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如图①，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C，点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC，DE 交直线AB于点E，连结BD。（1）求证：∠ADB=∠E； （2）求证：AD2=AC·AE； （3）当点D运动到什么位置时，△DBE∽△ADE请你利用图②进行探索和证明。
题型：解答题难度：中档来源：江苏中考真题
解：∵DE∥BC，∴∠ABC=∠E， ∵∠ADB，∠C都是AB所对的圆周角， ∴∠ADB=∠C， 又∠ABC=∠C， ∴∠ADB=∠E； （2）∵∠ADB=∠E，∠BAD=∠DAE， ∴△ADB∽△AED， ∴，即AD2=AB·AE， ∵∠ABC=∠C，∴AB=AC， ∴AD2=AC·AE； （3）点D运动到弧BC中点时，△DBE∽△ADE， ∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC， ∵∠DBC所对的是弧DC，∠EAD所对的是弧DB， ∴∠DBC=∠EAD， ∴∠EDB=∠EAD， 又∠DEB=∠AED， ∴△DBE∽△ADE。
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据魔方格专家权威分析，试题“如图①，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C，点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC..”主要考查你对&&圆心角，圆周角，弧和弦，相似三角形的判定，相似三角形的性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
圆心角，圆周角，弧和弦相似三角形的判定相似三角形的性质
圆的定义:在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 优弧：大于半圆的弧（多用三个字母表示）； 劣弧：小于半圆的弧（多用两个字母表示） 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。&&弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角的顶点在圆上，它的两边为圆的两条弦。圆心角特征识别:①顶点是圆心；②两条边都与圆周相交。
计算公式:①L(弧长)=n/180Xπr（n为圆心角度数，以下同）；②S(扇形面积) = n/360Xπr2；③扇形圆心角n=（180L）/（πr）（度）。④K=2Rsin(n/2) K=弦长；n=弦所对的圆心角，以度计。
圆心角定理:圆心角的度数等于它所对的弧的度数。理解：(定义）（1）等弧对等圆心角（2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．（3）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．（4）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．推论：在同圆或等圆中,如果(1)两个圆心角,(2)两条弧,(3)两条弦(4)两条弦上的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等
与圆周角关系:在同圆或等圆中,同弧或同弦所对的圆周角等于二分之一的圆心角。定理证明：分三种情况讨论，始终做直径COD，利用等腰三角形等腰底角相等，外角等于两内角之和来证明。圆周角定理推论：圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。①圆周角度数定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等。（不在同圆或等圆中其实也相等的。注：仅限这一条。）④半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。⑥在同圆或等圆中，圆周角相等&=&弧相等&=&弦相等。相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形。例如图中，若B'C'//BC，那么角B=角B'，角BAC=角B'A'C'，是对顶角，那么我们就说△ABC∽△AB'C'相似三角形的判定：1.基本判定定理(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。)(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。)(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。2.直角三角形判定定理(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。3.一定相似：（1）.两个全等的三角形（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1）（2）.两个等腰三角形（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。） （3）.两个等边三角形(两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似)　（4）.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。相似三角形判定方法：证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。一、（预备定理）平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）二、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。三、如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。& 四、如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似五（定义）对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形六、两三角形三边对应垂直，则两三角形相似。七、两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。八、由角度比转化为线段比：h1/h2=Sabc易失误比值是一个具体的数字如：AB/EF=2而比不是一个具体的数字如：AB/EF=2：1相似三角形性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。(6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方(7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项(8)c/d=a/b 等同于ad=bc.(9)不必是在同一平面内的三角形里①相似三角形对应角相等，对应边成比例.②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.③相似三角形周长的比等于相似比
定理推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
发现相似题
与“如图①，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C，点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC..”考查相似的试题有：
38164839140984388138726912196391723根据平行线的性质以及角平分线的性质得出,,进而得出答案;根据已知得出,进而利用勾股定理求出的长,即可得出的长;根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可.
证明:交的平分线于点,交的外角平分线于点,,,,,,,,,,;解:,,,,,,;答:当点在边上运动到中点时,四边形是矩形.证明:当为的中点时,,,四边形是平行四边形,,平行四边形是矩形.
此题主要考查了矩形的判定,平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识,根据已知得出是解题关键.
3911@@3@@@@矩形的判定@@@@@@259@@Math@@Junior@@$259@@2@@@@四边形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3864@@3@@@@平行线的性质@@@@@@257@@Math@@Junior@@$257@@2@@@@相交线与平行线@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3885@@3@@@@等腰三角形的判定与性质@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3891@@3@@@@直角三角形斜边上的中线@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
@@52@@7##@@52@@7##@@52@@7##@@52@@7
第三大题，第9小题
第三大题，第8小题
第三大题，第8小题
第三大题，第6小题
第三大题，第7小题
第三大题，第3小题
第三大题，第7小题
第三大题，第5小题
第三大题，第11小题
第三大题，第6小题
第三大题，第4小题
求解答 学习搜索引擎 | 如图,\Delta ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN//BC.设MN交角ACB的平分线于点E,交角ACB的外角平分线于点F.(1)求证:OE=OF;(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,圆周角定理
分析：（1）由AB是⊙O的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由PD⊥CD，可得∠D=∠ACB，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠P，根据有两角对应相等的三角形相似，即可判定：△PCD∽△ABC；（2）由△PCD∽△ABC，可知当PC=AB时，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得；（3）由∠ACB=90°，AC=12AB，可求得∠ABC的度数，然后利用相似，即可得∠PCD的度数，又由垂径定理，求得=AC=AP，然后利用圆周角定理求得∠ACP的度数，继而求得答案．
解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵PD⊥CD，∴∠D=90°，∴∠D=∠ACB，∵∠A与∠P是BC对的圆周角，∴∠A=∠P，∴△PCD∽△ABC；（2）解：当PC是⊙O的直径时，△PCD≌△ABC，理由：∵AB，PC是⊙O的直径，∴∠PBC=∠ACB=90°，AB=PC，∵∠A=∠P在△PCD和△ABC中，∠P=∠A∠PDC=∠ACBAB=PC，∴△PCD≌△ABC（AAS）；（3）解：∵∠ACB=90°，AC=12AB，∴∠ABC=30°，∵△PCD∽△ABC，∴∠PCD=∠ABC=30°，∵CP⊥AB，AB是⊙O的直径，∴AC=AP，∴∠ACP=∠ABC=30°，∴∠BCD=∠ACB-∠ACP-∠PCD=90°-30°-30°=30°．
点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．
请选择年级七年级八年级九年级请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：初中数学
下列运算中，错误的运算有（　　）①（2x+y）2=4x2+y2，②（a-3b）2=a2-9b2，③（-x-y）2=x2-2xy+y2，④（x-）2=x2-2x+．
A、1个B、2个C、3个D、4个
科目：初中数学
计算的结果是（　　）
A、B、C、1D、
科目：初中数学
如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从D开始向A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t表示时间（0≤t≤6）则：（1）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？（2）设△PCQ的面积=S，求出S与t的函数关系式，并探索S的最值情况．
科目：初中数学
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，3），顶点在直线y=-x+1上且在第四象限，顶点与原点的距离为5．（1）求函数解析式；（2）设该二次函数的图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，求点A、B、C的坐标．
科目：初中数学
如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，设OD=t．（1）tan∠FOB=；（2）已知二次函数图象y=-x2+bx+c经过O、C、F三点，求二次函数的解析式；（3）当t为何值时以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似．
科目：初中数学
（1）如图1，已知点O是直线AD上一点，射线OC，OE分别是∠AOB，∠BOD的平分线，若∠AOC=20°，∠BOE的度数．（2）已知线段AB如图2，延长AB到C，使BC=AB，反向延长AC到D，使DA=AC，若AB=12cm，求DC的长．
科目：初中数学
判断下列图形是否全等，并说明理由：（1）周长相等的等边三角形；（2）周长相等的直角三角形；（3）周长相等的菱形；（4）所有的正方形．
科目：初中数学
某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年十一月份的工资情况信息：
月销售件数/件
1700（1）求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？（2）若职工丙今年十二月份的工资为2200元，那么丙该月应销售多少件产品？
吴老师30日19点直播线段的垂直平分线的性质
余老师30日20点直播unit5第二课时 Section A利用平行线的性质由角相等得出边相等;假设四边形,再证明与在同一平面内过同一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾;利用平行四边形及直角三角形的性质证明四边形是正方形.
.其证明如下:是的平分线,.,...同理可证..(分)四边形不可能是菱形,若为菱形,则,而由可知,在平面内过同一点不可能有两条直线同垂直于一条直线.(分)当点运动到中点时,且是直角三角形时,四边形是正方形.理由如下:为中点,,由知,四边形为平行四边形;,,为矩形,又.是正方形.当点为中点且是以为直角的直角三角形时,四边形是正方形.(分)
本题考查的是平行线,角平分线,等腰三角形的性质及正方形,平行四边形的性质与判定,涉及面较广,在解答此类题目时要注意角的运用,一般通过角判定一些三角形,多边形的形状,需同学们熟练掌握.
3914@@3@@@@正方形的判定@@@@@@259@@Math@@Junior@@$259@@2@@@@四边形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3864@@3@@@@平行线的性质@@@@@@257@@Math@@Junior@@$257@@2@@@@相交线与平行线@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3881@@3@@@@角平分线的性质@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3883@@3@@@@等腰三角形的性质@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3908@@3@@@@菱形的判定@@@@@@259@@Math@@Junior@@$259@@2@@@@四边形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
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第一大题，第15小题
第三大题，第3小题
第三大题，第8小题
第三大题，第6小题
第一大题，第18小题
第一大题，第12小题
第三大题，第9小题
第二大题，第12小题
第一大题，第17小题
第二大题，第12小题
第一大题，第20小题
第一大题，第3小题
第一大题，第28小题
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第三大题，第7小题
第三大题，第2小题
第一大题，第24小题
第一大题，第11小题
第三大题，第10小题
第一大题，第26小题
第一大题，第21小题
第三大题，第7小题
第三大题，第6小题
求解答 学习搜索引擎 | 如图,\Delta ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN//BC,设MN交角BCA的平分线于点E,交角BCA的外角平分线于点F.(1)探究:线段OE与OF的数量关系并加以证明;(2)当点O在边AC上运动时,四边形BCFE会是菱形吗?若是,请证明,若不是,则说明理由.(3)当点O运动到何处,且\Delta ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．(1)求证：OE＝OF；(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置_百度作业帮
如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．(1)求证：OE＝OF；(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置
如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．(1)求证：OE＝OF；(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由
1&2：如图所示：