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有理数和无理数的概念
Kyoya兰JC8
整数和分数统称为有理数（rational&number）.注意：有理数集可用大写黑正体符号Q代表.但Q绝对不表示有理数.因为有理数集与有理数是两个不同的概念.有理数集是元素为全体有理数的集合,而有理数则为有理数集中的所有元素.有理数为整数和分数的统称.正整数和正分数合称为正有理数,负整数和负分数合称为负有理数.因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零.由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数,反之,每一个十进制循环小数也能化为整数或分数,因此,有理数也可以定义为十进制循环小数.有理数集是整数集的扩张.在有理数集内,加法、减法、乘法、除法（除数不为零）4种运算通行无阻.有理数的大小顺序的规定：如果a-b是正有理数,就称a大于b或b小于a,记作a&b或b&a.任何两个不相等的有理数都可以比较大小.有理数集与整数集的一个重要区别是,有理数集是稠密的,而整数集不是稠密的.将有理数依大小顺序排定后,任何两个有理数之间必定还存在其他的有理数,这就是稠密性,整数集没有这一特性,因为两个相邻的整数之间就没有其他的整数了.2运算法则编辑有理数加法法则1°&同号两数相加,把绝对值相加,所得值符号不变.如-1+(-1)=-|1+1|=-2&、&1.1+1.1=2.2.2°&异号两数相加,若绝对值不等,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.若绝对值相等即互为相反数的两个数相加得0.如-1+2=+|2-1|=1&、&2+(-3)=-|3-2|=-1&、-3.2+3.2=0.3°&一个数同0相加,仍得这个数.如3.14+0=3.14.注意：一是确定结果的符号；二是求结果的绝对值.在进行有理数加法运算时,首先判断两个加数的符号：是同号还是异号,是否有0.从而确定用那一条法则.在应用过程中,一定要牢记“先符号,后绝对值”,熟练以后就不会出错了.多个有理数的加法,可以从左向右计算,也可以用加法的运算定律计算,但是在下笔前一定要思考好,哪一个要用定律哪一个要从左往右计算.有理数减法法则减去一个数,等于加这个数的相反数.两变：减法运算变加法运算,减数变成它的相反数做加数.一不变：被减数不变.用符号可表示成：&a-b=a+（-b）.有理数乘法法则1°&两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘.2°&任何数同0相乘,都得0.3°&乘积为1的两个有理数互为倒数.4°&几个不是0的数相乘,负因数得个数是偶数时,积是正数；负因数的个数是奇数时,积是负数.5°&几个数相乘,如果其中有因数为0,那么积等于0.有理数除法法则1°&除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.2°&两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.3°&0除以任何一个不等于0的数,都得0.注意：0不能做除数.混合运算有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,按照“先乘除,后加减”的顺序进行,如果是同级运算,则按照从左到右的顺序依次计算.3关于“0不能做除数”的理由编辑理由这可以从两个方面谈起.(Ⅰ)&当被除数是零,除数也是零时,我们可写成0÷0=x的形式,看商x是什么?根据乘法与除法互为逆运算的关系有：被除数=除数×商,这里除数已为零,商x无论是什么数（是正数、负数、零）、与零相乘都等于零.即0=0x,这样商x是不固定的.x是任何数与零相乘都等于零.我们知道四则运算的结果是唯一的,这就破坏了四则运算结果的唯一性.在这种情况下,我们简单地说：“被除数和除数都为零时,不能得到固定的商.”(Ⅱ)&当被除数不为零时,而除数为零时的结果看,我们可写成5÷0=x,商x无论是什么数,与除数“0”相乘都得零,而不会得5,即0x≠5或其他不是零的数.我们简单地说：“当被除数不为零,而除数是零时,用乘除法的关系来检验,是‘不能还原的’”.所以,“0”在4种运算中,就是不可以以除数的身份出现.鉴于以上两种情形：一是零做除数不能得到唯一确定的商（0除以0）；二是零做除数还不回原（非零数除以0）.以上两种情形破怀了四则运算结果的唯一性.于是,我们说：“零做除数没有意义”或“规定零不能做除数”.除以零的谬误在代数运算中不当使用除以零可得出无效证明：2&=&1.由：0×1=0,0×2=0,得出0×1=0×2.两边除以零,得出0/0×1=0/0×2.化简,得：1=2以上谬论一个假设,就是某数除以0是容许的并且0&/&0&=&1.代数处理若某数学系统遵从域的公理,则在该数学系统内除以零必须为没有意义.这是因为除法被定义为是乘法的逆向操作,即a/b值是方程bx&=&a中x的解（若有的话）.若设b&=&0,方程式bx&=&a可写成&0x&=&a或直接&0&=a.因此,方程bx&=&a没有解（当a&≠&0时）,但x是任何数值也可解此方程（当a&=&0时）.在各自情况下均没有独一无二的数值,所以1未能下定义.虚假的除法在矩阵代数或线性代数中,可定义一种虚假的除法,设a/b=ab+,当中b代表b的虚构倒数.这样,若b存在,则b&=&b；若b等于0,则0&=&0.参见广义逆.4相关概念编辑有理数是特殊的实数,实数非负数、非正数、相反数、数轴、绝对值等的相关概念对有理数也适用.非负数,非正数非负数：正数与零的统称.非正数：负数与零的统称.相反数（1）定义:如果两个数的和为0.那么这两个数互为相反数.（2）求相反数的根据:&a的相反数为-a.（3）性质：1°&a≠0时,a≠-a;2°&a与-a在数轴上的位置关于原点对称;3°&两个相反数的和为0.除0外,两个相反数的和商为-1.（4）注意：0的相反数是0.数轴定义：（“三要素”）:具有原点、正反方向、单位长度的直线叫数轴.作用：①直观地比较实数的大小;②明确体现绝对值意义;③所有的有理数可以在数轴上表示出来,所有的无理数如&都可以在数轴上表示出来,故数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,数轴上的点与实数是一一对应关系.绝对值（1）代数定义：正数的绝对值是它的本身,0的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数.（2）几何定义：数a的绝对值的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离.注意1°&我们用符号“││”表示绝对值；2°&数a的绝对值只有一个；3°&处理任何类型的题目,只要其中有&││”出现,其关键一步是去掉&││”符号,如果有“-”要继续计算.无理数无理数,即非有理数之实数,不能写作两整数之比.若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环.&常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等.无理数的另一特征是无限的连分数表达式.传说中,无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现,而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示,不相信无理数的存在.后来希伯斯将无理数透露给外人因而被处死,其罪名等同于“渎神”.无理数与非零有理数的和、差、积、商为无理数.概念无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数.简单的说,无理数就是10进制下的无限不循环小数.如圆周率、√2（根号2）等.有理数是由所有分数,整数组成,它们都可以化成有限小数,或无限循环小数.如22/7等.实数（real&number）分为有理数（rational&number）和无理数（irrational&number）.无理数π有理数和无理数的区别把有理数和无理数都写成小数形式时,有理数能写成整数、有限小数或无限循环小数,比如4=4.0,&4/5=0.8,&1/3=0.33333…….而无理数只能写成无限不循环小数,比如√2=1.………….另外,无理数不能写成两整数之比.√2是无理数欧几里得《几何原本》中的证明方法：证明:&√2是无理数假设√2不是无理数∴√2是有理数令&√2=p/q&(p、q互质)两边平方得：2=(p/q)^2即：2=p^2/q^2通过移项,得：2q^2=p^2∴p^2必为偶数∴p必为偶数令p=2m则p^2=4m^2∴2q^2=4m^2化简得：q^2=2m^2∴q^2必为偶数∴q必为偶数综上,q和p都是偶数∴q、p互质,且q、p为偶数矛盾&原假设不成立∴√2为无理数1历史编辑毕达哥拉斯（Pythagoras,约公元前885年至公元前400年间）是古希腊的大数学家.他证明许多重要的定理,包括后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理（勾股弦定理）,即直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积.毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后,觉得不能只满足于用来算题解题,于是他试着从数学领域扩大到哲学,用数的观点去解释一下世界.经过一番刻苦实践,他提出“万物皆是数”的观点,数的元素就是万物的元素,世界是由数组成的,世界上的一切没有不可以用数来表示的,数本身就是世界的秩序.在他死后大约200年,他的门徒们把这种理论加以研究发展,形成了毕达哥拉斯学派.公元前500年,毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实,一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1,则对角线的长不是一个有理数）,这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆数”（指有理数）的哲理大相径庭.这一发现使该学派领导人惶恐,认为这将动摇他们在学术界的统治地位,于是极力封锁该真理的流传,希伯索斯被迫流亡他乡,不幸的是,在一条海船上还是遇到毕氏门徒,于是希伯索斯被残忍地扔进了大海.希伯索斯的发现,第一次向人们揭示了有理数系的缺陷,证明了它不能同连续的无限直线等同看待,有理数并没有布满数轴上的点,在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”.而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”.于是,古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了.不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机,对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响,促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明,推动了公理几何学和逻辑学的发展,并且孕育了微积分思想萌芽.不可约的本质是什么?长期以来众说纷纭,得不到正确的解释,两个不可通约的比值也一直认为是不可理喻的数.15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”,17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数.然而真理毕竟是淹没不了的,毕氏学派抹杀真理才是“无理”.人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者,就把不可通约的量取名“无理数”——这就是无理数的由来.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪下半叶.1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数,并把实数理论建立在严格的科学基础上,从而结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.
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