离散数学教学中的命题符号化难点讨论70
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离散数学教学中的命题符号化难点讨论70
学，科，建，设，与，教，学，研，究；离散数学教学中的命题符号化难点讨论；何锋；（云南财经大学计算机科学系，云南昆明６５０２２１；摘要：离散数学是计算机科学与技术专业的一门重要的；中图分类号：Ｇ６４；文献标识码：Ａ；文章编号：１６７２－－５９１５（２００７）１；７＇－００８８－０８；Ｎｏｄｅｄｉｓｃｕｓｓｏｆｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ；ｔｅａｃｈｉｎｇｏｆｄｉｓｃ
学，科，建，设，与，教，学，研，究离散数学教学中的命题符号化难点讨论何锋（云南财经大学计算机科学系，云南昆明６５０２２１）摘要：离散数学是计算机科学与技术专业的一门重要的专业基础课程，而数理逻辑是其最复杂内容之一，而进行逻辑推理首先要进行命题符号化，如何进行准确的命题符号化正是本文要讨论的问题。关键词：数理逻辑；命题符号化；教学方法中图分类号：Ｇ６４文献标识码：Ａ文章编号：１６７２－－５９１５（２００７）１７＇－００８８－０８ＮｏｄｅｄｉｓｃｕｓｓｏｆｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎｓｓｙｍｂｏｌｉｚａｔｉｏｎｉｎｔｈｅｔｅａｃｈｉｎｇｏｆｄｉｓｃｒｅｔｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓＨｅＦｅｎｇ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅ，ＹｕｎｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＦｉｎａｎｃｅａｎｄＥｃｏｎｏｍｉｃｓ，Ｋｕｎｍｉｎｇ，６５００２１）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ｄｉｓｃｕｓｓｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｉｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｐｒｏｆｅｓｓｉｏｎａｌｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｃｏｕｒｓｅｏｆｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｏｒｓｃｉｅｎｃｅａｎｄｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｐｒｏｆｅｓｓｉｏｎ，ｂｕｔｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｌｏｇｉｃｉｓｏｎｅｏｆｔｈｅｍｏｓｔｃｏｍｐ）ｉｃａｔｅｄ，ｂｕｔｃａｒｒｙｏｎｌｏｇｉｃ’ｓｒｅ＆ＳＯＤｌｏｇｉｃａｌｌｙｔｏｗ＆ｎｔｔｏｃａｒｒｙｏｎｔｏｓｅｔｑｕｅｓｔｉｏｎｔｈｅｓｉｇｎｔｏｔｕｒｎｆｉｒｓｔ，ｈｏｗｃａｒｒｙｏｎｅｘａｃｔｌｙｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎｓｓｙｍｂｏｌｉｚａｔｉｏｎｉｓｔｈａｔｔｈｉｓｐａｐｅｒｗａｎｔｔｏｄｉｓｃｕｓｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｌｏｇｉｃ，ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎｓｓｙｍｂｏｌｉｚａｔｉｏｎ，ｔｅａｃｈｉｎｇｍｅｔｈｏｄ．引言离散数学是计算机科学与技术专业的一门重要的专业基础课程，它在计算机科学中有着广泛的应用。离散数学教学除了教给学生离散数学知识以外，更重要的是通过严格的训练，逐步实现学生思维方式的数学化。因此，对于计算机专业的学生来说，学好离散数学这门课是非常重要的。３８计算机教育２００７．９万方数据就离散数学的内涵而言，其内容包括了数理逻辑、集合论、抽象代数、图论、排列组合、形式语言及自动机等众多知识点。但从多年的教学实践表明，离散数学课程的主要教学内容大致包括集合论、代数系统、图论和数理逻辑四个方面的内容。其中，集合论内容相对比较简单，图论部分也比较直观，代数系统虽然比较抽象，但可结合一种代数系统（如群）将其理论讲深讲透，而对于其他的代数系统――环、域及布尔代数，可以略讲。因此，本课程的重点和难点是在数理逻辑上，它是培养学生逻辑推理能力的重要内容。在进行数理逻辑的教学过程中，我们通常先讨论概念，后讨论判断（即命题），再讨论推理，这是因为概念组成判断，判断又组成推理。而在实现推理证明的过程中，进行符号化和形式化是必然的。对命题符号化和形式化的正确与否，将影响到推理能否正确而又严谨地进行下去。所以说，从教学上对命题符号化进行讨论是完全有必要的。１相关的概念命题逻辑中最基本也是最小的研究单位是命题。命题是指具有非真必假的陈述旬。命题仅有真或假，且二者只能居其一。而悖论、疑问句、祈使句、感叹句、不受限制的未知数和变量等因都不能判断其真假，故都不是命题数理逻辑研究方法的主要特征是将论述或推理中的各种要素都符号化，即构造各种符号语言来代替自然语言，我们把完全由符号所构成的语言称为形式化语言。为了说明命题方便，我们引入的一些标准符号，这些符号又称为联接词，完全由联接词所构成的语句就成为形式化语言。而常用的联接词有：一ｐ否定式，ｐＡｑ合取式，ｐＶｑ析取式，ｐ―ｑ蕴含式，ｐＨｑ等价式，ｐ一一ｑ条件否定式，Ｐｆｑ与非式，Ｐｌｑ或非式。其中ｐ―ｑ§一ｐＶｑ，ｐ÷争ｑ§（ｐ―ｑ）八（ｑ―ｐ），ｐ―ｑ§－１（ｐ―ｑ），ｐＶｑ§一（ｐＨ?ｑ），Ｐｆｑ营一（ｐＡｑ），Ｐｌｑ营一（ｐｋ／ｑ）命题逻辑是一阶逻辑的特例。在研究某些推理时，有必要对原子命题作进一步分析，分析出其中的个体词，谓词和量词，研究它们的形式结构的逻辑关系、正确的推理形式和规则。把每个原子命题分解成个体、谓词和量词之后，用逻辑符号表示命题的能力大大加强了。由于篇幅的关系，在这里，我们将重点放在那些让学生感到困惑的命题符号化上。２命题逻辑中的命题符号化命题符号化是很重要的，一定要掌握好，在命题推理中常常最先遇到的就是符号化一个问题，解决不好，等于说推理的首要前提没有了。在命题逻辑的符号化过程中，有以下几种情况容易引起学生困惑。（１）通常，联结词Ｖ的意义与生活中所使用的“或”的意思并不完全相同。生活中的“或”是多义的，主要有以下３种：①可兼或：二者至少有一个发生，但不排除二者都会发生的可能性。这可用联结词Ｖ来进行连接。例如：小李是昆明人或北京人。小刘可能是１００ｍ或４００ｍ冠军。这一类的例子都可以用ＰＶｑ来表示。②排斥或：即非此即彼，二者不可兼得。这可用联结词Ｖ来进行连接。例如：火车在６点或８点开。今天不是天晴就是下雨。小张只能住在２０３室或２０６室。小赵在昆明或在北京。这一类的例子都可以用ｐＶｑ来表示。③表示近似的含义。这时的“或”就不是联结词了，整个句子就是一个原子命题了。例如：我到教室需要１０分钟或１１分钟。我每小时能背５０或６０个单词。这一类的例子都可以用Ｐ来表示。（２）联结词－÷通常表示“如果…，则…”的含义。在数理逻辑中，它并不要求句子的前件和后件之间要有什么联系。在命题符号化中是否一定使用该联结词要视情况而言。①句子之间有因果关系的。万方数据学，科，建，设，与，教，学／研，究例如：如果天气晴朗，我就外出：ｐ―ｑ只要天气晴朗，则我一定外出：ｐ―ｑ天气晴朗，仅当我外出：ｐ―ｑ除非我外出，天气才晴朗：ｐ―ｑ除非我外出，否则天气不晴朗：ｐ―ｑ只有我外出，天气才晴朗：ｐ―ｑ只有天气晴朗，我才外出：ｑ―ｐ其中Ｐ：天气晴朗，ｑ：我外出。②句子之间无因果关系的。例如：如果１＋１＝２，则雪是红的：ｐ―ｑ，其中ｐ：１＋１＝２，ｑ：雪是红的。③句子之间不能使用联结词的。例如句子“西山公园免费开放，促使游客来游玩。”在这里，连词“促使”并非是联结词，因为由它构成的复合命题的真值不能完全由构成它的原子命题的真值来确定。若令Ｐ：“西山公园免费开放”值为真，ｑ：“游客来游玩”值为真，则“西山公园免费开放，促使游客来游玩。”值为真；而若令Ｐ：“盐是咸的”值为真，ｑ：“游客来游玩”值为真值，则“盐是咸的，促使游客来游玩。”值为假。可见，两组原子命题都为真，但由连词“促使”构成的复合命题却是一真一假，这不符合逻辑联结词的规定，所以不能这样符号化。这只能把整个句子视为一个原子命题Ｐ。（３）对于成语和文言文的命题符号化。由于这类句子通常是言简意深，所以进行命题符号化时要仔细分析，认真推敲才行。如：①狗急跳墙：ｐ―ｑ，其中ｐ：狗急了，ｑ：它跳墙。②侈而惰者贫，而力而俭者富；（（ｐ八ｑ）一ｒ）八（（］ｐＡ７ｑ）一１ｒ），其中ｐ：你奢侈，ｑ：你懒惰，ｒ：你贫困。③骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂：（ｐ一］ｑ）八（ｓ―ｒ）八（ｍ八ｎ一］ｏ）八（ｍ八］ｎ―Ｖ），其中ｐ：骐骥一跃，ｑ：骐骥一跃十步，ｒ：驽马行千里，ｓ：驽马不断奔跑，ｍ：你雕刻，ｎ：你放弃，ｏ：将朽木折断，ｖ：金石可雕刻。总之，在命题符号化时，应该注意下列事项：（１）确定给定句子是否为命题。（２）句子中连词是否为命题联结词。（３）要正确地表示原子命题和适当选择命题联结词。计算机教育２００７．９３９学，科，建，设／与，教／学，研，究３一阶逻辑中的命题符号化把一个文字叙述的命题，用谓词公式表示出来，称为谓词逻辑符号化。谓词逻辑也称为一阶逻辑。一般说来，符号化的步骤如下：（１）正确理解给定命题。必要时把命题改叙，使其中每个原子命题、原子命题之间的关系能明显表达出来。（２）把每个原子命题分解成个体、谓词和量词；在全总论域讨论时，要给出特性谓词。（３）找出恰当量词。应注意全称量词（Ｖｘ）后跟条件式，存在量词（ｊｘ）后跟合取式。（４）用恰当的联结词把给定命题表示出来。以下是一些典型谓词逻辑形式化符号化的例子：①人人都不相互依靠，但互相帮助：ＶｘＶｙ７Ｒ（Ｘ，ｙ）ＡＶｘＶｙＳ（Ｘ，Ｙ），其中Ｒ（Ｘ，Ｙ）：ｘ依靠ｙ，Ｓ（ｘ，Ｙ）：Ｘ帮助Ｙ。②我为人人，人人为我：ＶｘＳ（ｉ，ｘ）八ＶｘＳ（ｘ，ｉ），其中用ｉ表示“我”，Ｓ（ｘ，ｙ）－Ｘ为Ｙ服务。③每个人都有人爱，但没有人为所有人爱：Ｖｘ３ｙＬ（ｙ，Ｘ）八７３ｙＶｘＬ（ｘ，Ｙ），其中Ｌ（ｘ，ｙ）－Ｘ爱ｙ。④党指向哪里，我们就奔向哪里。Ｖｘ（Ｐ（ｐａｒｔｙ，ｘ）－－－Ｑ（ｗｅ，ｘ）），其中用ｐａｒｔｙ表示“党”，用ｗｅ表示“我们”，Ｐ（ｕ，ｘ）：ｕ指向ｘ，Ｑ（ｖ，ｘ）：ｖ奔向Ｘ⑤谁要是游戏人生，他就一事无成；谁不能主宰自己，他就是一个奴隶：Ｖｘ（Ｍ（ｘ）ＡＫ（ｘ）一Ｌ（ｘ））八Ｖｘ（７Ｈ（ｘ，ｘ）一Ｎ（ｘ）），其中Ｍ（Ｘ）：Ｘ是人，Ｋ（ｘ）：Ｘ游戏人生，Ｌ（ｘ）：Ｘ一事无成，Ｈ（ｘ，ｙ）：ｘ主宰ｙ，Ｎ（Ｘ）：Ｘ是奴隶。⑥没有最大的自然数：（Ｖｘ）（Ｎ（ｘ）ｏ（ｊｙ）（Ｎ（ｙ）＾Ｇ（ｙ，ｘ））），其中Ｎ（ｘ）：Ｘ是自然数，Ｇ（ｘ，ｙ）－Ｘ大于Ｙ。因为命题中“没有最大的”显然是对所有的自然数而言，所以可理解为“对所有的Ｘ，如果Ｘ是自然数，则一定还有比Ｘ大的自然数”，再具体点，即“对所有的Ｘ如果Ｘ是自然数，则一定存在Ｙ，Ｙ也是自然数，并且Ｙ比Ｘ大”。⑦火车比汽车跑得快：ＶｘＶｙ（Ｆ（Ｘ）八Ｇ（Ｙ）一Ｈ（Ｘ，Ｙ））有的火车比所有的汽车跑得快：３ｘ（Ｆ（ｘ）八Ｖｙ（Ｇ（ｙ）－．Ｈ（ｘ，ｙ））柏ｌ计算机教育２００７．９万方数据并不是所有的火车都比汽车跑得快：７ＶｘＶｙ（Ｆ（ｘ）／＼Ｇ（ｙ）－－－＊Ｈ（ｘ，ｙ））不存在跑得同样快的两只火车：７３ｘ３ｙ（Ｆ（ｘ）八Ｆ（ｙ）八Ｈ（ｘ，ｙ））说凡是火车就比汽车快是不对的：７Ｖｘ（Ｆ（ｘ）＿Ｖｙ（Ｇ（ｙ）＿Ｈ（ｘ，ｙ）））并不是火车都比汽车跑得快，有的汽车比有的火车跑得快：１ＶｘＶｙ（Ｔ（ｘ）八Ａ（ｙ）＿÷Ｆ（ｘ，ｙ））八３ｘ３ｙ（Ａ（ｘ）八Ｔ（ｙ）ＡＦ（ｘ，ｙ））其中，Ｆ（ｘ）：Ｘ是火车，Ｇ（）ｒ）：Ｙ是汽车，Ｈ（Ｘ，ｙ）－Ｘ比Ｙ快４结束语由于数理逻辑中的命题符号形式千变万化，所以，在教学方法上，我们既要顺势引导，注重启发创新，又要采取一题多解，举一反三，从而触类旁通，注重关联，加大对学生进行抽象思维能力和逻辑思维方法的培养、力度，并通过对典型问题的描述分析和解决，向学生传授命题符号化的技巧和方法。同时鼓励和引导学生实现研究为本的学习。对课程、对问题要多问几个为什么，要挖掘深层的东西，不断激发学生独立思考。学生作为独立学习的主体，应该成为教学活动的中心，充分发挥学生的主动性和创新精神。总之，在教学中，应该把学习的主动权交给学生，教师起好主导和促进作用，启发学生的创造思维。圈参考文献：［１］耿素云，屈婉玲．离散数学（修订版）［Ｍ］．高等教育出版社，２００５．５．［２］陈莉，刘晓霞．离散数学［Ｍ］．高等教育出版社，２００２．８．［５］左孝凌，李为镒，刘永才．离散数学［Ｍ］．上海科学技术文献出版社，１９８２．９．［４］林丹玲，浅谈计算机专业离散数学课程的教学［Ｊ］．计算机教育，２００６，（４）：３５－－３６．收稿日期：２００７―０７一１９作者简介：何锋（１９７３一），男，云南鹤庆人，讲师，硕士主要的教学与研究领域是离散数学、计算智能与算法分析。离散数学教学中的命题符号化难点讨论作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：何锋， He Feng云南财经大学计算机科学系,云南昆明,650221计算机教育COMPUTER EDUCATION次 参考文献(4条) 1.耿素云;屈婉玲 离散数学 20052.陈莉;刘晓霞 离散数学 20023.左孝凌;李为a;刘永才 离散数学 19824.林丹玲 浅谈计算机专业离散数学课程的教学[期刊论文]-计算机教育 2006(04) 本文读者也读过(10条)1. &离散数学&课程教学实践与探索[期刊论文]-计算机教育. 刘光洁 谈谈离散数学的教学[期刊论文]-计算机教育2007(24)3. 孙凤芝.刘建群.祁彦平 计算机专业离散数学教学侧重点的转变[期刊论文]-高师理科学刊)4. 李锋.孙莉 任务驱动式方法在离散数学教学中的运用[期刊论文]-计算机教育. 师雪霖.尤枫.颜可庆 离散数学教学联系计算机实践的探索[期刊论文]-计算机教育. 蔺永政.王新红.李金屏 &离散数学&中实践教学的探讨[期刊论文]-计算机教育. 王静 离散数学教学中关于命题符号化问题的讨论[期刊论文]-科技信息2008(25)8. 沈来信.杨帆.方磊.SHEN Lai-Xin.YANG Fan.Fang Lei 离散数学实践教学研究与实践[期刊论文]-计算机教育2008(19)9. 林丹玲 浅谈计算机专业离散数学课程的教学[期刊论文]-计算机教育2006(4)10. 王维花.王志巍.宫成强 &离散数学&课程教学实践与探索[期刊论文]-计算机教育2008(20) 引证文献(7条)1.王静 离散数学教学中关于命题符号化问题的讨论[期刊论文]-科技信息 .于红斌 离散数学中关系理论的系统实验设计[期刊论文]-计算机教育 .郭芸.王朝晖 离散数学命题符号化的三种方法[期刊论文]-苏州市职业大学学报 .师雪霖.尤枫.颜可庆 离散数学教学联系计算机实践的探索[期刊论文]-计算机教育 .张蕾.黄文芝 &离散结构&课程的教学探索[期刊论文]-中国电力教育 2011(17)6.李轶 吴方法在离散数学谓词演算教学中的应用[期刊论文]-计算机光盘软件与应用 .李轶 吴方法在离散数学谓词演算教学中的应用[期刊论文]-计算机光盘软件与应用 2010(6) 引用本文格式：何锋.He Feng 离散数学教学中的命题符号化难点讨论[期刊论文]-计算机教育 2007(17)包含各类专业文献、高等教育、文学作品欣赏、生活休闲娱乐、行业资料、应用写作文书、幼儿教育、小学教育、离散数学教学中的命题符号化难点讨论70等内容。
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