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数理方法答案
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--------------------------Page1------------------------------数学物理方法第1章作业解答第5页1下列式子在复数平面上个具有怎样的意义1(2)│z-a│=│z-b│(3)Re(z)&2解(2)解(3)o121即a与b的连线的垂直平分线即x&的半平面21??(8)Re??2z??解∵zx+iyY1?1??x-iy?x∴Re??Re??Re??2Z?????22?22zx+iyx+yx+y??????22x1X+-0O得xy??即?x-?+y??4164????以上即为园方程圆心在1/4,0半径1/4.52.第页把下列复数用代数式三角式和指数式几种形式表示出来(4)1-cosα+isinαα(是实常数)解1-cos+isin(cos+isin)ei?ααρ??ρ其中ρ(1-cosα)2+sin2α2sinα2sinα?α??arctgarctg?ctg?1-cosα?2?--------------------------Page2------------------------------(5)z3解3()?3()+-3+3-ρρcos3?+sin3?zxiyxxyixyyei()()其中ρx2+y2y?arctgx-1i(6)e+e1ieeie(i)解×cos1+sin192.abx第页计算下列数值和为实常数为实变数()(3)ln-1π+π[i(2n)]()()解ln(1)ln1eln1i2n1i2n1-++π+π(6)sinix-xxx-xe-ee-e解sinixiishx2i213(1.3.4)第页试推导极坐标系中的柯西黎曼方程解()(,)+(,)fzuxyivxy()(,)(,)或写成fzuρ?+ivρ?ρi?0(?0)若?沿径向趋于零即??→?zze()()(,)(,)()+?-ρρ?ρρ?+?++?-+fzzfzuivuiv∴limlimi??→0?zi??ρezρ0?e→i?若?z沿横向趋于零即?zρei??(?ρ0)()()()()ρ??ρ??ρ?ρ?+?-+?++?-[+]()(),,,,fzzfzuivuiv∴limlimi?i?→0?zi?ρei??zρ?0e?→()()()()??ρ??ρ?ρ??ρ?u,+?-u,+iv,+?-v,?v?u1[]-i?limi??-i?e?0ρei??????ρ?→??柯西黎曼条件即上面两个极限值要相等得??u1?v???ρρ????1?u-?v??ρ???ρ--------------------------Page3------------------------------fzuxyvxy182.()(,)(,),第页已知解析函数的实部或虚部求该解析函数以下题目可以有多种解法这里只列其中之一xuxyey(1)(,)sin解已知实部或虚部一般意味它们已经是调和函数可以验证也可以不必验证由柯西黎曼条件?v?ux--ecosy?x?y??vuexsiny??yx?v?vxxxdvdx+dy-ecosydx+esinydyd(-ecosy)?x?yx∴v-ecosy+cx-x+x+-()+f(z)esinyiecosyice[sinyicosy]ic则xx+iyz-++-+-+e(i)cosyisinyicieicieic[]y(4)v(x,y)22,f(z)0x+y解这里用极坐标比较方便ρ?ρ?xcosysinsinsinρ??∴v2ρρ由柯西黎曼C-R条件?u1?vcos??u?vsin?2,-ρ?ρρ??ρ???ρρ∴du?udρ+?ud?cos?dρ+sin?d?d??-cos???2???ρ??ρρ?ρ?()cos?x∴ρ?-+-+u,c22cρx+y∴()-x+y+-x-iy+-1+-1fz22i22c22cccx+yx+yx+yx+iyz()∵fz011即0c-,c2211最后f(z)-2z--------------------------Page4------------------------------22(6)(,)-+,(0)0uxyxyxyf????vuvu解由柯西黎曼条件得-2y-x,2x+y????xyyx?v?v∴dvdx+dy?x?y()(x,0)x,y22()()()()xyvxyyxdxxydyyxdxxydyxyc(,)22222∫-+++∫-++-+++22()(0,0)x,0∴(22)??x2y2??-++-+++fzxyxyixyic()??222??(xiy)2xyi2xyi??x22xyy2??+ic++-+-++???22?21(222)2?1i?--++-+zixyxyiicz??ic2?2?∵f(0)0得c022
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常用积分公式
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常用积分公式
官方公共微信习题4-1；1.已知f(x)之一的原函数为sin3x，求?f；解:因为[lnf(x)]??sec2x，故lnf；)???e?x；,f(lnx)??e?lnx；??1x2x,?x2；f(lnx)dx??2；?C；4.若f(x)是e?x的原函数，求?；f(lnx)；dx.解：因为f?(x)?e?x，所以f(x)?；0,f(lnx)??e?lnx??x；?C0,；
1.已知f(x)之一的原函数为sin3x，求?f?(x)dx.
解：?f?(x)dx?f(x)?C?(sin3x)??C?3cos3x?C. 2． 设[lnf(x)]??sec2x，求f(x).
解: 因为[lnf(x)]??sec2x，故 lnf(x)?tanx?Cx1(C1为任意常数)，f(x)?Cetan 3.若e?x是f(x)的原函数，求?x2f(lnx)dx. 解：
,f(lnx)??e?lnx
??1x2x,?x2
f(lnx)dx??2
4. 若f(x)是e?x的原函数，求?
dx. 解：因为 f?(x)?e?x，所以f(x)??e?x?C1
0,f(lnx)??e?lnx??x
f(lnx)x??1C0f(lnx)1
x2?x,?xdx?x?C0ln|x|?C. 5.求下列不定积分： 35（1
）解：??5x??(x
?5x2)dx?2x2
2）解：?(2x
dx?4x2?6x9x
（2ln2?ln6?2ln3
（3）. ?1?x?x2x(1?x2)dx??[11?x2?1
x]dx?arctanx?ln|x|?C (4)
解：?cot2x)dx?x??(csc2x?1)dx =arcsinx?cotx?x?C
解：?10x23x
dx ??10x8x
(6) 解：?sin2x2dx=??12(1?cosx)dx?11
?cos2xcosx?sinxdx ??cos2x?sin2(7)x
cosx?sinxdx??(cosx?sinx)dx??sinx?cosx?C
(8) 解：?cos2xcos2xsin2xdx??cos2x?sin2xcos2xsin2xdx??(11sin2x?cos2x
)dx ??cotx?tanx?C
(9) 解： ?secx(secx?tanx)dx??sec2xdx??secxtanxdx?tanx?secx?C
??x,(10) 解：设f(x)?max{1,x则f(x)??
x??1?1,?1?x?1.
??x,x?1?f(x)在(??,??)上连续，
?x?C,x??1?21则必存在原函数F(x)，F(x)??
?x?C2,?1?x?1又?F(x)须处处连续，有
C3,x?1xlim11
??1?(x?C2)?xlim??1?(?2x2?C1) ，即?1?C2??2
?C1, lim(1x?1?2x2?C3)?lim(x?1?x?C2
2?C3?1?C2, 联立并令C,可得C1
1?C2?2＋C,C3?1?C.
2x?C,x??1?
故?max{1,x}dx??
?x?1?2?C,?1?x?1.
2x?1?C,x?16. 解：设所求曲线方程为y?f(x)，其上任一点(x,y)处切线的斜率为
?x3，从而 y??x3dx?
?C 由y(0)?0，得C?0，因此所求曲线方程为
x4. 7.解：因为
????1sin2x???sinxcosx，???1cos2x?
??cosxsinx
?2??2?????1??
4cos2x???2
sin2x?sinxcosx
所以12sin2x、 ?12cos2x、 ?1
cos2x都是sinxcosx的原函数.
(1) 1x = d(?1x + C)
dx = d(lnx+ C)
(3)exdx = d(ex+ C)
(4) sec2xdx = d(tanx+ C)
(5)sinxdx = d(?cosx+ C)
(6) cosxdx = d(sinx+ C)
x = d(arcsinx+ C)
(9)tanxsecxdx = d(secx+ C)
dx = d(arctanx+ C)
(2xdx = d(2+ C)
2.求下列不定积分：
dx?5?e5xd5x?e55
(2) ?(2?x)7dx???(2?x)7d(2?x)??2
dx1?3x??1d(1?3x)1
ln|1?3x|?C （4）?exd(ex?3)
ex?3dx??ex?3
?ln(ex?3)?C
(5) ?(e2x?2e3x?2)exdx??(e2x?2e3x?2)d(ex)?1e3x?1
（6） ?6xd(x2?3)
2x2?3dx?3?x2?3
?3ln(x?3)?C
x?x2?42)?12?(x2
（8）?x3cosx4dx?
14?cosx4dx4
(9) ?ln4xln5xxdx??ln4
1 (10) ?ex
2dx??ed(?x)??ex?C
? (11) x??
23?e????23
1?1333arcsinx2?C
x??arcsinxd(arcsinx)?arcsin2x
arccosx???10
d(arccosx)??
（17）?cosxsin3xdx??sin3xdsinx?1
x??x)??C 2
x?x?cosx)?2(sinx?cosx)?C
?1?lnx(xlnx)2dx??1(xlnx)2d(xlnx)??1
?1xlnxlnlnxdx??1lnxlnlnxd(lnx)??1lnlnxd(lnlnx)?lnlnlnx?C
(22) ?cos4
xdx??(1?cos2x21?2cos2x?cos22x
??(1cos2xcos22x
x?sin2x1?cos4x4?2?4
4??2dx ?3x?sin2xsin4x4?4
(23) ?cos3
xcosxdx??(1?sin2
x)d(sinx)?sinx?sin3x
(24) ?sin3xcos5xdx??sin2xcos5xdcosx???(1?cos2x)cos5xdcosx
(25) ?tan3xsec5xdx
xsec4xdsecx??(sec2x?1)sec4xdsecx
?17secx7x?1
(26) ?cos5xsin4xdx??
sin9x?sinx2dx??11
cosx?C (27) ?tan3xsec4xdx??tan3xsec2xdtanx??tan3x(tan2x?1)dtanx
?1tanx6x?1
(28) 设x?tant（|t|?
sec2tdtcostdt
tan2tsect??sin2t??sin2t??sint?C??C
(29) 设x?sint（|t|?
2??sin2t?costdt
sin2costdt
?12(t?tsintcost)?C?1
(arcsinx??C (30) 令x?sect，t?[0,?
]，dx?secttantdt，则
x??1secttantsecttantdt??dt?t?C=arccos1
令x?4sect，t?[0,?
]，dx?4secttantdt，则
?4secttantdt?4?
(sec2t?1)dt?4(tant?t)?C ?44?arccos??C?4arccos41?C ?x??
?dxdx1d(x?1
?1arctan(x?14x2?4x?5??(2x?1)2?4?4?)?C (x?1)2?142
d(x2?2x?17)?2d（33） ?3x?1
x2?2x?17dx??x2?2x?17
3d(x2?2??2x?17)dx321x?1x2?2x?17?2?(x?1)2?42?2ln(x?2x?17)?2arctan4
?C（34）?dxdx1111x2
?3x?4??(x?4)(x?1)?5?(x?4?x?1)dx?5lnx?4
（35） ?x?1x2?5x?6dx?12?d(x2?5x?6)7dx
x2?5x?6?2?(x?2)(x?3)
?17?12ln(x2?5x?6)?2???x?2?1?12
7x?2x?3??dx?2ln(x?5x?6)?2ln
x?3?C (36)
?x3x2?4dx?12?x221?4?2
x2?4dx?2???1?x2?4??
三亿文库包含各类专业文献、应用写作文书、文学作品欣赏、生活休闲娱乐、各类资格考试、高等教育、专业论文、中学教育、幼儿教育、小学教育、78高数第四章 不定积分习题详细解答等内容。　
　第三章 微分中值定理与导数... 高数第四章 不定积分习题详...1...高数第五章_定积分习题详细解答 简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注... 　高数a第四章不定积分习题答案 上大出版社上大出版社隐藏&& 五、(不定积分)联系题参考答案 习题 4-1(A) 1. 2 5 (1) x 2 + C 5 (5) 2 x (2)... 　《高等数学》不定积分课后习题详解_理学_高等教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 《高等数学》不定积分课后习题详解_理学_高等教育_教育专区。... 　高等数学 不定积分例题、思路和答案(超全)_理学_高等教育_教育专区。高等数学 不定积分例题、思路和答案(超全),66页 第4章名称 不定积分的概念设 不定积分... 　第四章 不定积分 前面讨论了一元函数微分学, 从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容: 一 元函数积分学.本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的... 　考研数学高数习题―不定积分_研究生入学考试_高等教育_教育专区。中公考研提供考研大纲解析,考研复习资料,考研历年真题等,更多考研相关信息,请访问中公考研 ... 　4高等数学不定积分_经济学_高等教育_教育专区。高数...第四章: 第四章:不定积分 一、本章的教学目标及...本章主要以计算题为主, 要强调本章内容本今后学习... 　第四单元 4-1 不定积分换元积分法 不定积分的概念与性质 [教学基本要求] 高等数学 理解原函数与不定积分的概念、性质以及积分与导数(微分)的关系。熟记不定 ...