四川大学机械制图习题集(第五版)答案_百度文库
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四川大学机械制图习题集(第五版)答案
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三角形的证明
范文一：班级
评价等级一、选择题1．如图1，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃.那么最省事的办法是带（
（D） ①和②2．如图2，P在AB上，AE=AG，BE=BG，则图中全等三角形的对数有（
（D）43．直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（
） （A）形状相同 （B） 周长相等 （C） 面积相等 （D） 全等4．等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（
） （A）30°
（C）30°或150°
（D）60°或120° 5．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4cm，最长边AB的长是（
） （A）5cm（B）6cm
（C）5cm（D）8cmAE图26．如图3，P是∠BAC的平分线AP上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F， 下列结论中不正确的是（
）（A）PE?PF
（B）AE?AF
（C）△APE≌△APF
（D）AP?PE?PFF图37．一个三角形的两边长为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边的长为（
（D）3或418．如图4，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN （
） （A）∠M=∠N
（B）AB=CD
（C）AM=CN
（D）AM∥CN 9．下列命题中真命题是（
）（A）两边分别对应相等且有一角为30?的两个等腰三角形全等 （B）两边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等 （C）两个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等 （D）两角和一边分别对应相等的两个三角形全等10．有一块边长为24米的正方形绿地，如图5所示，在绿地旁边B处 有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树 立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（
）. （A）23米（B）24米
（C）25米（D）26米二、填空题11．等腰三角形的一个底角是50°,则其顶角为
.12.在△ABC中,已知∠A=80°,则∠B、∠C的角平分线相交所成的钝角为
. 13.边长为2cm的等边三角形的面积为
cm214.如图6, △ABC中, ∠C=90°,AB的垂直平分线DE交BC于D,若∠CAD=20°,则 ∠B=
.图6BE图715．如图7，有一腰长为5cm，底边长为4cm的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开， 得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有 ____
个不同的四边形．三、解答题16．如图8，△ABC，AB＝AC，点Ｍ、Ｎ分别在BC所在直线上，且AM＝AN。 求证：BM＝CNＭ Ｂ图8Ｃ Ｎ17．已知，如图9，延长△ABC的各边，使得BF?AC，AE?CD?AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形. 求证：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC为等边三角形.E图918．如图10，在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个结断：①AD=CB；②AE=CF；③∠B=∠D；④AD∥BC．请用其中三个作为条件，余下的一个作为结论编一道数学题，并证明结论成立．C19．求证：有两条高相等的三角形是等腰三角形（先画出图，再写出已知、求证和证明）20．如图11，?AOB?90，OM平分?AOB，将直角三角板直角的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由.图11原文地址：班级
评价等级一、选择题1．如图1，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃.那么最省事的办法是带（
（D） ①和②2．如图2，P在AB上，AE=AG，BE=BG，则图中全等三角形的对数有（
（D）43．直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（
） （A）形状相同 （B） 周长相等 （C） 面积相等 （D） 全等4．等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（
） （A）30°
（C）30°或150°
（D）60°或120° 5．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4cm，最长边AB的长是（
） （A）5cm（B）6cm
（C）5cm（D）8cmAE图26．如图3，P是∠BAC的平分线AP上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F， 下列结论中不正确的是（
）（A）PE?PF
（B）AE?AF
（C）△APE≌△APF
（D）AP?PE?PFF图37．一个三角形的两边长为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边的长为（
（D）3或418．如图4，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN （
） （A）∠M=∠N
（B）AB=CD
（C）AM=CN
（D）AM∥CN 9．下列命题中真命题是（
）（A）两边分别对应相等且有一角为30?的两个等腰三角形全等 （B）两边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等 （C）两个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等 （D）两角和一边分别对应相等的两个三角形全等10．有一块边长为24米的正方形绿地，如图5所示，在绿地旁边B处 有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树 立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（
）. （A）23米（B）24米
（C）25米（D）26米二、填空题11．等腰三角形的一个底角是50°,则其顶角为
.12.在△ABC中,已知∠A=80°,则∠B、∠C的角平分线相交所成的钝角为
. 13.边长为2cm的等边三角形的面积为
cm214.如图6, △ABC中, ∠C=90°,AB的垂直平分线DE交BC于D,若∠CAD=20°,则 ∠B=
.图6BE图715．如图7，有一腰长为5cm，底边长为4cm的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开， 得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有 ____
个不同的四边形．三、解答题16．如图8，△ABC，AB＝AC，点Ｍ、Ｎ分别在BC所在直线上，且AM＝AN。 求证：BM＝CNＭ Ｂ图8Ｃ Ｎ17．已知，如图9，延长△ABC的各边，使得BF?AC，AE?CD?AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形. 求证：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC为等边三角形.E图918．如图10，在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个结断：①AD=CB；②AE=CF；③∠B=∠D；④AD∥BC．请用其中三个作为条件，余下的一个作为结论编一道数学题，并证明结论成立．C19．求证：有两条高相等的三角形是等腰三角形（先画出图，再写出已知、求证和证明）20．如图11，?AOB?90，OM平分?AOB，将直角三角板直角的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由.图11
范文二：三角形深化解析一、知识点睛1． 等腰三角形的常见性质有：_____________、______________、____________、2． 直角三角形的常用性质有：、______________________、__________________________、_________________________________________________、__________________________________________________.3． 垂直平分线的性质是_________________________________，反之，我们也可以得到垂直平分线的判定方法：___________________________________________________；三角形三条边的垂直平分线的交点可以在三角形的_______、________、_______，并且到三角形__________的距离相等.4． 角平分线的性质是_________________________________，反之，我们也可以得到角平分线的判定方法：______________________________________________； 三角形三条角平分线的交点到三角形________的距离相等． 一、知识点睛1．等边对等角，等角对等边；三线合一；黄金三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．2．勾股定理及其逆定理；两锐角互余；30°角对的直角边是斜边的一半；斜边中线等于斜边一半；射影定理，等积公式．3．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；内部；边上；外部；三个顶点． 4．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；三条边．二、精讲精练1. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=AD，DC=AC，则∠B=
.2. 如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE=.CADDEADBC第1题图
第3题图 3. 如图在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC＝
cm.4. 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分?BAC，BN?AN于点N，且AB=10，MN=3，BC=20，则△ABC的周长为BEDBCEGAMCABD第4题图
第6题图5. 如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是_____________三角形.6. 如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使FGAD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则?AF7. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（
D．35PBABD第7题图
第9题图A8. 如图，有一根高为2.1m的木柱，它的底面周长为40cm，在准备元旦联欢晚会时，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少为（
）A．70457cm
D．300cm 9. 如图，长方体的底面边长分别为1cm细线最短需要cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用10. 在直线l上依次摆放着七个正方形（如下图所示）．已知斜放置的三个正方形面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=________．11S223S3S4l11. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成的锐角为40°，则△ABC的底角∠B=
.12. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的中垂线交直线BC于D，若∠BAD－∠DAC＝22.5°，则∠B的度数是13. 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=__________．14. 已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB?∠DCE?90?，D为AB边上一点．求证：（1）△ACE≌△BCD；AEC（2）AD2?AE2?DE2．
B15. 已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G.ABHE（1）求证：BF=AC；（2）CE和BF有怎样的数量关系，写出判断并给出证明；（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论.C16. 如图，在△ABC中，AD是高，AB的垂直平分线交BC于E，EF⊥AC于F，交AD于G，问：当∠B具备什么条件时，DG=DC？BDFC17. 如图，点C为线段AB上任意一点(不与点A、B重合)，分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP．（1）求证：△ACE≌△DCB；DPAEB（2）请你判断△ACM与△DPM的形状有何关系并说明理由； （3）求证：∠APC＝∠BPC．18. 如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG分别与直线BC相交于点M、N.（1）试证明：AB+BC+AC=2FG；（2）如图2，若BD、CE分别是△ABC的内角平分线；如图3，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线．在这两种情况下，线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？DMBCEN图1BDC图2BCE图3【讲义答案】二、精讲精练1．36°
9．10，1210．4
11．65°或25°
12．37.5或67.5
13．50°14．略．15．（1）提示：证明△BDF≌△CDA（SAS）；（2）BF=2CE，提示：证明△BEC≌△BEA（ASA）；（3）BGCE，提示：证明△ADC∽△GHB． 16．∠B=22.5°，提示：证明△EDG≌△ADC．17．（1）略；（2）证明△ACE∽△DPM；或用（1）中全等结论，得角相等；（3）提示：证明△AMC∽△DPM，△ADC∽△CMP．或借助△ACE与△DCB面积相等，则高相等，用角平分线线判定定理可证。18．（1）略；（2）AB+AC-BC=2FG，BC+AC-AB=2FG．【作业】三角形深化解析1. （2010山西）如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，则DE的长为______．AEDA第3题图B第1题图FD第2题图CBB第5题图第1题图
第5C题图2. （2009北京朝阳区）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BC=6，则DF+DE=_________． 3. （2011江苏苏州）如图，已知△ABC的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于______.（结果保留根号）4. 等腰三角形的三边长a、b、c均为整数，且满足a+bc+b+ac=24，满足条件的等腰三角形有
种.5. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，AB的垂直平分线交AC于D，则下列结论：①∠A=36°；②BD平分∠ABC；③AD=DB=BC；④DB2=AB·DC．其中正确的结论是_______．6. 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为_______．DEF7. （EGFCE
B第88题图 7题图第题图
第 第7题图
第题图第66题图2011湖北鄂州）如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF－S△BEF=
．8. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，则EF=
.9. （2009广西河池）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=86，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则△CEF的面积是（
第10第10题图FB10. （2009重庆）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积最大值为8．其中正确的结论是（
） A．①②③xxB．①④⑤
D．③④⑤11. 已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG//BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连接AE，CD．（1）求证：△AGE≌△DAC；（2）过点E作EF//DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．AEGFC12. 已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，?ACB??DCE?90o，D为AB边上一点．ADE求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2?AE2?DE2．B13. （2011山东日照）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．AE【作业答案】1．6013
5．①②③④
6．1127．2
10．B11．（1）略；（2）等边三角形； 12.略13．（1）可计算出∠BDE=∠CDE=60°；（2）提示：
证明△BDC≌△EMC
范文三：1.等腰三角形（一）主备人： 刘少山
时间：2.18
姓名：刘少山学习目标：1、探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；
2 、明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。 学习过程：一：回顾旧知
导出公理活动内容：提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条： 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行； 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等； 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）； 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）； 5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）； 定理：（AAS）语言描述。请证明。 已知：如图，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）， ∴∠C=180°-(∠A+∠B)， ∠F=180°-(∠D+∠E)， ∴∠C=∠F（等量代换）。 又BC=EF（已知）， ∴△ABC≌△DEF（ASA）。二：折纸活动 探索新知活动内容：在提问：“等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？”的基础上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程。具体操作中，可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足。三：明晰结论和证明过程→ →活动内容：在学生小组合作的基础上，教师通过分析、提问，和学生一起完成以上两个个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明,其余学生挑选其一证明.其后，教师通过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法，给学生明晰证明过程。 （1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合 四：随堂练习
巩固新知活动内容：学生自主完成P4第2题：如图（图略）,在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD，（1）求证：△ABD是等腰三角形； （2）求∠BAD的度数。 五：课堂小结活动内容：让学生畅谈收获，包括具体结论以及其中的思想方法等。 六：布置作业P5习题1,2.【教学反思】本节关注学生已有活动经验的回顾过程，关注了 “探索－发现－猜想－证明”的活动过程，关注了学生自主探究过程，学生学习的主体性发挥较好，应该说取得了较好的教学效果。在具体活动中，还需要根据班级学生具体状况进行适度的调整。1. 等腰三角形（二）主备人： 刘少山
时间：2.19
姓名：刘少山学习目标：1、经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论．2、在命题的变式中，发展提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学习能力和思维能力，提高学习的主体性；3、在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展几何直觉； 学习过程：一：提出问题，引入新课活动内容：在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗?二：自主探究活动内容：在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。你如何验证你的猜测？你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程； 还可以有哪些证明方法？通过自主探究和同伴的交流，在直观猜测、测量验证的基础上探究出：等腰三角形两个底角的平分线相等； 等腰三角形腰上的高相等； 等腰三角形腰上的中线相等． 并对这些命题给予多样的证明。如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方法： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线． 求证：BD=CE． 证法1：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．E11∵∠1=∠ABC，∠2= ∠ABC，22∴∠1=∠2．在△BDC和△CEB中，∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2． ∴△BDC≌△CEB(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
证法2：证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB． 又∵∠3=∠4． 在△ABC和△ACE中， ∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A． ∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．三：经典例题
变式练习活动内容：提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”：在课本图1—4的等腰三角形ABC中，11(1)如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB呢?由此，你能得到一个什么结论?341111(2)如果AD= AC，AE=，那么BD=CE吗?如果AD=，AE= AB呢?由此你得到什么2233结论?四：拓展延伸，探索等边三角形性质活动内容：提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.已知：如图，ΔABC中，AB=BC=AC． 求证：∠A=∠B=∠C=60°.证明：在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角)．同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代换）．又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理），∴∠A=∠B=∠C＝60°．
五： 随堂练习
及时巩固活动内容：在探索得到了等边三角形的性质的基础上，让学生独立完成以下练习。 1.如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形. 求证:AE=CD六：探讨收获
课时小结本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段，并由特殊结论归纳出一般结论，C【教学反思】本节课关注了问题的变式与拓广，实际上引领学生经历了提出问题、解决问题的过程，因而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力，教学中可以适当减少一些内容，将部分内容延伸到课外。
范文四：等腰三角形的性质（1）.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）（2）.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）（3）.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）（4）.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。（5）.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。（6）.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。（7）.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。全等三角形判定定理（1） 三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。（2） 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。（3） 有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。（4） 有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)（5） 直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”)1. 如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．2．如图，已知AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．3．如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B．P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C．过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N．（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC能否成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由．4. 如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明． 5. 已知一个等腰三角形的周长为18cm．（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）如果一腰上的中线将该等腰三角形的周长分为1：2两部分，那么各边的长为多少？6. 如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．7. 已知：如图，AD是△ABC的高，AB=AC，BE=2AE，点N是CE的中点．求证：M是AD的中点．8. 已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点M是边AC上一动点（与点A、C不重合），点N在边CB的延长线上，且AM=BN，连接MN交边AB于点P．（1）求证：MP=NP；（2）若设AM=x，BP=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当△BPN是等腰三角形时，求AM的长9. 已知，如图：四边形ABCD中，E在BC边上，AB=EC，∠B=∠C=∠AED．求证：△AED是等腰三角形；10. 已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，且△ABD与△ADC面积相等。求证：△ABC是等腰三角形．11. CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件
，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．12.已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（
）A．12或9
D．713. 已知等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（
C．50°或80°
D．40°或65°14. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（
C．60°或150°
D．60°或120°15. 有下列命题说法：①锐角三角形中任何两个角的和大于90°；
②等腰三角形一定是锐角三角形；③等腰三角形有一个外角等于120°，这个三角形一定是等边三角形；④等腰三角形中有一个是40°，那么它的底角是70°； ⑤一个三角形中至少有一个角不小于60度．其中正确的有（
D．5个16. 如图，DE是△ABC边AB的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E．AE平分∠BAC．设∠B=x（单位：度），∠C=y（单位：度）．（1）求y随x变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）请讨论当△ABC为等腰三角形时，∠B为多少度？
范文五：龙子心中学八年级下学期 第一章三角形的证明单元试题一．选择题1. 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（
）的交点.A.
三个内角平分线
三边垂直平分线
三条高2．下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是
)A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D
B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F C．AC＝DF，∠B＝∠F，AB＝DE
D．∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF 3．下列命题中正确的是
)A．有两条边相等的两个等腰三角形全等
B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 C．两角对应相等的两个等腰三角形全等
D．一边对应相等的两个等边三角形全等 4．以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是
)A．2，3，4
B．4，5，6
D．2，2，4 5．（2013o郴州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北8．已知△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰和底边长分别为
)A．24 cm和12 cm
B．16 cm和22 cm
C．20 cm和16 cm
D．22 cm和16 cm 11．（2007o芜湖）如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于12．（2012o深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7第10题
第12题二．填空题 13．（2011o怀化）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5cm，BC=6cm，则AD=14.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为6，则其底边上的高是
。15．（2011o衡阳）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为
． 16．（2013o泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是
第16题17．（2005o绵阳）如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是
cm． 18．（2005o十堰）如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为．第17题
第19题 三．解答题19.如图，在△ABD和△ACE中，有四个等式：①AB=AC
④BD=CE．以其中．．三个条件为已知，填入已知栏中，一个为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，（填写序号即可）并写出证明过程。 已知
. 证明：20.如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD.
求证：D在∠BAC的平分线上.21．（2013o温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E． （1）求证：△ACD≌△AED； （2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．22.如图，?ABC中，AB?AC，?A?50?，DE是腰AB的垂直平分线，求?DBC的度数。23．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2． （1）求证：AB=BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD．24．（2013o沈阳）如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF． （1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长．
25．（2013o铜仁地区）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．
范文六：1、 在正?ABC内取一点D，使DA?DB，在?ABC外取一点E，
使?DBE??DBC，且BE?BA，求?BED?.AEBC 证明：∵AD=DB
且△ABC是等边三角形∴点D在AB边的中垂线,即等边三角形过顶点C的高线上 ∴∠BCD=30度 在△BDE与△BDC中BD=BD
∠DBE=∠DBC
BE=AB=BC ∴△BDE≌△BDC ∴∠BED=∠BCD=302、 如图所示，BD=DC,DE⊥BC,交∠BAC的平分线于E，EM⊥AB,
EN⊥AC,求证：BM=CNABDC NE连接EB、EC。因为BD=DC,ED⊥BC，则∠BDE=∠EDC相等，⊿BDE≌⊿CDE，可知EB=CE。3. 如图，已知△ABC是等边三角形，∠BDC＝120?，证明：AD=BD + CD延长BD到E点，使DE=DC，连接CE。 因为∠BDC=120度， 所以∠CDE=60度，所以，三角形CDE是等边三角形。 ∠ECD=60度，CD=CE ∠BCE=∠ACD，又三角形ABC是等边三角形，AC=BC⊿ACD≌⊿BCE所以，AD=BE=BD+DE=BD+DC 即AD=BD+CD.4.如图①，在ΔABC中∠ACB=900，AC=BC，M为AB中点，P为AB上 一动点（P不与A、B重合），PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F。
（1）求证：ME=MF，ME⊥MF；（2）如点P移动至AB的延长线上，如图②，是否仍有 如上结论？请予以证明。1.连接C点M点。已知AC=BC ,∠ABC=90°，△ABC为等腰直角三角形。PF⊥BC，所以△PFB也是一个以∠PFB为直角的等腰直角三角形，PF=BF.又因为PE⊥AC, 四边形CEPF为矩形，EC=PF=BF.又根据等边直角三角形的中线等于斜边的二分之一可知，CM=BM. ∠ACM=∠FBM.综上△ECM和△FBM全等，ME=MF. ∠EMC=∠FMB. ∠CMF+∠FMB=90°，所以∠CMF+∠EMC=90°.即∠EMF=90°， ME⊥MF。 2.同理，CM=BM,CE=BF, ∠MCE=∠MBF=135°（180-45），△MCE和△MBF是全等三角形，其他同上5．已知：如图，点D在△ABC的边CA的延长线上，点E在BA的 延长线上，CF、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线，且∠B=30°， ∠D=40°，求∠F的度数。证明：记∠BCH为∠1，∠DCH为∠2，∠DEF为∠3，∠BEF为∠4 因为CF为∠ACB平分线 所以∠1=∠2因为∠1+∠B+∠BHC=180°，∠4+∠F+∠FHE=180°，∠BHC=∠FHE 所以∠1+∠B=∠4+∠F 因为∠B=30°，∠F=35°所以∠1+30°=∠4+35°，即∠4=∠1-5°因为∠3+∠D+∠DAE=180°，∠2+∠F+∠FAC=180°，∠DAE=∠FAC 所以∠3+∠D=∠2+∠F 因为∠D=40°，∠F=35°所以∠3+40°=∠2+35°，即∠3=∠2-5° 因为∠4=∠1-5°，∠1=∠2所以∠3=∠4，即EF为∠AED平分线 （图片顺时针旋转过了）6.在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．求证：BD＝CG．证：∵Rt△ABC是等腰三角形
∴AC=CB又∠ACE+∠FCB=90°
∠FCB+∠FBC=90° 故∠ACE=∠FBC∴Rt△ACE≌Rt△CBF 即CE=BF又△CDH∽△BDF ∴∠GCE=∠DBF∴Rt△CEG≌Rt△BFD ∴BD=CG7.如图∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线， 垂足分别为E、F求证：EF＝CF－AE∵∠ABE＋∠FBC=∠BCF+∠FBC=90度∴∠FBC=∠ABE 在△AEB和△BFC中 ∠AEB=∠BFC=90度 ∠FBC=∠ABE AB=BC∴△AEB≌△BFC ∴AE=BF，CF=BE EF+BF=CF即EF=CF－AE8．BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。证明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠1+∠BMF=90°，∠2+∠CME=90°， ∵∠BMF=∠CME（对顶角相等）， ∴∠1=∠2，在△ABM和△NCA中，∵，∴△ABM≌△NCA（SAS）， ∴AM=AN；（2）根据（1）可得△ABM≌△NCA， ∴∠3=∠N， ∵CF⊥AB， ∵∠4+∠N=90°， ∴∠3+∠4=90°， 即∠MAN=90°， 因此，AM⊥AN．9. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于点E． 求证：CD=12BE AD4FEC过D作DF‖AB，交BC于点F。 则∠ABC=∠DFC，AB=AC，所以∠ABC=∠C 所以∠DFC=∠C DF=CDBD平分∠ABC，所以∠ABd=∠DBC ∠DFC=∠DBC+∠BDF ∠DBC=∠BDF BF=DF ∠FDE=∠FED,所以DF=FE BE=BF+FE 所以DF=1/2BEDF=CD所以CD=1/2BE10.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E． 求证：∠ACE=∠B+∠ECD．AFEDCB11.如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F． 求证：BD=2CE．FAEBC12.如图：∠BAC=90°，CE⊥BE，AB=AC ，BD是∠ABC的平分线， 求证：BD=2ECB13.已知，如图34，△ABC中，∠ABC=90?，AB=BC，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于D．求证：CD=12AE． ACBD14.在△ABC中，∠BAC的角平分线AD平分底边BC.求证AB=AC.15.如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D 不重合），
以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交 BG的延长线于H。求证：①
△BCG≌△DCE②
BH⊥DEAHFB C E16.（1）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的 同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连 结BC．求∠AEB的大小；BDO A图（2）如图，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.BA17.正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.ADFBEC18.D为等腰Rt?ABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC, CA于点E,F。①当?MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 ②若AB=2，求四边形DECF的面积。A19.五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°， 求证：AD平分∠CDEABECD20.在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC.求证：BG=FGADGC21.已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF； （2）EC⊥BFE C22.?ABC是边长为3的等边三角形，?BDC是等腰三角形，且?BDC?1200，以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求?AMN的周长。ANMBDC如图，c是线段BD上一点，△ABC和△ECD都是等边三角形，R,F,G,H,分别是四边形ABDE各边中点，求证：四边形RFGH是菱形.如图，菱形ABCD中,角ABC=60°,E是BC延长线上一点,F是对角线AC上一点,AF=CE,连接BF、E1),若AB=4,点F是AC边的中点，求BF的长；2），若点F是AC边上任意一点（不与点A、C重合），求证：BF=EF在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵E是线段AC的中点，∴∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE， ∵AE=CF，∴CE=CF，∴∠F=∠CEF，∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，∴∠CBE=∠F，∴BE=EF；（2）图2：BE=EF．图3：BE=EF． 图2证明如下：过点E作EG∥BC，交AB于点G， ∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE，∴BG=CE，又∵CF=AE，∴GE=CF，又∵∠BGE=∠ECF=120°，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF；图3证明如下：过点E作EG∥BC交AB延长线于点G， ∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形， ∴AG=AE，∴BG=CE，又∵CF=AE，∴GE=CF，又∵∠BGE=∠ECF=60°， ∴△BGE≌△ECF（SAS）， ∴BE=EF．1、 在正?ABC内取一点D，使DA?DB，在?ABC外取一点E，
使?DBE??DBC，且BE?BA，求?BED?.AEBC 证明：∵AD=DB
且△ABC是等边三角形∴点D在AB边的中垂线,即等边三角形过顶点C的高线上 ∴∠BCD=30度 在△BDE与△BDC中BD=BD
∠DBE=∠DBC
BE=AB=BC ∴△BDE≌△BDC ∴∠BED=∠BCD=302、 如图所示，BD=DC,DE⊥BC,交∠BAC的平分线于E，EM⊥AB,
EN⊥AC,求证：BM=CNABDC NE连接EB、EC。因为BD=DC,ED⊥BC，则∠BDE=∠EDC相等，⊿BDE≌⊿CDE，可知EB=CE。3. 如图，已知△ABC是等边三角形，∠BDC＝120?，证明：AD=BD + CD延长BD到E点，使DE=DC，连接CE。 因为∠BDC=120度， 所以∠CDE=60度，所以，三角形CDE是等边三角形。 ∠ECD=60度，CD=CE ∠BCE=∠ACD，又三角形ABC是等边三角形，AC=BC⊿ACD≌⊿BCE所以，AD=BE=BD+DE=BD+DC 即AD=BD+CD.4.如图①，在ΔABC中∠ACB=900，AC=BC，M为AB中点，P为AB上 一动点（P不与A、B重合），PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F。
（1）求证：ME=MF，ME⊥MF；（2）如点P移动至AB的延长线上，如图②，是否仍有 如上结论？请予以证明。1.连接C点M点。已知AC=BC ,∠ABC=90°，△ABC为等腰直角三角形。PF⊥BC，所以△PFB也是一个以∠PFB为直角的等腰直角三角形，PF=BF.又因为PE⊥AC, 四边形CEPF为矩形，EC=PF=BF.又根据等边直角三角形的中线等于斜边的二分之一可知，CM=BM. ∠ACM=∠FBM.综上△ECM和△FBM全等，ME=MF. ∠EMC=∠FMB. ∠CMF+∠FMB=90°，所以∠CMF+∠EMC=90°.即∠EMF=90°， ME⊥MF。 2.同理，CM=BM,CE=BF, ∠MCE=∠MBF=135°（180-45），△MCE和△MBF是全等三角形，其他同上5．已知：如图，点D在△ABC的边CA的延长线上，点E在BA的 延长线上，CF、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线，且∠B=30°， ∠D=40°，求∠F的度数。证明：记∠BCH为∠1，∠DCH为∠2，∠DEF为∠3，∠BEF为∠4 因为CF为∠ACB平分线 所以∠1=∠2因为∠1+∠B+∠BHC=180°，∠4+∠F+∠FHE=180°，∠BHC=∠FHE 所以∠1+∠B=∠4+∠F 因为∠B=30°，∠F=35°所以∠1+30°=∠4+35°，即∠4=∠1-5°因为∠3+∠D+∠DAE=180°，∠2+∠F+∠FAC=180°，∠DAE=∠FAC 所以∠3+∠D=∠2+∠F 因为∠D=40°，∠F=35°所以∠3+40°=∠2+35°，即∠3=∠2-5° 因为∠4=∠1-5°，∠1=∠2所以∠3=∠4，即EF为∠AED平分线 （图片顺时针旋转过了）6.在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．求证：BD＝CG．证：∵Rt△ABC是等腰三角形
∴AC=CB又∠ACE+∠FCB=90°
∠FCB+∠FBC=90° 故∠ACE=∠FBC∴Rt△ACE≌Rt△CBF 即CE=BF又△CDH∽△BDF ∴∠GCE=∠DBF∴Rt△CEG≌Rt△BFD ∴BD=CG7.如图∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线， 垂足分别为E、F求证：EF＝CF－AE∵∠ABE＋∠FBC=∠BCF+∠FBC=90度∴∠FBC=∠ABE 在△AEB和△BFC中 ∠AEB=∠BFC=90度 ∠FBC=∠ABE AB=BC∴△AEB≌△BFC ∴AE=BF，CF=BE EF+BF=CF即EF=CF－AE8．BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。证明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠1+∠BMF=90°，∠2+∠CME=90°， ∵∠BMF=∠CME（对顶角相等）， ∴∠1=∠2，在△ABM和△NCA中，∵，∴△ABM≌△NCA（SAS）， ∴AM=AN；（2）根据（1）可得△ABM≌△NCA， ∴∠3=∠N， ∵CF⊥AB， ∵∠4+∠N=90°， ∴∠3+∠4=90°， 即∠MAN=90°， 因此，AM⊥AN．9. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于点E． 求证：CD=12BE AD4FEC过D作DF‖AB，交BC于点F。 则∠ABC=∠DFC，AB=AC，所以∠ABC=∠C 所以∠DFC=∠C DF=CDBD平分∠ABC，所以∠ABd=∠DBC ∠DFC=∠DBC+∠BDF ∠DBC=∠BDF BF=DF ∠FDE=∠FED,所以DF=FE BE=BF+FE 所以DF=1/2BEDF=CD所以CD=1/2BE10.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E． 求证：∠ACE=∠B+∠ECD．AFEDCB11.如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F． 求证：BD=2CE．FAEBC12.如图：∠BAC=90°，CE⊥BE，AB=AC ，BD是∠ABC的平分线， 求证：BD=2ECB13.已知，如图34，△ABC中，∠ABC=90?，AB=BC，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于D．求证：CD=12AE． ACBD14.在△ABC中，∠BAC的角平分线AD平分底边BC.求证AB=AC.15.如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D 不重合），
以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交 BG的延长线于H。求证：①
△BCG≌△DCE②
BH⊥DEAHFB C E16.（1）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的 同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连 结BC．求∠AEB的大小；BDO A图（2）如图，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.BA17.正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.ADFBEC18.D为等腰Rt?ABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC, CA于点E,F。①当?MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 ②若AB=2，求四边形DECF的面积。A19.五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°， 求证：AD平分∠CDEABECD20.在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC.求证：BG=FGADGC21.已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF； （2）EC⊥BFE C22.?ABC是边长为3的等边三角形，?BDC是等腰三角形，且?BDC?1200，以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求?AMN的周长。ANMBDC如图，c是线段BD上一点，△ABC和△ECD都是等边三角形，R,F,G,H,分别是四边形ABDE各边中点，求证：四边形RFGH是菱形.如图，菱形ABCD中,角ABC=60°,E是BC延长线上一点,F是对角线AC上一点,AF=CE,连接BF、E1),若AB=4,点F是AC边的中点，求BF的长；2），若点F是AC边上任意一点（不与点A、C重合），求证：BF=EF在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵E是线段AC的中点，∴∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE， ∵AE=CF，∴CE=CF，∴∠F=∠CEF，∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，∴∠CBE=∠F，∴BE=EF；（2）图2：BE=EF．图3：BE=EF． 图2证明如下：过点E作EG∥BC，交AB于点G， ∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE，∴BG=CE，又∵CF=AE，∴GE=CF，又∵∠BGE=∠ECF=120°，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF；图3证明如下：过点E作EG∥BC交AB延长线于点G， ∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形， ∴AG=AE，∴BG=CE，又∵CF=AE，∴GE=CF，又∵∠BGE=∠ECF=60°， ∴△BGE≌△ECF（SAS）， ∴BE=EF．
范文七：数学论文（一）1证明一个三角形是直角三角形2用于直角三角形中的相关计算3有利于你记住余弦定理，它是余弦定理的一种特殊情况。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话： 周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形,,矩"得到的一条直角边,,勾"等于3，另一条直角边,,股"等于4的时候，那么它的斜边,,弦"就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。” 从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦（c）来表示斜边，则可得： 勾2+股2=弦2 亦即： a2+b2=c2 勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例（32+42=52）。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。 在稍后一点的《九章算术一书》中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”把这段话列成算式，即为： 弦=（勾2+股2）(1/2) 即： c=（a2+b2）(1/2) 定理：
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^平方+b^平方=c^平方； 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2，如：一条直角边是3，一条直角边是四，斜边就是3*3+4*4=X*X，X=5。那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理） 来源：
毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
范文八：证明之------直角三角形一基础知识1.直角三角形全等的判定（1）SSS（2）SAS（3）ASA（4）AAS（5）HL2.直角三角形的性质（1）两锐角互为余角（2）斜边的中线等于斜边的一半（3）①勾股定理及其逆定理；②勾股数及其规律性（4）两种特殊的直角三角形的三边的比；（5）射影定理；（6） s=ab；5 四种命题的概念 21二典例分析1判断正误（1）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等（）（2）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等（）（3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等（）（4）有两角和其中一个角的平分线对应相等的两个三角形全等（
）（5）有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等（
）（6）有两边和第三边的中线对应相等的两个三角形全等（
）（7）周长和面积对应相等的两个三角形全等（
）（8）边与角中，有五个元素分别相等的两个三角形全等（
）2请判断满足下列条件的的直角三角形是否全等，若全等，请在括号内加注理由：（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等（）（2）一个锐角和锐角相邻的一条直角边对应相等（）（3）一个锐角和一斜边对应相等（）（4）两直角边对应相等（）（5）两边对应相等（）（6）两锐角对应相等（）（7）一锐角和一边对应相等（）3如图，△ABC中∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线与BC交于点D，交AB于E，DB=8，求AC的长．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D．（1）如果∠A=60°，求证：BD=3AD；（2）如果BD=3AD，求证：∠A=60°．5如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD=DC． 216．如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=4，D是AC边 上的一个动点（不与A、C点重合），过点D作AC边的垂线，交射线CB于点G．（1）求证：GD=DC．（2）设AD=x，HG=y．求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 交线段BC于点E，点F是线段EC的中点，作DH⊥DF，交射线AB7（中招展示）（1）（12河北）如图7-1，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD=38°，则∠A=____（2）（12鸡西）Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一个内角为60°，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=30°，则PB的长为 _____（3）（12济宁）如图7-3，在平面直角坐标系中，点P坐标为（-2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（）A．-4和-3之间B．3和4之间C．-5和-4之间D．4和5之间（4）（12怀化）等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（）A．7
D．4（5）（12新疆）如图所示7-5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1= 258，S2=2π，则S3是 ____ （6）（12黔西南州）如图7-6，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为 _______（7）（12莱芜）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6．若点P在边AC上移动，则BP（8）（07河南）如图7-8，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC∥OA交OB于点C．若∠AOB=60°，OC=4，则点P到OA的距离PD等于_____（9）（05海淀区）如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．①请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．（10）（08江西）如图7-10，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；①求证：B′E=BF；②设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．8 （1）如图8-1，在?ABC中，②在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值． AD?BC于Ｄ，?ABC?2?C，求证：AC2?AB2?AB?BC（2）如图8-2，四边形ＡＢＣＤ是一个梯形，ＣＤ＝７，Ｍ是ＡＤ的中点，MNAB?CD，?ABC?９０°，ＡＢ＝９，ＢＣ＝８， ?AD，求ＢＮ长.（3）如图8-3，?ABC是等腰直角三角形，CA＝CB，D是斜边AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE?DF，若BF＝12，AE＝5，求?DEF的面积.（4）如图8-4，在四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边BD、AC的中点．①求证：MN⊥AC；②当AC=8cm，BD=10cm时，求MN的长．三随堂练习1.如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5 m处折断，倒下的部分与地面成30°角，如图所示，这棵树在折断前的高度是（）A．10m B．15m C．5m D．20m 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（
）A．0个B．1个C．2个D．3个 3如图（3），AB∥DF，AC⊥BC于C，BC与DF交于点E，若∠A=20°，则∠CEF等于（）A．110°B．100°C．80°D．70 4若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形5如图（5）△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC中点，∠EPF=90°，给出四个结论①∠B=∠BAP；②AE=CF；③PE=PF；④S四边形AEPF= △ABC，其中成立的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个 21 6将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB=10cm，则阴影部分的面积是 ____cm2．7如图（7）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．求证：EG=CG．8如图（8）所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．作AB的中垂线l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE． 求证：EF=2DE．D是AB的中点．现将△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于 _____cm．3如图3-1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1．过点C作CC1⊥AB于C1，过点C1作C1C2⊥AC于C2，过点C2作C2C3⊥AB于C3，…，按此作发进行下去，则ACn4三角形三内角的度数之比为1：2：3，最大边的长是8cm，则最小边的长是 _____cm．5如图5-1，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC=4，则PD等于______6．在△ABC中，已知∠B=30°，AB=6cm，则BC边上的高为 ____cm．7．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是 ____cm． 8．△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=60°，BC=4．在CA延长线上取点D，使AD=AB，则D，B两点之间的距离等于 9．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC＜AC，若BCoAC=，则∠A= _____度． 41210．如图10-1，四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=4，CD=2，则BC= _____11．房梁的一部分如图11-1，其中AC⊥BC，∠A=30°，AB=7.4m，点D是AB的中点，且DE⊥AC，垂足为E，则BC= _____m，DE= _____m．12. 有一个等腰三角形一腰上的高度是腰长的一半，则此等腰三角形的顶角是 ___度．13.如图13-1上午8时，一条轮船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=30°，∠NBC=60°，问以同样的速度继续前行，则上午 ____时轮船与灯塔C距离最近．14.如图14-1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE．求证：EC∥AB．
范文九：5.5三角形内角和定理（1）一．学习目标（1）会证明“三角形内角和定理”，体会证明中辅助线的作用，尝试用多种方法证明三角形内角和定理。（2）通过小组合作探究、展示质疑，体会转化与化归思想。
（3）养成严谨、规范的数学学习习惯。
二．学习重难点：重点：三角形内角和定理的证明思路及应用。 难点：三角形内角和定理的证明方法。三．学习过程：1．课前准备（成功者的钥匙）⑴“三角形内角和是180°”如何验证的？⑵平行线的性质(结合图形符号表示)⑶回忆以前学过的与180°有关的结论。⑷画图练习：①延长线段ABA
B②如图：过点A作直线BC的平行线B
C③如图：在AB的另一侧作∠ABD等于∠AA12ABC AB（备用图1）C ABC（备用图2）2．课内探究：活动一 ： 合作探究已知：如图△ABC求证：∠ A + ∠B + ∠C = 180°活动二：即时练习⑴在△ABC中，∠A = 80°，∠B =60°则 ∠C =
⑵在△ABC中，∠A=40°，∠B=∠C ，则 ∠B =
⑶在△ABC中，∠A
= ∠B = ∠C ，则 ∠B =
⑷已知：如图，则∠A等于（
⑸如图所示,∠B=∠D,则∠AED与∠ACB的关系是(
A.∠AED>∠ACB
B.∠AEDA.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和；
B.三角形两个内角的和一定大于第三个内角；C.三角形中至少有两个锐角；BACD.三角形中至少有一个锐角. ⑺已知：如图， 四边形ABCD
求证：∠ A+∠B+ ∠C+∠D=360°33.自我总结：
⑴知识方面：⑵数学思想方法：4
范文十：直角三角形全等的判定与直角三角形的性质【知识精要】直角三角形全等的判定1、如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为H.L）2、三角形全等的判定方法：S.S.S,
A.A.S, 在直角三角形中仍可用 直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半4、在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 直角三角形中常用的辅助线1、斜边的中线2、斜边的高3、等腰三角形底边中线或地边上的高构造直角三角形。【精解名题】例1、有两条高相等的锐角三角形是等腰三角形。例2、如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，DE垂直平分BC于点D，EF⊥AC，交AC的延长线于点F。求证：AB=AC+2CF.提示：联结EB、EC，作EG⊥AB于点G。例3、如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=求证：（1）DF=BE
（2）DF ⊥BE 1AB。 2例4、如图，在锐角△ABC中，∠ABC=2∠C，AD⊥BC于点D，E为AC中点，ED的延长线交AB的延长线于点F .求证：BF=BD例5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E在AB上，AD=AC，BE=BC。求证：∠DCE=45°例6、如图，已知AB=AC，∠A=120°，MN垂直平分AB，交BC于点M，求证：CM=2BM提示：联结AM例7、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD//BC，BD=BC。求证：∠DCA=∠DBC提示：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F例8、如图，，已知△ABC的高BD、CE相交于点O，M、N分别为BC、AO的中点。求证：MN垂直平分DE。提示：联结DM、EM、DN、EN【巩固练习】1、判断（错的用“×”表示，对的用“√”表示，如果正确，请说出判定方法）（1）两条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等
）（2）一条直角边、一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等。 （
）（3）一个锐角及斜边对影响等的两个直角三角形全等
）（4）一条直角边及斜边对应相等的两个直角三角形全等
）（5）如果一个直角三角形的两条边分别与另一个直角三角形的
两边相等，那么这两个直角三角形全等
），（）（1）√ SAS
（3）√AAS
（4）√ HL
（5）×2、如图，已知AD垂直平分BE于点C，AB=DE。求证：AB//DE3如图，在等腰△ABC中，AC=BC，过点C作直线l的，AD⊥l，BE⊥l于点E，且AD=CE。求证：∠ACB=90°4、如图，已知∠B=∠E=90°，AB=AE，AF垂直平分CD，求证：BC=ED。提示：联结AC、AD5、如图，已知AD//BC，AB⊥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，求证：AD+BC=DC。提示：作EF⊥DC于点F6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是AB的中点，E、F分别是AC、BC延长线上的点，且CE=CF=1AB，求∠EMF的度数。 2答：45°，提示：联结MC7、如图，已知AE、BD相交于点C，AB=AC，DC=DE,F、G、H分别是AD、BC、CE的中点，求证：FG=FH提示：联结AG、DH8、如图，已知AB=BC，AD=AC，AB⊥BC，△ABC与△ADC的面积相等，且AC//BD，求∠ADC的度数。答：75°，提示：作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F9、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，求BE的长与AC的长之比。3:4【拓展提高】1、如图（1），在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，过点A作直线l，B、C两点在AE的同侧，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E（BD＜CE）（1）求证：BD+CE=DE（2）若直线l绕点A旋转到图（2）的位置时（BD>CE），其余条件不变，问（1）中的结论成立吗？为什么？（3）若直线l绕点A旋转到图（3）的位置时，（B、C两点在l的异侧），问（1）中的结论成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请指出BD、CE与DE三条线段的数量关系，并证明。图（1）
图（3）（1）提示：由证明△ABD≌△CAE可得结论成立（2）成立（3）DE=|BD-EC|
证明略2、如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为一边向外作等边△ABD，AE⊥BD于点E，AE与CD交于点M（1）线段DM与线段BC有怎样的数量关系？请证明；（2）若△ABC与△ABD在AB的同侧时，CD的延长线与AE的延长线交于点M。①请在图中画出△ABD和点M；②线段DM和BC仍然有（1）中的数量关系吗？为什么？图
图答案：(1)BC=2DM 证明略
(2)仍成立【家庭作业】1、填空（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，写出图中相等的锐角:____________。（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，写出图形相等的线段：____________。（3）如图3，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AD=6cm，
则BC=_________cm（4）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，则∠A=__________。（5）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∠A=30°，BD=1，则AD=_____________。图1
图32、选择（1）如果三角形的三个内角度数之比为1:2:3，那么这个三角形是（
）A、锐角三角形
B、钝角三角形
C、直角三角形
D、不能确定（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，D是AB的中点，有下列结论：①∠A=∠1；②∠2=∠3；③∠2=2∠A；④∠B=2∠A，其中正确的有（
D、4（3）如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是AB上的高，下列判断中，错误的是（
）A、DB?11BC
D、AD=2CD 22（4）如图6，在Rt△ABC中，CM是斜边AB上的中线，CH是斜边AB上的高，如果AH=HM，那么图中的∠1、∠2、∠3、∠4中等于30°的角有（
B、∠1和∠2
C、∠1、∠2、∠3
D、∠1、∠2、∠3、∠4图4
图63、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，CD为AB边上的高，∠A=48°，求∠DCE的度数。4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，延长AC到点E，使CE=AD。求证：∠A=2∠E5、如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD⊥AB，求证BD=2AC6、如图，已知三角形ABC是等边三角形，AD?1BC，CD?AD，求证AD//BC27、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，DE垂直平分BC，交AC于点D，交BC于点E，且DE=DA，求证：AC=3AD8、如图，在四边形ABCD中∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是AC、BD的中点。（1）求证：MN⊥BD；（2）若∠BAC=15°，AC=10㎝，OB=OM，求MN的长。9、已知等腰三角形的顶角等于150°，腰长为6㎝，求腰上的高。