19永城高中高一(I)部数学学案(52)空间两点间的距离公式
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19永城高中高一(I)部数学学案(52)空间两点间的距离公式
永城高中高一（Ⅰ）部数学学案（52）；空间两点间的距离公式；学案撰写人：孟丽梅打印人：张晓；一、学习目标；1.理解空间两点间距离公式的推导过程和方法.2.；1.预习课本136-137页，做138页练习.2；1.空间两点间的距离公式；空间中两点P，P2(x2,y2,z3)之间的距离；2.用空间两点间距离公式时要注意坐标差是对应的x；（1）建立适当的空间直角坐标
永城高中高一（Ⅰ）部数学学案（52）空间两点间的距离公式学案撰写人：孟丽梅
打印人：张晓一、学习目标1. 理解空间两点间距离公式的推导过程和方法. 2. 掌握空间两点间的距离公式及其简单应用. 二、学习方法指引1. 预习课本136-137页，做138页练习. 2. 重点：空间两点间的距离公式及应用. 3. 难点：空间两点间距离公式的推导. 三、基础知识再现1. 空间两点间的距离公式空间中两点P，P2(x2,y2,z3)之间的距离是P1(x1,y1,z1)1P2?说明：空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，平面上两点间的距离公式又可看成是空间两点间的距离公式的特例.2. 用空间两点间距离公式时要注意坐标差是对应的x1?x2，y1?y2，z1?z2，因为有平方，故减数和被减数的位置可以互换. 3. 空间两点间距离的求法（1）建立适当的空间直角坐标系.（2）在空间直角坐标系中写出点的坐标. （3）用空间两点间距离公式求距离.4. 在空间直角坐标系中，任意一个三元一次方程Ax?By?Cz?D?0（A,B,C不能同时为零）都表示一个平面，反过来，任意一个平面的方程都是一个三元一次方程.对于特殊的三元一次方程：x?a表示平行于yOz面的平面，且与yOz面的距离为a.y?b表示平行于xOz面的平面，且与xOz面的距离为b.z?c表示平行于xOy面的平面，且与xOy面的距离为c. x?0,y?0,z?0分别表示yOz，xOz，xOy三个坐标平面.5. 空间两点间距离公式的推导方法 剖析：（1）先看简单的情形：设空间直角坐标系中点P(x,y,z)，求点P到原点O的距离.如图所示，设点P在xOy平面上的射影是B，则点B坐标是(x,y,0)，在xOy平面上在直角三角形OBP中，根据勾股定理，得 有OB?OP?因为B?，所以O?z，任意一点
这说明，在空间直角坐标系Oxy中P(x,y,z)与原点之间的距离是OP?点，且两点在xOy平面上的射影分别为M,N，那么M,N的 坐标为M(x1,y1,0)，N(x2,y2,0).在xOy平面上，MN?（2）下面再看一般的情况：如图所示，设点P1(x1,y1,z1)，P2(x2,yH，则 过点P1作P2N的垂线，垂足为 1MP1?z1，NP2?z2，所以HP2?z1?z2.在直角三角形PHP12中， PH?MN?，1根据勾股定理，得PP12?因此空间中两点P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)间的距离公式可以表示成下面形式： PP12?五、课堂练习到原点的距离是（
B 1CD2. 点P(a,b,c)到坐标平面xOz的距离是（
D c3. 点P(2,3,4)到y轴的距离是（
C 5D 4. 设点A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，AB的中点为M，则CM?
BCD25. 点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影，则OB等于
） A BCD6. 点A在z轴上，它到(3,2,1)A的坐标是（
D (0,0,13)
A (0,0,?87. ?ABC的顶点坐标是A(3,1,1)，B(?5,2,1)，C(?,2,3)，则它在yOz平面上的射影3A图形的面积是
D 1 8. 在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（
） BCD 2229. 下列各点不在曲线x?y?z?12上的是（
） AA (2,?2,2)B
C (?2,2,2)
D (1,3,4) 10. 已知ab?0，bc?0，则直线ax?by?c过（
A 第一、二、三象限
B第一、二、四象限
C第一、三、四象限
D 第二、三、四象限11.三条直线：y?2x?4?0，x?y?1?0与ax?y?2?0共有两个交点，则a等于（
D ?1或2222212. 已知实数x,y满足x?y?4x?2y?4?0，则x?y的最大值为（
） AB 3C 14?D 14?13..平面?平面?，????l,m??,m?l，则（
D．m与?相交但不一定垂直 214.已知平面??平面?，直线a??，则（
D．a??或a//? 15.已知长方体ABCD?A1B1C1D1中，在平面AB1上任取一点M，作ME?AB于E，则（
）A．ME?平面AC
B．ME?平面AC C．ME//平面AC
D．以上都有可能 16.在空间中，下列命题正确的是（
）A．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面； B．若直线m与平面?内的一条直线平行，则m//?；C．若平面???，且????l，则过?内一点P与l垂直的直线垂直于平面?； D．若直线a//b，且直线l?a，则l?b。17.如图所示，三棱锥P?ABC的底面在平面?内，且AC?PC， 平面PAC?平面PBC，点P,A,B是定点，则动点C的轨迹是（
A．一条线段
B．一条直线C．一个圆
D．一个圆，但要去掉两个点18. 若A(4,?7,1)，B(6,2,z)，AB?11，则z?.A，A1两点间的19. 已知点A(1,?2,1)关于坐标平面xOy的对称点为A1，则距离为
.20. 如图，长方体ABCD?A1BC11D1中，已知AB?3，BBC?2，AA1?2，用空间两点间的距离公式计算对角线B1D的长为1321. 在?ABC中，若A(?1,2,3)，B(2,?2,3)，C(,,3)， 22则AB边上的中线CD的长是
.22. 已知点A(?3,1,4)关于原点的对称点为B，则线段AB的长为23. 给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P,2)P点0(4,1坐标为
.24.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面?ABC是等边三角形，且AB?3,AA1?则二面角A1?BC?A等于________3，2A1B1AC1A1DEB1C1CACB 25.二面角A?EF?B的大小为35°，二面角C?MN?D的大小为?，且平面AEF?平面CMN，平面BEF?平面CMN，则??______26.经过平面?外一点和平面?内一点与平面?垂直的平面有_______个。27.平面??平面?，直线l??，直线m??，则直线l,m的位置关系是_________ 28.如图所示，在长方体ABCD?AB1C1D1中，过平面A1B上任一点P作PE?AB于E，则直线PE与平面AC所成的角等于________ 329.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD?CD,AB//CD,AB? AD?2,CD?4，M为CE的中点。FC(1)求证：BM//平面ADEF；
(2)求证：平面BDE?平面BEC AB2230．圆x＋y＝8内一点P（－1，2）。过点P的直线的倾斜角为α，直线l交圆于A、B两点．（Ⅰ）当α＝135°时，求AB的长；（tanl35°＝－1）
（Ⅱ）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．31．求过点P（1，1），并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程32.如图所示：在三棱锥P?ABCD中，已知ABCD为正方形, PD?平面ABCD,PD?AB,E,F,G分别为PC、PD、BC的中点． (Ⅰ)求证：PA?EF；(Ⅱ)求证：FG//平面PAB.F AB4包含各类专业文献、中学教育、生活休闲娱乐、专业论文、应用写作文书、行业资料、各类资格考试、19永城高中高一(I)部数学学案(52)空间两点间的距离公式等内容。
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1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；&&&&&
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（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；
（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&[解]：（1）单位球面；
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管类零件轴线直线度的处理方法研究
    【摘 要】从建立空间数学模型入手，利用平面评定直线度误差的方法，即最小二乘法原则，在测量方法和数据处理上大做文章，巧妙地运用到解决空间直线度问题。经实践运用，表明运用该思路编制的软件数据准确性好、精度高，符合实际情况。1 前言根据国标我们知道对于直线度的测量：在给定平面的直线度测量；在给定方向内的直线度测量；在任意方向上的直线度测量。而在给定平面的直线度测量；在给定方向内的直线度的评定方法不外乎为：最小包容区域法（最小条件法）、两端点连线法及最小二乘法。况且目前，给定平面内的直线度误差、给定方向内的直线度误差的评定理论已经较为成熟，许多文献资料对它进行了深入的研究和分析。但在任意方向上的直线度的评定，即空间直线度误差的评定，一直处于探索阶段，尚未发现有成熟可靠的方法。在对国内、外有关这方面资料的研究基础上，我们建立了处理管类零件轴线直线度误差的空间数学模型及评定它的方法。2 问题的提出我们所要测量的管类零件轴线的直线度，它是一个看不见摸不着的线，要想得到它的直线度误差值比登山还难，我们是用间接方法获取的：通过测量管壁直线度误差及数据处理时将管的圆度误差引入，综合处理，这就意味着最终处理的直线度误差是一个空间问题。为此，我们首先建立它的空间数学模型。2.1 空间数学模型的建立如图 1 所示，测量基准为 z 轴，被测空间直线的测点以柱面坐标（r，&，z）给出。r 为测量点到测量基准的实际偏差，& 表示所测点相对于 x 轴的相位角，z 表示测点的位置高度[1]。由于测量时的基准直线与评定时的理想直线之间必然有误差，因此在误差评定时应作微量调整。空间直线度误差的最小包络圆柱以&倾斜圆柱&表示，它的轴线为 o&o&。在 z=0 平面内，轴线 o&o&过点（-x0，-y0）。轴线 o&o&在 xoy 平面上与 z 轴的夹角为 &，在 yoz 平面上与 z 轴的夹角为 &。微量调整后测点 h 到轴线 o&o&的偏差为 r，由图 1 可得：r 是两组变量（r，&，z）和（x0，y0，&，&）的函数。（r，&，z）表示测量点的坐标，称为柱面的形成变量，用 v 表示。（x0，y0，&，&）描述理想的是直线 o&o&的位置和方向，成为描述变量，用 u 表示。由于在精密测量中 u 值很小，故有 tg&=&，tg&=&。那么式（1）可表示为：对于确定的 u 值，最大值函数 r（u）表示外包络圆柱的最大直径，它可表示如下：其中，v 为形成变量 v 的测点集合，i&1，2，&，n，n 表示被测点的数目。按最小条件评定空间直线度误差[1]，实质上是寻找 u=（x0，y0，&，&）t之值，使最大偏差 r（u）取得最小值。这实际上是一个极大值极小化问题，其解是理想外包络圆柱轴线的理想位置与方向：空间直线度误差的计算公式为：f =2r（u）2.2 空间直线度误差（轴线直线度）评定所谓最小二乘法，就是以最小二乘圆心作为外接圆圆心，以举例该圆心最远的点到圆心的距离为半径所得到的圆。该方法为近似方法。最小二乘圆心的公式为：采用最小二乘评定法来评定空间直线度误差时，是采用最小二乘轴线代替最小的理想圆柱体的轴线。由最小二乘原理得：实际轴线上各点到最小二乘轴线之距离不等，它们之中总有一个点到最小二乘轴线的距离为最大，以这个最大距离为半径，以最小二乘轴线为轴线作理想圆柱[2]，该理想圆柱的直径就是轴线直线度误差。由此可见，实际轴线的直线度误差是实际轴线上距离最小二乘轴线最远的点到最小二乘轴线的距离的二倍。将被测零件置于空间直角坐标系 o-xyz 中，且令 oz 坐标轴为采样时的回转轴线，如图 2 所示，在垂直于 oz 轴且彼此等距的正截面轮廓上等角度间隔地离散采样，采样数据为 pij（△rij，&ij，zi）（j=1，2，&，m；i=1，2，&，n），其中△rij为各采样点的半径增量；&ij为各采样点处的角度值；zi为各采样截面沿 z 轴的坐标值。若被测零件各采样截面轮廓的最小二乘圆心为 oi（aibizi），则有式中：m&各采样截面轮廓上的采样点数；n&采样截面数。如图 3 所示，将所有被测点置于空间直角坐标系 ｏ-ｘｙｚ 中，且令测量时的基准轴线与 ｏｚ 坐标轴重合。各被测点的坐标为 ｏｉ（ａｉ，ｂｉ，ｚｉ）（ｉ=1，2，&，ｎ。ｎ 为被测点个数）。若取被测点最小二乘直线 ｌ 与 ｘｏｙ 坐标平面的交点为 ａ0（ｘ0，ｙ0，0），其一组方向数为 ｕ、ｖ 和 1，则最小二乘直线 ｌ 的轴线方程为：即最小二乘直线 ｌ 的轴线方程可写作各被测点ｏｉ至最小二乘直线 ｌ 的偏差为：根据最小二乘法原理，应使偏差的平方和为最小，即分别求 ｑ 对 ｘ0，ｕ，ｙ0，ｖ 的偏导数并令其等于零，即上述方程组可分为两部分：第一部分包括前两式，是关于 ｘ0和 ｕ 的方程组；第二部分包括后两式，是关于 ｙ0和 ｖ 的方程组。这两部分的形式和性质基本一致，其系数矩阵为对称矩阵，且是正定的。由方程组（11）可唯一解出 ｘ0，ｕ，ｙ0，ｖ，然后代入式（7）中，即可确定最小二乘直线 ｌ。观察可知系数矩阵是病态的，为避免求解病态方程组，需进行正交化处理。取各被测点的对称中心平面为 ｘｏｙ 坐标平面，则方程组（11）可转换为：令各被测点 ｏｉ至最小二乘直线 ｌ 的距离为 ｒｉ，则根据空间直线度误差的定义，最小二乘评定法的空间直线度误差为:f = 2max｛ri｝（i=1，2，&，n） （15）在实际应用中，为简化计算，提高运算速度，可用各被测点 ｏｉ至最小二乘直线 ｌ 的偏差代替各被测点至最小二乘直线 ｌ 的距离 ｒｉ，即f = 2max｛&i｝（i=1，2，&，n） （16）这样处理带来的误差很小，对最终计算结果的影响可忽略不计。3 结论由于轴线是一个任意方向的直线，其公差带的形状为圆柱体，用平面处理直线度的方法解决它，与其实际情况相差较远，不能真实地反映零件的真实性。从建立空间数学模型入手，利用平面评定直线度误差的方法，即最小二乘法原则，在测量方法和数据处理上大做文章，巧妙地运用到解决空间直线度问题。具体测量时，在管类零件圆周上多角度范围测量其管壁的直线度，然后用软件依次进行处理，找出最大的一个误差作为最终结果跟它规定的直线度公差比较，看其零件合格与否。对直线度要求为 0.5&m 的管类零件进行了实际测量，把得到的数据依次用编好的软件进行了处理，最终结果为0.366&m，达到了预期的目标。最小二乘评定法的运算流程图，如图 4 所示。参考文献1 张青，范光照，徐振高等.按最小圆柱包络法评定空间直线度误差［j］. 上海：华中理工大学出版社，1997（8）2 马小丽.轴线直线度误差的一种近似评定方法［j］. 实用测试技术，1997（9）3 huang s t，fan k c，wu j h.a new minimum zone method for evaluatingstraightness erro［rj］.precision engineering，）：158～1654 zhang q，fan k c. evaluation method for spatial straightness error based onminimum zone condition［j］，precision engineering，4～2725 张镭，张玉.轴线直线度误差数学模型的仿真分析［j］. 东北大学学报，1995（2）6 张青，范光照，徐振高等.按最小圆柱包络法评定空间直线度误差［j］. 上海：华中理工大学出版社，1997（8）7 张青，李柱.空间直线度误差评定的计算机实现方法［j］. 计量技术，1998作者：刘雁蜀 王天琦
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