请问为什么冲激函数二阶导δ''(t)在时域和频域的关系上的积分为0？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-07-26 06:10 标签： 光时域反射仪
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以分配函数的概念认识冲激信号δ(t)及复合函数δ[f(t)]
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官方公共微信第二章 连续系统的时域分析此章对描述连续系统的微分方程进行求解。§2.1 LTI 连续系统的响应一、微分方程的经典解 LTI 连续系统的冲激和响应之间的关系的数 学模型是 n 阶常系数线性微分方程：该微分方程的全解由奇次解 成：和特解组(
1)、齐次解是以下 n 阶齐次微分方程的解 欧拉发现这类方程的解都具有 可改写为的形式，则上式两边同除以，得特征方程 (i=1,2,3,…,n)都【1】 如果特征方程的 n 个根不重复，我们便得到了齐次微分方程的 n 个独立的解。 于是， 齐次微分方程的通解就 可以写成这 n 个解的线性组合 【2】 如果特征方程的 n 个根中有两个（或多个） 根相同，用上面的方法就无法得到 n 个线 性独立的解。 但是可以验证， 如果 z 是特征 方 程 的 m 重 根 ， 则 对 于 ， 就是微分方程的一个独立解。 所有这些独立解的线性组合就 是微分方程的通解。 【3】 一般的，如果微分方程的系数 都是实数， 那么它的解也应该表示成实数的形式。 假如 特征方程有复数根， 那么它一定是成对出现 的， 也就是说， 如果 那么 和 是特征方程的根，也是特征方程的一个跟，则 都是微分方程的解。由欧 和拉公式得到两个实数形式的解 。于是，微分方程的通解就是 一元二次方程的根例：二阶常系数齐次线性微分方程它的特征方程为特征方程的两个根（i）当时， ， 是两个不相等的实根，则齐次微分方程的通解为（ii） 当时， ， 是两个相等的实根，则齐次微分方程的通解为（iii） 当时， ， 是一对共轭复根 ，r2 =? -i? 其中,则齐次微分方程的通解为(2)、特解（这里我们只讨论两种常见类型） 【1】其中 r 是常数，型是 t 的一个 m 次多项式则，n 阶常系数非齐次微分方程的特解其中是与同次的多项式。若 r 不是特征方程的根 k=0; 若 r 是特征方程的单根 k=1; 若 r 是特征方程的 m 重根 k=m。【2】 n 阶常系数非齐次微分方程的特解型： 其中和是 m 次多项式，若 若 若不是特征方程的根 k=0; 是特征方程的单根 k=1; 是特征方程的 m 重根 k=m。 二、关于 若和的初始值 ， 是我们求微分方程的经典解的系数时用到的初始值。 反映了系统的历史信息， 与激励无关， 称为初始状态。 对具体的系统， 初始状态 容易求得， 为 求 了求解 LTI 系统的微分方程，需要从 。例 2.1-3描述某 LTI 系统的微分方程为已知 和 。，，，求解：比较等式两端，可知中包含有项， 则中包含有，中包含有项(它在t=0 处连续)。 对等式两端从 到 积分其中 。，，于是由，得再由，得 三、零输入响应和零状态响应 求解系统的零输入响应 。 例 2.1-4 描述某 LTI 系统的微分方程为 和零状态响应已知，，，求系统的零输入响应和零状态响应。 解： （1） 零输入响应 此时输入为零特征根为。解此齐次方程得我们知道，是系统的初 的初始始状态，他们即是零输入响应 条件。即 将初始值带入得解得 应，，得系统的零输入响（2） 零状态响应在没有激励接入时 先求初始值 到 进行积分 和，，。对等式两边从 得到初始值当 t&0 时，微分方程可写为 ，特解为 3，则齐次解为带入初始值可得系统的零状态响应为 当微分方程的右端含有时，零状态响应或其导数在 t=0 处可能跃变，因而需要根据 零状态条件（ 初始值。 利用 LTI 系统零状态响应的线性性质和微分 性质可简化计算。 例 2.1-6 描述某 LTI 系统的微分方程为 ， 等）求得 时刻的若 解： 设仅有 响应为，求该系统的零状态响应。作用于上述系统所引起的零状态，即它满足且初始状态。带入得 比较等式两端知 t=0 处连续，则有 t&0 时，方程写为中含有阶跃函数， 。在解得上式可写为根据零状态响应的微分特性，有根据线性性质，系统方程的零状态响应为对求一阶导、二阶导得 则系统的零状态响应为§2.2 冲激响应和阶跃响应一、冲激响应δ (t) δ(t) h(t)h(t)LTI 系统t 0 0 t 例 2.2-1 设描述某二阶 LTI 系统的微分方程为求其冲激响应 解： 冲激响应是 ，。时， 系统的零状态响应 满足:只在 t=0 时起作用，t&0 时 于是解。 得下面求和 得带入得解得，，于是系统的冲激响应二、阶跃响应ε (t) 1 t 0 ε(t) g(t)g(t)LTI 系统t 0 例 2.2-3 如下图所示的 LTI 系统，求其阶跃响应1X(t)∑∫3 2∫2 ∑ +解： （1）列写出系统的微分方程 左端加法器的输出为即右端加法器的输出为用§1.5 的方法得系统的微分方程为 （3） 求阶跃响应 设仅有 则 作用时的阶跃响应为 ，解得求得 有，，代入和解得，，于是其一阶导数 则，系统的阶跃响应为冲激响应和阶跃响应的关系： §2.3 卷积积分卷积方法在信号和系统理论中占有重要地 位。这里所讨论的卷积积分是将输入信号分解为 众多的冲激函数之和（连续域内就是积分） ，利用 冲激响应，求解 LTI 系统对任意激励的零状态响 应。一、卷积积分pn(t)n/2 pn(t) hn(t)hn(t) LTI 系统t t 0-1/n 0 1/n由于所以，LTI 系统的冲激响应 考虑任意激励信号 f(t)，它可以近似地看作 由一系列强度不同、 接入时刻不同的窄脉冲组成。f(t) f(t) f(k?τ)… t -2?τ-?τ 0 ?τ 2?τ k?τ第 k 个脉冲出现在 t =k ?? 时刻，脉冲强度(脉 冲下的面积)为 f (k ?? )?? ：k 为整数。 由 LTI 系统的零状态响应的线性性质和 时不变特性， 系统对 f(t)的零状态响应近似为当 写为（即）时，和可 以上积分的形式，称之为卷积积分，简称卷 积。一般而言，对任意两个函数 的卷积定义为如下形式：和 二、卷积的图示f1(t) f2(t)2 1.5 t t0 矩形脉冲40 锯齿波2卷积步骤： （1）f1(τ )，f2(-τ )2 1.504τ-202τ（2） 将在正τ 轴上平移，假如右移 ，得f2(τ )1.5t1-20t1t2-24t2τ （3） 将f1(τ )与相乘，再求积分f2(τ )2 1.504τ f2(τ ) 3t1-20t1t2-24t20t1t2-24τ（4） 若 为任意时刻 t，则可以得到任意时刻的 卷积 例 2.3-1 求下图所示函数 f1 (t ) 和 f 2 (t ) 的卷积积分。解：上图的函数可写为(以 ? 为自变量)?0, ? &-2 ? f1 (? )= ?2, -2&? &2 ?0, ? &2 ?? 0, ? &0 ?3 f 2 (? )= ? ,0&? &2 4 ? ? &2 ? 0,将 f2 (? ) 反转，得? 0, ? &0 ? f 2 (-? )= ? 3 , -2&? &0 4 ? ? &-2 ? 0,f 将 f2 (-? ) 平移 t 得到 f 2 (t-? ) 。 从 -? 逐渐增大， 2 (t-? ) t沿 ? 从左向右平移。f (t )=f1 (t ) ? f 2 (t)= ? f1 (? )f 2 (t -? )d?-? ? （1） 当 -? &t&-2 时，f (t )=0 。（2） 当 -2&t &0 时，f (t )= ? f1 (? )f 2 (t -? )d? = ? 2 ?-2 -2tt3 3 d? = (t +2) 4 2（3） 当 0&t &2 时，3 f (t )= ? 2 ? d? =3 t -2 4t （4） 当 2&t &4 时，3 3 f (t ) ? ? 2 ? d? ? (4 - t ) t -2 4 22（5） 当 t &4 时，f (t )=0 §2.4 卷积积分的性质一、卷积的代数运算 （1）交换律例子 2.4-1 设 和 解： ， 。 ， 分别求 （2）分配律理解分配律物理含义： 系统的零状态响应+ ∑ ++ ∑ + （3）结合律二、函数与冲激函数的卷积若，则 三、卷积的微分与积分 对任意函数 f(t)若 则其导数其积分且类似的可以得出 LTI 系统的零状态响应上式称为杜阿密积分， 表明在激励 f(t)的作用 下，系统的零状态响应等于相应的一系列阶 跃响应的积分。 例 2.4-4 求下图与的卷积。20123t1 0 -1 1 2 tf 2 (t ) ? [? (t ) - ? (t -1)]-[? (t -1) - ? (t - 2)] ? ? (t ) - 2? (t -1) ? ? (t - 2)
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