反三角函数与最简三角方程_百度文库
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反三角函数与最简三角方程
反​三​角​函​数​和​最​简​三​角​方​程
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20080份文档锐角三角函数_百度百科
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我们把锐角∠A的正弦、余弦和正切都叫做∠A的锐角函数，即以锐角为自变量，以此值为函数值的函数叫做锐角三角函数。应用学科数学，物理，天文等
锐角角A的（sin）,（cos）和（tan）,（cot）以及（sec），（csc）都叫做角A的锐角三角函数。[1]
正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c
余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c
正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b
余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a
初中学习的 锐角三角函数值的定义方法是在中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。到了高中三角函数值的求法是通过坐标定义法来完成的，这个时候角也扩充到了。所谓锐角三角函数是指：我们初中研究的都是锐角 的 三角函数。初中研究的锐角 的 三角函数为：正弦（sin），余弦（cos），正切（tan）。[1]特殊角的三角函数值如下：
注：非的三角函数值，请查。[2]θ是锐角：
1.锐角三角函数值都是。
2.当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） ；
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ，余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。
3.当角度在0°≤A≤90°间变化时，0≤sinA≤1, 1≥cosA≥0；当角度在0°&A0, cotA&0。李善兰三角函数展开式
（此公式又称“李善兰三角函数展开式”[3]或”“）
tanα·cotα=1
希腊三角函数公式
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα直角三角形中的锐角三角形函数
1+(tanα)^2=(secα)^2
1+(cotα)^2=(cscα)^2[1]
锐角三角函数诱导公式
sin（－α）=－sinα
cos（－α）=cosα
tan（－α）=－tanα
cot（－α）=－cotα
sin（π/2－α）=cosα
cos（π/2－α）=sinα
tan（π/2－α）=cotα
cot（π/2－α）=tanα
sin（π/2+α）=cosα
cos（π/2+α）=－sinα
tan（π/2+α）=－cotα
cot（π/2+α）=－tanα
sin（π－α）=sinα
cos（π－α）=－cosα
tan（π－α）=－tanα
cot（π－α）=－cotα
sin（π+α）=－sinα
cos（π+α）=－cosα
tan（π+α）=tanα
cot（π+α）=cotα
sin（3π/2－α）=－cosα
cos（3π/2－α）=－sinα
tan（3π/2－α）=cotα
cot（3π/2－α）=tanα
sin（3π/2+α）=－cosα
cos（3π/2+α）=sinα
tan（3π/2+α）=－cotα
cot（3π/2+α）=－tanα
sin（2π－α）=－sinα
cos（2π－α）=cosα
tan（2π－α）=－tanα
cot（2π－α）=－cotα
sin（2kπ+α）=sinα
cos（2kπ+α）=cosα
tan（2kπ+α）=tanα
cot（2kπ+α）=cotα(其中k∈Z)
二倍角、三倍角的正弦、余弦和正切公式
Sin(2α)=2sinαcosα
Cos(2α)=（cosα）^2－(sinα)^2=2(cosα)^2－1=1－2(sinα)^2
Tan(2α)=2tanα/(1-tanα)
sin(3α)=3sinα-4sin^3α=4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)
cos(3α)=4cos^3α-3cosα=4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)
tan(3α)=(3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α)=tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)[4]、公式有如下几个：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
sinαcosβ=-[sin（α+β）+sin（α－β）]
sinαsinβ=-[1][cos（α+β）-cos（α-β）]/2
cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2
sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2
cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2[4]
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反三角函数与三角方程
上传: 刘翔 &&&&更新时间： 10:19:19
反三角函数与三角方程
本讲主要内容：反三角函数的概念、运算与解三角方程．
反三角函数：三角函数在其整个定义域上是非单调的函数，因此，在其整个定义域上，三角函数是没有反函数的．但是如果限定在某个单调区间内就可以讨论三角函数的反函数了．
一．反正弦函数
1．定义：函数y＝sinx(x&[-p，p])的反函数就是反正弦函数，记为y＝arcsinx(x&[－1，1])
这个式子表示：在区间[-p，p]内，正弦函数值为x的角就是arcsinx，
即&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&sin(arcsinx)＝x，&&&x&[－1，1]&&
2．反正弦函数的性质：
⑴&定义域为[－1，1]；值域为[-p，p]．
⑵&在定义域上单调增；
⑶&是[－1，1]上的奇函数，即
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&arcsin(－x)＝－arcsinx，&&&&x&[－1，1]&&
&⑷&y＝arcsinx的图象：与y＝sinx(x&[-p，p])的图象关于y＝x对称．
⑸&arcsin(sinx)的值及y＝arcsin(sinx)的图象：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&arcsin(sinx)＝x，&&&&&&&x&[-p，p]&&
二．反余弦函数&&仿反正弦函数的情况可以得到：
1．定义：函数y＝cosx(x&[0，p])的反函数就是反余弦函数，记为y＝arccosx(x&[－1，1])
这个式子表示：在区间[0，p]内，余弦函数值为x的角就是arccosx，
即&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&cos(arccosx)＝x，&&&x&[－1，1]&&
2．反余弦函数的性质：
⑴&定义域为[－1，1]；值域为[0，p]．
⑵&在定义域上单调减；
⑶&是[－1，1]上的非奇非偶函数，即
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&arccos(－x)＝p－arccosx，&&&&x&[－1，1]&&
&⑷&y＝arccosx的图象：与y＝cosx(x&[0，p])的图象关于y＝x对称．
⑸&arccos(cosx)的值及y＝arccos(cosx)的图象：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&arccos(cosx)＝x，&&&&&&&x&[0，p]&&
三．反正切函数
1．定义：函数y＝tanx(x&(-p，p))的反函数就是反正切函数，记为y＝arctanx(x&r)．
这个式子表示：在区间(-p，p)内，正切函数值为x的角就是arctanx，
即&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&tan(arctanx)＝x，&&&x&r&&
2．反正切函数的性质：
⑴&定义域为r；值域为(-p，p)．
⑵&在定义域上单调增；
⑶&是r上的奇函数，即
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&arctan(－x)＝－arctanx，&&&&x&r&&
&⑷&y＝arctanx的图象：与y＝tanx(x&(-p，p))的图象关于y＝x对称．
⑸&arctan(tanx)的值及y＝arctan(tanx)的图象：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&arctan(tanx)＝x，&&&&&&&x&(-p，p)&&
四．反余切函数&请根据上面的内容自己写出．
例1证明：⑴&cos(arcsinx)＝；sin(arccosx)＝；&&tan(arccotx)＝x(1)．并作它们的图象．
⑵&sin&(arc&tan&x)＝&1＋x2(x)；&&tan(arcsinx)＝&1－x2(x)；
&&cos(arctanx)＝&1＋x2(1)；&&tan(arccosx)＝&x(1－x2)．
证明：⑴&设arcsinx＝a，则a&[－p，p]，且sina＝x，于是，cosa＝，即cos(arcsinx)＝&；
同理可证其余．
⑵&设arctanx＝a，则a&(-p，p)，tana＝x．于是，seca＝，
所以，sina＝tana&cosa＝1＋x2(x)，就是sin(arctan&x)＝1＋x2(x)；同理可证其余．
说明&本题给出了反三角函数运算的方法：把某个反三角函数看成是在某个范围(该反三角函数的主值区间)内的一个角，把反三角函数的运算改成三角函数的运算．&
例2证明：⑴&arcsinx＋arccosx＝p，&x&[－1，1]&
⑵&arctanx＋arccotx＝p，&&x&r
证明：令arcsinx＝a，arccosx＝b，则a&[-p，p]，b&[0，p]，p－b&[-p，p]
而&sina＝x，sin(p－b)＝cosb＝x，即sina＝sin(p－b)，但a与b都在区间[-p，p]内，在此区间内正弦函数是单调增函数，从而a＝p－b．就是arcsinx＋arccosx＝p．
同法可证⑵．
说明&这是关于反正弦与反余弦函数、反正切与反余切函数的一个重要关系式．
例3计算：⑴&sin(arcsinx＋arcsiny)；x，y&[－1，1]&&&&&&&
⑵&cos(arccosx＋arccosy)．x，y&[－1，1]
解：⑴&sin(arcsinx＋arcsiny)＝x＋y．
⑵&cos(arccosx＋arccosy)＝xy－&．
1．若arctanx＋arctany＋arctanz＝p，证明：x＋y＋z＝xyz；&⑵&证明：cot[arctanx＋arctan(1－x)]＝1－x＋x2．
2．设f(x)＝x2－&x,&&＝arcsin3(1)，&＝arctan4(5),&＝arc&cos(－3(1)),d＝arc&cot(－&4(5)),则
a．f(&)＞f(&)＞f(d)＞f(&)&&&&&&&&&b．f(&)＞f(d)＞f(&)＞f(&)&&&
c．f(d)＞f(&)＞f(&)＞f(&)&&&&&&&&&d．f(d)＞f(&)＞f(&)＞f(&)&
3．函数y＝arc&cos(2(1)-x2)的值域是
a．[-p，p]&&&b．[-p，p]&&&&c．[p，&]&&&&&d．[p，&]&
例4求10cot(arc&cot3＋arc&cot7＋arc&cot13＋arc&cot21)的值．
解：设&arccot3＝a，arccot7＝b，arccot13＝g，arccot21＝d，则0&d&g&b&a&p．
∴&tana＝3(1)，tanb＝7(1)，tang＝13(1)，tand＝21(1)，
∴&tan(a＋b)＝abab1－tantan(tan＋tan)＝&&7(1)＝20(10)＝2(1)．
&&&tan(g＋d)＝gdgd1－tantan(tan＋tan)＝&21(1)＝&8(1)．
&&&tan(a＋b＋g＋d)＝&8(1)＝3(2)．
∴&10cot(arc&cot3＋arc&cot7＋arc&cot13＋arc&cot21)＝10&2(3)＝15．
例5求常数c，使得&f(x)＝&arc&tan1＋4x(2－2x)＋c在区间(-4(1)，4(1))内是奇函数．
解：若f(x)是(-4(1)，4(1))内的奇函数，则必要条件是f(0)＝0，即c＝－arctan2．
当c＝－arctan2时，tan(arcta1＋4x(2－2x)－arctan2)＝&2(2－2x)＝&1＋4x＋4－4x(2－2x－2－8x)＝－2x．
即f(x)＝arctan(－2x)；f(－x)＝arctan(－(－2x))＝arctan2x＝－f(x)．故f(x)是(-4(1)，4(1))内的奇函数．&
例6&[x]表示不超过x的最大整数，{x}表示x的小数部分（即{x}＝x-[x])，则方程&cot[x]&cot{x}＝1的解集为&&&&&&&&&&&&&&&&&&；
解：由于0&{x}&1，故cot{x}＞cot1＞0，即cot{x}¹0．
∴&cot[x]＝&cot{x}(1)＝tan{x}＝cot(p－{x})，
∴&[x]＝kp＋p－{x}．即[x}＋{x}＝kp＋p(k&z)，就是x＝kp＋p(k&z)．
4．函数f(x)＝arc&tanx＋2(1)arc&sinx的值域是
a．(-&，&)　b．[－p4(3)，p4(3)]&&c．(-&p4(3)，p4(3))&&&d．[-p，p]
5、设-1&a&0，&＝arc&sina,那么不等式&sinx&a的解集为
&&a．{x|2n&＋&&x&(2n＋1)&&-&，n&z}&&&&&&
b．{x|2n&-&&x&(2n＋1)&&＋&，n&z}
&&c．{x|(2n-1)&&＋&&x&2n&-&，n&z}&&&&&&&
d．{x|(2n-1)&&-&&x&2n&＋&，n&z}&&&
6、在区间[0，&]上，三角方程cos7x＝cos5x的解的个数是&&&&&&&&&&&&&&&；
例7求使方程＝sinx有实数解的实数a的取值范围．
解：sinx&0，平方得＝sin2x－a，故a&sin2x，
平方整理得，a2－(2sin2x＋1)a＋sin4x－sinx＝0，这是一个关于a的一元二次方程．
d＝(2sin2x＋1)2－4(sin4x－sinx)＝4sin2x＋4sinx＋1＝(2sinx＋1)2．
∴&a＝2(1)[2sin2x＋1&(2sinx＋1)]．
其中，a＝sin2x＋sinx＋1＞sin2x，故舍去；
&&&&&&a＝sin2x－sinx，当0&sinx&1时，有a&[－4(1)，0]．
当a＝0时，得sinx＝0或1，有实解；当a＝－4(1)时，sinx＝2(1)，有实解．
即a的取值范围为[－4(1)，0]．
例8解方程：cosnx-sinnx＝1，这里，n表示任意给定的正整数．
分析：可先从n＝1，2，3，&&着手研究，找出规律再解．
&&&&&&n＝1时，cosx＝sinx＋1，&&&&&&n＝2时，cos2x＝sin2x＋1，
&&&&&&n＝3时，cos3x＝sin3x＋1，&&&&&n＝4时，cos4x＝sin4x＋1．
解：原方程就是，cosnx＝1＋sinnx．
⑴&当n为正偶数时，
由于cosnx&1，sinnx&0，故当且仅当cosnx＝1，sinnx＝0，即x＝kp(k&z)时为解．
⑵&当n为正奇数时，
若2kp&x&2kp＋p，则cosnx&1，sinnx&0，故只有cosnx＝1，sinnx＝0时，即x＝2kp(k&z)时为解；
若2kp＋p&x&2(k＋1)p，由于1＋sinnx&0，故只能在2kp＋p2(3)&x&2(k＋1)p内求解，
此时x＝2kp＋p2(3)满足方程．
若2kp＋p2(3)&x&2(k＋1)p，当n＝1时，cosx－sinx＝|cosx|＋|sinx|＞1，
当n&3时，cosnx－sinnx＝|cosnx|＋|sinnx|&|cos2x|＋|sin2x|＝1．即此时无解．
&&&&所以，当n为正偶数时，解为x＝kp(k&z)；当n为正奇数时，解为x＝2kp与x＝2kp＋p2(3)(k&z)．
7．解方程：cos2x＋cos22x＋cos23x＝1．
8．求方程x2-2xsin2(&x)＋1＝0的所有实数根；
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文明上网,理智发言反三角函数和三角方程--《数学教学研究》1992年04期
反三角函数和三角方程
【摘要】：正 ~~
【作者单位】：
【关键词】：
【正文快照】：
例题、方法及注 例l当。为何值时.ar。sin。一ar。sin(一。)为负数? 解‘:;一arc sinx.:任[一1 .1〕是增函数…。(一a即。(o,但要使are sina.ar。sin(一。)有意义,必须一1(。簇l:.当一1蕊。0时ar。sin。一are sin(一。)为负数..,汀,1故万飞万arccOS、一禽一少簇百:.函数的定
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京公网安备74号解三角函数方程组有哪些方法和技巧?
解三角函数方程组有哪些方法和技巧? 10
高中物理竞赛\做力的平衡题用的....
补充：大家说得具体点,最好能举个例子....
不区分大小写匿名
几何只知識,三角函數的和差化積,積化和差等
根据多年的实践，总结规律繁化简；概括知识难变易，高中数学巧记忆。 
言简意赅易上口，结合课本胜一筹。始生之物形必丑，抛砖引得白玉出。 
一、《集合与函数》 
内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。 
复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。 
指数与对数函数，两者互为反函数。底数非1的正数，1两边增减变故。 
函数定义域好求。分母不能等于0，偶次方根须非负，零和负数无对数； 
正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。 
两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，Y＝X是对称轴； 
求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。 
幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数， 
奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。 
二、《三角函数》 
三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。 
同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割； 
中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角， 
顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小， 
变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变， 
将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值， 
余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。 
计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。 
逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。 
万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用； 
1加余弦想余弦，1 减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范； 
三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围； 
利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集； 
三、《不等式》 
解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。 
高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。 
证不等式的方法，实数性质威力大。求差与0比大小，作商和1争高下。 
直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。 
还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图建模构造法。 
四、《数列》 
等差等比两数列，通项公式N项和。两个有限求极限，四则运算顺序换。 
数列问题多变幻，方程化归整体算。数列求和比较难，错位相消巧转换， 
取长补短高斯法，裂项求和公式算。归纳思想非常好，编个程序好思考： 
一算二看三联想，猜测证明不可少。还有数学归纳法，证明步骤程序化： 
首先验证再假定，从 K向着K加1，推论过程须详尽，归纳原理来肯定。 
五、《复数》 
虚数单位i一出，数集扩大到复数。一个复数一对数，横纵坐标实虚部。 
对应复平面上点，原点与它连成箭。箭杆与X轴正向，所成便是辐角度。 
箭杆的长即是模，常将数形来结合。代数几何三角式，相互转化试一试。 
代数运算的实质，有i多项式运算。i的正整数次慕，四个数值周期现。 
一些重要的结论，熟记巧用得结果。虚实互化本领大，复数相等来转化。 
高中数学知识口诀 
方利用程思想解，注意整体代换术。几何运算图上看，加法平行四边形， 
减法三角法则判；乘法除法的运算，逆向顺向做旋转，伸缩全年模长短。 
三角形式的运算，须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方开方极方便。 
辐角运算很奇特，和差是由积商得。四条性质离不得，相等和模与共轭， 
两个不会为实数，比较大小要不得。复数实数很密切，须注意本质区别。 
六、《排列、组合、二项式定理》 
加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。 
两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。 
排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。 
不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。 
关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。 
七、《立体几何》 
点线面三位一体，柱锥台球为代表。距离都从点出发，角度皆为线线成。 
垂直平行是重点，证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。 
方程思想整体求，化归意识动割补。计算之前须证明，画好移出的图形。 
立体几何辅助线，常用垂线和平面。射影概念很重要，对于解题最关键。 
异面直线二面角，体积射影公式活。公理性质三垂线，解决问题一大片。 
八、《平面解析几何》 
有向线段直线圆，椭圆双曲抛物线，参数方程极坐标，数形结合称典范。 
笛卡尔的观点对，点和有序实数对，两者—一来对应，开创几何新途径。 
两种思想相辉映，化归思想打前阵；都说待定系数法，实为方程组思想。 
三种类型集大成，画出曲线求方程，给了方程作曲线，曲线位置关系判。 
四件工具是法宝，坐标思想参数好；平面几何不能丢，旋转变换复数求。 
解析几何是几何，得意忘形学不活。图形直观数入微，数学本是数形学。 

灵活运用公式
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