线段AB=CD,∠AMC=60°,证AC＋BD≥AB

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-05-14 11:39 标签： 如图 ab ac bd cd
如图:线段AB=CD,AC与BD交于点O,∠AOC=60°,求证:AC+BD≥AB
过D做DE//AB过A做AE//BDAE DE交于E连接CE所以四边形ABDE为平行四边形AB=DEAC+BD=AC+AE又角AOC=60则角 CDE=60AB=CD所以三角形CDE为等边三角形CD=DE=CE当E A C三点共线时,AC+AE=AC+BD=CE=AB当E A C 三点不共线时 E A C...
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扫描下载二维码已知：在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，&BAE=&BDF，点M在线段DF上，&ABE=&DBM．
（1）如图1，当&ABC=45时，求证：AE=$\sqrt{2}$MD；
（2）如图2，当&ABC=60时，则线段AE、MD之间的数量关系为：__________．
（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE=$2\sqrt{7}$，求tan&ACP的值．
试题及解析
学段：初中 学科：数学 浏览：1628
已知：在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE=∠DBM．
（1）如图1，当∠ABC=45&时，求证：AE=$\sqrt{2}$MD；
（2）如图2，当∠ABC=60&时，则线段AE、MD之间的数量关系为：__________．
（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE=$2\sqrt{7}$，求tan∠ACP的值．
点击隐藏试题答案:
解：（1）证明：如图1，连接AD．
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵∠ABC=45&，
∴BD=ABocos∠ABC即AB=$\sqrt{2}$BD．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．
∴$\frac{AE}{DM}=\frac{AB}{DB}=\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{2}$MD．
（2）∵cos60&=$\frac{1}{2}$，
∴MD=AEocos∠ABC=AEo$\frac{1}{2}$，即AE=2MD．
∴AE=2MD；
（3）如图2，连接AD，EP．
∵AB=AC，∠ABC=60&，
∴△ABC是等边三角形．
又∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠DAC=30&，BD=DC=$\frac{1}{2}$AB．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．
∴$\frac{BE}{BM}=\frac{AB}{DB}=2$，
∠AEB=∠DMB．
∴EB=2BM．
又∵BM=MP，
∵∠EBM=∠ABC=60&，
∴△BEP为等边三角形，
∴EM⊥BP，
∴∠BMD=90&，
∴∠AEB=90&．
在Rt△AEB中，AE=2$\sqrt{7}$，AB=7，
∴BE=$\sqrt{{AB}^{2}-{AE}^{2}}=\sqrt{21}$．
∴tan∠EAB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵D为BC中点，M为BP中点，
∴DM∥PC．
∴∠MDB=∠PCB，
∴∠EAB=∠PCB．
∴tan∠PCB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
在Rt△ABD中，AD=ABosin∠ABD=$\frac{7}{2}\sqrt{3}$，
在Rt△NDC中，ND=DCotan∠NCD=$\frac{7}{4}\sqrt{3}$，
∴NA=AD-ND=$\frac{7}{4}\sqrt{3}$．
过N作NH⊥AC，垂足为H．
在Rt△ANH中，NH=$\frac{1}{2}$AN=$\frac{7}{8}\sqrt{3}$，AH=ANocos∠NAH=$\frac{21}{8}$，
∴CH=AC-AH=$\frac{35}{8}$，
∴tan∠ACP=$\frac{\sqrt{3}}{5}$．
点击隐藏答案解析:
本题考查了相似三角形的判定，利用直角三角形的性质，三角函数的概念求解，通过作辅助线使线段与线段的关系得到明确．本题的计算量大，难度适中．
该试题的相关试卷
试卷名称：第25章《解直角三角形》中考题集（25）：25.3 解直角三角形及其应用
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