据说这9张图只有超级数学学霸才能看得懂
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高考数学：学霸的高效得分技巧
添加日期： 12:31
　　从小数学学不好是一种怎样的体验?
　　我是那种从小数学不好的人，然后就天真地以为自己真的没办法学好，然后就渐渐放弃了学好数学的欲望。高中考了一个不是很好的重点中学，我很深刻的记得，有一回数学考试，我考了44分，满分150。那时候满脑子都是怎么办，一个快要高考的人了。哭过之后发现日子还是那样地过，数学还是不会。也不知道之后是怎么了，我突然有种想要学好数学的欲望。我是个蠢人，但在悠久的探索历史中，找到了适合自己的方法。
　　接下来我说明一下：数学学得好，80%也是靠努力。特别是高中党，把你们所有的高中课本拿出来，从头开始看。不要说你都会了，你能说出每个定理是怎么来的吗?每条公式怎么推导的吗?试卷上那些题，真的都是在母题的基础上变更的。
　　基础打不好，根本没办法继续提升。对初高中生而言，最好的资料是自己整理的那本。说到这里推荐一下，买一个活页本，做什么呢?很笨的方法，做错题集!方法提示:
　　1、没错，每一道题，写下解题方法，然后在下面用不同颜色的笔，写下你的出错原因，这点很重要。
　　2、回到课本，找到这个知识点，看看课本是怎样论述的，这个知识点能够演化出来的类型题有几种。
　　当你把这个过程全部完整过了，相信我，你已经是110以上的分数了。虽然这对大神来说不算什么。可我也只是一个当年数学考了44分的菜鸟呀。再说一下我的成绩，一模如果没记错，数学应该是年级第一。高考数学考得不是很好，但是也有130分。大学的时候数学还是很好，多半是高中积累下的基础。
　　恐惧是你学不好数学的原因。
　　我们来说说我为什么能够转变。我觉得人真的是一种很神奇的动物，正是因为人类这样神奇的存在，我们的社会才得以不断进步，历史才是往前走的。我们很多人，做不属于自己生活轨道的事情的时候，大多数是因为什么?恐惧。
　　很简单，恐惧死亡，所有你才开始健身，开始减肥，你害怕哪一天你不知道为什么就挂了。类似这样的事情很多。我自己会去努力学习数学也是这个原因，因为什么?我害怕呀，不是害怕数学本身，而是害怕高考，我会把一切跟我的未来联想在一起。并且，我觉得我是没有办法去承担那个后果的，无论怎么样，我还是要学。
　　与其害怕恐惧，不如消灭恐惧。
　　很多天生数学好的人体会不到那种数学不好的人的各种辛苦，别人用几分钟的时间解决完的题目，你冥思苦想还是想不出来，不断地怀疑自己的智商。可就算是这样，也是没有关系的呀。毕竟我们普通人学的数学，不是要你去造原子弹那样高难度的事情，而是普通人都可以做到的事情。我也不知道我是怎么想清楚这个问题的，反正从我决定开始认真努力学数学的时候，我就不去纠结自己的智商问题了。我拿出高中的课本，从目录开始看，计划自己用多久的时间去完成手上这本书。接下来，你就需要认真去研读课本了。
　　1、研读考纲知识点
　　考纲里面要求的每一个知识点，从定理、推导、例题、课后习题，每一步都要求你自己去做，不要不耐烦，不要觉得好像很无聊，你是菜鸟，你难道还想着大鹏展翅吗?实际点。
　　2、找到相关习题，刷题
　　接下来就是，按照每个知识点找到这个单元相关的习题，我们开始刷题。
　　3、错题的思考
　　在刷题的过程中，你会发现，原来我对这个知识点并没有我自己想的理解透彻了，我只是理解了表面。这时候，你就进入状态了。拿出你的笔记，开始写，你错的这道题，为什么错，对应的知识点是什么，还有不同的解法吗?有时候一道题可以花费我1个多小时的时间，写了满满两张活页，但这恰恰加深了对这个知识原理的理解，相信我，是值得的。然后，在未来的每个日子里面，你遇到相同类型题的时候，就整理在一起，时间一久，你慢慢就会发现，其实还真的错来错去就是那么几个知识点。你理解透彻了，分数就上来了。
　　我们现在的数学考试，都是知识考试，而不是智力考试。比的就是你多认真，对这个知识理解是不是透彻了，是不是了解清楚了，仅此而已。而你如果可以做到对每个知识点都把握到位，相信我，你的水平已经在多数人之上了，剩下的，就看你自己的造化了。毕竟每个人的能力极限都是不一样的。
高考 数学 学霸 得分技巧
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复杂性已发展为数学和计算机科学的一个引人入胜的部分，但它不是故事的结尾冒着深入研究过多细节的危险，数学家发现对于大多事件，Kolmogorov复杂性是不能被计算的所以，把它应用于非理论问题是非常困难的数学家们希望有一个定义可以描述看起来随机的数字；并且，为了实际应用的目的能足够随机，但在Kolmogorov意义上的又是高度非随机的其结果就是机密安全随机性（cryptographically secure randomness）的当前定义不严格来说，密码学意义上的随机性意味着不存在有效的电脑程序，使得区分伪随机和真实的随机事件（统计学意义上的）的概率能显著超过50/50猜测这是保证你的数字已经足够随机，你的敌人将无法预测你下一步将使用哪些数字，因为你的敌人所需要的计算时间不会短于他的寿命这是现代密码学的基础，工程师开始把关后，现在的系统保护着我们的互联网通信安全和私密性&所以，数学家们花费了很多时间在思考定义，影响着我们如何在现实世界中使用数学当然我不是主张教每一个人数学让每个人都冥思苦想定义，在现实生活中又有什么好处呢？现在是时候讨论一些现实的例子了第一个例子是基思·德夫林，数学家和顾问，被要求在911后帮助一些美国国防机构改进他们的情报分析他描述了第一次给满屋子的国防承包商作报告时的情况，他通过讨论对情境这个词的精确定义开始了他的演讲我节选了他的文章，强调一些重要的部分当我启动了我的PPT幻灯片投影时......我确信，这组人会中途阻止我，让我乘下一班飞机回到旧金山，而不是浪费他们更多的时间在活动现场，我确实没有翻过幻灯片的第一页但不是因为我被赶出去了，而是那次报告的其余时间都花在讨论出现在第一张幻灯片上的内容...事后，有人告诉我这一张幻灯片充分展示了你应该参与这个项目的合理性所以我做了什么？从我的角度来看，什么都没有做我的任务是找到一种方式，分析情境如何影响着数据的分析和在涉及军事，政治和社会领域的高度复杂的情境中的推理我走出了（对我来说）很明显的第一步我需要写下来精确的数学定义，尽可能定义情境是什么它花费了我几天的时间...我不能说我完全满意...但是我已经尽力做到最好了并且它至少给了我开始开发一些基本的数学思想的坚实基础这一群相当聪明的学者，国防承包商和国防部高级人才，花了整个分配给我的时间段来讨论一个定义这场讨论导致所有不同领域的专家们对情境有着不同的概念&&真是一场灾难首先，我问了他们一个问题：什么是情境？因为房间里的每个人除了我都对情境这个概念有一个良好的认识（我刚才说到了，不同的认识），他们从来没有想过写下一个正式的定义这不是他们所做工作的一部分其次，通过给他们展示情境的正式定义，我给了他们一个共同的参照点,他们可以比较和对比自己的观念我们已经开始避免灾难了&作为一个数学家，德夫林没有不同寻常事实上，一个数学家在遇到一个新的话题时最常见的问题是，这个词是什么意思?&作为国防情报顾问，虽然德夫林的具体例子非常专业，但他的这种机能却是普遍的这其实就是我们所说的慎思明辩的基础之一一个也许会忽略数学思维的普通民众，在听到新闻里政治家说我们拥有伊拉克有大规模杀伤性武器的有力证据时，如果他们有一个良好的数学教育，他们将会问：有力的证据和大规模杀伤性武器究竟意味着什么？然后，关键的后续问题是：他们所提供的定义是否就意味着发动战争这种应对方式就是合理的？如果你不理解这个定义，你就不能够做出明智的投票决定（当然，如果你只是把新闻当成娱乐，或者你是政治俱乐部的一员，事实对你而言无关紧要）每个人都不得不应对新的定义，无论是婚姻和性别的新定义，还是意图，合理或隐私的合法的新定义作为一名经验丰富的数学家将很容易注意到，政府并没有&宗教的有效定义能够慎思明辩地思考定义是明智交谈的基础典型的数学学生早在本科就开始勤于思考定义，并且通过研究生阶段和一段研究生涯，他们对开发这种技能越陷越深数学家通常每天遇到新的定义，有小范围的定义，也有大范围的能够通畅的讨论定义可以使所有人受益&&&举出例子和反例让我们在非正式场合实践定义反例的意思是用于表达事情不对的例子例如，数字5就是10是一个素数这句话的反例，因为10可以被5整除对于各种主张，数学家花费了大量的时间想出例子和反例在这一点上，以下两种方式与之前提到的有关定义的内容通紧密相连1.通常情况下，当想出一个新定义时，这个人会有一组希望此定义会遵循的正例和反例所以例子和反例帮助指导这个人建立好的定义2.当遇到一个新的已经存在的定义时，每个数学家想到的第一件事情就是写下能帮助他们更好理解定义的正例和反例然而，例子和反例不仅仅限于对定义的思考它们帮助人们对主张做出评估和理解研究数学的任何一个人都很了解这种模式，这种模式就是推测和证明这个模式如下所述当你在解决一个问题时，你学习一些数学知识，并写下用这些知识你想证明什么这是推测，就像是对你的研究对象的一个明智的（或无知的）猜测然后是证明，在那里你试图证明或反驳了这一主张打一个糟糕的比方，假如你会猜测，地球是宇宙的中心接着你找出一些例子说明你的猜测在我们太阳系的例子中，也许你做了一个玩具模型认为地球是宇宙的中心，如果宇宙和玩具一样简单的话或者你可以尝试去作出有关太阳和月亮一些测量并拿出证据，证明猜测是假的，实际上地球围绕着太阳与数学上不同的是，证据是一个反例，而且它必须是可证明的，才可以被称为是证据证据在数学上往往只是暂时的占位符，直到真相被发现，虽然对于一些高知名度的数学题，数学家们除了&证据外什么都没有发现，甚至是经过了上百年的学习之后这个比方糟糕的地方还有因为这种情况存在于数学的几乎微观层面上当你深入一个项目时，你每个几分钟就会有一些新的小推测，并且大部分被否定，因为你后来意识到这些推测是很不明智的猜想在一个不错的结果到来之前，你需要经历这数百个错误的假设这是一个涡轮增压的科学过程你在路边找到的反例就像路标他们引导你未来的直觉，一旦他们在头脑中根深蒂固，就会帮助你相对轻松地接受或拒绝更复杂的猜想和问题&再次，能够产生有趣和有用的例子和反例是有效对话的支柱如果你曾经读过最高法院听证会的文字记录，例如一个关于囚犯因为宗教原因戴着胡子的合法性，你将会明白大多数的争论正在测试以前针对合理，宗教和意图建立的法律定义的例子和反例这种思维也有着无数在物理，工程和计算机科学领域的应用&但是，微妙的地方在于，数学家们在其职业生涯作出如此多错误的，愚蠢的，和虚假的猜想，他们反而最不容易因为强大的声音和文化上的假设而盲目地接受主张如果作为一个集体的现代社会，我们认同，人们太愿意相信别人（比如，政治家，媒体专家，金融名嘴），那么学习数学是一种建立正确的质疑思维的古怪方式这种方式不仅对工程师有用，对俢管工，护士和垃圾回收工一样有用&&&经常犯错但勇于承认伊莎贝尔和格里芬两位数学家在黑板前讨论伊莎贝尔认为这个主张是正确的，而格里芬认为它错了，他们争执得很激烈但十分钟后他们竟然完全了转变立场！现在伊莎贝尔认为这是错的，而格里芬认为这个主张完全正确我经常目睹这种情况，但只在数学领域因为只有当这两个数学家愿意承认他们的错误，并在意识到他们的说法有缺陷时敢于转变立场，这种事才可能发生有时我和四五个人一起讨论，只有我与他们意见不同 但只要我论据充分，大家立刻就能承认他们错了，还不感到糟糕或是懊悔当然更多的时候我和大多数人一样被迫撤回，修正，并且打磨我的那些老观点对我来说这种事情稀松平常，怀疑出错认错然后重新开始，这甚至将数学论述与人人称赞的科学论述区分开不用处理P值，不用游说，和数学人讨论时你也不必担心你的名声重要的只有对深刻见解和真理的追求数学的习惯就是将你的骄傲与尴尬放在一旁，真理至上&&&评估一项主张的所有可能推论斯科特·阿伦森曾写过一篇关于肯尼迪遇刺及其阴谋论的博文文中他用数学思维评估这项主张：肯尼迪遇刺是个大阴谋，中情局也一样，他的论据直接了当，显然受到数学和计算机科学思维习惯的启发 例如，&几乎所有关于肯尼迪的阴谋论一定都是假的，因为他们相互矛盾一旦你意识到这点，并以他们中有一个是真的为前提来判断这些相互矛盾的阴谋论，你会发现你可以毫无阻碍地驳倒它们，这便是启蒙的曙光降临的时刻还有这段：如果这项阴谋如此强大，为什么它没做一些更令人印象深刻的事呢？为什么仅仅是刺杀肯尼迪？为什么不是操控选举，从一开始就阻止肯尼迪成为总统？&（在数学上，很多时候你发现你的论点出错的方式是意识到这个论点会带来远多于你出发点的信息&然而我读过的每一个阴谋论都存在这个问题例如，成功刺杀肯尼迪后，难道这个阴谋就此散伙了？它有策划其他暗杀吗？如果没有，为什么不？难道不应该继续拉动操控世界的傀儡线吗？如果这项阴谋有界限的话，它又是什么呢？）事实上，探索一个主张的极限就是数学家的面包和黄油这是评估一项主张正确性最简单的高级工具之一，你无需深入那些细枝末节事实上，它也可以作为一个试金石来判断哪些论点值得你详细了解有时一个论点的极限可以引出一个更好，更优雅的定理，它还包括原始的主张当然更多时候你只是意识到你错了所以这个习惯其实是经常犯错并想出反例的一个非正式说法&&梳理一项主张的前提条件数学也有一个令人遗憾的特点，那就是它充满着不确定性虽然我们喜欢把数学当做严谨的化身，而且我觉得这也没错，毕竟数学的历史已经超过百年但即便如此，数学的过程，也就是学习已有的理念或者发明新的理念这个过程，它不仅仅是生硬的严谨的推理，更多的是人与人的交流由于数学的这个特点，当有人大声提出一项数学主张时，他们通常采用最容易理解的措辞来传达这项主张的核心思想虽然你可能完全想不到数学人的用词，尤其是当两个数学家交谈时，你作为一个局外人便很难理解在这样的情况下，你就该多花点时间问基础的问题了比如说，在这个语境下这些词是什么意思？，哪些明显的尝试已经可以排除了，为什么？要想更深入一点，你可以问，这些开放式问题为何重要？还有，他们认为这种探究导向何方？这些都是数学家了解问题的方法总之就是要把一团乱麻的一丝一毫都理清，要知晓每个主张的前提条件这与世界上的其他论述方式截然不同例如，在充满争议的2016美国总统大选中，谁试图深入了解过唐纳德·特朗普的世界观？大多数自由主义者只听到，我要建立一堵墙，还得是墨西哥买单，于是便嘲笑他是个疯子而如果用数学方式对待这个主张，你会先去了解它来自哪里特朗普吸引着哪些选民？在移民问题上，他排除了哪些其他方案，为什么？对他的支持者来说，为什么移民问题如此重要，他这样回答是出于怎样的前提条件？他的出价如此成功，是什么因素在发挥作用？当然我并不是在陈述自己的政治立场，我只是指出，当一个数学家面对一团乱麻时，梳理前提条件是必不可少的自由媒体低估了特朗普的很大一部分原因在于不去回答这类问题相反，它们不断传播特朗普那些误导的言论，还希望这就能攻破特朗普支持者们的防线如果民调数据可信，媒体的这一招这可不是很有效...&&&缩放抽象的梯度讨论数学人最后的习惯之前，我要从布雷·维克多那里借用抽象的梯度这个概念也就是推理时，你可以用很多不同分辨率（这里维克多指梯度）去看待同一个问题在维克多的例子里，如果你正在设计一个汽车驾驶算法，你可以用最清晰的分辨率，也就是写一个算法并在每次执行中研究它的行为（如果想了解更多，请阅读布雷·维克多的原文/LadderOfAbstraction/）接着缩小放大倍率，你可以用滑动圈控制算法的不同参数（和时间），你可以将一种算法纳入一系列可调整的算法你还可以进一步归纳，利用可调整的参数和行为搜索所有可能的算法在这个过程中，你在寻找一种小放大倍率下的模式，它可以实现你的最终目标：在最低梯度（最粗分辨率）设计出一个完美的驾驶算法数学家们定期进行缩放，尤其是在研究生院的后期，当你需要学会阅读大量的研究论文时这时你没有时间深入了解每个符号或每个主张，你只需要了解足够重要的论文你需要制定一个抽象梯度：最低梯度是定义定理和例子，下一梯度是论文的整体论述，再下一个是相关论文和更广泛的数学背景，最高梯度是该领域的整体趋势，哪些东西是重要的或流行的等等你可能会从最低梯度开始，通过一些例子开始来大概理解一个定义，然后你跳到这篇论文的主要定理，明白它为什么是对前人工作的巨大提升 他们可能会用到一些50年代的技术，而你还不熟悉那个领域，但没关系，你只要知道他们用的理念，把它当做一个黑匣子去理解这个定理的高层次证明，你只需要一步登一个阶梯然后你去看公开问题部分，看看还有哪些工作没做，如果它很吸引人，你便可以仔细阅读论文的其余部分了确实，当数学家们谈论自己的工作时，他们就必须自己锻炼缩放梯度的那部分肌肉因为观众分很多种，他们能在不同分辨率下理解同一个数学理念有时在一种情境下用竞争博弈能最清楚地解释一些定理，有时在另一种情境下最优化问题比较好，还有些时候类比到冶金领域会更好理解数学的很大挑战便是整合所有梯度下的信息，把这些信息转换成一个连贯的世界观，在此世界观下你可以随意放大和缩小维克多的概念就是一个强大的用户界面，它使健身变得更容易然后数学家们用各种各样的方式练习不过无论通过哪种方式，最终的目标都是有价值的&&结语我并不想暗示培养数学人的这些习惯一定是件好事在现实世界中，很多这些习惯都是双刃剑任何一个经历过本科数学教育的人多少都认识几个极客（或本身就是极客），他们经常指出X说法在Y这种特殊情况下不完全正确，而一开始大家都尽量避免提到Y 这种情况理解何时这么说话是合适的，而何时只是烦人需要足够的社会成熟度，不仅仅只是数学论述那么简单此外，练习入门证明后还要再过数年你才能对自己总犯错这件事不那么在意对很多那些没有良好榜样，或没有探讨对象的学生来说，这可是很大一个关卡数学真的是情绪过山车关键在于，要是在任何情况下你都太过坚持这些原则只会让人觉得你是个混蛋，或是个小丑，这对你可一点帮助也没有只有知道何时坚守这些原则，才能让你像挥舞一把厨师刀一样使用你的数学思维能力：安全，高效地把思想和论点切片，并赋予他们最基本的样子&原文链接：/@jeremyjkun/habits-of-highly-mathematical-people-b719df12d15e#.nanlss1m5大数据文摘长期招募实习生和编辑，感兴趣请联系关于转载如需转载，请在开篇显著位置注明作者和出处（转自：大数据文摘|bigdatadigest），并在文章结尾放置大数据文摘醒目二维码无原创标识文章请按照转载要求编辑，可直接转载，转载后请将转载链接发送给我们；有原创标识文章，请发送文章名称-待授权公众号名称及ID给我们申请白名单授权未经许可的转载以及改编者，我们将依法追究其法律责任联系邮箱：长按以下二维码将直接跳转至QQ加群或者通过群号码进群&&编译团队大数据文摘后台回复志愿者加入我们&&往期精彩文章推荐，点击图片可阅读大师告诉你 学习数学有什么用天龙八部：一张图告诉你如何8步炼成数据科学家数学好，语文就差？该作者最新发布网友推荐的文章最新发布的文章@