已知直线l过点P(2,0)，斜率为直线l和抛物线y2=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M,求：(1)|PM|； (2)|AB|.
已知直线l过点P(2,0)，斜率为直线l和抛物线y2=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M,求：(1)|PM|； (2)|AB|.
（1）；（2）试题分析：（1）写出过点P（2,0）的直线方程的参数方程，联立抛物线的方程得到一个含参数t二次方程.通过韦达定理即定点到中点的距离可得故填.（2）弦长公式|AB|＝|t2－t1|再根据韦达定理可得故填.本题主要知识点是定点到弦所在线段中点的距离.弦长公式.这两个知识点都是参数方程中的长测知识点.特别是到中点的距离的计算要理解清楚.试题解析：(1)∵直线l过点P(2，0)，斜率为设直线的倾斜角为α,tanα=sinα=cosα=∴直线l的参数方程为&(t为参数)(*)&&&&&&&&&1分∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2=2x中，整理得8t2－15t－50＝0,且Δ=152+4×8×50&0,&&&设这个一元二次方程的两个根为t1、t2,由根与系数的关系，得t1＋t2＝t1t2＝&&&&&&& 3分由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&4分(2)|AB|＝|t2－t1|＝&&&&&&&&&&&&&&7分
考点解析：
举一反三：关于参数方程的中点弦问题 急 要讲清楚1、过M（2，3）作椭圆 （x-2)^2/25+(y-1)^2/16=0的弦 求以M为中点的弦所在直线方程 答案上是现设过M的参数方程为 x=3+tcosa y=2+tsina t为参数 代入椭圆的方程 _百度作业帮
关于参数方程的中点弦问题 急 要讲清楚1、过M（2，3）作椭圆 （x-2)^2/25+(y-1)^2/16=0的弦 求以M为中点的弦所在直线方程 答案上是现设过M的参数方程为 x=3+tcosa y=2+tsina t为参数 代入椭圆的方程
关于参数方程的中点弦问题 急 要讲清楚1、过M（2，3）作椭圆 （x-2)^2/25+(y-1)^2/16=0的弦 求以M为中点的弦所在直线方程 答案上是现设过M的参数方程为 x=3+tcosa y=2+tsina t为参数 代入椭圆的方程 列出一个关于t的二次方程 说所以tm=(t1+t2)/2=0我想问为什么tm等于零2、过M（2，1）做曲线x=4cosa y=2sina a为参数 问（1）M是弦的中点时弦所在的方程 （2）M是弦的三等分点时弦所在直线方程解的方法和上一个题差不多 不过这个题说(1)时t1+t2=0
(2)时t2=-2t1 这又是为什么呢
如能详细解答 不胜感激
|t|就是直线上的点和M的距离所以tm就是M和M的距离，当然等于0t1+t2=0 理由同上，所以tm=(x1+x2)/2=0,x1+x2=0三等分点则|t1|=2|t2|两点在M两侧，所以t1和t2异号所以t1=-2t2
扫描下载二维码分析：（1）当t1=1时，求得 AB=OB-OA=（4，4），AM=OM-OA=t2AB，可得不论t2为何实数，A、B、M三点共线．（2）当t1=a2时，求得OM=（4t2，4t2+2a2），AB=（4，4），再根据OM⊥AB求得t2=-14a2，|AB|=42，点M到直线AB：x-y+2=0的距离d=2|a2-1|．再由S△ABM=12求得a的值．解答：解：（1）证明：当t1=1时，AB=OB-OA=（4，4），由题意知OM=（4t2，4t2+2）．∵AM=OM-OA=（4t2，4t2）=t2（4，4）=t2AB，∴不论t2为何实数，A、B、M三点共线．（2）当t1=a2时，OM=（4t2，4t2+2a2）．又∵AB=（4，4），OM⊥AB，∴4t2×4+（4t2+2a2）×4=0，∴t2=-14a2．∴OM=（-a2，a2）．又∵|AB|=42，点M到直线AB：x-y+2=0的距离d=|-a2-a2+2|2=2|a2-1|．∵S△ABM=12，∴12|AB|•d=12×42×2|a2-1|=12，解得a=±2，故所求a的值为±2．点评：本题主要考查两个向量坐标形式的运算，三点共线的条件，两个向量垂直的性质，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
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科目：高中数学
已知O为坐标原点，A（0，2），B（4，6），=t1+t2．（1）求点M在第二或第三象限的充要条件；（2）求证：当t1=1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；（3）若t1=a2，求当⊥且△ABM的面积为12时，a的值．
科目：高中数学
已知O为坐标原点，A，B是圆x2+y2=1分别在第一、四象限的两个点，C（5，0）满足：OA•OC=3、OB•OC=4，则OA+tOB+OC(t∈R)模的最小值为4．
科目：高中数学
（;浙江二模）已知O为坐标原点，A（1，1），C（2，3）且2AC=CB，则OB的坐标是（4，7）．
科目：高中数学
已知O为坐标原点，A（0，1），B(3，4)，OM=t1OA+t2AB．（1）求点M在第二象限或第三象限的充要条件；（2）求证：当t1=1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；（3）若t1=2，求当点M为∠AOB的平分线上点时t2的值．欢迎来到高考学习网，
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& 2014届高考数学总复习要点知识回顾：选修4－4　坐标系与参数方程 第二讲　参数方程
2014届高考数学总复习要点知识回顾：选修4－4　坐标系与参数方程 第二讲　参数方程
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资料类型：地区联考
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资料概述与简介
1．参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上__________的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在____________，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称______．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做__________．
2．几种常见曲线的参数方程
(1)直线：经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是____________(t为参数)．
(2)圆：以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是____________，其中α是参数．
当圆心在(0,0)时，方程
(3)椭圆：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：
椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是____________，其中φ是参数．
椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是____________，其中φ是参数．
(4)抛物线：抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程是(t为参数)．
1．(课本习题改编)若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为________．
2．椭圆(θ为参数)的离心率为________．
3．已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|＝________.
4．(课本习题改编)直线(t为参数)的倾斜角为________．
5．已知曲线C的参数方程是(t为参数)．则点M1(0,1)，M2(5,4)在曲线C上的是________.
题型一　参数方程与普通方程的互化
例1　已知两曲线参数方程分别为(0≤θb>0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O
为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin(θ＋)＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．
参数的几何意义不明致误
典例：(10分)已知直线l的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－)．
(1)求直线l的倾斜角；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|.
易错分析　不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误．
解　(1)直线的参数方程可以化为[2分]
根据直线参数方程的意义，直线l经过点(0，)，
倾斜角为60°.[4分]
(2)直线l的直角坐标方程为y＝x＋，[6分]
ρ＝2cos(θ－)的直角坐标方程为(x－)2＋(y－)2＝1，[8分]
所以圆心(，)到直线l的距离d＝.
所以|AB|＝.[10分]
温馨提醒　对于直线的参数方程(t为参数)来说，要注意t是参数，而α则是直线的倾斜角．
与此类似，椭圆参数方程的参数φ有特别的几何意义，它表示离心角．
方法与技巧
1．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos2θ＋sin2θ＝1,1＋tan2θ＝.
2．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法．
3．经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：①t0＝；②|PM|＝|t0|＝；③|AB|＝|t2－t1|；④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.
失误与防范
在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅要把其中的参数消去，还要注意其中的x，y的取值范围．也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．
A组　专项基础训练
1．若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的倾斜角为________．
2．将参数方程(0≤t≤5)化为普通方程为________________．
3．(2013·湖南)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．
4．(2013·陕西)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为______________．
5．已知曲线C：(参数θ∈R)经过点(m，)，则m＝________.
6．(2013·重庆)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.
7．(2012·天津)已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p>0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.
8．已知曲线C：(θ为参数)和直线l：(t为参数，b为实数)，若曲线C上恰有3个点到直线l的距离等于1，则b＝________.
9．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.
10．若直线l的极坐标方程为ρcos(θ－)＝3，圆C：(θ为参数)上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为________．
B组　专项能力提升
1．已知抛物线C1的参数方程为(t为参数)，圆C2的极坐标方程为ρ＝r(r>0)，若斜率为1的直线经过抛物线C1的焦点，且与圆C2相切，则r＝________.
2．直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为________．
3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
4．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝与曲线 (t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．
5．已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆＋y2＝1上的任意一点，则点P到直线l的距离的最大值为________．
6．已知圆C的参数方程为 (α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________________．
7．(2013·辽宁改编)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos＝2.
(1)C1与C2交点的极坐标为________；
(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，则a，b的值分别为________．
基础知识自主学习
1．任意一点　这条曲线上　参数　普通方程
2．(1)　(2)
1．－　2.　3.4　4.50°　5.M1
题型分类深度剖析
解析　将两曲线的参数方程化为普通方程分别为＋y2＝1 (0≤y≤1，－<x≤)和y2＝x，联立解得交点为.
跟踪训练1　ρcos θ＋ρsin θ－2＝0
解析　由(t为参数)，得曲线C的普通方程为x2＋y2＝2.则在点(1,1)处的切线l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，∴l的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0.
例2　解　(1)由圆C的参数方程可得其标准方程为x2＋y2＝16.因为直线l过点P(2,2)，倾斜角α＝，
所以直线l的参数方程为
即(t为参数)．
(2)把直线l的参数方程
代入圆C：x2＋y2＝16中，得(2＋t)2＋(2＋t)2＝16，
t2＋2(＋1)t－8＝0，设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1t2＝－8，即|PA|·|PB|＝8.
跟踪训练2　解　(1)x2＋y2＝16.
(2)将 代入x2＋y2＝16，
并整理得t2＋3t－9＝0.设A、B对应的参数为t1、t2，则t1＋t2＝－3，t1t2＝－9.
|AB|＝|t1－t2|＝＝3.
解析　化极坐标方程ρ＝4cos θ为直角坐标方程x2＋y2－4x＝0，所以曲线C是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．
化参数方程(t为参数)为普通方程x－y＋3＝0.圆心到直线l的距离d＝＝，此时，直线与圆相离，所以|MN|的最小值为－2＝.
跟踪训练3　
解析　椭圆C的标准方程为＋＝1，直线l的标准方程为x＋y＝m，圆O的方程为x2＋y2＝b2，
由题意知，∴a2－b2＝2b2，a2＝3b2，
∴e＝＝＝＝.
解析　由直线的参数方程知，斜率k＝＝＝－＝tan θ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150°.
2．x－3y－5＝0，x∈[2,77]
解析　化为普通方程为x＝3(y＋1)＋2，即x－3y－5＝0，由于x＝3t2＋2∈[2,77]，故曲线为线段．
解析　椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则0＝3－a，∴a＝3.
4.0≤θ<π
解析　由题意得圆的标准方程为2＋y2＝2，设圆与x轴的另一交点为Q，则Q(1,0)，设点P的坐标为(x，y)，则OP＝OQcos θ＝cos θ.
∴0≤θ0，∴a＝.
解析　ρcos(θ－)＝3，∴ρcos θ＋ρsin θ＝6，
∴直线l的直角坐标方程为x＋y＝6.
由圆C的参数方程知圆C的圆心为C(0,0)，半径r＝1.
圆心C(0,0)到直线l的距离为＝3.∴dmin＝3＋1.
解析　抛物线C1的普通方程为y2＝8x，其焦点坐标是(2,0)，过该点且斜率为1的直线方程是y＝x－2，即x－y－2＝0.圆ρ＝r的圆心是极点、半径为r，直线x－y－2＝0与该圆相切，则r＝＝.
解析　将参数方程化为普通方程求解．
将消去参数t得直线x＋y－1＝0；
将消去参数α得圆x2＋y2＝9.
又圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝<3.
因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．
解析　化参数方程为普通方程然后解方程组求解．
C1的普通方程为y2＝x(x≥0，y≥0)，
C2的普通方程为x2＋y2＝2.
∴C1与C2的交点坐标为(1,1)．
解析　化射线的极坐标方程为普通方程，代入曲线方程求t值．射线θ＝的普通方程为y＝x(x≥0)，代入得t2－3t＝0，解得t＝0或t＝3.
当t＝0时，x＝1，y＝1，即A(1,1)；
当t＝3时，x＝4，y＝4，即B(4,4)．
所以AB的中点坐标为.
解析　由于直线l的参数方程为(t为参数)，
故直线l的普通方程为x＋2y＝0.
因为P为椭圆＋y2＝1上的任意一点，
故可设P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈R.
因此点P到直线l的距离是d＝
所以当θ＝kπ＋，k∈Z时，d取得最大值.
6．(－1,1)和(1,1)
解析　∵y＝ρsin θ，∴直线l的直角坐标方程为y＝1.
由得x2＋(y－1)2＝1.
∴直线l与圆C的交点的直角坐标为(－1,1)和(1,1)．
7．(1)，　(2)－1,2
解析　(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，
直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
所以C1与C2交点的极坐标为，，
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．
故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0，
由参数方程可得y＝x－＋1，所以
解得a＝－1，b＝2.
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2.3 直线的参数方程
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