怎么用反证法做题
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一 反证法的概念 二 反证法的逻辑依据、种类及步骤 （1）反证法逻辑依据 （2）反证法种类 （3）反证法步骤三 中学数学中宜用反证法的适用范围 （1）否定性命题 （2）限定式命题 （3）无穷性命题 （4）逆命题 （5）某些存在性命题 （6）全称肯定性命题 （7）一些不等量命题的证明 （8）基本命题 四 运用反证法应该注意的问题 （1）必须正确否定结论 （2）必须明确推理特点 （3）了解矛盾种类浅谈反证法在中学数学中的应用论文摘要 论文摘要 本文重点阐明反证法的概念,逻辑依据“矛盾律”和“排中律” , 反证法的种类包括归谬法简单归谬法和穷举归谬法, 反证法证明的一 般步骤（反设、归谬 、结论） ,证题的实践告诉我们：下面几种命题 一般用反证法来证比较方便, 否定性命题、 限定式命题、 无穷性命题、 逆命题、 某些存在性命题、 全称肯定性命题、 一些不等量命题的证明、 基本命题.运用反证法应该注意的问题,必须正确否定结论、必须明 确推理特点、了解矛盾种类. 关键词: 关键词: 反证法 证明 假设 矛盾 结论有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩,一天,他和 小朋友发现路边的一棵树上结满了李子,小朋友一哄而上,去摘,尝了之后才知 是苦的,独有王戎没动,王戎说： “假如李子不苦的话,早被路人摘光了,而这 树上却结满了李子,所以李子一定是苦的. ”这个故事中王戎用了一种特殊的方 法,从反面论述了李子为什么不甜,不好吃.这种间接的证法就是我们下面所要 讨论的反证法.一 反证法的概念反证法是从反面的角度思考问题的证明方法,属于“间接证明”的一类,即 肯定题设而否定结论,从而导出矛盾,推理而得. 反证法是数学中常用的间接证明方法之一. 反证法的逻辑基础是形式逻辑基 本规律中的排中律.通常反证法是从待证命题的结论的反面入手进行正确推理, 推出矛盾,从而得出原结论的反面不真,由此肯定原结论为真.中学代数中,一些 起始性命题﹑否定性命题﹑唯一性命题﹑必然性命题﹑结论以 “至多……”“至 或 少……”的形式出现的命题﹑“无限性”的命题﹑一些不等式的证明等用反证法 来证明可收到较好的效果. 假设命题判断的反面成立,在已知条件和“否定命题判断”这个新条件下, 通过逻辑推理,得出与公理﹑定理、题设、临时假定相矛盾的结论或自相矛盾, 从而断定命题判断的反面不成立,即证明了命题的结论一定是正确的,当命题由 已知不易直接证明时,改证它的逆命题的证明方法叫反证法. 用框图表示如下： 题断反面 前此定理 本题题设 前此公理 前此定义第一用穷举法不能举出所有个体的,例如 证明：素数有无穷多个；无理数的个数不比无理数少等第二用已学的知识不能证明出结论的,例如：如果一个三角形的两条边不相等,那么这两条边所对的角也不相等.因为高中数学内容涉及范围较广,因此这种情况比较多见.第三用直接证明步骤繁琐且易出错的,这种情况多出现在解几中的圆锥曲线部分反证法定义：证明定理的一种方法,先提出和定理中的结论相反的假定,然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来,这样就否定了原来的假定而肯定了定理.也叫归谬法.适用范围:证明一些命题,且正面证明有困难,情况多或复杂,而否定则比较浅显具体方法(E.G):命题r=在C下,若A则B反证:若A则￢B证明￢B与A的矛盾举例：欲证“若P则Q”为真命题,从否定其结论即“非Q”出发,经过正确的逻辑推理导出矛盾,从而“非Q”为假,即原命题为真,这样的证明方法称为反证法,先提出和定理中的结论相反的假定,然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来.【反证法】 间接论证的一种.先论证与原论题相矛盾的论题即反论题为假,然后根据排中律确定原论题为真.其论证过程可以表示如下：[求证] A(原论题)[证明] (1)设非A真(非A为反论题)
(2)如果非A,则B(B为由非A推出的论断)
(3)非B(已知)
(4)所以,并非非A(根据充分条件假言推理的否定后件式)
(5)所以,A(非非A=A).
例如,语言学工作者论证“语言的声音和它所表示的事物之间没有必然联系”这一论题时运用反证法论证如下：“声音和词所表示的事物之间并没有什么必然的联系,并非某一个声音必然表示某一个对象.声音和事物的结合假如有什么必然联系,世界上所有的语言中表示同一事物的词的声音就应当是相同的.既然世界上表示同一事物的词的声音各有不同,可见语言的声音和所表示的事物之间是没有必然联系的.”这一段论述的反证过程分析如下：
论题：语言的声音和所表示的事物之间没有必 然的联系(在开头提出,最后又做归结)
反论题：声音和事物的结合有必然联系.设反论题为真,然后进行推导：“声音和事物的结合假如有什么必然联系,世界上所有的语言中表示同一事物的词的声音就应是相同的.”后件显然不能成立：“世界上表示同一事物的词的声音各有不同”.根据充分条件假言推理的否定式,否定后件就必然否定前件,从而证明反论题“声音和事物的结合有必然联系”是假的.然后根据排中律,证明原论题是真的.需要注意的是,反证法是通过先论证反论题假,然后由假推真,确定原论题真.因此反论题与原论题必须是矛盾关系,不能是反对关系.因为反对关系的判断可以同假,即从一个判断的假不能必然推出另一判断的真.
反证法在数学中经常运用.当论题从正面不容易或不能得到证明时,就需要运用反证法
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厦门大学《普通逻辑学》之普通逻辑的基本规律
逻辑思维规律作为普通逻辑的研究对象，它包括两个部分的内容：一是概念、判断、推理等各种逻辑形式的特有规律，二是普遍适用于各种逻辑形式的基本规律。就普通逻辑的基本规律而言，主要包括：同一律、矛盾律（或称不矛盾律）、排中律和充足理由律。
1、普通逻辑基本规律的作用
普通逻辑基本规律是人类正确进行逻辑思维的根本准则和基本依据。正确的逻辑思维必须具备同一性、无矛盾性、明确性和论证性。
在同一思维过程中，同一律要求概念、判断必须是确定的，自身同一的；矛盾律要求概念、判断必须前后一致，不能自相矛盾；排中律规定了不能对相互矛盾的概念以及具有矛盾关系或下反对关系的判断同时加以否定；充足理由律要求我们进行推理时，所依据的理由（前提）要正确，推论（结论）和理由之间要有必然的逻辑联系。
总之，普通逻辑的基本规律表现了正确逻辑思维的基本特征，只有遵守这些基本规律，才可能保证逻辑思维活动的确定性、合逻辑性。
2、普通逻辑基本规律的客观性
普通逻辑的基本规律是认识过程中思维活动的规律，而不是客观事物本身的规律。但是，二者是有密切联系的。普通逻辑的基本规律是客观事物的质的规定性和普遍联系性的反映。
列宁曾经指出：逻辑规律是客观事物在人的主观意识中的反映。这就是说，普通逻辑的基本规律不是先验的，也不是约定俗成的，它们是人类长期的实践中对客观事物或现象的质的规定性以及最一般关系的概括和总结。可见，普通逻辑的基本规律是具有客观性的。
唯物辩证法告诉我们，客观事物都处于永恒的运动、变化和发展过程中。但是，它们同时又具有相对稳定性的一面。这种相对稳定性是客观事物在质变过程中处于量变阶段所呈现出来的面貌。它使客观事物仍然保持其原有的质的规定性，使这一事物仍然是该事物，而不是其他的事物。另外，客观事物之间以及内部诸要素之间是相互影响、相互作用和相互制约的。任何客观事物都不是孤立存在的，而处于普遍联系之中。客观世界的这些性质以及联系反映到人的意识活动中，就表现为普通逻辑的基本规律。
二、同一律
1、同一律的基本内容
同一律是指在同一思维过程中，任何一个思想必须保持自身的同一。也可以表述为在同一思维过程中，任何一个思想，如果它反映了某个客观对象，那么它就反映了这个客观对象。
同一律的逻辑表达式：A是A，或者A→A。
表达式中，“A”表示任何一个思想（概念或判断）。“A是A”指在同一思维过程中，如果A反映什么，那么它就反映什么。“A→A”表示如果A是真的，那么它就是真的；如果A是假的，那么它就是假的。即在同一思维过程中，一个概念或判断所反映或所断定的内容始终如一，其性质始终不变。
同一律要求人们的思维过程要具有同一性、确定性。
就概念而言，同一律要求在同一思维过程中，所使用的概念必须保持相同的内涵和外延。例如，“质量”这一概念，在同一思维过程中要有确定的含义。如果在一段议论中的各处它都是指“产品或工作的优劣程度”，那么，这段议论就遵守了同一律。反之，它如果时而表示这个意义，时而又表示为“由物体所含物质的多少决定的量度物体惯性大小的物理量”，那么，“质量”这个概念就失去了同一性，从而违反了同一律。
就判断而言，同一律要求在同一思维过程中，某一判断的内涵（内容）和外延（真值）保持不变，具有确定的思想和逻辑值。例如，“这是犯罪”。这个判断，可以有两种理解：一种理解是“这是具有社会危害性并依照法律应该受到处罚的行为。”，另一种理解是“这是应当受到谴责的严重错误。”实际上，这是两个不同的判断。如果在一段议论中，前后一贯地在其中一种意义下使用这两个判断，那么就遵守了同一律，否则，这个判断就不具有同一性，就违反了同一律。
如果概念和判断保持了同一性，那么，由它们构成的推理也就遵守了同一律。
2、违反同一律要求的逻辑错误
违反同一律要求的逻辑错误，主要表现为两种：偷换概念或混淆概念，偷换论题或混淆论题。
A、偷换概念或混淆概念——指在同一思维过程中，把具有某些联系或表面有某些相似之处的不同概念当作相同概念来使用，或者把同一概念在不同意义上使用。从而构造了不恰当的判断。如果使用者故意而为，我们称之为“偷换概念”，如果使用者无意而为则属于“混淆概念”。
例如：物质是不灭的，人体是物质，所以，人体是不灭的。“物质是不灭的”中的“物质”指哲学中的不依赖于人的意识，并能为人的意识所反映的客观实在。而“人体是物质”中的“物质”指物质的具体形态。这犯了混淆概念的错误。
诡辩是偷换概念的典型。古希腊的一个诡辩论者问他的朋友：“你没有失掉东西，你就拥有这个东西，对吧？”对方回答：“对啊。”于是，他接着说，“你没有失掉头上的角吧，那你头上就有角了！”对方无言以对。对话过程中，“头上有角”这个荒谬的结论似乎是从对方承认的前提中推导出来的。但是，诡辩中“没有失掉的东西”这个概念应指“原来具有现在还没有失掉的东西”，而不能指“从来没有而没有失掉的东西”，诡辩论者通过偷换概念到达了自己的目的。
B、偷换论题或混淆论题——指在同一思维过程中，把有某些联系或表面有某些相似之处的不同判断当作相同的判断，从而使本该得到论证的论题得不到证明。如果使用者故意而为，我们称之为“偷换论题”，如果使用者无意而为，我们称之为“混淆论题”。
例如：英国博物学家、进化论者赫胥黎在达尔文发表《物种起源》后，大力宣传进化论学说，并第一个提出了人类起源的问题，但遭到当时教会的反对。一次在辩论“人类是否由猿猴进化而来”时，大主教威尔勃福斯对赫胥黎进行人身攻击：“请问，是你的祖父还是祖母是由猴子变来的？”。
上例中威尔勃福斯的问话违反了同一律，他将“人是由猿猴进化而来的”曲解为“人是由猴子变的”，犯了混淆论题的逻辑错误。
3、同一律的作用
A．同一律保证了同一思维过程中，特定思维的确定同一性，这是正确思维的必要条件。反之，如果在某一思维过程中，我们所使用的概念、判断时而是这种含义，时而是那种含义，则务必会造成思想混乱，无法进行思想交流。
B．同一律是逻辑思维最基本的规律。逻辑思维的其他规律，如定义的相应相称、三段论中有且只能有三个不同的项的规则，从不同方面体现同一律的要求，以保证思维的确定同一性。
C．同一律有其使用范围，它必须在“同一思维过程”中才有效。所谓“同一思维过程”指同一时间、同一关系（方面）、同一对象而言。换言之，在不同时间，或者不同关系（或方面），对不同对象，则不要求具有这种逻辑的同一性。例如：
小张过去学习很差，现在学习很好。
小张学习很好，但身体很差。
小张学习很好，小李学习很差。
以上这些判断都不违反同一律。因为他们或者述说的是不同时间的同一对象，或者是同一对象的不同方面，或者是不同对象的同一方面。
4、同一律的客观性
辩证唯物主义认为：客观世界是处于永恒的运动、变化和发展过程中的，而运动、变化、发展着的事物在某种条件下又具有某种相对静止的状态和相对稳定的形式。辩证唯物主义在坚持运动绝对性的前提下，肯定相对静止的存在，这是由于离开了相对静止谈运动，我们就不知道是什么事物或什么形式的运动，就会使一切变得不可捉摸，无法认识。
普通逻辑思维的同一律正是要求思维活动反映事物的这种相对静止的状态。在某一阶段，从某一方面对事物进行考察。同一律是与唯物辩证法并行不悖的，但与形而上学的“绝对同一”却截然相反。恩格斯指出：“旧形而上学意义下的同一律是旧世界观的基本原则：a＝a，每一个事物和他自身同一。一切都是永久不变的，太阳系、星体、有机体都是如此，这个判断在每个场合下都被自然科学一点一点地驳倒了……”
思想的确定性和思想的变化性是相辅相成的，确定的思想总是发展变化的，在思想发展变化的过程中必然有确定的思想内容。毛泽东曾经对“人民”这一概念的外延进行了分析：“人民”这个概念在我国不同的历史时期，有着不同的内容。抗日战争时期，一切抗日的阶级、阶层和社会集团都属于人民的范围；解放战争时期，美帝国主义和它的走狗即官僚资产阶级、地主阶级以及代表这些阶级的国民党反动派，都是人民的敌人。而一切反对这些敌人的阶级、阶层和社会集团，都属于人民的范围；在建设社会主义的新阶段，一切赞成、拥护和参加社会主义建设事业的阶级、阶层和社会集团，都属于人民的范围。
可见，“人民”这一概念随着我国阶级状况的变化而变化，但在某一确定的时期，“人民”又具有确定的内容，它所指的对象是确定的。所以，我们一面要看到思想的变化发展，一面要承认思想的确定同一。
三、矛盾律
1、矛盾律的基本内容
矛盾律（也称“不矛盾律”），指在同一思维过程中，任何一个思想与这个思想的否定不能同时为真，必有一假。也可表述为：在同一思维过程中，任何一个思想不能既反映某个客观对象，又不反映这个客观对象。
矛盾律的逻辑表达式：A不是非A，或者﹁（A∧﹁A）。
表达式中“A”表示任何一个思想（概念或判断）。“非A”表示与“A”具有矛盾关系或反对关系的概念或判断。“A不是非A，或﹁（A∧﹁A）”即在同一思维过程中，“A”和“非A”不能同真，其中必有一假。“A”为真，则“非A”为假；“非A”为假，则“A”为假。
矛盾律要求人们的思维过程具有不矛盾性和一贯性。
就概念而言，矛盾律要求在同一思维过程中，不能用一对相互矛盾或相互反对的概念去表示同一客观对象。例如：我们不能用“匀速运动”和“不匀速（变速）运动”来表示物体在某一时间点上的运动；不能用“正方”和“三角”表示同一个形状。因为，“变速的匀速运动”和“正方三角形”都是自相矛盾的概念，没有表达确定的思想内容。
就判断而言，矛盾律要求，在同一思维过程中，对同一事物不能做出具有矛盾关系或反对关系的论断。例如：“本班所有的同学都是团员。”与“本班有的同学不是团员。”这是两个具有矛盾关系的判断，二者不能同真，必有一假。又如：“这个园子里的花都是白色的。”与“这个园子里的花都不是白色的。”这是两个具有反对关系的判断，二者不能同真，必有一假。
如果概念和判断排除了逻辑矛盾，那么，由他们构成的推理就遵守了矛盾律。
2、违反矛盾律的逻辑错误
违反矛盾律的逻辑错误是“自相矛盾”。
“自相矛盾”一词出自《韩非子&难一》：“楚人有鬻矛与盾者，誉之曰：‘吾盾之坚，物莫能陷也。’又誉其矛曰：‘吾矛之利，于物无不陷也。’或曰：‘以子之矛，陷子之盾，何如？’其人弗能应也。夫不可陷之盾与无不陷之矛，不可同世而立。”
A、“自相矛盾”在概念上的表现是，同一思维过程中的同一概念包含着相互矛盾或相互反对的思想。从而使这一概念不能指称任何对象。
例1：这次战争对他们而言既是正义的又是非正义的。
例2：他已经发表了将近20多篇文章。
例3：巍巍长城，气势磅礴，雄伟壮观。她是我国劳动人民的智慧结晶，也是伟大祖国的天然屏障。
这些例子中包含了逻辑矛盾，例1中的“正义”和“非正义”，例2中的“将近20篇”和“20多篇”，例3中的“劳动人民的智慧结晶”和“天然屏障”都是相互矛盾的概念。同时断定它们为真，就导致了“自相矛盾”的逻辑错误。
B、“自相矛盾”在判断上表现为，在同一思维过程中，用具有矛盾关系或反对关系的判断描述同一对象，从而导致这两个判断均失去了效用。这就是通常人们所说的“出尔反尔”、“前言不搭后语”、“自打嘴巴”。
例如：我相信一位哲人的名言：“世界上没有任何东西是可信的”。
例中，“我相信一位哲人的名言”（“世界上有的东西是可信的”），与“世界上没有任何东西是可信的”（“世界上所有的东西是都不可信的”），同时对这两个具有矛盾关系的判断加以肯定，则违反了矛盾律。
C、“悖论”是一种特殊的逻辑矛盾。
一个判断B，如果承认B，则可以推出非B；如果承认非B，又可以推出B，那么，我们称B为悖论。逻辑表达式为：B→﹁B；﹁B→B；B←→﹁B
悖论的推导过程是不违反普通逻辑的矛盾律的，但是它的前提和结论却相互矛盾。
最古老的悖论出自古希腊克利特岛人爱匹门尼德的断言：“所有的克里特岛人都是说谎者。”试分析，如果爱氏的这句话是真话，可见，作为克利特岛人的爱氏就在说慌。那么，他的断言就是假的；反之，如果爱氏的话是假的，可见作为克利特岛人的爱氏就没有说谎。那么他的话就是真的。
最著名的悖论是英国哲学家、逻辑学家罗素于1920年提出的“罗素悖论”（“集合悖论”）。后来，罗素本人用通俗的语言将其改为“理发师悖论”：
萨维尔村有个理发师规定：“我给而且只给村里所有不给自己刮胡须的人刮胡须。”现在要问，这个理发师要不要给自己刮胡须？
如果理发师给自己刮胡须，那么，他就属于给自己刮胡须的那类人。但按照他的规定，他是不给这类人刮胡须的，因此，他不能给自己刮胡须；如果理发师不给自己刮胡须，那么，他就属于不给自己刮胡须的那类人。按照他的规定，他是要给这类人刮胡须的。因此，他能给自己刮胡须。这样，理发师就陷入了无法解脱的矛盾之中。
罗素悖论的出现，引发了整个数学界的震惊，导致了数学史上的第三次危机。逻辑学家和数学家一直致力于研究悖论产生的根源和解决方法，罗素的分支类型论和塔尔斯基的语言层次理论较好地解决了部分悖论。
3、矛盾律的作用
首先，矛盾律的作用在于保证思维的一贯性和无矛盾性。如果违反了矛盾律的要求，我的思维过程就会出现逻辑矛盾，就不可能正确反映客观事物。
其次，矛盾律是构建和检验科学理论体系的必不可少的准则和工具。“‘逻辑矛盾’——当然在正确的逻辑思维的条件下——无论在经济分析中或在政治分析中都是不应当有的。”
任何科学理论体系都要排除逻辑矛盾，否则，科学理论体系是站不住脚的。
再次，在推理过程中，根据矛盾律，我们可以揭露某一言论的错误。
古希腊思想家亚里士多德曾经断言：物体从高空落下的速度同物体的重量成正比，重者下落快，轻者下落慢。比如：十磅重的物体落下时要比一磅重的物体下落快十倍。1800多年来，人们都把这个错误论断当作真理而信守不移。直到16世纪，伽利略才发现了这一理论的逻辑矛盾：假如一块大石头（A）以某种速度下降，那么，按照亚里士多德的论断，一块小些的石头（B）就会以相应慢些的速度下降。要是我们把这两块石头捆在一起，新的整体（C）将以何种速度下降呢？按亚里士多德的论断，势必得出相互矛盾的两个结论：（1）C下降速度应小于A的下降速度。因为加上了一块以较慢速度下降的石头B，会使A下降的速度减缓；（2）C下降速度大于A的下降速度。因为C的重量大于A。由此，伽利略进而假定，物体下降速度与它的重量无关。如果两个物体受到的空气阻力相同，或将空气阻力略去不计，那么，两个重量不同的物体将以同样的速度下落，同时到达地面。
另外，矛盾律还是间接反驳（独立证明）的逻辑根据。如，为了证明判断p为假，我们只要证明与p具有矛盾关系（或反对关系）的另一判断﹁p为真，就能达到证明的目的。
4、矛盾律起作用的范围
矛盾律同样是在“三个同一——同一时间、同一关系（方面）、同一对象”的条件下才是有效的。
例如，马克思主义的经典作家分别做出“社会主义不能单独在一国取得胜利，它只有在所有的或大多数的文明国家里进行共同的努力才能胜利”与“社会主义在单独的一个国家内完全可能胜利；社会主义革命在一切国家或大多数文明国家内同时取得胜利是不可能的”的论断，它们虽然是互相矛盾的，但并不违反矛盾律的要求。因为，前者是马克思和恩格斯在资本主义自由竞争的条件下断定的，后者是列宁在帝国主义条件下作出的论断。
5、矛盾律的客观性
矛盾律是对客观事物质的规定性的反映，客观事物在确定的时间条件下，其确定的属性不可能同时存在又不存在。
唯物辩证法认为，矛盾存在于一切事物发展过程的始终，是事物发展的动力和源泉。如生产力与生产关系的矛盾，经济基础和上层建筑的矛盾等等，都是客观事物的现实矛盾。辩证法的对立统一规律（又称矛盾律）是理解事物变化发展的“钥匙”。是人们认识和改造世界的根本原则。
逻辑矛盾是思维中的自相矛盾，违反的是思维规律。而辩证矛盾是事物内部相互对立的两个方面，两者相互排斥、斗争，在一定条件下相互依存、转化。辩证矛盾普遍存在于自然、社会和思维领域中，受对立统一规律的制约。所以，逻辑矛盾和辩证矛盾是截然不同的。
普通逻辑的矛盾律不是要排除，也不可能排除客观事物的内部矛盾。它只是要求排除思维中的逻辑矛盾，即同一思维过程中出现的自我否定现象。如：“生产力是社会发展的最终决定力量。”与“生产力不是社会发展的最终决定力量。”在此，矛盾律会指出这两个判断不能同时为真。
如果把矛盾律的公式“A不是非A”理解为事物内部不存在互相对立的力量的矛盾运动，是对矛盾律的曲解。正确反映现实矛盾的思想是不会自相矛盾的。清代学者方以智曾经说过：“设教之言唯恐矛盾，而学天地者不妨矛盾。”
四、排中律
1、排中律的基本内容
排中律指在同一思维过程中，任何一个思想与这一思想的否定不能同时为假，必有一真。也可以表述为：在同一思维过程中，任何一个思想，或者反映某个对象，或者不反映这个对象，二者必居其一。
排中律的逻辑表达式：A或者非A，或者A∨﹁A。
表达式中，“A”表示任何一个思想（概念或判断）。如果“A”表示概念，“非A”表示与“A”具有矛盾关系的概念。如果“A”表示判断，则“非A”表示与“A”具有矛盾关系或下反对关系的判断。“A或者非A，或者A∨﹁A”即在同一思维过程中，“A”和“非A”不能同假，或者A真，或者非A真，二者必居其一，没有第三种情况。A为假，则非A为真，非A为假，则A为真。
排中律要求人们的思维过程具有明确性。
就概念而言，排中律要求，用同一论域下的概念反映同一事物，不是“A”，就是“非A”。例如，“化学元素”这一论域中的事物，不是金属，就是非金属。不能有既不是金属又不是非金属的第三种情况。
就判断而言，排中律要求，针对同一对象，具有矛盾关系或下反对关系的一对判断，不能同假，必有一真。例如：“这个人是大学生”与“这个人不是大学生”这两个具有矛盾关系的判断，以及“有的鸟是卵生的”与“有的鸟不是卵生的”这两个具有下反对关系的判断，它们不能同假，必有一真。
如果概念和判断遵守了排中律，那么由他们构成的推理也就遵守了排中律。
2、违反排中律的逻辑错误
违反排中律要求的逻辑错误表现为“模棱两可”。
“模棱两可”出自《新唐书&苏味道传》。苏味道是唐朝的一位宰相，他常对人说：“决事不欲明白，误则有悔，模棱持两端可也。”后人该其意表示为“模棱两可”。实际是“模棱两不可”，用来描述对同一事物采取含糊其辞、骑墙居中的态度。
1）、“模棱两可”在概念上的表现为，在某一特定论域中，对同一思维中的同一事物，既不承认它属于概念“A”的外延，也不承认它属于与“A”具有矛盾关系的概念“非A”的外延。
例1：“在动物界，这个家伙既不是哺乳动物，又不是非哺乳动物。”
例2：“这场战争使不同的人受难，它既不是正义战争，也不是非正义战争。”
以上两例均违反了排中律。在动物这个论域中，任何一个动物，它或者属于“哺乳动物”的外延范围，或者属于“非哺乳动物”的外延。任何一场战争，它都无法界与“正义之战”和“非正义之战”之间。
2）、“模棱两可”在判断上表现为，同时否定两个具有矛盾关系或者下反对关系的判断。
例1：这次的预测，是一次例行的科学预测，这样的预测我们以前做过很多，既不能算成功，也不能算不成功。
例2：讨论中，一类观点认为：有的人天性就是善良的。另一类观点认为：有的人天性是凶恶的。这两种观点，我都不同意。
例1对具有矛盾关系的两个判断（“这次预测成功”与“这次预测不成功”）同时加以否定；例2则试图在具有反对关系的两个判断“有的人天性是善良的”与“有的人天性不是善良（凶恶）的”之外做出第三种选择，这都违反了排中律的要求，是不能成立的。
3、排中律的作用
首先，排中律的作用在于保证思维的明确性。思维只有清晰、明确才能正确反映客观事物及其规律。否则，思维含糊不清，模棱两可，就不能正确表达思想。
其次，排中律是直接推理（不相容选言推理）和间接证明（反证法）的逻辑基础，它是论辩的有力武器。根据排中律的要求，两个互相否定的思想，已知一个为假，可以推出另一个必真。在证明过程中，为了证明论题p为真，只要证明与p具有矛盾关系或下反对关系的判断﹁p（反论题）为假，就能根据排中律推定p为真。在论辩过程中，可依据排中律迫使论敌在两个相互否定的思想中，承认一个为真，做出明确选择。
4、排中律的作用范围
排中律同样在“三个同一”的条件下起作用。
需要注意的是，在审视一个思想是否违反排中律时，必须具体情况具体分析。
当事人在不了解情况时，持谨慎态度，不轻易表态；特殊工作为了保密而含糊其辞；外事工作出于策略上的考虑而“不置可否”；选举中投弃权票。我们不应该简单的认定是违反排中律的要求。
在运用排中律时，还必须注意“复杂问语”。
“复杂问语”是包含着预设（一段议论展开的理论前提）的问语。例如，“你最近还在酗酒吗？”这个复杂问语的预设为“你曾经酗酒”，对此问语的回答，不论给予肯定回答还是否定回答，都承认了预设“曾经酗酒”。因此，对“复杂问语”的回答不是简单的“是”或“否”，而是要分析它的预设，这并不违反排中律。
5、排中律的客观性
排中律是对确定的客观事物的特殊性、区别性的反映。从属于某一类别的客观事物在确定的条件下，或者具有这一类别的特定属性，或者不具有此类别的特定属性。该事物因此具有自身的特殊性而与其他事物区别开来。
唯物辩证法认为，事物在运动、变化、发展过程中，它自身的矛盾运动促使它向自己的对立面转化。因此，任何事物都具有亦此亦彼的过渡状态。如在生物进化史上，鸭嘴兽便是卵生动物向哺乳动物的过渡。
排中律与唯物辩证法的这一观点并不冲突。排中律要求在两个彼此矛盾的概念之间，在两个具有矛盾关系或下反对关系的判断间作出非此即彼的选择，并不是否认事物经由中间环节而向另一种状态过渡、转化。
例如，“坏事”能否转变为“好事”，以及如何转变为“好事”，排中律并不涉及，这是辩证法考虑的问题。排中律只是在思维中出现“坏事可以变为好事”与“坏事不可以变为好事”两个矛盾判断时，才指出这两个判断不能同真，必有一假。
排中律同样不否认鸭嘴兽是卵生动物向哺乳动物的过渡形态，只是当逻辑思维中出现“鸭嘴兽是卵生的”与“鸭嘴兽不是卵生的”这一对矛盾判断，或出现“鸭嘴兽是哺乳动物”与“鸭嘴兽不是哺乳动物”这一对矛盾判断时指出他们不可同假，必有一真。
五、充足理由律
1、充足理由律的基本内容
充足理由律是指在同一推理过程中，一个判断被确定为真，必须有充足的理由加以保证。
充足理由律的逻辑表达式：B真，因为A真，且A能必然推出B。符号公式为：（A∧（A→B））→B
表达式中，“B”表示在推理中被确定为真的判断（通常称之为“推断”，即结论）。“A”表示用来确定“B”真的一个或一组判断（通常称之为“理由”，即前提）。在一个推理过程中，理由“A”真，并且能够必然推出推断“B”，那么，“A”就是“B”的充足理由。
充足理由律有两层含义：一是推断必须有真实的理由。二是理由与推断之间必须有必然的逻辑联系。
充足理由律要求人们的思维具有论证性。
2、违反充足理由律要求的逻辑错误
违反充足理由律要求的逻辑错误主要有两种：“虚假理由”和“推不出”。
A）、虚假理由——指一个推理过程中，由以得出推断的理由不真实。
例1：“宇宙在时间上是有开端的。因为，宇宙是上帝创造的，而上帝创造的东西在时间上是有一定开端的。”
例1中，推理所依据的理由——“宇宙是上帝创造的”不真实，因此，这一推理犯了“虚假理由”的逻辑错误。
这里需要指出的是，在推理中究竟理由是真是假，并不是充足理由本身决定的，最终决定理由真假的是各门具体学科的知识。充足理由律要求理由真，但自身并能确定理由真假。
B）、推不出——指在一个推理过程中，理由虽然真实，但是理由和推断之间没有必然的逻辑联系。
例2：火星上肯定有生物。因为，火星上有许多条件和地球是相同的。
这个推理的理由——“火星上有许多条件和地球是相同的”是真实的，但是由这一理由并不能必然推出“火星上和地球一样有生物”。
3、充足理由律的作用
A、充足理由律保证了思维过程的论证性。只有坚持了论证性的推理才能有说服力。
B、充足理由律是科学理论存在的必要条件。任何一个理论的正确性，一是要经得住实践的检验，二是要经得起逻辑的推敲；任何一个理论的科学性，一是要符合客观实际，二是要有严密的论证性。
C、充足理由律是逻辑推理的基础，它是保证逻辑推理正确性的总体原则。无论是演绎推理还是归纳推理，要想得出正确的结论，就必须要求前提真实，推理过程合逻辑。
D、充足理由律是证明和反驳的逻辑基础。理由不充足或理由和推断之间没有必然的逻辑联系，证明和反驳就无法成立。
充足理由律的作用范围同样是“三个同一”。
4、充足理由律的客观性
充足理由律是对客观事物间因果联系以及其他必然联系的反映。
唯物辩证法认为：客观世界中一切事物、现象、过程都不是孤立存在的。它们无不与周围事物、现象和过程处于广泛而普遍的联系中。客观事物的这种普遍联系的状态反映在思维活动中，就要求我们的思维过程具备论证性。
六、普通逻辑基本规律间的关系
同一律、矛盾律、排中律和充足理由律都是普通逻辑思维的基本规律。四大规律之间彼此联系，又相互区别。了解他们之间的联系和区别有助于我们深入理解和正确运用这四条规律。
1、四大规律之间的区别
同一律、矛盾律、排中律和充足理由律分别在适用范围、基本内容、逻辑要求、具体作用等方面具有各自的特点而相互区别开来。
首先，就适用范围而言。四大规律都在同一思维过程中发挥作用，但是他们的着眼点不同。同一律、矛盾律、排中律着眼于概念和判断。其中，同一律针对同一概念或判断；矛盾律适用于具有矛盾关系或反对关系的概念或判断；排中律适用于具有矛盾关系的概念，以及具有矛盾关系或下反对关系的判断。而充足理由律则针对整个思维（推理）过程。
其次，就基本内容而论。同一律规定了某一思想在同一思维过程中必须始终保持自身的同一；矛盾律则规定互相否定的思想不可同真，必有一假；而排中律则要求相互否定的思想不可同假，必有一真；充足理由律则就思维活动的展开而规定了我们的思想必须具备论证性。
再次，他们逻辑要求相异。在同一思维过程中，同一律要求同一思想必须保持自身的一致，否则就会出现“偷换概念”或“混淆概念”、“偷换论题”或“混淆论题”的逻辑错误；矛盾律要求对相互矛盾或反对的概念、判断，不可同时加以肯定，否则，我们的思想就会“自相矛盾”；排中律规定了相互矛盾的概念、具有矛盾关系或下反对关系的判断不可同假，两者其中必有一真；充足理由律一方面要求我们推理的理由（前提）要真实。否则，就会出现“虚假理由”的错误。另一方面，理由和推断之间要有必然的逻辑联系，不然，由理由（前提）就无法推出推断（结论）。
第四，他们的作用不同。同一律保证了同一思维过程中，特定思想的确定同一性；矛盾律保证了思维过程的无矛盾性，根据矛盾律，对相互否定的判断可以进行由真到假的推理，因此，矛盾律是独立证明的逻辑基础。排中律则保证思维的明确性，根据排中律，我们可以对互相否定的判断进行由假到真的推理，所以，排中律是反证法的逻辑根据；遵守了充足理由律，我们的思维就具备了论证性。
2、四大规律之间的联系
确定性是正确思维的基本特征，同一律、矛盾律和排中律正是从不同的角度来保证思维的确定性的。同一律从正面要求思想必须保持自身的同一；矛盾律从反面保证同一律，不允许思维中出现矛盾；排中律要求思维要明确，不得模棱两可，它是同一律的进一步展开。
也可以说同一律是从概念、判断的内涵方面保证思维的确定性，矛盾律和排中律是从概念、判断的外延（真值）方面保证思维的确定性。而同一律是三者的核心。
这三条规律本质上的一致，可以从他们的公式中得到反映：他们的逻辑公式分别为A→A，﹁（A∧﹁A）,A∨﹁A，这三个公式是等值的，可以相互推导出。
充足理由律是关于推理的规则，它保证了思维过程的论证性。它具有同一律、矛盾律和排中律不可替代的作用。正如概念、判断的简单罗列并不就是推理一样，坚持了同一律、矛盾律、排中律并不等于坚持了充足理由律。而正如构造推理离不开概念、判断一样，要坚持充足理由律必须以同一律、矛盾律和排中律为基础。离开了思维的确定性，就谈不上思维的论证性。而离开了思维的论证性，恪守同一性、不矛盾性和明确性的思维活动就失去了意义。&&&
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