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算法的试验报告 包括斐波那契数列问题（内涵流程图等等）
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算法的试验报告 包括斐波那契数列问题（内涵流程图等等）-Test report including algorithm Fibonacci sequence
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/ 世界科技全景百卷书(38)数学大发现　
数学大发现圆面积求法　　怎样求圆面积？这已是一个非常简单的问题，用公式一算，结论就出来 了。可是你可知道这个公式是怎样得来的吗？在过去漫长的年代里，人们为 了研究和解决这个问题，不知遇到了多少困苦，花费了多少精力和时间。　　在平面图形中，以长方形的面积最容易计算了。用大小一样的正方形砖 铺垫长方形地面，如果横向用八块，纵向用六块，那一共就用了 8×6=48 块 砖。所以求长方形面积的公式是：长×宽。　　求平行四边形的面积，可以用割补的方法，把它变成一个与它面积相等 的长方形。长方形的长和宽，就是平行四边形的底和高。所以求平行四边形 面积的公式是：底×高。　　求三角形的面积，可以对接上一个和它全等的三角形，成为一个平行四 边形。这样，三角形的面积，就等于和它同底同高的平行四边形面积的一半。 因此，求三角形面积的公式是：1 ×底×高。2　　任何一个多边形，因为可以分割成若干个三角形，所以它的面积，就等 于这些三角形面积的和。4000 多年前修建的埃及胡夫金字塔，底座是一个正方形，占地 52900m2。它的底座边长和角度计算十分准确，误差很小，可见当时测算大面积的技术 水平已经很高。圆是最重要的曲边形。古埃及人把它看成是神赐予人的神圣图形。怎样求圆的面积，是数学对人类智慧的一次考验。 也许你会想，既然正方形的面积那么容易求，我们只要想办法做出一个正方形，使它的面积恰好等于圆面积就行了。是啊，这样的确很好，但是怎样才能做出这样的正方形呢？ 你知道古代三大几何难题吗？其中的一个，就是刚才讲到的化圆为方。这个起源于古希腊的几何作图题，在 2000 多年里，不知难倒了多少能人，直到 19 世纪，人们才证明了这个几何题，是根本不可能用古代人的尺规作图法 作出来的。化圆为方这条路行不通，人们不得不开动脑筋，另找出路。　　我国古代的数学家祖冲之，从圆内接正六边形入手，让边数成倍增加， 用圆内接正多边形的面积去逼近圆面积。　　古希腊的数学家，从圆内接正多边形和外切正多边形同时入手，不断增 加它们的边数，从里外两个方面去逼近圆面积。　　古印度的数学家，采用类似切西瓜的办法，把圆切成许多小瓣，再把这 些小瓣对接成一个长方形，用长方形的面积去代替圆面积。　　众多的古代数学家煞费苦心，巧妙构思，为求圆面积作出了十分宝贵的 贡献。为后人解决这个问题开辟了道路。　　16 世纪的德国天文学家开普勒，是一个爱观察、肯动脑筋的人。他把丹 麦天文学家第谷遗留下来的大量天文观测资料，认真地进行整理分析，提出 了著名的“开普勒三定律”。开普勒第一次告诉人们，地球围绕太阳运行的 轨道是一个椭圆，太阳位于其中的一个焦点上。开普勒当过数学老师，他对求面积的问题非常感兴趣，曾进行过深入的研究。他想，古代数学家用分割的方法去求圆面积，所得到的结果都是近似 值。为了提高近似程度，他们不断地增加分割的次数。但是，不管分割多少 次，几千几万次，只要是有限次，所求出来的总是圆面积的近似值。要想求 出圆面积的精确值，必须分割无穷多次，把圆分成无穷多等分才行。　　开普勒也仿照切西瓜的方法，把圆分割成许多小扇形；不同的是，他一 开始就把圆分成无穷多个小扇形。? ?因为这些扇形太小了，小弧AB 也太短了，所以开普勒就把小弧 AB? ? ? 和小弦AB 看成是相等的，即AB = AB。小扇形AOB的面积 = 小三角形AOB的面积 =
1 R×AB。2圆面积等于无穷多个小扇形面积的和，所以圆面积S =1R×AB ?21R×BC ?21R×CD??21? R×(AB ? BC ? CD?? ? )2在最后一个式子中，各段小弧相加就是圆的周长 2πR，所以有1S = R×2?R ? ?R 22这就是我们所熟悉的圆面积公式。 开普勒运用无穷分割法，求出了许多图形的面积。1615 年，他将自己创造的这种求圆面积的新方法，发表在《葡萄酒桶的立体几何》一书中。　　开普勒大胆地把圆分割成无穷多个小扇形，并果敢地断言：无穷小的扇 形面积，和它对应的无穷小的三角形面积相等。他在前人求圆面积的基础上， 向前迈出了重要的一步。《葡萄酒桶的立体几何》一书，很快在欧洲流传开了。数学家们高度评价开普勒的工作，称赞这本书是人们创造求圆面积和体积新方法的灵感源 泉。一种新的理论，在开始的时候很难十全十美。开普勒创造的求圆面积的新方法，引起了一些人的怀疑。他们问道：开普勒分割出来的无穷多个小扇 形，它的面积究竟等于不等于零？如果等于零，半径 OA 和半径 OB 就必然重 合，小扇形 OAB 就不存在了；如果客观存在的面积不等于零，小扇形 OAB 与 小三角形 OAB 的面积就不会相等。开普勒把两者看作相等就不对了。面对别人提出的问题，开普勒自己也解释不清。 卡瓦利里是意大利物理学家伽利略的学生，他研究了开普勒求圆面积方法存在的问题。 卡瓦利里想，开普勒把圆分成无穷多个小扇形，这每个小扇形的面积到底等不等于圆面积，就不好确定了。但是，只要小扇形还是图形，它是可以 再分的呀。开普勒为什么不再继续分下去了呢？要是真的再细分下去，那分 到什么程度为止呢？这些问题，使卡瓦利里陷入了沉思之中。　　有一天，当卡瓦利里的目光落在自己的衣服上时，他忽然灵机一动：唉， 布不是可以看成为面积嘛！布是由棉线织成的，要是把布拆开的话，拆到棉 线就为止了。我们要是把面积像布一样拆开，拆到哪儿为止呢？应该拆到直 线为止。几何学规定直线没有宽度，把面积分到直线就应该不能再分了。于　　是，他把不能再细分的东西叫做“不可分量”。棉线是布的不可分量，直线 是平面面积的不可分量。　　卡瓦利里还进一步研究了体积的分割问题。他想，可以把长方体看成为 一本书，组成书的每一页纸，应该是书的不可分量。这样，平面就应该是长 方体体积的不可分量。几何学规定平面是没有薄厚的，这样也是有道理的。 卡瓦利里紧紧抓住自己的想法，反复琢磨，提出了求圆面积和体积的新方法。　　1635 年，当《葡萄酒桶的立体几何》一书问世 20 周年的时候，意大利 出版了卡瓦利里的《不可分量几何学》。在这本书中，卡瓦利里把点、线、 面，分别看成是直线、平面、立体的不可分量；把直线看成是点的总和，把 平面看成是直线的总和，把立体看成是平面的总和。　　卡瓦利里还根据不可分量的方法指出，两本书的外形虽然不一样，但是， 只要页数相同，薄厚相同，而且每一页的面积也相等，那么，这两本书的体 积就应该相等。他认为这个道理，适用于所有的立体，并且用这个道理求出 了很多立体的体积。这就是有名的“卡瓦利里原理。”　　事实上，最先提出这个原理的，是我国数学家祖。比卡瓦利里早 1000 多年，所以我们叫它“祖原理”或者“祖定理”。阿贝尔与 n 次方程的代数解同学们学过一元一次方程ax=b（a≠0）它的代数解是：x =
b （a≠0）a又学了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0） 它的代数解（用方程的系数经过若干次代数运算而得到表示根的式子，叫做方程的代数解）是：? b ?x ?b2
? 4ac2ab　　这个求根公式看来很简单，也很容易学，但同学们可知道它的发现过程 却经历了漫长的历史吗？公元前 2000 年左右巴比伦人的泥板文书中说，求出一个数，使它与它的倒数的和等于一个已知数，即求出这样的一对数x和x，使xx = 1且xx = b，由此得出关于x的方程是x2-bx+1=0b2他们作出（ ），再作出b 2( ) ? 1，于是得到解答2 2b b2x = ?2( ) ? 1或它的代数解是：2b bx ? ?(
? 12 2　　这实际上是古巴比伦人得到的求根公式。但是当时不承认负数的存在， 所以他们回避了负根。　　　　希腊的丢番图（约前 246～330）则只承认一个正根，即使两个都是正根， 也只取一个。　　印度的波罗及摩及（约公元 598～665）在公元 628 年写成的《波罗摩修 正体系》中，得到方程x2+Px-q=0 的一个根的求根公式是　　　　　　　　　P 2
? 4q ? Px ?2　　到了 9 世纪乌兹别克数学家花刺子模（约公元 780～850）在他的《代数 学》中第一次给出了一般的一元二次方程的解法，他承认有两个根，还允许 无理根的存在，但他不认识虚数，所以不承认虚根。　　法国数学家韦达（）则知道一元二次方程在复数范围内恒有 解。　　我国数学家对一元二次方程的研究有特殊的贡献。秦汉时代的《九章算 术》就有求方程 x2+34x-7100=0 的正根记载。　　在 3 世纪，赵爽（约公元 222 年）注释《周髀算经》时，提出了 x2-bx+c=0 型的求根公式。也是世界上最早记录了二次方程的求根公式。一般的三次方程的代数解的表达形式经历了 800 年之久，到了 16 世纪初，欧洲文艺复兴时代，才由意大利数学家给出。下面的三次方程的代数解 公式，一般称为卡丹（）公式：方程 x3+px+q=0 的三个根是 y1+z1，wy1+w2z1，w2y1+wz1，q q 2（其中y 3
? ? ? ?p 3 q q 2, z ? ? ? ?p 3 q, yz ? ?, w ?? 1 ? 3i,w 2
?? 1 ?22 4 27 2 4 27 3 23i）。　　其实，发现这个公式的并不是卡丹。原来这里还有一段诱人深思的故事 呢！在意大利的波伦亚城有一位数学教授费洛，他首先发现了方程 x3+mx=n（m，n 为正数）的解法，并于 1505 年把此方法传授给他的学生弗罗里都斯。 到了 1525 年，在意大利的威尼斯城举行了一次数学竞赛会，弗罗里都斯 的对手塔尔塔里亚已经估计到对方会提出求解三次方程的问题，所以他就全 力以赴的研究这个问题，他在比赛前的 8 天里以惊人的速度解决了 800 多年 来没有解决的问题。在比赛过程，塔氏在两小时内解答了弗氏提出的 30 个问 题，而最终取得了比赛的胜利，而弗氏却以回答不出塔氏的问题而宣告失败。 在这之后，塔氏更是专心致志的研究三次方程的问题，到 1541 年，他便 找到了一般三次方程的代数解。这时卡丹请求塔氏告诉他这个公式，并保证 不泄露秘密，于是塔氏便满足了卡丹的要求。但卡丹并没有遵守诺言，在 1545 年，卡丹在他的《大法》一书中公布了这个解法，所以就一直被误认为是卡丹公式，如果这个故事是真的，卡丹的为人品德也真是令人讨厌！ 就在《大法》这本书里，卡丹还公布了他的学生费拉里发现的一般四次方程的代数解。 从二次方程到四次方程，人们通过变换，配方和因式分解等手段解决了一般的二、三、四次方程的代数解问题。例如：aX 2
+ bX + c = 0，将X = Y -b
代入可求出代数解；2abaX 3
+ cX + d = 0，将X = Y -3a代入可求出代数解；baX 4
+ cX 2 c + dX + e = 0，将X = Y -代入可求出代数解。4a于是人们类比联想：一般的 n（n≥5）次方程可能求出它的代数解。　　从 16 世纪中叶到 19 世纪末，当时几乎所有的数学家都坚持不懈地研究 这个问题，人们发挥了一切聪明才智，但都没有找到解决问题的办法。于是人们考虑重新认识这个问题，并且从反面提出问题：“一般 n（n≥5）次方程可能没有代数解”，而且持有这种怀疑的人越来越多。 拉格朗日（）在回忆录中写道：“用根号解四次以上的方程的问题是一个不可能解决的问题，虽然，关于解法的不可能性，什么也没有 证明。”高斯（）在 1801 年的《专题论文》中也说过，这个问题 也许是不能解决的问题。　　拉格朗日有一个学生叫鲁菲尼在
年之间，曾经多次企图证明 n（n≥5）次方程没有代数解，但都没有成功，直到 1824 年，22 岁的挪威数 学家阿贝尔（）证明了这个猜想：“n（n≥5）次方程没有代数解”。 值得指出的是，阿贝尔虽然只活了 26 年零 8 个月，但在数学上的贡献是 巨大的，正如一位数学家所说：“阿贝尔留下了一些思想，可供数学家们工作 150 年。”他在 1823 年发表第一篇论文，最先提出对一种积分方程的解法。1824 年发表了上述定理的证明，寄给高斯，没有受到重视（当时他的定理的 叙述是：高于四次带有任意文字系数的方程不可能用代数一般的解法）， 年，阿贝尔去柏林，在那里结识了工程师、数学家 A·L·克列尔，成为他的知交和良师，并在克列尔创办的《纯粹数学与应用数学》杂志第一 卷（1826 年）上发表阿贝尔关于五次方程研究的详尽内容，当然还有其他方 面的论文。为什么人们经过这么长时间的努力，才证明了“n（n≥5）次的方程没有代数解呢”？是否同不能正确地提出问题和认识问题有关呢？如果能较早地 从反面提出问题，也许这个问题的解决会缩短一些时间呢！这个问题是否也 给我们这样一个启示：当从正面考虑问题不得其解时，可从反面去思考和研 究，这正是“正难则反”的思维策略！令人着迷的四色问题　　同学们，让我们来做这样一个试验：给地图着色。在我国的地图上，给 每个省、直辖市涂上一种颜色，要求相邻的省或直辖市有不同的颜色，最少 需要几种颜色就足够了？答案是四种！再让我们来看看在世界地图上，用不 同的颜色区分开相邻的国家，最少用几种颜色就足够了？答案还是四种。我们上边做的给地图着色的实验，100 多年前就已经有人做过了。大约在 1850 年，英国伦敦大学的学生居特里偶然发现：要区分英国地图上的州， 有四种颜色就够了。他把这个发现告诉了弟弟，哥儿俩又进行了大量这方面 的实验，发现有些地图用 3 种颜色，有些地图用 4 种颜色，但最多用 4 种颜 色足以把共同边界的两个国家（或地区）区分开，即把相邻的国家涂上不同的颜色。居特里相信这个发现是正确的，但他证明不了。于是去请教他的老 师，他的老师也不能证明这个问题。后来在 1878 年，当时英国的数学权威凯 利在伦敦数学会上正式提出了这个问题。这个问题被称为四色问题。　　四色问题提出以后，吸引了许多人。不断有人声称自己已经解决了四色 问题，但都被人找出了证明过程中的错误。四色问题的影响越来越大，更多 的人热衷于这个问题，这期间有人证明了“五色定理”，即给地图着色，用5 种颜色就可以把相邻的国家（或地区）区分开，但四色问题仍没有人能够 解决。　　著名的大数学家闵柯夫斯基在四色问题上还闹出过一个笑话呢。一次闵 柯夫斯基的学生跟闵柯夫斯基提及四色问题，一向谦谨的闵柯夫斯基却口出 狂言：四色问题没有解决，主要是没有第一流的数学家研究它。说着便在黑 板上写了起来。他竟想在课堂上证明四色问题。下课铃响了，尽管黑板上写 的密密麻麻，但还是没能解决问题。第二天上课的时候，正赶上狂风大作， 雷电交加，闵柯夫斯基诙谐地说：老天也在惩罚我的狂妄自大，四色问题我 解决不了。　　从这以后，四色问题更出名了，成了数学上最著名的难题之一。由于问 题本身的简单、易懂，使几乎每个知道这个问题的人都想解决它。并且一旦 接触这个问题，就有点欲罢不能的感觉（当时有人称之为“四色病”），很 多人为这个问题的解决献出了毕生的精力，这其中既有数学方面的专家，也 有普通的数学爱好者。我们国内也有许多人为解决这个问题努力过，中国科 学院数学研究所接到的声称自己已经解决了四色问题的文章，放在一起足有 好几麻袋，可惜他们的证明都有错误。到了本世纪 70 年代，四色问题的研究出现了转机。美国伊利诺斯大学的阿佩尔、哈肯等人在研究了前人各种证明方法和思想的基础后，认为现在数 学家手里掌握的技巧，还不足以产生一个非计算机的证明。从 1972 年起，他 们在前人研究的基础上，开始了计算机证明的研究工作。终于在 1976 年彻底 解决了四色问题，整个证明过程在计算机上花费了 1200 个小时。四色问题虽然解决了，但数学家心中多少还留有一点遗憾。用电子计算机解决四色问题，没有创造出数学家们所期望的新方法和思想。数学家还在 期待着不借助任何工具，只依靠人本身智慧的“手工证明”。青少年朋友们， 你们对四色问题的手工证明有兴趣吗？如果谁有兴趣，可要千万记住，先得 好好学习，掌握足够的相关知识。用锤子和斧头这样的简单工具是造不出航 天飞机的！发现无理数　　毕达哥拉斯大约生于公元前 580 年至公元前 500 年，从小就很聪明，一 次他背着柴禾从街上走过，一位长者见他捆柴的方法与别人不同，便说：“这 孩子有数学奇才，将来会成为一个大学者。”他闻听此言，便摔掉柴禾南渡 地中海到泰勒斯门下去求学。毕达哥拉斯本来就极聪明，经泰勒一指点，许 多数学难题在他的手下便迎刃而解。其中，他证明了三角形的内角和等于 180 度；能算出你若要用瓷砖铺地，则只有用正三角、正四角、正六角三种正多 角砖才能刚好将地铺满，还证明了世界上只有五种正多面体，即：正 4、6、8、12、20 面体。他还发现了奇数、偶数、三角数、四角数、完全数、友数，直到毕达哥拉斯数。然而他最伟大的成就是发现了后来以他的名字命名的毕 达哥拉斯定理（勾股弦定理），即：直角三角形两直角边为边长的正方形的 面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。据说，这是当时毕达哥拉斯在 寺庙里见工匠们用方砖铺地，经常要计算面积，于是便发明了此法。　　毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解 题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。经过 一番刻苦实践，他提出“凡物皆数”的观点，数的元素就是万物的元素，世 界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界 的秩序。毕达哥拉斯还在自己的周围建立了一个青年兄弟会。在他死后大约500 年间，他的门徒们把这种理论加以研究发展，形成了一个强大的毕达哥 拉斯学派。　　一天，学派的成员们刚开完一个学术讨论会，正坐着游船出来领略山水 风光，以驱散一天的疲劳。这天，风和日丽，海风轻轻的吹，荡起层层波浪， 大家心里很高兴。一个满脸胡子的学者看着辽阔的海面兴奋地说：“毕达哥 拉斯先生的理论一点都不错。你们看这海浪一层一层，波峰浪谷，就好像奇 数、偶数相间一样。世界就是数字的秩序。”“是的，是的。”这时一个正 在摇桨的大个子插进来说：“就说这小船和大海吧。用小船去量海水，肯定 能得出一个精确的数字。一切事物之间都是可以用数字互相表示的。”“我看不一定。”这时船尾的一个学者突然提问了，他沉静地说：“要是量到最后，不是整数呢？” “那就是小数。”“要是小数既除不尽，又不能循环呢？” “不可能，世界上的一切东西，都可以相互用数字直接准确地表达出来。”　　这时，那个学者以一种不想再争辩的口气冷静地说：“并不是世界上一 切事物都可以用我们现在知道的数来互相表示，就以毕达哥拉斯先生研究最 多的直角三角形来说吧，假如是等腰直角三角形，你就无法用一个直角边准 确地量出斜边来。”这个提问的学者叫希帕索斯，他在毕达哥拉斯学派中是一个聪明、好学、有独立思考能力的青年数学家。今天要不是因为争论，还不想发表自己这个 新见解呢。那个摇桨的大个子一听这话就停下手来大叫着：“不可能，先生 的理论置之四海皆准。”希帕索斯眨了眨聪明的大眼，伸出两手，用两个虎 口比成一个等腰直角三角形说：“如果直边是 3，斜边是几？”“4。” “再准确些？” “4.2。” “再准确些？” “4.24。” “再准确些呢？”大个子的脸涨得绯红，一时答不上来。希帕索斯说：“你就再往后数上10 位、20 位也不能算是最精确的。我演算了很多次，任何等腰直角三角形的 一边与余边，都不能用一个精确的数字表示出来。”这话像一声晴天霹雳， 全船立即响起一阵怒吼：“你敢违背毕达哥拉斯先生的理论，敢破坏我们学 派的信条！敢不相信数字就是世界！”希帕索斯这时十分冷静，他说：“我这是个新的发现，就是毕达哥拉斯先生在世也会奖赏我的。你们可以随时去 验证。”可是人们不听他的解释，愤怒地喊着：“叛逆！先生的不肖门徒。” “打死他！批死他！”大胡子冲上来，当胸给了他一拳。希帕索斯抗议着： “你们无视科学，你们竟这样无理！”“捍卫学派的信条永远有理。”这时 大个子也冲了过来，猛地将他抱起：“我们给你一个最高的奖赏吧！”说着 就把希帕索斯扔进了海里。蓝色的海水很快淹没了他的躯体，再也没有出来。 这时，天空飘过几朵白云，海面掠过几只水鸟，一场风波过后，这地中海海 滨又显得那样宁静了。　　一位很有才华的数学家就这样被奴隶专制制度的学阀们毁灭了。但是这 倒真使人们看清了希帕索斯的思想价值。这次事件后，毕达哥拉斯学派的成 员们确实发现不但等腰直角三角形的直角边无法去量准斜边，而且圆的直径 也无法去量尽圆周，那个数字是 3.79??更是永远也无法精 确。慢慢地，他们感觉后悔了，后悔杀死希帕索斯的无理行动。他们渐渐明 白了，明白了直觉并不是绝对可靠的，有的东西必须靠科学的证明；他们明 白了，过去他们所认识的数字“0”，自然数等有理数之外，还有一些无限的 不能循环的小数，这确实是一种新发现的数——应该叫它“无理数”。这个 名字反映了数学的本来面貌，但也真实的记录了毕达哥拉斯学派中学阀的蛮 横无理。由无理数引发的数学危机一直延续到 19 世纪。1872 年，德国数学家载德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理 论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也 结束了持续 2000 多年的数学史上的第一次大危机。毕达哥拉斯学派的发现　　提起“勾股定理”。人们便很容易与毕达哥拉斯联系起来，西方数学界 一般把“勾股定理”叫做“毕达哥拉斯定理”。但据本世纪对于在美索不达 米亚出土的楔形文字泥板书所进行的研究，人们发现早在毕达哥拉斯以前1000 多年的古代巴比伦人就已经知道了这个定理。而且在中国的《周髀算经》中记述了约公元前 1000 年时，商高对周公姬旦的回答已明确提出“勾三、 股四、弦五”。不过“勾股定理”的证明，大概还应当归功于华达哥拉斯。 传说，他在得出此定理时曾宰杀了 100 头牛来祭缪斯女神，以酬谢神灵的启 示。缪斯是神话中掌管文艺、科学的女神。　　毕达哥拉斯是科学史上最重要的人物之一，他的思想不仅影响了柏拉 图，而且还一直影响到文艺复兴时期的一些哲学家和科学家。　　毕达哥拉斯曾旅居埃及，后来又到各地漫游，很可能还曾去过印度。在 他的游历生活中，他受到当地文化的影响，了解到许多神秘的宗教仪式，还 熟悉了它们与数的知识及几何规则之间的联系。旅行结束后，他才返回家乡 撒摩斯岛。由于政治的原因。他后来迁往位于南意大利的希腊港口克罗内居 住。在这里创办了一个研究哲学、数学和自然科学的团体，后来便发展成为 一个有秘密仪式和严格戒律的宗教性学派组织。　　毕氏学派认为，对几何形式和数字关系的沉思能达到精神上的解脱，而 音乐却被看作是净化灵魂从而达到解脱的手段。有许多关于毕达哥拉斯的神奇传说。如，他在同一时间会出现在两个不同的地方，被不同的人看到；还有传说，当他过河时，河神站起身来向他问 候：“你好啊，毕达哥拉斯”；还有人说，他的一条腿肚子是金子做的。毕 达哥拉斯相信人的灵魂可以转生，有人为了嘲弄他的宗教教义而传言，一次 当他看到一只狗正遭人打时，他便说：别打了，我从他的声音中已认出，我 朋友的灵魂是附在了这条狗身上了。　　如果有人要想加入毕氏团体，就必须接受一段时期的考验，经过挑选后 才被允许去听坐在帘子后面的毕达哥拉斯的讲授。只有再过若干年后当他们 的灵魂因为受音乐的不断熏陶和经历贞洁的生活而变得更加纯净时，才允许 见到毕达哥拉斯本人。他们认为，经过纯化并进入和谐及数的神秘境界，可 以使灵魂趋近神圣而从轮回转生中得到解脱。　　毕氏学派企图用数来解释一切，不仅万物都包含数，而且认为万物就是 数。他们发现，数是音乐和谐的基础。当一根琴弦被缩短到原来长度的一半 时，拨动琴弦，音调将提高 8 度；比率为 3∶2 和 4∶3 时，相对应的是高 5 度和高 4 度的和声。和声就是由这样一些不同的部分组成的整体。他们认为， 正是由于各种事物的数值比确定了它们分别是什么，并显示出彼此之间的关系。　　毕氏学派在哲学上与印度古代哲学有相类似之处。都是把整数看作是人 和物的各种性质的起因，整数不仅从量的方面而且在质方面支配着宇宙万 物。他们对数的这种认识和推崇，促使他们热衷于研究和揭示整数的各种复 杂性质，以期来左右和改变自己的命运。他们对整数进行了分类。如整数中包含有奇数、偶数、质数、亲和数及完全数等等。　　他们注意到整数 48 可以被 2、3、4、6、8、12、16、24、整除，这 8 个 数都是 48 的因子，这些因子的和是 75；奇妙的是 75 的因子有 3、5、15、25， 而它们的和又恰好是 48。48 与 75 这一对数叫做“半亲和数”。不难验算出140 与 195 也是一对半亲和数。考虑到 1 是每个整数的因子，把除去整数本身之外的所有因子叫做这个数的“真因子”。如果两个整数，其中每一个数 的真因子的和都恰好等于另一个数，那么这两个数，就构成一对“亲和数”。220 与 284 是毕达哥拉斯最早发现的一对亲和数，同时也是最小的一对亲和数。因为 220 的真因子是 1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110， 而它们的和是 284。284 的真因子是 1、2、4、71、142，其和恰好是 220。有 人曾经把亲和数用于魔术、法术、占星学和占卦上，使它带有迷信和神秘的 色彩。如认为若两个人都佩带上分别写着这两个数的护符，就一定保持良好 的友谊，这当然是非常滑稽可笑的。　　有趣的是，后来人们总保持着对亲和数研究的兴趣。1636 年，法国数学 家费马发现了第二对亲和数，它们是 17962 与 18416。两年后笛卡儿找出了 第三对亲和数。瑞士的大数学家欧拉曾系统地去寻找亲和数，1747 年他一下 子找出了 30 对，3 年后他又把亲和数增加到了 60 对。令人惊奇的是，除去220 与 284 之外最小的一对亲和数 1184 与 1210 竟然被这些数学大师们漏掉 了。它被一个 16 岁的意大利男孩帕加尼尼在 1886 年发现。至今，已经知道 的亲和数已有 1000 对以上。更有趣的是人们还发现了亲和链：17740；97612。　　由于第一个数的因子之和是第二个数，第二个数的因子之和是第三个 数??第四个数的因子之和又恰好是第一个数，它们是一个四环亲和链。一 些构成亲和链的数，只要给出其中的一个，便可以计算出其他的数。如 12496 与其他四个数构成一个五环亲和链。有计算器的读者不妨试算一下，补上其 余的四个数。　　其他与占卦臆测有联系的是完全数。完全数的真因子之和是它自己，就 好像自己和自己是“一对”亲和数。最小的完全数是 6=1+2+3。毕氏信徒们 认为，数具有象征性的含义。例如，4 是公正或报应的数，表示不偏不倚。 上天创造世界，6 就是个完全数。整个人类是诺亚方舟上的神灵下凡，这一 创造是不完善的，因为 8 不是完全数，它大于它的真因子和：1+2+4。像 4、8 这样的数叫做亏数。相反凡小于其因子和的整数叫做盈数。 最小的三个完全数是 6，28，496。直到 1952 年人们才发现 12 个完全数。欧几里德的《原本》第九卷的最后一个命题是，证明：如果 2n-1 是一个质数，则 2n-1（2n-1）是一个完全数。由这个公式所给出的完全数都是偶数。后来 大数学家欧拉证明了每一个偶完全数必定是这种形式的。人们自然会问，是 否还有其他的完全数？即有没有奇完全数？但至今还没有人能够回答这个问 题。1952 年，借助 SWAC 数字计算机，又发现了五个完全数：1957 年用瑞士的 BESK 计算机发现了另外一个；后来有人用 IBM7090 计算机又发现了两个。 至今为止已知道的完全数已有 27 个。毕氏学派是一个带有神秘色彩的宗教性 组织，但是他们对于数学的研究确实作出了重大贡献。由于华达哥拉斯的讲 授都是口头的，按照他们的习惯，对于各种发现或发明都不署个人姓名，而 是都归功于其尊敬的领导者，所以很难辨别出他们研究的成果究竟是由谁来 完成的。毕氏学派后来在政治斗争中遭到失败，毕达哥拉斯逃到塔林敦后， 终于还是被杀害。他死后，他的学派的影响却仍然很大，其学派又延续了 200 年之久。勾股定理　　勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这是平面 几何中一个最基本、最重要的定理，国外称为毕达哥拉斯定理。可是，我国 周朝初年（约公元前 1100 年）的数学家商高早就讲到过“勾广三，股修四， 径隅五”，这实际上就是勾股定理的一个特例。根据我国史书记载，早在公 元前五六世纪，就用过勾方加股方等于弦方的公式，不过没有证明过程。我 国对勾股定理认识的发展是在西汉时期。这一时期的研究既有理论又有应 用，在《九章算术》中有详细的记载。而定理的证明，三国时期（公元 3 世 纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》进行了详细的记述。　　赵爽在这本书中，画了一个弦图：两个全等的直角三角形（三角形涂上 朱色，它的面积叫做“朱实”）合起来形成矩形，四个这样的矩形合成一个 正方形，中间留出了一个正方形的空格（涂上黄色，其面积叫做“中黄实”， 也叫“差实”）。　　赵爽释注道：“色股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦。”开方除之 是当时开方运算的术语。上面这句话实际上就是勾股定理即：a2+b2=c2。他 又巧妙地证明出：“按弦图，又可以勾股乘朱实二，信之为朱实四。以勾股　　之差自相乘中黄实。加差实亦成弦实。” 即 2ab+（b-a）2=c2 化简便得出：a2+b2=c2　　这个证明不但是勾股定理最早的严谨的证明，而且也是有史以来勾股定 理证明中最巧妙的一个。　　勾股定理作为几何学中一条重要的定理，古往今来，有无数人探索过它 的证明方法。据说，它的证明方法有 500 来种。我国在清朝初年有一位数学 家叫梅文鼎（ 年），他发明的一种证法极为简便，只需用一张硬 纸，剪上几剪刀，一拼就可证明出来，读者如有兴趣不妨试一试。在 1940 年，一本名为《毕达哥拉斯命题》的书中，就专门搜集了 367 个不同的证法。 其中有一个证法最令人感兴趣，它是由一位美国总统作出的！　　根据当代著名数学科普作家马丁·加德纳的报道，1876 年 4 月 1 日，波 士顿出版的一本周刊《新英格兰教育杂志》上刊出了勾股定理的一个别开生 面的证法，编者注明资料是由俄亥俄州共和党议员詹姆土·A·加菲尔德提供 的，是他和其他几位议员一起做数学游戏时想出来的，并且得到了两党议员 的一致同意。后来，加菲尔德被选为美国总统。于是他的证明也就成为人们 津津乐道的一段珍闻轶事了（据说这是美国总统对数学的唯一贡献）。加菲尔德的证法的确十分干净利落。作直角三角形 ABC，设其边长分别为 BA=c 是斜边，AC=b，BC=a。作 AE⊥BA，并使 AE=BA，再延长 CA 到 D，使 AD=BC=a，连 D、E，则四边形 CBED 梯形，其面积等于 1 DC( BC ? ED) ?
1 (a ? b) 22 2求证△DAE 与△CBA 是全等三角形，于是△DAE、△CBA 与△ABE 的面积之和等于 1 C 2
ab2 c由于三个三角形面积之和即是梯形的面积，因此可得出等式：1 1(a ? b) 2
2 2化简后即得等式：a2+b2=c2这样勾股定理便得到证明。　　人们在研究勾股定理时还发现一个有趣现象。古巴比伦人就知道三条边 为下列各数的一些三角形：120，119，169；，4825；，6649；1，18541；72，65，96；360，319，481；，，799，1249；600，481，769；，8161；60，45，75；，2929；240，161，289；，3229；90，56，106。 以上每个数组中的数，我们称为勾股数。 一般说来，如果正数 x，y，z 能满足下列不定方程 x2+y2=z2（1）则这些整数叫做勾股数。 那么怎样求出勾股数呢？我们再观察几个简单的直角三角形的边：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，60，61；13，84，85；?? 从这些数中，可发现以下规律：　　第一个数是奇数，第二个数是第一个数的平方减 1 再除以 2，第三个数 是第一个数的平方加 1 再除以 2，即设 m 为奇数，则一般会有：　　2
? ( )2? ( )2于是就有2 22
? ( )2? ( ) (2)2其中 m 为奇数。 但这只是一部分勾股数的规律。（2）式两边同乘以 4，则变形得：（2m）2+（m2-1）2=（m2+1）2 （3）很显然（3）式不论 m 是奇数还是偶数，等式都能成立。 然而由（3）式仍不能得到全部的勾股数。 那么怎样才能得到全部的勾股数呢？在公式（3）中，m 为任意自然数，1 是一个特殊的自然数，若它也变成任意自然数，设它变成 n，为了使（3）式保持恒等，（3）中的第一项（2m）2 应变成（2mn）2，则有（2mn）2+（m2-n2）2=（m2+n2）2（4）其中 m＞n，（m，n）=1 且 m 除以 n 的余数不等于 2。 那么，可以证明出式（4）包括了全部勾股数。对于勾股定理的深入研究，人们不仅要问xn+yn=xn（5）　　其中 n＞2，n 是自然数。（5）式是否也有正整数解呢？这就是到现在还 仍未解决的“费马猜想”。通过上面的介绍，各位读者是否觉得勾股定理十分有趣呢？欧几里得妙法　　数论与几何学一样，是最古老的数学分支。欧几里得的《几何原本》的 七、八、九章，讲的就是数论。对于素数的研究，在数论中占有很重要的位置。　　我们知道，正整数是由 1、素数（也叫质数）与合数这三类数组成的。 一个大于 1 的正整数，如果只能被 1 和它本身整除，不能被其他正整数整除，　　这样的正整数就叫做素数；否则就叫做合数。在整数 1、2、3、4、??中， 去掉 1 与全部合数，所得的表：2，3，5，7，11，13，17，称为素数表。在素数表中，除了第一个素数2，其余都是奇素数。现在世界上最好的素数表是查基尔编的，列有大不大于（五千万）的素数。 关于素数，最古老的问题是：素数有多少个？欧几里得在《几何原本》中，最先证明了素数有无穷多个。他的巧妙的证明方法，闪耀着智慧的光辉。2000 多年来，人们虽也提出过一些别的证法，但是直到今天，还是欧几里得 的证明方法最好。欧几里得证明素数有无穷多个的方法，大意是： 假若素数只有有限多个，设最大的一个是 P，从 2 到 P 的全体素数是：2，3，5，7，11??，P。 所有的素数都在这里，此外再没有别的素数了。　　现在，我们来考察上面从 2 到 P 的全体素数相乘、再加上 1 这个数，设 它是 A，即A=2×3×5×7×11×??×P+1。A 是一个大于 1 的正整数，它不是素数，就是合数。如果 A 是素数，那么，就得到了一个比素数 P 还要大的素数，这与素数P 是最大素数的假设矛盾。如果 A 是合数，那么，它一定能够被某个素数整除，设它能被 g 整除。 因为 A 被从 2 到 P 的任何一个素数除，余数都是 1，就是都不能整除，而素数 g 是能整除 A 的，所以素数 g 不在从 2 到 P 的全体素数之中。这说明素数 g 是一个比素数 P 更大的素数，这又与 P 是最大的素数的假设矛盾。 上面的证明否定了素数只有有限多个的假定，这就证明了素数是无穷多个。　　这个证明的构思非常巧妙，它的基本思路是：既然对于无论多大的素数， 都一定有比它更大的素数，那当然素数就是无穷多个了。素数虽然有无穷多个，但是在自然数中，它是排列得相当稀的。人们证明了这样一个道理：无论给定一个多大的正整数，比方说 100 亿万，一定能 找到一个正整数，在这个正整数中，一个素数也没有。如果你不是说 100 万， 而是说 100 亿万，这个结论也成立。这个定理的证明，在构思上与证明素数无穷相象。　　素数虽然有无穷多个，但人们能具体写出来的，总是有限个。因此，找 一个比现在所知道的最大素数更大的素数，是人们经常探讨的难题之一。素数类型　　在对素数的长期研究中，有几种类型的素数特别受到重视，这里介绍两 种素数的类型 Rn 与 Mn。Rn ? ??1?1???11n个1是一个 n 位数，n 位都是 1。Rn 如果是素数，就称为 Rn 型的素数，例如R2=11 就是 Rn 型的素数。显然，如果 Rn 是素数，n 必定是素数。这样的素数一共发现了四个，即 R2，R19，R23，R317。从发现 R23 到发现R317，中间经历了 50 年的时间。R317，这个素数，是 1978 年初，由加拿大数 学教授威廉斯证明的。他在检验 R317 不可能有任何别的素数因子时，是用计 算机来检验的。现在研究数论，大量的计算都是用电子计算机来完成的。目前，人们猜想下一个 Rn 型的素数是 R1031。　　凡是形状是 2R-1 的数记作 Mn，叫做麦什涅数，如果是素数，就叫做麦 什涅素数。例如 M2=3，M3=7，M5=31 等是麦什涅素数。　　人们证明了：如果 Mp 是麦什涅素数，p 一定是素数。但是，不能认为 p 是素数，Mp 就是麦什涅素数。例如 M11=211-1=，就不是麦什涅素 数。　　1978 年底，美国加利福尼亚大学的两个学生尼克尔和诺尔，利用电子计 算机证明了 M21701 是素数。M-1，是当时能写出来、并且能加以证 明的最大素数。我国在报导这一素数时，曾有过这么一段故事：1978 年 11 月 21 日，我国有报纸刊登了： “[法新社美国加州赫沃兹十一月十五日电]两位美国学生发现了最大的已知质数 221701。” 报纸出版没几天，这家报纸的编辑部和很多科技报刊以及许多大学的数学系，就收到了大量的群众来信，内容主要是指出：221701 肯定是合数（2 的倍数），怎么能是素数呢？ 后来，有的报刊更正说，新发现的最大已知素数，应该是 ，报纸上把
的“-1”都丢了。　　紧接着，一些数学教师就围绕着这个数据，出了一些供青少年解答的有 趣的数学题目。比如 有多少位？头两位与末两位各是什么数？（答：有 6533 位；头两位是 44，末两位是 51。） 是素数吗？你能不能证明：若 2m+1 是素数，则 m=2n。到 1979 年底为止，人们已知的最大素数是 。 值得注意的是：数学家在判断具体的 Rn、Mn 和 Fn 是不是素数时，虽然一般都要借助于大型电子计算机，但是困难的研究工作，还得靠人来完成。例如，有人已经证明了 （即 F14=2214+1）是一个合数，可是无论用现有的什么样的计算机，也找不出它的任何一个因子来。因为人们还没有 把这个问题，转化到计算机能帮得上忙的程度。斐波那契的数列　　中世纪最有才华的数学家斐波那契（1175 年～1259 年）出生在意大利比 萨市的一个商人家庭。因父亲在阿尔及利亚经商，因此幼年在阿尔及利亚学 习，学到不少时尚未流传到欧洲的阿拉伯数学。成年以后，他继承父业从事 商业，走遍了埃及、希腊、叙利亚、印度、法国和意大利的西西里岛。　　斐波那契是一位很有才能的人，并且特别擅长于数学研究。他发现当时 阿拉伯数学要比欧洲大陆发达，因此有利于推动欧洲大数学的发展。他在其 他国家和地区经商的同时，特别注意搜集当地的算术、代数和几何的资料。 回国后，便将这些资料加以研究和整理，编成《算经》（1202 年，或叫《算　　盘书》）。《算经》的出版，使他成为一个闻名欧洲的数学家。继《算经》 之后，他又完成了《几何实习》（1220 年）和《四艺经》（1225 年）两部著 作。　　《算经》在当时的影响是相当巨大的。这是一部由阿拉伯文和希腊文的 材料编译成拉丁文的数学著作，当时被认为是欧洲人写的一部伟大的数学著 作，在两个多世纪中一直被奉为经典著作。　　在当时的欧洲，虽然多少知道一些阿拉伯记数法和印度算法，但仅仅局 限在修道院内，一般的人还只是用罗马数学记数法而尽量避免用“零”。斐 波那契的《算经》，介绍了阿拉伯记数法和印度人对整数、分数、平方根、 立方根的运算方法，这部著作在欧洲大陆产生了极大的影响，并且改变了当 时数学的面貌。他在这本书的序言中写道：“我把自己的一些方法和欧几里 得几何学中的某些微妙的技巧加到印度的方法中去，于是决定写现在这本 15 章的书，使拉丁族人对这些东西不会那么生疏。　　在斐波那契的《算经》中，记载着大量的代数问题及其解答，对于各种 解法都进行了严格的证明。下面是书中记载的一个有趣的问题：有个人想知 道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对兔子关在 里面。已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个 月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内 能繁殖成多少对？现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因此有二对兔子，一对成年，一对未成年；到第 三个月，第一对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，二对 成年，一对未成年。月月如此。第 1 个月到第 6 个月兔子的对数是：1，2，3，5，8，13。 我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第 3 个数起，每一个数都是前面两个数的和。若继续按这规律写下去，一直写到第 12 个数，就得：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。　　显然，第 12 个数就是一年内兔子的总对数。所以一年内 1 对兔子能繁殖 成 233 对。在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一个数列。人们为纪念他这一发现，在这个数列前面增加一项“1”后得到数列：　　1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，??叫做“斐波那契数列”， 这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。这个数列可以由下面递推关系来确定：?a1
= 1??a n +2
+ a n+1 （n≥3）　　另外，我们还可以利用等比数列的性质，推导出斐波那契数列的一个外 观比较漂亮的通项公式：　　1 1 ? 51 ?
5an ?[( ) n
? ( ) n ]5 2 2读者可以用数学归纳法去加以证明。 在美国《科学美国人》杂志上曾刊登过一则有趣的故事：世界著名的魔术家兰迪先生有一块长和宽都是 13 分米的地毯，他想把它改成 8 分米宽、21 分米长的地毯。　　他拿着这块地毯去找地毯匠奥马尔，并对他说：“我的朋友，我想请您 把这块地毯分成四块，然后再把它们缝在一起，成为一块 8 分米×21 分米的 地毯。”奥马尔听了以后说道：“很遗憾，兰迪先生。您是一位伟大的魔术 家，但您的算术怎么这样差呢！13×13=169，而 8×21=168，这怎么办得到 呢？”兰迪说：“亲爱的奥马尔，伟大的兰迪是从来不会错的，请您把这块 地毯裁成这样的四块。”　　然而奥马尔照他所说的裁成四块后。兰迪先生便把这四块重新摆好，再 让奥马尔把它们缝在一起，这样就得到了一块 8 分米×21 分米的地毯。奥马尔始终想不通：“这怎么可能呢？地毯面积由 169 平方分米缩小到168 平方分米，那一平方米到哪里去了呢？” 将四个小块拼成长方形时，在对角线中段附近发现了微小的重叠。正是沿着对角线的这点叠合，而导致了丢失一个单位的面积。读者不妨自己用纸 试一下。涉及到四个长度数 5，8，13，21 都是斐波那契数，并且 132=8×21+1，82=5×13-1。多做几次上述的试验，就可以发现斐波那契数列的一个有趣而 重要的性质：a2n=an-1·an+1±1（n≥2）除此之外，斐波那契数列还有一些有趣的性质，例如：n2m+n-a2m-n=a2m·a2n若用[i]表示不大于 i 的最大非负整数，i 为非负实数。C0n=1，而 Cnn-j=0，其中 j、n 为非负整数。则斐波那契数列的前 n 项和 Sn 为：n( 2 )S n
? ? C n ?i ( n ? D,1,2? )j?0有兴趣的话，读者可以证明一下，或者参阅有关的书籍。 斐波那契数列在实际生活中有非常广泛而有趣的应用。除了动物繁殖外，植物的生长也与斐波那契数有关。数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休 息一年。再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出 新枝。那么，第 1 年它只有主干，第 2 年有两枝，第 3 年就有 3 枝，然后是5 枝、8 枝、13 枝等等，每年的分枝数正好是斐波那契数。　　生物学中所谓的“鲁德维格定律”，也就是斐波那契数列在植物学中的 应用。　　从古希腊直到现在都认为在造型艺术中有美学价值，在现代优选法中有 重要应用的“黄金率”，实际和斐波那契数列密切相关。　　实际上，黄金率 = Lim
?5 ? 1? 0.618。这样，便会产生如下的单因素优选法中的分数法：n??
a n+1 21.所有可能试验个数恰好是 an-1 个a
? 2这时将前两个试验点放在试验范围的
位置上，也就是a n a n
? 1选在第 an-1 点和第 an-2 点上作试验。比较这两个试验结果；如果第 an-1 点 好，就划去第 an-2 点以下的试验范围；如果第 an-2 点好。就划去第 an-1 点 以上的试验范围。在留下的试验范围中，还剩下 an-1-1 个试验点，另一个是 下一步要作的新试验点。两点比较后，和前面作法一样，由坏点将试验范围 切开，短的一段不要，留下包含好点的长的一段。这时新的试验范围只有an-2-1 个试验点了。由此类推，直到试验结束为止。显然，用分数安排上述试验，在 an-1 个可能的试验中，最多只须作 n-1个试验就能找到它们中的最好的点。2.所有可能的试验个数大于某一个 an-1，而小于 an+1-1此时，只须在试验范围内虚设几个试验点，凑成 an+1-1 个试验。于是，这类问题也就归结为第 1 种情况，就可按照上述方法去处理了。谈谈π和 e　　公元前 550 年，希腊数学家毕达哥拉斯发现毕氏定理（即我国发现的勾 股定理），他当时非常高兴，曾杀猪宰牛，广宴宾客，以示庆贺。在应用勾 股定理求直角三角形的某一边时，就要把一个数开平方，这时可能开得尽， 也可能开不尽，若开不尽便出现了无理数。无理数分为根数和超越数两种，其中π和 e 是两个重要的超越数。如果一个数是某个有理系数的多项式的根，这个数叫做代数数，否则就叫做超越 数。首先说π。π，在国外又叫鲁道夫数，在我国却叫祖率、环率、圆率等。 最先得出π～3.14 的是希腊的阿基米德（约公元前 240 年），最先给出π小数后面四位准确值的是希腊人托勒密（约公元前 150 年），最早算出π小数后七位准确值的是我国的祖冲之（约 480 年），1610 年荷兰籍德数学家 鲁道夫应用内接和外切正多边形计算π值，通过 262 边形计算π到 35 位小 数，花费了毕生精力，1630 年格林贝格利用斯涅耳的改进方法计算π值到 39 位小数，这是利用古典方法计算π值的最重要尝试。以上都是古典方法计算π值。在1706 年，丁·麦金利格列格里的级数arctgx = x - xx 3 x 3? ?? ??（|x|≤1）和下面的关系：3 5 7? 1 1? 4arctg(
) ? arctg(
)计算出了π的100位小数。4 5 8? 1 1 11884年，德国人Z·达什利用格列格里的? arctg? arctg(
) ? arctg(
)计算出π的准确的 200 位数字。4 2 5 8　　值得提出的是，达什 1824 年生于汉堡，只活了短短的 37 年，便离开了 人世，他是一个闪电般的计算者，是一位最了不起的人工计算者，他曾在 54 秒钟内便完成了两个 8 位数的乘法，在 6 分种内完成了两个 20 位数的乘法，在 40 分钟内完成了两个 40 位数的乘法；他曾在 52 分钟内算出一个 100 位数 的平方根。达什的这种非凡的计算才能在他制作 7 位对数表和从 7000000 到 之间的数的因子表便得到了最有价值的充分的运用。1873 年，英国人威廉·桑克斯利用麦新的公式计算π到 70 位。　　1961 年，美国的雷思奇和 D·桑克斯用电子计算机得出π值的 100000 位数字。　　1706 年，英国的威廉·姆士首先使用π这个符号，用来表示圆周和直径 的比值，但只是在欧拉于 1737 年采用了这方法以后，π才在这种情况下得到 了普遍的应用。　　π在科学中的应用是极为广泛的，但有时它的出现也会是意想不到的。 例如，1777 年，法国数学家毕封做过一个“小针实验”：先在桌上铺一张等 距为平行横线的纸，再准备很多长为 2cm 的小针，然后将针随便地掷在纸上， 掷完后，再将投掷次数除以针与平行线交叉的次数，却惊奇地发现：其所得 值竟接近π！π，竟在一个与圆“无关”的问题中奇迹般地出现了。我们再来说 e。　　在中学数学书中这样提出：以 e 为底的对数叫做自然对数。那么 e 到底 有什么实际意义呢？　　1727 年，欧拉最先用 e 作为数学符号使用，后来经过一个时期人们又确 定用 e 作为自然对数的底来纪念他。有趣的是，e 正好是欧拉名字第一个小 写字母，是有意的还是偶然巧合？现已无法考证！e 在自然科学中的应用并不亚于π值。像原子物理和地质学中考察放射性物质的衰变规律或考察地球年龄时便要用到 e。 在用齐奥尔科夫斯基公式计算火箭速度时也会用到 e，在计算储蓄最优利息及生物繁殖问题时，也要用到 e。　　像电容器的充放电过程，也是按以 e 为底的指数规律变化的，以电容器 放电为例，电容器的电压变化是随时间 t 作指数衰减的，即tVc
? V0e rc 　　同π一样，e 也会在意想不到的地方出现，例如：“将一个数分成若干 等份，要使各等份乘积最大，怎么分？”要解决这个问题便要同 e 打交道。 答案是：使等分的各份尽可能接近 e 值。如，把 10 分成 10÷e=3.7 份，但3.7 份不好分，所以分成 4 份，每份为 10÷4=2.5，这时 2.54=39 乘积最大，如分成 3 或 5 份，乘积都小于 39。e 就是这样神奇的。　　1792 年，15 岁的高斯发现了素数定理：“从 1 到任何自然数 N 之间所含 素数的百分比，近似等于 N 的自然对数的倒数；N 越大，这个规律越准确。” 这个定理到 1896 年才由法国数学家阿达玛和几乎是同一时期的比利时数学 家布散所证明。以 e 为底还有很多优越性。如以 e 为底编制对数表最好；微 积分公式也具有最简的形式。　　有趣的是，π和 e 虽不能用有限的式子表示出来，但却可用无穷级数表 示：1 1e ? 2 ? ? ??2! 3!1 1 1 1? ? 4(? ? ? ?? ?
)1 3 5 7　　要补充说明的是：1882 年德国数学家林德曼首先证明了π是超越数，从 而完全否定了“化圆为方”作图的可能性。1844 年，法国数学家刘维尔最先　　推测 e 是超越数，一直到了 1873 年才由法国数学家爱米特证明 e 是超越数。 这样人们逐步认识了有理数、无理数、代数数、超越数，建立了一个完整的 实数系统。它的意义是十分巨大的。出入相补原理　　我国古代几何学不仅有悠久的历史，丰富的内容，重大的成就，而且有 一个具有我国自己的独特风格的体系，和西方的欧几里得体系不同。这一几 何体系的全貌还有待于发掘清理，本文仅就出入相补原理这一局部方面，就 所知提出几点，主要根据是流传至今的以下各经典著作：《周髀算经》（简称《周髀》），《九章算术》（简称《九章》）， 刘徽《九章算术注》（简称《刘注》），《海岛算经》（简称《海岛》）， 赵爽《日高图说》和《勾股圆方图说》（简称《日高说》和《勾股说》）。 田亩丈量和天文观测是我国几何学的主要起源，这和外国没有什么不同，二者导出面积问题和勾股测量问题。稍后的计算容积、土建工程又导出 体积问题。我国古代几何学的特色之一是，依据这些方面的经验成果，总结提高成一个简单明白、看起来似乎极不足道的一般原理——出入相补原理，并且把 它应用到形形色色多种多样的不同问题上去。以下将列举这些不同的应用。　　所谓出入相补原理，用现代语言来说，就是指这样的明显事实：一个平 面图形从一处移置他处，面积不变。又若把图形分割成若干块，那么各部分 面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单 的相等关系。立体的情形也是这样。应用这一原理，容易得出三角形面积等于高底相乘积的一半这一通常的公式，由此以定任意多角形的面积。作为另一简单实例，，如果看作把△ACD 移置△ACB，又把Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ′、Ⅱ′，那么依出入相补原理有：Ⅲ=Ⅲ′，□PC=□BO，??（指面积相等）由此得　　PO×OS=RO×OQ，PQ×QC=RB×BC，??而 PO=AR，OS=QC，PQ=AB， RB=OQ，??因而 AR：OQ=RO∶QC，AB∶OQ=BC∶QC，??就是相似勾股形 ABO和 OQC、ABC 和 OQC 的相勾股成比例。并且可以导出其他相应部分的比例关系。　　以上这些极简单的结果虽然没有在《九章》中明白说出，但是曾经多处 用这些关系来解决各种具体问题。在《周髀》中，就有用两表测日影以求日高的方法，计算的公式是：表高×表距日高 ? ? 表高影差　　其中 A 是日，BI 是地平面，ED、GF 是先后两表，DH 和 FI 是日影。《海 岛》改测日高为测海岛的高，同图 AB 是海岛，H、I 是人目望岛顶和两表上 端相参合的地方，于是日高公式成为：表高×表距岛高 ? ? 表高表目距的差明末耶稣会传教士利玛窦（）来我国，他的主要学术工作之一是介绍欧几里得几何体系。他曾口授《测量法义》一书，其中载有和海岛 题完全类似的一题。在他所作的证明中，需要在 FI 上取一点 M 使（4）式成 立，再用比例理论作证。按常理来说，利玛窦应该作平行线而取 M′使 FM′=DH，但是他一反欧几里得惯例而和我国古代传统不谋而合，颇使人迷惑不 解。在《周髀》和《九章》中，都已经明确给出了勾股定理的一般形式：勾2+股 2=弦 2。虽然原证不传，但是据《勾股说》以及《刘注》，都依出入相 补原理证明，并且有遗留到现在可以用来作证的赵爽残图，这几方面互相参 照，原证应该大致如下：勾股形是 ABC，BCED 是勾方，EFGH 是股方，把二者的和 DBCFGH 中的△IBD 移到△ABC，△GIH 移到△GAF，就得到 ABIG=弦 2，由此就得到勾股定理。 欧几里得《几何原本》中勾股定理的证明，其中要先证有关三角形全等形以 及三角形面积的一些定理，为此要作不少准备工作，因而在《几何原本》中 直到卷一之末出现这一定理，而在整个《几何原本》中几乎没有用到。而在 我国，勾股定理在《九章》中已经有多种多样的应用，成为 2000 来年数学发 展的一个重要的出发点。　　在东西方的古代几何体系中，勾股定理所占的地位是颇不相同的。勾、 股、弦和它们之间的和差共九个数，只须知道其中的二个就可以求得其他几 个。除勾、股、弦互求就是开方之外，《九章》勾股章中有不少这方面的问题：第一，知股弦差、勾，求股、弦（五题）； 第二，知勾股差、弦，求勾、股（一题）； 第三，知股弦差、勾弦差，求勾、股、弦（一题）； 第四，知股弦和、勾，求股、弦（一题）。 各题都列出了一般公式，《勾股说》的许多命题也属这一类，《刘注》还给出了证明，公式的来历和证明的方法都依据出入相补原理，有的也用比例作别证。 事实上，《周髀》中已经给出了若干具体数目的平方根，而在《九章》中，更详细说明了开平方的具体方法步骤。这一方法的根据是几何的，就是出入相补原理。试以求 55225 的平方根为例。这相当于已知正方形 ABCD 的面积就是55225，求边 AB 的长，。按我国记数用十进位位值制。因 AB 显然是一个百位 数，所以求 AB 的方法就是依次求出百位数字、十位数字和个位数字。先估计（《九章》中用“议”字）百位数字是 2，因而在 AB 上截取 AE=200，并且作 正方形 AEFG，它的边 EF 的两倍称为“定法”。把 AEFG 从 ABCD 中除去，所 余曲尺形 EBCDGF 的面积是 =15225。其次估计十位数字是 3，在 EB 上截取 EH=30，并且补成正方形 AHIJ。从 AEFG 所增加的曲尺形 EHIJGF 可以 分解成三部分：FH，FJ，FI，面积依次是 30×EF，30×FG，302， 其中 EF=FG=200，所以从 ABCD 中除去 AHIJ，所余曲尺形 HBCDJI 的面积是15225-（2×30×200+302）=2325。　　现在再估计个位数字是 5，在 HB 上截取 HK=5，并补作正方形 AKLM，从 ABCD 中除去 AKLM 后所余曲尺形面积和前同法应该是2325-（2×5×230+52）=0。由此知 K 和 B 的平方根恰好是 235。 求立方根的方法步骤和这相似，但是要把一立方体逐步进行分解，比平方根求法稍复杂，所依据的仍是出入相补原理，这在《九章》中也有详细叙 述。　　我国开平立方法来源很古，它的几何本质十分清晰，而且方法上可以看 出我国独有而世界古代其他民族所无的位值制记数法的高度优越性。不仅这 样，至迟到 11 世纪中叶，我国就已经把开平立方法推广到开任何高次幂，就 是所谓“增乘开方法”，并且出现了有关的二项式定理系数表，就是所谓“开 方作法本源图”。从这一方法的几何渊源看来，如果说当时我国数学家已经 有高维方体和高维几何的稚影，似乎不是全无根据的。　　下面的例取自《九章》，ABCD 是一方城，出北门北行若干步到 G 有木， 出南门南行若干步到 F 再西行若干步到 H，恰可望见木 G，问题是求方城每边 的长。据《刘注》的方法是依山入相补原理得　　　　ET=2 EG=2 KG=2×北步×西步”为实，以“南步十北步” 为从法，开平方除之，得 EI，也就是方城边长。　　不仅应用开平方法可得问题（A）的数值解，而且应用出入相补原理，还 可以求得解答的精确表达式。如果以长方形的阔作为勾，长作为股，那么问 题（A）相当于：（C）已知勾股积、勾股差，求勾、股。大小两正方形的边长各是勾股和、勾股差，所以得 勾股和 2=4×勾股积+勾股差 2。由此得勾股和，因而得勾和股。同样也可从勾股和、勾股积求得勾和股，这一方法可以参阅《勾股说》的末一命题。 宋元时期明确引入了未知数的概念。如果以 x（当时称为天元一）表长方形阔，那么问题（A）相当于解一个二次方程 x2+ax=b，其中 a 相当于从法，b 相当于实。所以在古代实质上已经给出了这一形式二次方程（a，b 都是正 数）的近似解和精确解，前者在宋元时期发展为求任意高次方程的数值解法， 后者虽文献散佚不可查考，但是据唐初王孝通的著作以及史书关于祖冲之的 引述看来，不能排除我国曾经对三次方程用几何方法求得精确表达的可能 性。在其他各国，公元九世纪的时候，阿拉伯数学家花刺子模（约 780～约850）的代数学名著中列举了各种类型二次方程的精确解法，它的方法是几何 的，它的精神实质和出入相补原理颇相类似。公元 16 世纪，意大利数学家关 于三次方程的解法，也完全是几何的。如果规定长方形的面积是长阔的积，那么依据出入相补原理，容易得到：（1）三角形面积 =
1 ×高×底，2　　由此可以完全奠定平面多角形的面积理论。但是在空间情形，如果规定 长方体的体积是长、广、深的积，是否依据出入相补原理，可以推得（2 ）四面体体积 = 1 ×高×底面面积，3　　由此以建立多面体的体积理论，就不是那么明显而极其困难的问题。欧 洲直到 19 世纪末，才把它作为一个难题明确地提了出来。公元 1900 年德国 数学家希耳伯特（）在国际数学会上所作著名讲演中，把体积理　　论列为 23 个问题之一。这一问题立即为德恩（）所解决，答案是 否定的：两个多面体要分割成彼此重合的若干多面体，必须满足某些条件， 通称德恩条件。自此以后直到 1965 年，一位瑞士数学家西德勒才证明了德恩 条件也是充分的。但是问题决不能认为已经彻底解决。从希耳伯特直到晚近， 多面体体积理论仍不断成为一些知名数学家研讨的课题。德恩条件叙述复 杂，也难认为是合宜的最后形式。韦达定理　　韦达生于法国西部普瓦图的丰特标勒贡特，曾经在法王亨利四世手下任 职，还当过律师，数学原本只是他的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他 取得了伟大的成就。　　他在数学方面的主要贡献有，第一次用字母代替已知量，确定了符号代 数的原理和方法，使当时的代数学系统化，并把代数学作为解析的方法使用， 因此有“代数学之父”之称。　　在几何学方面，他利用阿基米德的方法，通过多边形来计算圆周率π， 在计算中，他使用了 393216 边形，得到π的近似值为3.??。精确到小点后面的第 9 位，是第一个超越祖冲之的人（祖冲之当时算到第六位）。 韦达不仅是一个数学家，而且还是一个破译密码的专家。他在法国政府任职时，曾经帮助法国政府破译了西班牙国王菲利浦二世使用的密码，对法国战胜西班牙起了重要作用，这样引起了西班牙国王的大怒，致使菲利蒲二 世认为是法国人使用了什么“巫术”，因而还向罗马教皇指控法国“犯罪”。青少年朋友们在初中学了一元二次方程　　　　　　　　　　ax2+bx+c=0（a≠0） 方程的根α，β和系数 a、b、c 的关系式是α ? β ? ? b , αβ ? c　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　a a这就是我们熟悉的韦达定理。但是这种说法不是很确切。请看下面几个定理的发表时间就清楚了。 定理 1.一元二次方程两个根为α和β，则定理 2.一元三次方程ax2+px+q=0α+β=-p，αβ=qx3+px2+qx+r=0的三个正根是α、β、γ，则α+β+γ=-p，αβ+βγ+αγ=q，αβγ=-r定理 3.一元 n 次方程xn+axn-1+axn-2+xn-3+?+an-1x+an=0 的 n 个正根为 x1，x2，x3，?xn，则x1+x2+x3+?xn=-a1x1x2+x1x3+x1x4+?x2x3+x2x4+?xn-1xn=a2x1x2x3+x1x2x4+?+x2x3x4+x2x3x5+?+xn-2xn-1xn=-a3??。x1x2?xn=（-1）nan定理 4.（把定理 2 中的“正”字去掉就得到定理 4）　　定理 1 的发表时间在历史上没有记载，然而定理 2 却是意大利数学家卡 丹（ 年）在 1545 年发表的，所以定理 1 应在此之前，而法国数 学家的创作年代应在 1550 年之后，因此定理 2 也不应当是韦达的功劳。只有 定理 3 才是韦达于 1559 年之后发表，但却有一个“正”字，直到 1629 年， 那个“正”字才被荷兰数学家基拉德（ 年）删掉，才使这个定理 完整化，而这时韦达已离开人世 20～30 年之久了。　　从这几个定理发表的时间来看，虽然定理 1 不是韦达发现，但对于这个 定理他的贡献是很大的，所以用他的名字命名是有一定道理的。但为了慎重 起见，因此我国中学教材已不再使用此名了，还是称作“根与系数的关系”。罗巴切夫斯基几何　　欧几里得几何（或称抛物几何）是我们大家所熟悉的，然而几何世界是 广阔的，并非欧氏几何一枝独秀，还有着各式各样的非欧几里得几何，简称 非欧几何。但通常意义下，非欧几何是指罗巴切夫斯基几何（或称双曲几何） 和黎曼几何（或称椭圆几何）两种。罗氏几何与欧氏几何有着明显的区别。在罗氏几何中，承认：　　过直线外一点有无穷多条直线和已知直线共面但不相交。共面而不相交 的两条直线被第三条直线所截，同位角（或内错角）不一定相等；同一直线的共面的垂线和斜线不一定相交；三角形内角和小于 180°： 对应角相等的两个三角形全等（就是说，罗氏平面上不存在相似而不全等的三角形）；　　三个内角是直角的四边形，其第四个内角却小于直角（就是说罗氏平面 上没有矩形）；通过不共线三点不一定能作出一个圆；三角形三条高线不一定相交于一点；等等。 那么对于只熟悉欧氏几何的人来说，这些都是不可思议的。 罗氏几何是以其创建者俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（）的名字命名的，罗巴切夫斯基在证明欧几里得的平行公理时，力图由否定“同一直线的共面的垂线和斜线必相交”而引出矛盾。然而推论一个接一个，便形 成了一个严密完善的系统而逻辑上并存在的任何矛盾。于是他相信建立起来 的几何体系代表着一种新的几何学，称它为“虚几何”。1826 年 2 月 23 日 罗巴切夫斯基在喀山大学数学物理系宣讲了他的关于这种新几何的论文即《关于几何原理的概述》，随后他又陆续出版了许多著作来阐述自己的观点， 直到逝世的前一年，眼睛几乎失明了，他还坚持通过口授写下了俄文和法文 的《泛几何学》。由于罗氏几何的结论与我们的直觉并不一致，因而遭到同 时代的绝大多数的数学家的非议，甚至讽刺、嘲笑。就连当时俄国最大的两 位数学家也说这是荒唐至极。罗巴切夫斯基却毫不顾忌这一切，始终坚持他 的发现，他不遗余力地丰富它，发展它和捍卫它！　　然而最早发现罗氏几何的并非是罗巴切夫斯基，而是德国的高斯，他也 是从证明欧氏平行公理中得来，最初他称这种几何为反欧几里得几何，后来　　又改称星空几何，最后称之为非欧几何。但由于害怕引起别人的反对和攻击， 他没有发表过关于这种几何的任何见解。　　发现罗氏几何的另外还有 F·鲍耶的儿子，匈牙利军官亚·鲍耶，他根 本不听从父亲的劝阻，在试证欧氏平行公理时，发现了这种几何。1823 年 11月 23 日给父亲的信中说：“我已经得到如此奇异的发现，连我自己也为之惊 讶不止??，我已经从乌有创造了整个世界。”1832 年他的关于新几何的著 作以附录的形式发表在他父亲的一本书的后边，根据“附录”的拉丁文字， 亚·鲍耶的工作在数学文献上获得“亚编的克斯”的称号。　　高斯，鲍耶，罗巴切夫斯基他们各自独立的工作，因此说罗氏几何的问 世当归功于他们三人，只是罗巴切夫斯基发表在先，所以命名罗巴切夫斯基 几何，遗憾的是，他们三人在生前都没能亲眼看到罗氏几何被社会所公认。 罗氏几何直到 1871 年即罗巴切夫斯基死后 15 年才获得公认。　　罗氏几何与欧氏几何之所以有如此大的差别，其根源在于罗氏平行公理 是欧氏平行公理的反面命题，当我们把欧氏平行公理及等价命题，如过直一 外一点恰有一条直线和已知直线共面不相交；共面不相交的二直线被第三直线所截，同位角（或内错角）相等； 一直线的共面的垂线和斜线必相交；过不共线三点恒有一圆；三角形三高线交于一点； 任何三角形内角和等于 180°； 等等。的反面命题写出来，是否可找到前面出现的那些离奇的罗氏几何定理的踪影了。 其实，罗氏几何中也不尽是离奇的结论，由于罗氏几何的公理中除平行公理外都和欧氏公理相同，因此凡是涉及平行公理的定理都是共有的，如：对顶角相等，三角形全等的判定，外角定理以及三角形中边、角的不等关系 等。两者的公共部分被称做绝对几何。就是说：绝对几何的公理加上欧氏平 行公理组成了欧氏几何的公理系统，演绎推理构成欧氏几何；绝对几何加上 罗氏平行公理构成罗氏几何公理系统，演绎推理就形成了罗氏几何。从公理 法的角度看问题，两种几何之间的关联、同异是这样简单的清晰。孕育了罗氏几何的是由于“平行公理试证”，这是几何学发展史上的一件大事。公元前 6 世纪几何学在古希腊得到了很大的发展，成为至高无上的 学科，人人争学几何，数学家柏拉图就在他创建的学院门前高悬“不懂几何 学的人莫入”大字条幅。公元前 3 世纪，欧几里得《几何原本》成功地反映 了证明几何，完美地实践了当时的公理化思想。它的问世，人们如获至宝， 然而，人们为了证明它的平行公理，以为可以由其他公理推证出来，即认为 它不是公理而只是个定理，掀起了证明平行公理的热潮，从而导致了罗氏几 何的诞生，罗氏几何被公认即定论了欧氏平行公理是独立的，不能由其他的 公理推证出来。　　罗氏几何的诞生，不只是为几何学增添了一个新的分支，它是一次数学 思想的重大飞跃，使几何学从古典阶段进入了现代化阶段。欧几里得《几何 原本》是古典几何的代表，是建立在对现实世界的感知之上的，这反映了现 实空间形式。因此，古典几何又叫实证或实体几何。罗氏几何却离开了感知，改变了几何学对直觉真实性的追求，尝试了思
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