个，其中25，50，75，100又是25的倍数，它们各含有质因数5两个，所以乘积中共有质因数5的个数是20+4=24个。
因此，乘积的末尾共有24个连续的零。
答：乘积的末尾共有24个连续的零。
试一试：把若干个自然数1，2，3，4……相乘，如果已知乘积的最末三十一位数恰好都是零，那么最后出的自然数最小应是多少？
例10．一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积，这个数当然有许多约数是两位数，这些两位数的约数中，最大的是几？
【分析与解答】某数分解质因数为：
某数=2&2&2&2&2&3&3&3&5&5&7
两位数从大到小排列是99，98，97，96，95，94，……，由于99=3&3&11中有质因数11，而某数中没有，则99不是所求的约数。
98=2&7&7中有2个7，而某数中只有1个7，则98不是所求的约数。
97是质数，而某数中没有，97也不是所求的约数。
96=2&2&2&2&2&3中有5个2，1个3，是某数的约数，所以某数最大的两位约数是96。
〖请你试一试〗
1.有两个质数，它们之和既是一个小于100的奇数，又是17的倍数，这两个质数应是多少？
2.a、b、c都是质数，c是一位数，且a&b+c=1993，那么a、b、c的和是多少？
3.2&3&5&7的积的约数一共有多少个？
4.9的约数有1、3、9三个，16的约数有1，2，4，8，16五个，那么144（即（9&16）的约数共有多少个。
5.把232323的全部质因数的和表示为 ，A&B& 得多少？
6.用1155个大小相同的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法。
7.我们把象3和5，33和35这样的两个数都叫做两个连续的奇数，已知自然数是两个连续奇数的乘积，那么这两个连续奇数的和是多少？
8.有三个学生，他们的年龄一个比一个大3岁，他们三个年龄的乘积是1620。这三个学生年龄数的和是多少？
9.某班同学们在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果师生每人种树一样多，共种了1073棵，那么平均每人种了多少棵树？
10.27&（&&
）余3。在算式的括号内填入适当的数，使等式成立，共有多少种不同的填法。
11.有人说：“任何7个连续自然数中一定有质数”，请你举一个例子，说明这句话是错的。
12.求不大于100的只有8个约数的所有自然数。
13.m为一个质数，且m+16，m+20也均是质数，求m是多少？
14. 求在1-100的100个自然数中，与21互质的奇数之各为m ，互21互质的偶数之和为m ，问m 与m
哪个大，大多少？
15.把37拆成若干个不同质数之和，如果要使这些质数的积最大，问这几个质数分别是多少？
16.有819名同学参加团体操比赛，他们能否排成一个长方形队伍？（行数、列数均要大于1），若能，共有几种排法？
17.把一个两位质数写在另一个与它不同的两位质数后面，得到一个四位数，已知这个四位数恰能被这两个质数之和的一半整除，试求出所有这样的四位数。
18.写出连续五个自然数，每个都是合数。
〖参考答案〗
1.解：既小于100，又是17的倍数的奇数有17，51和85三个数。根据偶+奇=奇，可知这两个质数中必有一个质数是2（偶数中唯一的质数）。
因为17=2+15（15是合数，删去），51=2+49（49是合数，删去），85=2+83，所以这两个质数应是2与83。
2.解：依题意a、b、c都是质数，c是一位数，且a&b+c=1993。若c是2，则a&b+2=1993，即a&b=1991。而，且11和181都是质数，符合题意。所以a&b+c=11+181+2=194。
3.解：约数是一个质因数的个数有4（个），约数是两个质因数乘积的个数有3+2+1=6（个）；约数是三个质因数乘积的个数有4个；约数是四个质因数乘积的个数有1个；还有约数1。因此2&3&5&7的积的约数一共有4+6+4+1+1=16（个）。
4.解：因为144=9&16，由数的整除性可知：144能被9的所有约数整除，也能被16的所有约数整除，这样144的约数是由含有9的约数和16的约数的不同情况而决定。9的每一个约数分别与16的约数相乘，则可得到5个不同的约数，所以144的约数共有3&5=15（个）
5.解：运用分解质因数的原理，求出232323的全部不同的质因数，再求 之值，然后求A&B&
之乘积。因为&13&37，所以&&7&13&37，则
=23+3+7+13+37=83，即A=8，B=3。
因此，A&B& 之乘积是8&3&83=1992。
6.解：根据题意，可知将1155个同样大小的正方形拼组成长与宽不一的各种长方形，其面积不变，可应用分解质因数的原理分解组合成两个数的乘积形式。
分解：&7&11
组合：5=3&385=5&231=7&165=11&105=15&77=21&55=33&35。因此，有八种不同的拼法。
7.解：根据两个连续奇数的乘积的个位数字是5，可知这两个连续奇数的个位数字分别是3和5或5和7两种可能。根据分解质因数的原理，将分解后再重新组合，可知这两个连续奇数。
&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&
=（3&11111）&（5&6667）
&&&&&&&&&&&
因此，两个连续奇数的和是=66668。
8.解：根据三个学生的年龄乘积是偶数1620的条件，由数的奇偶性可知，至少有一个学生的年龄数是偶数。运用分解质因数的原理，先把1620进行分解，然后根据他们年龄一个比一个大3岁的条件组合。
&3&3&3&3&5=9&12&15
因此，他们的年龄数分别是9、12和15，其年龄数之和是9+12+15=36（岁）。
9.解：因为师生每人种树一样多，共种了1073棵，所以种树总数=每人种树棵树&师生总人数。即1073=每人种树棵数&师生总人数。
运用分解质因数的原理进行分解与组合。
3=29&37，由此可得出四种可能，但根据参加人数除去一位教师后的学生人数能被3整除可知，师生共37人，则平均每人种树29棵。
10.解：根据有余数除法各部分之间的关系，可知右商&除数==27－3=24。这样，可运用分解质因数原理进行解答。24=2&2&2&3，那么
&& 商数：1，2，3，4，6，8，12，24。
&& 除数：24，12，8，6，4，3，2，1。
再根据余数总比除数小的原则，可知除数有24，12，8，6，4五种填法。因此，原式括号内的数共有五种不同的填法。
11.解1：题目要求我们具体找出7个连续的合数。中间夹着7个连续合数的两个质数，其差一定大于7，所以只找到差大于7的两个相邻质数即可。质数89与97相邻，它们的差97－89=8&7，所以89与97之间的七个连续自然数90、91、92、93、94、95、96全是合数，没有质数。可见“任何7个连续自然数中一定的质数”这句话是错误的。
解2：任取7个连续的自然数，找出它们的一个公倍数，给它们各自加上这个公倍数，所得7个新数仍是连续的，并且原来的7个数分别是这7个数的约数，所以7个新数全是合数。任取7个连续的自然数，比如2、3、4、5、6、7、8，840是它们的一个公倍数，给2、3、4、5、6、7、8每一个都加上840得到842、843、844、845、846、847、848，这7个连续自然数分别有约数2、3、4、5、6、7、8，可见它们都是合数，没有一个是质数，因此“任何7个连续自然数中一定有质数”这句话是错误的。
12.解：要确定一个自然数，只要能确定它的质因数分解式即可。具体说来就是要确定有几个质因数？各质因数的指数是多少？各质因数具体是几？“一个数的约数的个数等于它的质因数分解式中每个质因数的指数加1的连乘积”，要求的数只有8个约数，8=2&4=2&2&2，7+1=（1+1）&（3+1）=（1+1）&（1+1）&（1+1），因此所求数的不同质因数有可能是1个、2个或3个，但不会多于3个；同时还可看出在各种情况下各质因数的指数。至于各质因数到底是几，可根据所求数不大于100及质因数的个数、指数来确定。
因为所求数共有8个约数，而8=2&4=2&2&2，所以有三种可能：
（1）所求的数只含一个质因数，这个质因数的指数是7。这时即使对最小的质数2来说，都2
=128&100。所以没有符合要求的数。（2）所求数含有两个不同的质因数，它们的指数一个是1、一个是3。因为3
=27&100，5
=125&100，所以指数为3的质因数只能取2或3，我们按此分类列举。3&2 =24，5&2
=40，7&2 =56，11&2 =88（大于11的质数与2 的乘积已大于100）；2&3 =54（大于3的质数与3
的乘积大于100）。（3）所求的数含有三个不同的质因数，它们的指数都是1。此时如果两个质因数分别取最小的2和3，那么从100&（2&3）=16……4知，第三个质因数最大是13。由3&5&7=105&100知最小质因数只能取2。2&3&5=30，2&3&7=42，2&3&11=66，2&3&13=78，2&5&7=70（2&7&11已大于100）。由以上知，符合要求的数共有10个：24、30、40、42、54、56、66、70、78、88。
13.解：我们知道，任何自然数被3除只有三种情况：即被3整除，被3除后余1和被3除后余2，故我们作如下讨论：（1）m不能是被3除余1的数，因为若m被3除余1，则m+20就能被3整除，就不是质数了。（2）m也不能是被3除余2的数，因为若m被3除余2，则m+16就能被3整除，则不是质数，所以m只可能是被3整除的数，且又要求为质数，因此m=3。
若m=3q+1，则3│m+20，若m=3q+2，则3│m +16，所以m=3q，且m为质数，所以m取3。答：m为3。
14.解：21=3&7，3和7都是质数，为求m
，可以先求出1-100中所胡奇数的和，再减去与21不互质的所有奇数之和，与21不互质的数的特点是这个数与21有公因数3、7、21三种。1-100中有因数3的所有奇数之和是：3&（1+3+5+……+33）=867；1-100中有因数7的所有奇数之和是：7&（1+3+5+……+13）=686；1-100中有因数21的所有奇数之和是：21&（1+3）=84；在1-100中与21互质的所有奇数之和便可求出。类似地，可求出1-100中与21互质的偶数之和。
（1）与21互质的数之和为：m
=（1+3+5+……+99）－[3&（1+3+5+……+33）+7&（1+3+5+……+13）－21&（1+3）]=1031。（2）与21互质的偶数之和为：m
=（2+4+6+……+98）-[3&（2+4+……+32）+7&（2+4+……+14）－21&（2+4）]=1418。（3）m 比m
大多少：=387。
答：在1-100中与21互质的奇数之和小于互质的偶数之和，差为387。
15.解：由以往的经验可知如果若干个数的和一定，那么拆的数越多（不能有1）则积越大，并可推出拆出的数（1除外）越多，积越大。假设37拆成的是五个质数的和，那么最小的五个质数和为3+5+7+11+13=39，大于37，所以37不能拆成五个质数的和那么为什么不从2开始加起呢？不难发现，五个质数中，如有一个为2是偶数，剩下的四个必为奇数，而其和为偶数，2与四个质数的和也必为偶数，37是奇数，所以不能取从2开始的五个最小质数，当取3，5，7，11，13这五个质数时和就大于37了，所以六个以上质数的和更不可能为37。假设把37拆成四个不同质数的和，而四个质数中必有一个取2，否则四个奇数的和为偶数，不可能得到和为37，这样剩下三个数的和为37－2=35，拆的方法有下列几种：
37=2+7+5+23&&&
相对应的积为2&7&5&23=1610
37=2+5+11+19&&
相对应的积为2&5&11&19=2090
37=2+5+13+17&&
相对应的积为2&5&13&17=2210
37=2+7+11+17&&
相对应的积为2&7&11&17=2618
37=2+3+13+19&&
相对应的积为2&3&13&19=1482
在这五组不同的拆分方法中，不难发现2&7&11&17=2618的乘积最大，并且我们发现，这四个数是符合条件的相差最小的数，更证明了在和一定情况下，拆成的数越多（1除外），越接近，则乘积越大这一经验性常识。这样，把37拆成三个不同质数的和，二个不同质数的和的乘积均不会大于2618，所以也不必再试验了。
答：这几个质数分别为2、7、11、17四个。
16.解：本问题的实质是看819能否写成两个都大于1的自然数的乘积，如能，有几种写法，这样，我们仍先分解质因数，然后再看它们怎样写成两个自然数的积，有几种不同写法。819=3&3&7&13，所以写成两个大于1的自然数的积有下面几种：3&（3&7&13）=3&273；（3&3）&（7&13）=9&91；（3&7）&（3&13）=21&39；（3&3&13）&7=117&7；（3&3&7）&13=63&13。
答：819人可以排成3&273；9&91；21&39；117&7；63&13共五种行、列都大于1的长方形队伍。
17.解：设x=ab,y=cd为两位质数且x y,依题意可知四位数abcd=100ab+cd=100x+y能被
整除，即100x+y=m& (m为整数)整理为（x+y）│198x，即（x+y）│198，198=2&3
&11，198的不小于24且不大于196的偶约数只有66，把66拆分成两个不同的两位质数之和，得66=13+53=19+47=23+43=29+37。
答：符合条件的四位数共有八个：，，，。
18.解：因为720=2&3&4&5&6，所以720+2=722，720+3=723，720+4=724，720+5=725，720+6=726。722、723、724、725、726这五个数均为连续的合数。
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公 因 数56
公因数；1、有一个五位数，十位上的数字是最小的合数，百位；2、从0、1、5、6、9五个数字中，选出四个不同；3、一个四位数的每个数位上的数字都不相同，它既能；4、在1〔〕〔〕〔〕的〔〕内一次填上哪些数，可以；5、从0、3、5、7四个数字中任选三个，排成能同；6、有72名学生，共交课间餐费a527b元，每人；7、在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使；8
数1、有一个五位数，十位上的数字是最小的合数，百位上的数字是最小的质数，千位上的数字是最小的自然数，如果这个数能被2、3、5整除。这个数最小是多少？ 2、从0、1、5、6、9五个数字中，选出四个不同的数字组成四位数，其中既有因数2又有因数3的最大四位数是多少？ 3、一个四位数的每个数位上的数字都不相同，它既能被9整除又能被7整除，这样的四位数最大是多少？ 4、在1〔〕〔〕〔〕的〔〕内一次填上哪些数，可以使这个数成为能同时被2、3、5整除的最小四位数。 5、从0、3、5、7四个数字中任选三个，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这样的三位数共有多少个？ 6、有72名学生，共交课间餐费a527b元，每人交了多少元？ 7、在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，且使这个数值尽可能小。求这个六位数？ 8、现有四个自然数，它们的和是1111，如果要求这四个数的最大公因数尽可能大，那么这四个数的最大公因数最大可能是多少？ 9、两个数的和是70，它们的最大公因数是7.这两个数的差是多少？ 11、有三个不同的自然数，它们的最大公因数是1，但其中任两数都不互质，这三个自然数的和最小是多少？ 12、有两根电线，第一根长24米，第二根长18米，要把它们截成同样长的小段，而且不能有剩余，每小段最长是多少米？一共能截几段？ 13、某校订购了数学、语文资料各228册、114册现平均分成若干份，每份中这两种资料的数量分别相等。那么最多可以分成几份？ 14、一块长方形的纸，长75厘米，宽60厘米。要把这张纸裁成面积相等的小正方形的纸而无剩余，且使边长最长，问可裁成几张？ 15、有320个苹果，240个橘子，200个梨。用这些果品最多可分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、橘子、梨各有多少个？ 16、有20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后剩下2个，而苹果还缺2个。问一共有多少个小朋友？ 17、有三根钢管，其中第一根的长度是第二根的1.2倍，是第三根的一半，第三根比第二根长280厘米。现在要把这三根钢管截成尽可能长而又相等的小段。问：可截成多少段？ 18、用105个大小相同的正方行拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？ 19学习委员收买练习本的钱，她只记下四组各交的钱分别是：2.61元、3.19元、2.61元、3.48元。又知道每本练习本价格都超过1角，全班共有多少人？ 20、小明和小亮计算甲、乙两个大于1的自然数的乘积，小明把甲数的个位数字看错了，得乘积473；小亮把甲数的十位数字看错了，得乘数407.那么甲、乙两数的乘积应是多少？ 21、一次会餐时，每两人合用1只饭碗，每3人合用1只菜碗，每4人合用1只汤碗，会餐共用了65只碗。问参加会餐的人数是多少？ 22、在400米的环形跑到周围每隔10米放一盆花，放完后又每隔8米放一盆花。原来放花的地方不再放花，一共放了多少盆花？ 23、王师傅在某个特殊岗位上工作，他每上8天班后，就连续休息2天。如果这个星期六和星期日休息，那么，至少再过几个星期后他才能又在星期六和星期日休息？ 24、用长6厘米，宽4厘米的长方形铁片，摆成一个正方形（中间没有空隙）。至少要用多少块这种长方形铁片？ 25、倩倩到商店买了6块橡皮，5支铅笔，3本练习本和7支圆珠笔，已知每支铅笔1角8分，每支圆珠笔4角5分，倩倩给售货员10元，售货员找给倩倩5.1元。钱钱马上说：“阿姨您算错了。”倩倩怎么知道算错的？ 一、 填 空 题1、既是质数又是偶数的自然数是（
）；既是质数又是奇数的最小数是（
）。既不是质数又不是合数的数是（
）。既是偶数又是和数的最小数是（
）。2、在2、8、17、15中，质数有（
）的质因数，（
）是互质数。3、15的因数有（
），其中共有（
）组互质数。4、（
）的因数只有1个，（
）的因数只有2个，（
）的因数至少3个。5、一个数的最大因数是36，这个数是（
），把它分解质因数是（
）。二、写 出 互 质 数 1、两个数都是质数（
），两个数都是合数（
）。2、一个是合数，一个是质数（
）3、相邻的两个自然数（
）。4、一个既不是质数又不是合数的自然数与其他自然数（
）。三、判 断 题1、1和16是互质数。（
）。2、所有自然数的公因数是1.（
）3、两个合数不可能是互质数。（
）4、15和17互质，所以15和17 没有最大公因数。（
）四＼选 择 题１，７２÷１２＝６．７２和１２的最大公因数是（
Ｃ,７２２，\两个数（
），那么这两个数叫互质数。Ａ,没有公因数，Ｂ，只有２个因数
Ｃ只有公因数１３，一个数，它最大的因数是１，这个数一定是（
）。Ａ,奇数
Ｄ合数４，用短除法求下面各组数的最大公因数。８０和６０
３６和５４
２７和４５
１８和７２一，填 空 题１，Ａ÷３＝Ｂ(Ａ,Ｂ是整数)，那么Ａ和Ｂ的最大公因数是（
）。２，a, b是任意两个不同的整数，那么a 与 b的最小公因数是（
）。 3，能整除153的最小两位数是（
），最大一位数是（
）。 4，一个正方形的面积是12.25平方厘米，这个正方形的边长是（
）。5，某车间有男工48人，女工32人，他们外出春游，要分成若干小组，如果要求各组男工人数相等，女工人数也相等，有（
）种分法，最多能分（
）组。6， 1992所有的不同质因数的和是（
）。二，选 择 题1，下列说法正确的是（
）。A，是整除，也一定是除尽
B，是除尽，也一定是整除C，是整除，不一定是除尽 D，是除尽，不一定是整除。2，甲数的质因数有2个3， 乙数的质因数有3个3， 它们的最大公因数的质因数应该有（ ）。 A，2个3
C，5个33，将1996加一个整数，使和能被9与11整除，加的整数要尽可能小，那么加的整数是（
）。A ，99
D ,364，已知两个数的积是3174，它们的最大公因数是23，那么这两个数是（
）。 A，3174.23
D,138.23或46.695，边长为自然数，面积为165的形状不同的长方形共有（
D, 无数6，一块长方形地面，长120米，宽30米，要在它的四周和四角种树，每相邻两棵树之间距离相等，最少要种（
）棵树。A, 6
,360的约数有（
D, 308，一个不能被4，6 ,11整除的三位数，如果加上7就能被4, 6, 11整除，这样的三位数的个数是（
D, 79，老师在黑板上写下三个数：108， 396， A，让同学们求它们的最小公倍数。小马虎误将108当作180进行计算，结果竟然与正确答案一致。已知A是一个四位数，那么A=（
）。 A, 1800
D, 182010，已知甲，乙两数的最大公因数是b ×c ，最小公倍数是 a×b×b×c×d,,如果甲数是 a×b×c ，那么乙数是（
）。A, b×c×d
B,b× b×c
C,a×b×c×d
D,b×b×c×d11，已知两个自然数的和是54，它们最小公倍数与最大公因数的差为114.这两个自然数是（
D, 24.30填
题1、一个六位数的各位数字都不相同，最左边一个数字是3，且此六位数是11的倍数，这样的六位数中最小的数是（
）2、一个六位数，首位数是1，把首位数移到末位，使新的六位数是原数的3倍，则原数是（
）。3、一个数既是7的倍数，又是56的因数，这个数可能是（
）4、一个数既是12的倍数，又是15的倍数，在200以内这样的数有（
），最小的是（
），最大的是（
）5、200以内12、18和24的公倍数有（
），其中最小的一个是（
）。6、在自然数中，最小的合数加上最小的奇数和是（
），最小的质数加上最大一位数和是（
）。7、385是三个连续质数的乘积，这三个质数分别是（
）。8、一个数是4的倍数，又有约数6，还能整除36，这个数是（
）。9、互质的两个数的积是60,。那么，这两个数可能是（
）10、有四个小朋友，他们的年龄恰好分别相差一岁，他们的年龄的乘积是360，其中最大的一个（
）。11、合数a的最小因数是（
），最大因数是（
），最小倍数是（
）。12、一个数能同时被2、3、5整除，这个数最小是（
）。13、自然数a除自然数b,所得的商是17，这两个数的最大公因数是（
），最小公倍数是（
）。14、a=2×3×5,b=2×5×11,a和 b的是（
），最大公因数是（
）。15、两个质数的最小公倍数是111，这两个数是（
）。16、 27、45、81 的最小公倍数是最大公因数的多少倍？17、10以内所有质数的最大公因数是（
），最小公倍数是（
）。 包含各类专业文献、幼儿教育、小学教育、专业论文、行业资料、公 因 数56等内容。　
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