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（备战中考）2012年中考数学新题分类汇编（中考真题+模拟新题）：矩形、菱形与正方形
矩形、菱形与正方形一、选择题1. （2011浙江省舟山，10，3分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（
） （A）48cm
（B）36cm （C）24cm
（D）18cm【答案】A2. （2011山东德州8,3分）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），......，则第n个图形的周长是（A）
（D）【答案】C3. （2011山东泰安，17 ，3分）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为 A.17
D.19【答案】B4. （2011山东泰安，19 ，3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为A.2
D.6【答案】A5. （2011浙江杭州，10，3）在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE(点E，F分别在线段AB，CD上)，记它们的面积分别
为．现给出下列命题：（
）①若，则．②若则．则:A．①是真命题，②是真命题
B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题
D，①是假命题，②是假命题【答案】A6. （2011浙江衢州，1,3分）衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡分别架在墙体的点、点处，且,侧面四边形为矩形，若测得，则(
D. 70°【答案】C7. （2011浙江温州，6，4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC＝16，则图中长度为8的线段有(
D．6条【答案】D8. 2011四川重庆，10，4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是(
D．4【答案】C9. （2011浙江省嘉兴，10，4分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ） （A）48cm
（B）36cm （C）24cm
（D）18cm【答案】A10．（2011台湾台北，29）如图(十二)，长方形ABCD中，E为中点，作的角平分线交于F点。若＝6，＝16，则的长度为何？A．4
D．8【答案】C11. （2011湖南邵阳，7，3分）如图（二）所示，中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是（）A.AC⊥BD
B.AB＝CDC. BO=OD
D.∠BAD=∠BCD【答案】A.提示：当且仅当为菱形时，AC⊥BD。12. （2011湖南益阳，7，4分）如图2，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形【答案】B13. （2011山东聊城，7，3分）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（
）A．12cm2
D． 96cm2【答案】B14. （2011四川宜宾,7,3分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（
D．6【答案】D15. （ 2011重庆江津， 10，4分）如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2......,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的有(
)①四边形A2B2C2D2是矩形;
②四边形A4B4C4D4是菱形;③四边形A5B5C5D5的周长;
④四边形AnBnCnDn的面积是A.①②
D.①②③④【答案】C·16. （2011江苏淮安，5，3分）在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（
） A. 5cm
D. 25cm【答案】C17. （2011山东临沂，11，3分）如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∩A＝30°，BC＝2，AF＝BF,则四边形BCDE的面积是（
D．4【答案】A18. （2011四川绵阳7，3）下列关于矩形的说法中正确的是 A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．矩形的对角线相等且互相平分【答案】D19. （2011四川乐山9，3分）如图（5），在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE交BF于点H，CG∥AE交BF于点G。下列结论：①tan∠HBE=cot∠HEB
④.其中正确的序号是A．①②③
C． ①③④
D．①②④【答案】D20．（2011江苏无锡，5，3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是
)A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．对角线互相平分
D．对角互补【答案】A21. （2011湖北武汉市，12，3分）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；
②S四边形 BCDG=
CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF．其中正确的结论 A．只有①②． B．只有①③．C．只有②③． D．①②③．【答案】D22. （2011广东茂名，5，3分）如图，两条笔直的公路、相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 A．B、D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5公里，村庄C到公路的距离为4公里，则村庄C到公路的距离是[来源:]A．3公里 B．4公里
C．5公里 D．6公里 【答案】B23. （2011湖北襄阳，10，3分）顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是 A.菱形
B.对角线互相垂直的四边形
D.对角线相等的四边形【答案】D24. （2011湖南湘潭市，5，3分）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是A.平行四边形
C.等腰梯形
D.矩形【答案】B25.26.27.28.二、填空题1. （2011山东滨州，17，4分）将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形。若∠CED′=56°,则∠AED的大小是_______.【答案】62°2. （2011山东德州16,4分）长为1，宽为a的矩形纸片（），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为_____________．【答案】或3. （2011湖北鄂州，5，3分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_______．【答案】284. （2011山东烟台，17,4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是
.【答案】25. (2011 浙江湖州，16，4)如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽分别为2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片
张，才能用它们拼成一个新的正方形．【答案】46. (2011浙江绍兴，15，5分) 取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为
.【答案】7. （2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为
。【答案】8. （2011江苏泰州，18，3分）如图，平面内4条直线L1、L2、L3、L4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点Ａ、Ｃ分别在直线L1和L4上，该正方形的面积是
平方单位． 【答案】5或99. （2011山东潍坊，16，3分）已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EF⊥CD，垂足为F点.若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，则AE的长为_________________.【答案】10．（2011山东潍坊，17，3分）已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为_______________.【答案】11. （2011四川内江，16，5分）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足
条件时，四边形EFGH是菱形．【答案】AB=CD12. (2011重庆綦江，14，4分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝
．【答案】：13. （2011江苏淮安，17，3分）在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是
.(写出一种即可)【答案】∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°或AC=BD(答案不唯一，写出一种即可)14. (2011江苏南京，12，2分)如图，菱形ABCD的连长是2㎝，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为_________㎝2．【答案】15. （2011江苏南通，15，3分）如同，矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点重合，则AC＝
cm.【答案】416. （2011四川绵阳17，4）如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_____cm.【答案】217. （2011四川凉山州，17，4分）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是
。【答案】或18. （2011湖北黄冈，5，3分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_______．【答案】2819. （2011湖北黄石，13，3分）有甲乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图（4）.将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为
。【答案】AB=2BC20．（2011山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM=
时，四边形ABCN的面积最大．【答案】2;21. （2011河北，14，3分）如图6，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴对应的数分别为-4和1，则BC=__．【答案】522. （2010湖北孝感，16，3分）已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是
.【答案】15°或75°23.24.25.26.27.28.三、解答题1. （2011浙江省舟山，23，10分）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=（0°＜＜90°）， ① 试用含的代数式表示∠HAE；② 求证：HE=HG； ③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．【答案】（1）四边形EFGH是正方形． (2) ①∠HAE=90°＋a． 在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a； ∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，∴∠HAE=360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－（180°－a）＝90°＋a． ②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，∴AE=AB，DG=CD， 在□ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形， ∴∠DHA=∠CDG= 45°，∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE． ∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG． ③四边形EFGH是正方形．由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG（已证），∴GH=GF=FG=FE，∴四边形EFGH是菱形；∵△HAE≌△HDG（已证），∴∠DHG=∠AHE，又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90°，∴四边形EFGH是正方形．2. （2011安徽，23，14分）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线、、、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、（＞0，＞0，＞0）．（1）求证：=； （2）设正方形ABCD的面积为S，求证：S=；（3）若，当变化时，说明正方形ABCD的面积S随的变化情况．【答案】（1）过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CG⊥l3交l3于点G，∵l2∥l3，∴∠2 =∠3，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，∴∠1=∠4，又∵∠BEA=∠DGC=90°, BA=DC，∴△BEA≌△DGC，∴AE=CG，即=；（2）∵∠FAD+∠3=90°，∠4+∠3=90°，∴∠FAD =∠4，又∵∠AFD=∠DGC=90°, AD=DC，∴△AFD≌△DGC，∴DF=CG，∵AD2=AF2+FD2，∴S=； (3)由题意，得， 所以 ，又，解得0＜h1＜ ∴当0＜h1＜时，S随h1的增大而减小；当h1=时，S取得最小值；当＜h1＜时，S随h1的增大而增大.3. （2011福建福州，21，12分）已知,矩形中,,,的垂直平分线分别交、于点、,垂足为.(1)如图10-1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长；(2)如图10-2,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自→→→停止,点自→→→停止.在运动过程中,①已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.②若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式. 【答案】(1)证明:①∵四边形是矩形 ∴∥ ∴, ∵垂直平分,垂足为 ∴ ∴≌ ∴ ∴四边形为平行四边形又∵∴四边形为菱形②设菱形的边长,则 在中, 由勾股定理得,解得 ∴(2)①显然当点在上时,点在上,此时、、、四点不可能构成平行四边形;同理点在上时,点在或上,也不能构成平行四边形.因此只有当点在上、点在上时,才能构成平行四边形∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,∵点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒∴,∴,解得 ∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.[来源:ZXXK]②由题意得,以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点、在互相平行的对应边上.分三种情况:i)如图1,当点在上、点在上时,,即,得ii)如图2,当点在上、点在上时,, 即,得iii)如图3,当点在上、点在上时,,即,得综上所述,与满足的数量关系式是4. （2011广东广州市，18，9分）如图4，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF．求证：△ACE≌△ACF． 【答案】∵四边形ABCD为菱形 ∴∠BAC=∠DAC 又∵AE=AF，AC=AC∴△ACE≌△ACF（SAS）5. （2011山东滨州，24，10分）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。[来源:]【答案】当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形..................2分证明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2，..................3分又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO. ..................5分同理，FO=CO..................6分∴EO=FO又OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形..................7分又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4. ..................8分又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°..................9分∴四边形AECF是矩形..................10分6. （2011山东济宁，22，8分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，为边延长线上的一点，为的中点，的垂直平分线交边于，交边的延长线于.当时，与的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过作直线平行于交，分别于，，如图，则可得：，因为，所以.可求出和的值，进而可求得与的比值. (1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由. （1）解：过作直线平行于交，分别于点，， 则，，. ∵，∴. 2分 ∴，. ∴.
4分（2）证明：作∥交于点， 5分 则，. ∵， ∴. ∵，， ∴.∴. 7分 ∴. 8分7. （2011山东威海，24，11分）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．（1）若∠1=70°，求∠MNK的度数．（2）△MNK的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．（备用图）【答案】
解：∵ABCD是矩形，∴AM∥DN，∴∠KNM=∠1．∵∠KMN=∠1，∴∠KNM=∠KMN．∵∠1=70°，∴∠KNM=∠KMN=70°．∴∠MNK=40°．（2）不能．过M点作ME⊥DN，垂足为点E，则ME=AD=1,由（1）知∠KNM=∠KMN．∴MK=NK．又MK≥ME,∴NK≥1．∴．∴△MNK的面积最小值为，不可能小于．（3）分两种情况：情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合．设MK=MD=x，则AM=5-x，由勾股定理，得,解得，．即．∴．
（情况一）情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC．设MK=AK= CK=x，则DK=5-x，同理可得即．∴．∴△MNK的面积最大值为1.3．
（情况二） 8. （2011山东烟台，24,10分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2． （1）求证：AB＝BC； （2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD． 【答案】（1）证明：连接AC， ∵∠ABC＝90°， ∴AB2＋BC2＝AC2. ∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2. ∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2， ∴AB＝BC. （2）证明：过C作CF⊥BE于F. ∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形. ∴CD＝EF. ∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF. ∴AE＝BF. ∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD.9. (2011 浙江湖州，22，8) 如图已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．(1) 求证：四边形AECF是平行四边形；(2) 若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长 ．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形.（2）∵四边形AECF是，∴AE＝CE，∴∠1＝∠2，∵∠BAC＝90°，∴∠3＝∠90°－∠2，∠4＝∠90°－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，∴BE＝AE＝CE＝BC＝5.10．（2011宁波市，23，8分）如图，在□ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB交CB的延长线于点G．（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G＝90，求证四边形DEBF是菱形．解：（1）□ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD∵E、F分别为AB、CD的中点∴DF＝DC，BE＝AB∴DF∥BE，DF＝BE∴四边形DEBF为平行四边形∴DE∥BF(2)证明：∵AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴DBC 为直角三角形又∵F为边CD的中点．∴BF＝DC＝DF又∵四边形DEBF为平行四边形∴四边形DEBF是菱形11. （2011浙江衢州，22,10分）如图，中，是边上的中线，过点作，过点作与分别交于点、点，连接求证：;当时，求证：四边形是菱形；在（2）的条件下，若，求的值.【答案】.证明：(1)解法1：因为DE//AB,AE//BC,所以四边形ABDE是平行四边形，[来源:]所以AE//BD且AE=BD，又因为AD是边BC上的中线，所以BD=CD，所以AE平行且等于CD，所以四边形ADCE是平行四边形，所以AD=EC.解法2：又(2)解法1：证明是斜边上的中线又四边形是平行四边形四边形是菱形解法2证明：又四边形是平行四边形四边形是菱形解法3证明：四边形是平行四边形又四边形是菱形解法1解：四边形是菱形的中位线，则解法2解：四边形是菱形12. （2011浙江省嘉兴，23，12分）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=（0°＜＜90°）， ① 试用含的代数式表示∠HAE；② 求证：HE=HG； ③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．【答案】（1）四边形EFGH是正方形． (2) ①∠HAE=90°＋a． 在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a； ∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，∴∠HAE=360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－（180°－a）＝90°＋a． ②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，∴AE=AB，DG=CD， 在□ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形， ∴∠DHA=∠CDG= 45°，∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE． ∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG． ③四边形EFGH是正方形．由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG（已证），∴GH=GF=FG=FE，∴四边形EFGH是菱形；∵△HAE≌△HDG（已证），∴∠DHG=∠AHE，又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90°，∴四边形EFGH是正方形．13. （2011福建泉州，21，9分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1．(1)证明：△A1AD1≌△CC1B；(2)若∠ACB＝30°，试问当点C1在线段AC上的什么位置时，四边形ABC1D1是菱形. （直接写出答案）【答案】∵矩形ABCD∴BC=AD,BC∥AD∴∠DAC=∠ACB∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1．∴∠A1=∠DAC,A1D1=AD,AA1=CC1∴∠A1=∠ACB，A1D1=CB。∴△A1AD1≌△CC1B（SAS）。...............6分当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形，...............9分14. （2011甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由。【答案】（1）由折叠可知EF⊥AC，AO=CO ∵AD∥BC ∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO ∴△AOE≌△COF ∴EO=FO ∴四边形AFCE是菱形。（2）由（1）得AF=AE=10 设AB=a，BF=b，得 a2+b2=100 ①，ab=48 ② ①+2×②得
(a+b)2=196，得a+b=14（另一负值舍去） ∴△ABF的周长为24cm（3）存在，过点E作AD的垂线交AC于点P，则点P符合题意。证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE ∴△AOE∽△AEP ∴，得AE2=AO·AP即2AE2=2AO·AP 又AC=2AO∴2AE2=AC·AP15. （2011广东株洲，23，8分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q. （1）求证： OP=OQ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PDO=∠QBO，又OB=OD，∠POD=∠QOB，∴△POD≌△QOB，∴OP=OQ。（2）解法一： PD=8-t∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵AD=8cm，AB=6cm，∴BD=10cm，∴OD=5cm.当四边形PBQD是菱形时， PQ⊥BD，∴∠POD=∠A，又∠ODP=∠ADB，∴△ODP∽△ADB，∴，即，解得,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形.解法二：PD=8-t当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=(8-t)cm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在RT△ABP中，AB=6cm，∴，
∴，解得,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形.16. （2011江苏苏州，28,9分）（本题满分9分）如图①，小慧同学吧一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）. 小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和. 小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，......，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题： 问题①：若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程； 问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是π？ 请你解答上述两个问题.【答案】解问题①：如图，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，∴顶点O运动过程中经过的路程为.顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为=1+π.正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为.问题②：∵方形OABC经过4次旋转，顶点O经过的路程为∴π=20×π+π.∴正方形纸片OABC经过了81次旋转.17. （2011江苏泰州，24，10分）如图，四边形ABCD是矩形，直线L垂直平分线段AC，垂足为O，直线L分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由． 【答案】(1)相似.由直线L垂直平分线段AC，所以AF=FC，∴∠FAC=∠ACF，又∵∠ABC=∠AOF=90°，∴△ABC∽FOA．（2）四边形AFCE是菱形。理由：∵AE∥CF，∴∠EAO=∠FCO，又∵AO＝CO，∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又AE∥CF，∴四边形AFCE为平行四边形，又AF=FC，所以平行四边形AFCE为菱形．18. （2011江苏泰州，28，12分）在平面直角坐标系xoy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标;(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由． 【答案】解：（1）当∠BAO=45°时，∠PAO=90°，在Rt⊿AOB中，OA＝AB＝，在Rt⊿APB中，PA＝AB＝。∴点P的坐标为（，） （2）过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N，则有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°，∴∠MPA=∠NPB，又PA＝PB，∴△PAM≌△PBN，∴PM=PN，于是，点P都在∠AOB的平分线上； （3）＜h≤。当点B与点O重合时，点P到AB的距离为，然后顶点A在x轴正半轴上向左运动，顶点B在y轴正半轴上向上运动时，点P到AB的距离逐渐增大，当∠BAO=45°时，PA⊥x轴，这时点P到AB的距离最大为，然后又逐渐减小到，∵x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O ，∴点P到x轴的距离的取值范围是＜h≤。19. （2011山东济宁，17， 5分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，OB=OD，................................................1分 ∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，..............................2分 ∴△OED≌△OFB， ∴DE=BF，...............................................................3分 又∵DE∥BF， ∴四边形BEDF是平行四边形，....................................4分 ∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．.............................................5分20．（2011山东聊城，25，12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm，点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）．（1）当t＝1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围．（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】（1）如图甲，当t＝1秒时，AE＝2，EB＝10，BF＝4，FC＝4，CG＝2，由S＝S梯形EGCG－SEBF－SFCG＝(10＋2)×8－×10×4－×4×2＝24 (2)如图（甲），当0≤t≤2时，点E、F、G分别在AB、BC、CD上移动，此时AE＝2t，EB＝12－2t，BF＝4t，FC＝8－4t，S＝8t2－32t＋48（0≤t≤2） （3）如图乙，当点F追上点G时，4t＝2t＝8，解得t＝4，当2＜t≤4时，CF＝4t－8，CG＝2t，FG＝CG－CF＝8－2t，即S＝－8t＋32(2＜t≤4)，(3)如图（甲），当点F在矩形的边BC上移动时，0≤t≤2，在EFF和FCG中，B＝C＝90，，①若，即，解得t＝，又t＝满足0≤t≤2，所以当t＝时△EBF∽△GCF②若，即，解得t＝，又t＝满足0≤t≤2，所以当t＝时△EBF∽△GCF，综上知，当t＝或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似21. （2011山东潍坊，18，8分）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.（1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值；（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值.【解】（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD.∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.∴PE+PF=OF+FB=OB=.（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD.∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.∴PE－PF=OF－BF= OB=.22. （2011四川广安，23，8分）如图5所示，在菱形ABCD中，∠ABC= 60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE 【答案】证明：∵ABCD是菱形，∠ABC= 60°
∴BC=AC=AD
又∵DE∥AC
∴ACED为平行四边形
∴CE=AD=BC
∴DE=CE=BC∴DE=BE23. (2011江苏南京，21，7分)如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．[来源:Z§xx§k.Com]⑴求证：△ABF≌△ECF⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．【答案】证明：⑴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD．∴∠ABF=∠ECF.∵EC=DC, ∴AB=EC．在△ABF和△ECF中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，∴⊿ABF≌⊿ECF．（2）解法一：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴AF=EF， BF=CF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC．∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB．∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC．∴口ABEC是矩形．解法二：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE．又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE，∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD．又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°．∴口ABEC是矩形．24. （2011江苏南通，26，10分）（本体满分10分）已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△（如图2）.（1） 探究AE′与BF'的数量关系，并给予证明；（2） 当α＝30°时，求证：△AOE′为直角三角形.【答案】（1）AE′＝BF证明：如图2， ∵在正方形ABCD中， AC⊥BD ∴∠＝∠AOD＝∠AOB＝90° 即∠AOE′＋∠AOF′＝∠BOF′＋∠AOF′ ∴∠AOE′＝∠BOF′ 又∵OA＝OB＝OD，OE′＝2OD，OF′＝2OA ∴OE′＝OF′ ∴△OAE′≌△OBF′ ∴AE′＝BF（2）作△AOE′的中线AM，如图3.则OE′＝2OM＝2OD＝2OA∴OA＝OM∵α＝30°∴∠AOM＝60°∴△AOM为等边三角形 ∴ MA＝MO＝ME′，∠＝∠ 又∵∠＋∠＝∠AMO 即2∠＝60° ∴∠＝30° ∴∠＋∠AOE′＝30°＋60°＝90° ∴△AOE′为直角三角形.25. （2011山东临沂，22，7分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，＝2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为点E，F（1）求证：AC＝AD；（2）若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形； 【解】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠BCA， ∴∠EAC＝∠B＋∠BCA＝2∠B， ∵AD平分∠FAC， ∴∠FAD＝∠B， ∴AD∥BC，..............................................................................（2分） ∴∠D＝∠DCE， ∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD＝∠DCE，∴∠D＝∠ACD，........................................................................（3分）∴AC＝AD；..............................................................................（4分）（2）证明：∵∠B＝60°，∴∠ACB＝60°，∠FAC＝∠ACE＝120°，∴∠DCE＝∠B＝60°，...............................................................（5分）∴DC∥AB,∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，...................................................（6分）又由（1）知AC＝AD，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．............................................................（7分）26. （2011山东临沂，25，11分)如图1，奖三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF＝EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由；[来源:]（3）如图3，将（2）中的"正方形ABCD"改为"矩形ABCD"，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a,BC＝b，求的值．图1
图3（1）证明：∵∠GEB＋∠BEF＝90°，∠DEF＋∠BEF＝90°，∴∠DEF＝GEB，......................................................（ 1分）又∵ED＝BE，∴Rt△FED≌Rt△GEB，................................................（ 2分）∴EF＝EG．............................................................（ 3分） (2)成立．..............................................................................（ 4分）
证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，
则EH＝EI，∠HEI＝90°，.......................................（ 5分）
∵∠GEH＋∠HEF＝90°，∠IEF＋∠HEF＝90°，
∴∠IEF＝∠GEH，...................................................（ 6分）
∴Rt△FEI≌Rt△GEH,
∴EF＝EG．...............................................................（7分） (3)解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N ， 则∠MEN＝90°，EM∥AB，EN∥AD,...........................（ 8分）
∴＝＝，
∴＝＝, ................................................（9分）
∵∠GEM＋∠MEF＝90°，∠FEN＋∠MEF＝90°，
∴∠FEN＝∠GEM， ∴Rt△FEN∽Rt△GEM, ................................................（10分） ∴＝＝．................................................（11分）27. （2011上海，23，12分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE．联结BF、CF、AC． （1）求证：四边形ABFC是平行四边形； （2）如果DE2＝BE·CE，求证四边形ABFC是矩形． 【答案】（1）连接BD． ∵DE⊥BC，EF=DE， ∴BD=BF，CD=CF． ∵在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC， ∴四边形ABCD是等腰梯形． ∴BD=AC． ∴AC=BF，AB=CF． ∴四边形ABFC是平行四边形． （2）∵DE2 =BE·CE，EF=DE， ∴EF2 =BE·CE． ∴． 又∵DE⊥BC， ∴∠CEF=∠FEB=90°． ∴△CEF∽△FEB． ∴∠CFE=∠FBE． ∵∠FBE+∠BFE=90°， ∴∠CFE +∠BFE=90°． 即∠BFC=90°． 由（1）知四边形ABFC是平行四边形，∴证四边形ABFC是矩形．20． 28. （2011四川乐山20，10分）如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AE=DF。求证：BE=CF 【答案】证明：∵四边形ABCD为矩形∴OA=OB=OC=OD
AB=CD∵AE=DF∴OE=OF在ΔBOE与ΔCOF中，∴ΔBOE≌ΔCOF(SAS)∴BE=CF29. （2011湖南衡阳，26，10分）如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m(m＞4)，点P是AB边上的任意一点（不与A、B重合），连结PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．(1)当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由； (2)连结AC，若PQ∥AC,求线段BQ的长（用含m的代数式表示）(3)若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．【解】(1) 假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合（如下图），∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°，∴∠APD＋∠BPC=90°，又∠ADP＋∠APD=90°，∴∠BPC=∠ADP，又∠B=∠A=90°，∴△PBC∽△DAP，∴，∴，∴或8，∴存在点P使得点Q与点C重合，出此时AP的长2 或8．(2) 如下图，∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠BPQ=∠ADP，∴∠BAC=∠ADP，又∠B=∠DAP=90°，∴△ABC∽△DAP，∴，即，∴．∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠B=∠B，∴△PBQ∽△ABC，，即，∴．(3)由已知 PQ⊥PD，所以只有当DP=PQ时，△PQD为等腰三角形（如图），∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°，∴△PBQ≌△DAP，∴PB=DA=4，AP=BQ=，∴以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式为：S四边形PQCD= S矩形ABCD－S△DAP－S△QBP===16（4＜≤8）．30. （2011贵州贵阳，18，10分） 如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB、EA，延长BE交边AD于点F． （1）求证：△ADE≌△BCE；（5分） （2）求∠AFB的度数．（5分）[来源:]（第18题图） 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=BC． ∵△CDE是等边三角形， ∴∠CDE=∠DCE=60°，DE=CE． ∵∠ADC=∠BCD=90°，∠CDE=∠DCE=60°， ∴∠ADE=∠BCE=30°． ∵AD=BC，∠ADE=∠BCE，DE=CE， ∴△ADE≌△BCE． （2）∵△ADE≌△BCE， ∴AE=BE， ∴∠BAE=∠ABE． ∵∠BAE+∠DAE=90°，∠ABE+∠AFB=90°，∠BAE=∠ABE， ∴∠DAE=∠AFB． ∵AD=CD=DE， ∴∠DAE=∠DEA． ∵∠ADE=30°， ∴∠DAE=75°，∴∠AFB=75°．31. （2011广东肇庆，20，7分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED．（1）求证：△BEC≌△DEC；（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB ＝ 140?，求∠AFE的度数．【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴CD＝CB，∵AC是正方形的对角线
∴∠DCA＝∠BCA又 CE ＝ CE
∴△BEC≌△DEC(2）∵∠DEB ＝ 140?由△BEC≌△DEC可得∠DEC ＝∠BEC＝140??2＝70?，∴∠AEF ＝∠BEC＝70?，又∵AC是正方形的对角线， ∠DAB＝90? ∴∠DAC ＝∠BAC＝90??2＝45?，在△AEF中，∠AFE＝180?- 70?- 45?＝65?32. （2011广东肇庆，22，8分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若∠ACB＝30?，菱形OCED的面积为，求AC的长．【答案】解：（1）证明：∵DE∥OC ，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形
∴ AO＝OC＝BO＝OD∴四边形OCED是菱形．（2）∵∠ACB＝30° ∴∠DCO ＝ 90°- 30°＝ 60°又∵OD＝ OC，
∴△OCD是等边三角形过D作DF⊥OC于F，则CF＝OC，设CF＝，则OC＝ 2，AC＝4在Rt△DFC中，tan 60°＝
∴DF＝FC? tan 60°由已知菱形OCED的面积为得OC? DF＝，即 ，解得
∴ AC＝4?2＝833. （2011湖北襄阳，25，10分)如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF.（1）求证：∠ADP＝∠EPB；（2）求∠CBE的度数；（3）当的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由. 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，∴∠ADP＋∠APD＝90° 1分 ∵∠DPE＝90°
∴∠APD＋∠EPB＝90° ∴∠ADP＝∠EPB. 2分 （2）过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，则∠EGP＝∠A＝90° 3分 又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，∴△PAD≌△EGP ∴EG＝AP，AD＝AB＝PG，∴AP＝EG＝BG 4分 ∴∠CBE＝∠EBG＝45°. 5分 （3）方法一： 当时，△PFE∽△BFP. 6分 ∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF 7分 设AD＝AB＝a，则AP＝PB＝，∴BF＝BP· 8分 ∴， ∴ 9分 又∵∠DPF＝∠PBF＝90°，∴△ADP∽△BFP 10分 方法二：假设△ADP∽△BFP，则. 6分∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF 7分∴， 8分∴， 9分∴PB＝AP，
∴当时，△PFE∽△BFP. 10分34. （2011湖南永州，25，10分）探究问题：⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF=45°
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．[来源:学#科#网]∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠_________．又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌_______．∴_________=EF，故DE+BF=EF．⑵方法迁移：如图②，将沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．⑶问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．【答案】⑴EAF、△EAF、GF．⑵DE+BF=EF，理由如下：假设∠BAD的度数为，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF=
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=．即∠GAF=∠EAF又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌△EAF．∴GF=EF，又∵GF=BG+BF=DE+BF
∴DE+BF=EF．⑶当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF．35. （2011江苏盐城，27，12分） 情境观察 将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示． 观察图2可知：与BC相等的线段是
，∠CAC′=
°． 问题探究 如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论. 拓展延伸 如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.【答案】情境观察 AD（或A′D），90问题探究结论：EP=FQ.证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.同理AG=FQ.
∴EP=FQ.拓展延伸结论： HE=HF.理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴ = .同理△ACG∽△FAQ，∴ = .∵AB= k AE，AC= k AF，∴ =
= k，∴ = . ∴EP=FQ.∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF.36. (20011江苏镇江,23,7分)已知:如图,在梯形ABCD中AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E为AB中点,求证:四边形BCDE是菱形.答案:证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°。又E为AB中点，∴DE=AB,BE=AB, ∴DE=BE∴∠ DBE =∠EDB又AB∥CD, ∴∠ BDC =∠EDB∵BC=CD, ∴∠DBC =∠DBC∴BC∥DE.∵EB∥CD∴四边形BCDE是平行四边形∵BC=CD∴四边形BCDE是菱形。37. (20011江苏镇江,25,6分)已知:如图1,图形①满足:AD=AB,MD=MB, ∠A=72°, ∠M=144°.图形②与图形①恰好拼成一个菱形(如图2).记作AB的长度为a,BM的长度为b.(1)图中①中∠B=___度,图中②中∠E=____度.(2)小明有两种纸片各若干张,其中一种纸片的形状及大小与图形①相同,这咱纸片称为"风筝一号"另一种纸片的形状及大小与图形②相同,这种纸片称为"飞镖一号".①小明仅有",风筝一号"纸片拼成一个边长为b的正十边形,需要这种纸片____张;②小明用若干张"风筝一号"和 "飞镖一号"纸片拼成一个"大风筝"(如图3),其中∠P=72°, ∠Q=144°,PI=PJ=a+b,IQ=JQ.庄股你在图穷匕见中画出拼接线并保留画图痕迹.(本题中均为无重叠、无缝隙拼接)【答案】（1）∠B=72°，∠E=36°（2）5个；（3）图略38. （2011贵州安顺，25，10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE． ⑴说明四边形ACEF是平行四边形； ⑵当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由． 【答案】（1）证明：由题意知∠FDC =∠DCA = 90°．∴EF∥CA
∴∠AEF =∠EAC∵AF = CE = AE
∴∠F =∠AEF =∠EAC =∠ECA
又∵AE = EA∴△AEC≌△EAF，∴EF = CA，∴四边形ACEF是平行四边形 ．（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形 ．理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=，∵DE垂直平分BC，∴ BE=CE又∵AE=CE，∴CE=，∴AC=CE，∴四边形ACEF是菱形．39. （2011河北，23，9分）如图12，四边形ABCD是正方形，点E,K分别在BC,AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG.(1)求证：①DE=EG;②DE⊥EG；（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；（4）当时，请直接写出的值.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°，又∵CE=AG，∴△DCE≌△DAG,∴∠EDC=∠GDA,DE=DG.又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE+∠GDA=90°,∴DE⊥DG.（2）如图(3)四边形CEFK为平行四边形。证明：设CK,DE相交于M点，∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴AB∥CD,AB=CD,EF=DG,EF∥DG;∵BK=AG,∴KG=AB=CD,∴四边形CKGD为平行四边形。∴CK=DG=EF,CK∥DG.∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°.∴∠KME+∠DEF=180°,∴CK∥EF,∴四边形CKEF为平行四边形。（4）=40. （2011湖南湘潭市，24，8分）（本题满分8分）两个全等的直角三角形重叠放在直线上，如图⑴，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，将Rt△ABC在直线上左右平移，如图⑵所示.⑴ 求证：四边形ACFD是平行四边形;⑵ 怎样移动Rt△ABC，使得四边形ACFD为菱形;⑶ 将Rt△ABC向左平移，求四边形DHCF的面积.【答案】 （1）证明：∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF,∠ACB=∠DFE，∴AC∥DF，∴四边形ACFD是平行四边形；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=10cm，要使四边形ACFD为菱形，则AC=CF，∴可将Rt△ABC向左平移10cm或向右平移10cm；（3）在Rt△ABC中，．∴当Rt△ABC向左平移时，EC=BC-BE=8-4=4（cm），在Rt△HEC中，．∴四边形DHCF的面积为：cm2．41. （2011湖北荆州，19，7分）（本题满分7分）如图，P是矩形ABCD下方一点，将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好D点与A点重合，得到△PEA，连接EB，问△ABE是什么特殊三角形？请说明理由.【答案】△ABE是等边三角形，理由如下：因为△PEA是将△PCD绕P点顺时针旋转60°后得到的所以△PEA≌△PCD，且AE与DC所夹的锐角为60°所以AE＝DC又因为四边形ABCD是矩形所以DC＝AB且DC∥AB[来源:ZXXK]所以AE＝AB且∠EAB＝60°[来源:学&科&网]所以△ABE是等边三角形.34.矩形、菱形、正方形一
选择题A组1、(2011浙江杭州模拟14)下列命题中的真命题是(
). A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 中心对称图形都是轴对称图形C. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形
D. 等腰梯形是中心对称图形答案：C2、(2011浙江杭州模拟16)下列图形中，周长不是32的图形是（ ）答案：B3.(2011浙江省杭州市8模)如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直线BE、DG交于H，且HE·HB＝，BD、AF交于M，当E在线段CD（不与C、D重合）上运动时，下列四个结论：① BE⊥GD；② AF、GD所夹的锐角为45°；③ GD=；④ 若BE平分∠DBC，则正方形ABCD的面积为4。其中正确的结论个数有（ ）A. 1个
D. 4个答案:D[来源:学#科#网Z#X#X#K]4、（2011年黄冈中考调研六）矩形中，，，是的中点，点在矩形的边上沿运动，则的面积与点经过的路程之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（
）[来源:学_科_网Z_X_X_K]答案A5、（2011年浙江杭州三模） 如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连结PG，PC。若∠ABC=∠BEF =60°，则（
D.答案：B6、（2011年浙江杭州八模）如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直线BE、DG交于H，且HE·HB＝，BD、AF交于M，当E在线段CD（不与C、D重合）上运动时，下列四个结论：① BE⊥GD；② AF、GD所夹的锐角为45°；③ GD=；④ 若BE平分∠DBC，则正方形ABCD的面积为4。其中正确的结论个数有（ ）A. 1个
D. 4个答案：DB组1. （2011浙江慈吉 模拟）如图, 将一个正方体分割成甲、乙、丙三个长方体, 且三个长方体的长和宽均与正方体的棱长相等; 若已知甲、乙、丙三个长方体的表面积之比为2∶3∶4, 则它们的体积之比等于（
）A. 2∶3∶4
B. 2∶5∶7
C. 1∶10∶23
D. 1∶6∶11答案：D2、（2011北京四中一模）下列命题中，真命题是(
)(A)有两边相等的平行四边形是菱形
(B)有一个角是直角的四边形是矩形(C)四个角相等的菱形是正方形
(D)两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形3（2011深圳市中考模拟五）下列命题中，真命题是（ ）Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形[来源:]Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形答案：D4. （2011深圳市全真中考模拟一）如图，顺次连结圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝10，DF＝4，则菱形ABCD的边长为(A)4．(B)5(C)6．(D)9．（第4题）答案：D5.（安徽芜湖2011模拟）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形，边与DC交于点O，则四边形的周长是 （
D．答案: A6.（浙江杭州金山学校2011模拟）（原创）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60? 的菱形，剪口与折痕所成的角? 的度数应为（ ▲ ）A．15?或30?
B．30?或45?
C．45?或60?
D．30?或60?答案：D7.（浙江杭州金山学校2011模拟）（引黄冈市 2010年秋期末考试九年级数学模拟试题） 正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点在线段上，正方形的边长为4，则的面积为（
） Ａ、10
Ｃ、14 Ｄ、16答案：D8.（河南新乡2011模拟）如图，菱形ABCD的周长为40cm，，垂足为，，则下列结论正确的有（ ）①
②③菱形面积为
Ｄ．个答案：C9.（浙江杭州进化2011一模）下列命题中的真命题是(
). A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 中心对称图形都是轴对称图形C. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形
D. 等腰梯形是中心对称图形答案:C10、（2011年黄冈市浠水县）如图所示，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是... （
5答案：B11、（2011年北京四中33模）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（
）A．AB=CD
C. AB=BC D. AC=BD 答案C12．（2011年杭州市上城区一模）如图，顺次连结圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝6，DF＝4，则菱形ABCD的边长为（
D.7答案：D13．（2011年杭州市上城区一模）已知下列命题：①若，则；②若，则；③角平分线上的点到这个角的两边距离相等；④平行四边形的对角线互相平分；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.其中原命题与逆命题均为真命题的是（
）A. ① ③④
D. ②③⑤答案：C14. （2011年杭州市模拟）如图，矩形的长与宽分别为和，在矩形中截取两个大小相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成一个没有空隙的圆柱，则和要满足的数量关系是 A.
B. C.
D.答案：D15. （2011年海宁市盐官片一模）如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（
） [来源:]A．
D．答案：A二
填空题1、(2011浙江杭州模拟16)同学们在拍照留念的时候最喜欢做一个"V"字型的动作。我们将宽为的长方形如图进行翻折，便可得到一个漂亮的"V"。如果"V"所成的锐角为600，那么折痕的长是
。[来源:]答案：2.（2011.河北廊坊安次区一模）如图6，菱形的对角线相交于点请你添加一个条件：
，使得该菱形为正方形．答案: 定义或判定3.(2011.河北廊坊安次区一模）如图8，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为
．[来源:学。科。网Z。X。X。K]答案:4.
(2011湖北省天门市一模)如图4（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图4（2））；以此下去···，则正方形A4B4C4D4的面积为__________。[来源:]5.（浙江杭州金山学校2011模拟）（原创）如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为
.答案：答案: 6256.（2011浙江杭州模拟7） 如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连结PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于________．[来源:Z|]7.(2011年宁夏银川)如图，已知正方形的边长为3，为边上一点， ．以点为中心，把△顺时针旋转，得△，连接，则的长等于
．答案：28．（2011年青岛二中）如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是
．答案：179（2011年浙江仙居）如图在中，点D、E、F分别在边、、上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是菱形.其中，正确的有
.（只填写序号）答案：①②③④10、(2011山西阳泉盂县月考)如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，G、H在DC边上，且GH=DC，AB=10，BC=12，则阴影
部分的面积为
。11．（2011年江苏盐都中考模拟）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于
°.答案5012、（2011年北京四中中考模拟19）在正方形的截面中，最多可以截出
边形答案413、（2011年浙江杭州三模） 如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE=BC，点P在EC上，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，则PM+PN=答案：14、（2011年浙江杭州七模）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连结PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于 答案：7B组1．（2011安徽中考模拟）如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_____________．答案：52. （2011湖北武汉调考模拟二）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心D所经过的路径总长为（结果保留）___．答案：（8，+4）3、（北京四中2011中考模拟14）要使一个平行四边形成为正方形，则需添加的条件为____________（填上一个正确的结论即可）.答案：对角线垂直且相等4. （2011年杭州市模拟）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，则点的坐标为 ．答案：5．（2011年海宁市盐官片一模）如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与延长线交于点．则四边形的面积是 ．答案：166、（赵州二中九年七班模拟）若菱形的对角线=24，=10，则菱形的周长为
。答案：527、（赵州二中九年七班模拟）用含角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列五种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形，⑤等边三角形。其中可以被拼成的图形是
（只填正确答案的序号）。答案：①③⑤三
解答题1、(2011浙江杭州模拟15) 如图（1）矩形纸片ＡＢＣＤ，把它沿对角线折叠，会得到怎么样的图形呢？（1）在图（2）中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图轨迹，只需画出其中一种情况）（2）折叠后重合部分是什么图形？试说明理由。答案：（1）图略
（4分）（2）等腰三角形
（1分）（2分）2、(2011浙江杭州模拟15)如图(1)，△ABC中，AD为BC边上的的中线，则.（模拟改编）实践探究（1）在图(2)中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，则之间满足的关系式为
；（2）在图(3)中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则之间满足的关系式为
；（3）在图(4)中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则之间满足的关系式为
；解决问题：（4）在图(5)中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和，即S1+ S2+ S3+ S4=？答案：(1)
（2分）（2）
（2分）(3)
（2分）（4）由上得， ，[来源:]∴S1+x+S2+S3+y+S4．S1+m+S4+S2+n+S3，∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2 +n+S3）．∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）=S1+x+S2+n+S3+y+S4+m+S阴∴S1+S2+S3+S4=S阴=20． （4分）3．（10分）（2011武汉调考模拟)如图，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE=900，点B、E、F，按逆时针排列），点P为DE的中点，连PC，PF[来源:ZXXK](1)如图①，点E在BC上，则线段PC、PF的数量关系为_______，位置关系为_____（不证明）．(2)如图②，将△BEF绕点B顺时针旋转a(O<a<450)，则线段PC，PF有何数量关系和位置关系？请写出你的结论，并证明．(3)如图③，△AEF为等腰直角三角形，且∠A EF=90°，△AEF绕点A逆时针旋转过程中，能使点F落在BC上，且AB平分EF，直接写出AE的值是________．24.解：(1) PC=PF, PC⊥PF.(2)延长FP至G使PG=PF，连DC.GC、FC. DB，延长EF交BD于N.由PDG≌PEF,∴DG=EF=BF.[来源:Z。xx。k.Com]∠PEF= ∠PDG,∴EN// DG,∴∠BNE=∠BDG=450+∠CDG=900-∠NBF=900-
(450-∠FBC)∴∠FBC=∠GDC
∴△BFC≌△DGC,∴FC=CG, ∠BCF=∠DCG.∴∠FCG= ∠BCD=900. ∴△FCG为等腰Rt△，∵PF=PG，∴ PC⊥PF, PF=PC.(3)22. (2011年宁夏银川)（6分）如图，在□ABCD中，平分交于点，平分交于点. 求证：（1）；（2）若，则判断四边形是什么特殊四边形，请证明你的结论.证明：（1）∵四边形是平行四边，∴ ∵平分平分 ∴...........................
2分 ∴ ................................................3分[来源:学+科+网] （2）由得 .......................................4分 在平行四边形中， ∴ ∴四边形是平行四边形................................................5分 若则四边形是菱形.......................................6分1. （2011年兴华公学九下第一次月考）如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°。(1)求证：AC∥DE；(2)过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判别四边形BCEF的形状，并说明理由。答案：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB ∴∠DCA=∠CAB 又∵∠EDC=∠CAB ∴∠EDC=∠DCA∴AC∥DE.
--------------------------------------------------------------------------------（3分）（2）四边形BCEF是平行四边形证明：∵∠DEC=90° ，BF⊥AC∴在Rt△DEC与Rt△AFC中∠DEC=∠AFB，∠EDC=∠FAB，CD=AB∴Rt△DEC≌ Rt△AFC∴CE=BF----------------------------------------------------------------------（6分）又∵DE∥AC ∴∠DEC +∠ACE=180°又∵∠DEC=90°∴∠ACE=90°∴∠ACE=∠AFB∴CE∥BF∴四边形BCEF是平行四边形.2. （2011年北京四中中考全真模拟17）如图，菱形公园内有四个景点，请你用两种不同的方法，按下列要求设计成四个部分：⑴用直线分割；⑵每个部分内各有一个景点；⑶各部分的面积相等。（可用铅笔画，只要求画图正确，不写画法） 答案：答案不唯一，如1．（2011年江苏连云港）(13分)在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．(1)请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P在DC的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论；(2)就(1)中的三个结论选择一个加以证明．[来源:Z+]解：（1）图①的结论是：，
2分 图②的结论是：，
... ...... ...
4分 图③的结论是：，
... ...... ... 6分（2）图①的结论是：的证明：∵∠BAE+∠DAF=90°，∠BAE+∠ABC=90°，∴∠DAF=∠ABE。
8分[来源:学§科§网Z§X§X§K]在△DAF和△BAE中，∵∠DAF=∠ABE，∠DFA=∠AEB=90°，AD=BA∴△DAF≌△ABE
10分∴AF=BE，AE=DF
[来源:ZXXK][来源:ZXXK]即.
13分图②与图③的证明与图①的证明方法类似，可参考图①的证明评分。23. （2011年江苏盐城）(本题满分10分)如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F．连接CE．(1)求△CDE的周长；(2)连接AF，四边形AECF是什么特殊的四边形？说明你的理由．答案．(1)得到AO＝CO......1′，得到CE＝AE.........2′，解得△CDE的周长为10cm............4′ (2)四边形AECF是菱形...........................5′，说明理由(略).................................8′27. （2011年江苏盐城）(本题满分12分)如图(1)，点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM．(1)判断CN、DM的关系，并说明理由；(2)设CN、DM的交点为H，连接BH，如图(2)，求证：△BCH是等腰三角形；(3)将△ADM沿DM翻折得到△A′DM，延长MA′交DC的延长线于点E，如图(3)，求tan∠DEM．27．解：(1)CM＝DM，CN⊥DM..................1′
证得△AMD≌△DNC...............2′ 证得CN＝DM．.................................3′
证得CN⊥DM........................4′(2)延长DM、CB交于点P． 证得BP＝BC．.........7′
证得△BCH是等腰三角形．.........8′(3)设AD＝4k，解得DE＝5k．..................10′
解得A′E＝3k
........................11′解得tan∠DEM＝
....................................................................................1、（2011杭州模拟25）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，F、G分别为边BC、CD的中点，连接AF，FG，过D作DE∥GF交AF于点E。（1）证明△AED≌△CGF（2）若梯形ABCD为直角梯形，判断四边形DEFG是什么特殊四边形？并证明你的结论。（原创）（1）证明；∵ BC=2AD、点F为BC中点∴CF=AD
（1分）∵AD∥CF
∴四边形AFCD为平行四边形∴∠FAD=∠C
（1分）∵DE∥FG
∴∠DEA=∠AFG∵AF∥CD
∴∠AFG=∠FGC
（1分）∴∠DEA=∠FGC
（1分）∴△AED≌△CGF
（1分）（2）连结DF∵DE=AF、
FG=DCDE=FG
DE∥FG∴四边形DEFG为平行四边形
（3分）又∵∠DFC=90°点G为DC中点∴FG=DG
（2分）∴平行四边形DEFG为菱形2、1、（2011年浙江杭州七模如图：把一张给定大小的矩形卡片ABCD放在宽度为10mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝25°,求长方形卡片的周长。（精确到1mm，参考数据： sin25°≈0，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5）.答案： 解：作AF⊥l4，交l2于E，交l4于F 则△ABE和△AFD均为直角三角形
...............1分 在Rt△ABE中，∠ABE＝∠α＝25° sin∠ABE＝
...........................1分∴AB＝＝50
...............1分∵∠FAD＝90°－∠BAE，∠α＝90°－∠BAE∴∠FAD＝∠α＝25°在Rt△AFD中，cos∠FAD＝ ........................1分AD＝≈44.4 ....................................1分∴长方形卡片ABCD的周长为（44.4＋50）×2＝190（mm）
............1分 B组1．（2011 天一实验学校 二模）如图，在正方形中，分别是边上的点,AE=ED,DF=DC，连结并延长交的延长线于点（1）求证：；（2）若正方形的边长为4，求的长。答案：⑴证明：在正方形ABCD中，∠A=∠D=90°,AB=AD=CD又AE=DE,DF=DC∴,,∴∴△ABE∽△DEF⑵BG=10(过程略)2．（2011年三门峡实验中学3月模拟）如图，将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N．请猜想BM与FN有怎样的数量关系？并证明你的结论．答案：BM=FN证明：在正方形ABCD中，BD为对角线，O为对称中心, ∴BO=DO ,∠BDA=∠DBA=45°． ∵△GEF为△ABD绕O点旋转所得，∴FO=DO, ∠F=∠BDA∴OB=OF
∠OBM=∠OFN在 △OMB和△ONF中∴△OBM≌△OFN∴BM=FN3.（2011北京四中二模）（本题满分6分）如图,有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上.若大楼的宽是40米，求这个矩形的面积. 答案：2000米2 4. （2011浙江杭州育才初中模拟）（本小题满分10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，F、G分别为边BC、CD的中点，连接AF，FG，过D作DE∥GF交AF于点E。（1）证明△AED≌△CGF（2）若梯形ABCD为直角梯形，判断四边形DEFG是什么特殊四边形？并证明你的结论。（原创）答案：（1）证明；∵ BC=2AD、点F为BC中点∴CF=AD
（1分）∵AD∥CF
∴四边形AFCD为平行四边形∴∠FAD=∠C
（1分）∵DE∥FG
∴∠DEA=∠AFG∵AF∥CD
∴∠AFG=∠FGC
（1分）∴∠DEA=∠FGC
（1分）∴△AED≌△CGF
（1分）（2）连结DF∵DE=AF、
FG=DCDE=FG
DE∥FG∴四边形DEFG为平行四边形
（3分）又∵∠DFC=90°点G为DC中点∴FG=DG
（2分）∴平行四边形DEFG为菱形
（1分）5. （2011广东南塘二模）△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，当∠B与∠C满足怎样的关系时，四边形AEDF是菱形。并证明你的结论。（第5题）答案：∠B＝∠C时，四边形AEDF为菱形。证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC， ∵AD⊥BC，∴BD＝DC，∵E、F分别为AB、AC中点，∴DF∥AB、DE∥AC、DE＝DF，∴四边形AEDF为菱形。6.（2011广东南塘二模）如图，矩形OABC的长OA=，AB=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。（1）填空：∠PCB=＿＿＿度，P点坐标为＿＿＿＿＿（2）若P、A两点在抛物线上，求抛物线的解析式，并判断点C是否在这抛物线上。（3）在（2）中的抛物线CP段上（不含C、P点）是否存在一点M，使得四边形MCPA的面积最大？若存在，求这个最大值和M点坐标，若不存在，说明理由。 答案：（1）连OM、MC、AB，设MC交x轴于D。∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙M直径，∵OA为⊙M的，∴∠OMA＝120°，∠OMC＝60°，∵OM＝2，∴DM＝1，OD＝，∴M(，1)，∵∠BAO＝∠MOA＝30°，∴OB＝2，∴B(0，2) （2）∵OA＝2·OD，∴A(，0)，C(，－1)，把O、A、C三点坐标代入y＝as2＋bx＋c得：y＝x2－x。 （3）∵∠AOC＝∠OAC＝∠OMC＝30°，∴∠BAO＝∠AOC＝30° ∴若存在，则P必为抛物线与直线AB或与直线OM的交点。求得直线AB为： y＝－＋2，由 解得：P1(－，3)，P2 (，3) ∵P1O＝OA＝AP2＝，∴P1、P2合题意。[来源:ZXXK]7.
（2011深圳市中考模拟五）如图，在一块如图所示的三角形余料上裁剪下一个正方形，如果△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形的四个顶点D、E、F、G分别在三角形的三条边上．求正方形的边长．答案：解：作CH⊥AB于H，∵四边形DEFG为正方形，∴CM⊥GF由勾股定理可得AB＝5根据三角形的面积不变性可求得CH＝.....................2分设GD＝x∵GF ∥AB∴∠CGF＝∠A ,∠CFG＝∠B∴△ABC∽△GFC ∴ 即 .....................6分 整理得：12－5x ＝x 解得：x＝.....................9分答：正方形的边长为.....................10分8. （2011深圳市中考模拟五）已知：如图所示的一张矩形纸片（），将纸片折叠一次，使点与重合，再展开，折痕交边于，交边于，分别连结和．（１）求证：四边形是菱形；（２）若，的面积为，求的周长；（３）在线段上是否存在一点，使得2AE＝AC·AP？若存在，请说明点的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由． 答案: （１）证明：由题意可知OA＝OC，EF⊥AO∵AD∥BC∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO∴△AOE≌△COF∵AE＝CE，又AE∥CF∴四边形AECF是平行四边形 ∵AC⊥EF ∴四边形AEFC是菱形（2）∵四边形AECF是菱形 ∴AF＝AE＝10.....................4分设AB＝ａ，BF＝ｂ，∵△ABF的面积为24a＋b＝100，ab＝48(a＋b）＝196 ａ＋ｂ＝14或ａ＋ｂ＝－14（不合题意，舍去）△ABF的周长为ａ＋ｂ＋10＝24.....................8分（３）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAP∴△AOE∽△AEP ∴ ∴ AE＝AO·AP∵四边形AECF是菱形，∴AO＝AC∴AE＝AC·AP∴2AE＝AC·AP.....................12分 9. （2011深圳市全真中考模拟一） 如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AMBE，垂足为M，AM交BD于点F． (1)求证：OE=OF； (2)如图2，若点E在AC的延长线上，AMBE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论"OE=OF"还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 答案：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴BOE=AOF＝90．OB＝OA
.................. (1分)
又∵AMBE，∴MEA+MAE＝90=AFO+MAE ∴MEA＝AFO..................（2分）
∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ..................
..................(4分)
(2)OE＝OF成立
..................
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BOE=AOF＝90．OB＝OA
.................. (6分)
又∵AMBE，∴F+MBF＝90=B+OBE
又∵MBF＝OBE
∴F＝E..................（7分）
∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ..................
..................(9分)10.（浙江杭州金山学校2011模拟）（10分）（根据2010年中考数学考前知识点回归＋巩固 专题13 二次函数题目改编） 如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为
顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周 长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．答案：解：（1）；．.............................................2分（2）在中，，．设点的坐标为，其中，∵顶点，∴设抛物线解析式为．①如图①，当时，，．解得（舍去）；．．．解得．抛物线的解析式为 .........................................................2分[来源:Z*]②如图②，当时，，．解得（舍去）．............2分③当时，，这种情况不存在．.......................................1分综上所述，符合条件的抛物线解析式是．（3）存在点，使得四边形的周长最小．如图③，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，分别与轴、轴交于点，则点就是所求点．..........................................1分，．．．又，，此时四边形的周长最小值是．........................................................................2分11. （河南新乡2011模拟）（10分）.如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C＝．（1）求B′ 点的坐标；（2）求折痕CE所在直线的解析式．答案：解：（1）在Rt△B′OC中，tan∠OB′C＝，OC＝9，∴ ．
.................................................................................３分解得OB′＝12，即点B′ 的坐标为（12，0）． .............................................４分（2）将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上的B′ 点，CE为折痕，∴ △CBE≌△CB′E，故BE＝B′E，CB′＝CB＝OA．由勾股定理，得 CB′＝＝15． ... .......................................５分设AE＝a，则EB′＝EB＝9－a，AB′＝AO－OB′＝15－12=3．由勾股定理，得 a2+32＝(9－a)2，解得a＝4．∴点E的坐标为（15，4），点C的坐标为（0，9）．
５分设直线CE的解析式为y＝kx+b，根据题意，得
............... ８分解得
∴CE所在直线的解析式为 y＝－x+9． .....................１0分12. （河南新乡2011模拟）（ 10分）如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点 E．(1) 求∠AEC的度数；（2）求证：四边形OBEC是菱形．答案：(10分)（1）解：在△AOC中，AC=2，∵ AO＝OC＝2，∴ △AOC是等边三角形．.........2分∴ ∠AOC＝60°，∴∠AEC＝30°．.....................4分（2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l．∴ OC∥BD． ........................5分∴ ∠ABD＝∠AOC＝60°．∵ AB为⊙O的直径，∴ △AEB为直角三角形，∠EAB＝30°．
...............7分∴∠EAB＝∠AEC．∴ 四边形OBEC 为平行四边形．
....................................９分又∵ OB＝OC＝2． ∴ 四边形OBEC是菱形． 13、（北京四中2011中考模拟12）已知：如图1，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF.求证：DE=BF.答案：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠ADE=∠ABF=90° ∵EA⊥AF，∴∠BAF+∠BAE=∠BAE+∠DAE=90°，∴∠BAF=∠DAE， ∴Rt△ABF≌Rt△ADE，∴DE=BF.14、（2011北京四中模拟）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，A F⊥CD于F。求证：≌答案：∵菱形ABCD∴∵∴∴≌（AAS）15、（2011杭州模拟20）如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是线段BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG（1） 连结GD，求证△ADG≌△ABE；（2） 如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=1,BC=2，E是线段BC上一动点（不含端点B,C ）,以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当E由B向C运动时，∠FCN的大小是否保持不变，若∠FCN的大小不变，求tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．答案：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形∴AB=AD，AE=AG，∠BAD＝∠EAG＝90o∴∠BAE＋∠EAD＝∠DAG＋∠EAD∴∠BAE＝∠DAG∴△ BAE≌△DAG
............4分（2）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，............1分 理由是：作FH⊥MN于H由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90o结合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG 又∵G在射线CD上 ∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90o∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE， ∴＝＝ ∴在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝2 ∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝2 ............5分16、（2011年黄冈浠水模拟1）如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？ 并证明你的结论．答案：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．∵CE平分，∴∠OCE=∠ECB．又∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB．∴∠OCE=∠OEC．∴．同理，．∴ ．∵，AO=CO，∴四边形AECF是平行四边形.又∵CE、CF分别平分∠ACB和∠ACP，∴． ∴四边形AECF是矩形．17、（2011年黄冈浠水模拟2）已知如图在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥BD交CB的延长线于G.（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论。[来源:ZXXK]答案：（1）由AD=BC，∠DAE=∠BCF，AE=CF，证△ADE≌△CBF............2分（2）四边形AGBD是矩形............3分由题意可知：AE=DE=BE，∴∠DAE=∠ADE，∠EDB=∠EBD，∴∠ADE+∠EDB=，又由AD∥BG，AG∥BD，∴四边形AGBD是矩形............7分 18.（2011深圳市模四）（本小题满分7分）（1）如图，在中，，的垂直平分线交于，交 于，且．①求证：四边形是菱形。②当的大小满足什么条件时，菱形是正方形？请回答并证明你的结论。答案：（1）证明：①∵EF垂直平分BC，∴EB=EC，FB=FC。又∵CF=BE，∴EB=EC=FB=FC。
∴四边形是菱形。②∠A等于45°时，四边形是正方形。 19．（2011年海宁市盐官片一模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F． （1）求梯形ABCD的面积； （2）求四边形MEFN面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．答案：⑴过C作CG⊥AB于G∵AB=7,CD=1
∴BG=由BC=5
∴CG==4S=⑵∵MN∥AB,且ME⊥AB,NF⊥AB∴四边形EFNM为矩形设BF为x，四边形MEFN的面积只为y∵NF∥CG,
∴BFN∽BGC即
∴NF=EF\7-2x∴y=（7-2x）当x=时，四边形MEFN的最大值为⑶当=7-2x时，即x=，MEFN为正方形此时正方形边长为正方形面积为
