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新课标全国卷近五年函数高考题
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【2011年高考数学试题分类汇编――函数与】
来源：互联网 更新时间： 20:17:33 责任编辑：鲁晓倩字体：
本文由0402wangshasha贡献
函数与导数 函数与导数
安徽理（3） 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≤ 0 时， f ( x) = 2 x ? x ，则 f (1) = 安徽理 （A） ?3 (B) ?1 （Ｃ）１ （Ｄ）３
(3)A【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属容易题. 【解析】 f (1) = ? f ( ?1) = ?[2( ?1) ? ( ?1)] = ?3 .故选 A.
(10) 函数 f ( x) = ax g(1? x) 在区间
〔0,1〕上的图像如图所示，则 m，n 的值可能是 （A） m = 1, n = 1 (B) m = 1, n = 2 (C) m = 2, n = 1 x (D) m = 3, n = 1 O 0.5 1 0.5
(10)B【命题意图】本题考查导数在研究 函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大. 【解析】代入验证，当 m = 1, n = 2 ， f ( x ) = ax g(1? x ) 2 = n( x 3 ? 2 x 2 + x) ，则
1 f ′( x) = a (3x 2 ? 4 x +1) ，由 f ′( x) = a (3x 2 ? 4 x +1) = 0 可知， x1 = , x2 = 1 ，结合图像可 3
知函数应在 ? 0, ? 递增，在 ? ,1? 递减，即在 x =
1 取得最大值，由 3
1 1 1 1 f ( ) = a × g(1? ) 2 = ，知 a 存在.故选 B. 3 3 3 2
（16）(本小题满分 12 分) 设 f ( x) = （Ⅰ）当 a =
ex ，其中 a 为正实数 1 + ax
4 时，求 f ( x ) 的极值点； 3
（Ⅱ）若 f ( x ) 为 R 上的单调函数，求 a 的取值范 围。 （16） （本小题满分 12 分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化 之间的关系， 求解二次不等式， 考查运算能力， 综合运用知识分析和解决问题的能力.
第 1 页 共 54 页
解：对 f (x ) 求导得 f ′( x) = e （I）当 a =
1 + ax 2 ? ax . (1 + ax 2 ) 2
4 3 1 2 ，若 f ′( x ) = 0, 则4 x ? 8 x + 3 = 0, 解得x1 = , x 2 = . 3 2 2
1 (?∞, ) 2 1 2
综合①,可知
1 3 ( , ) 2 2
3 ( , ∞) 2
f ′(x) f (x)
所以, x1 =
3 1 是极小值点, x 2 = 是极大值点. 2 2
（II）若 f (x ) 为 R 上的单调函数，则 f ′(x ) 在 R 上不变号，结合①与条件 a&0，知
ax 2 ? 2ax + 1 ≥ 0
在 R 上恒成立，因此 ? = 4a 2 ? 4a = 4a ( a ? 1) ≤ 0, 由此并结合 a & 0 ，知 0 & a ≤ 1.
安徽文（5）若点(a,b)在 y = lg x 图像上， a ≠ 1 ,则下列点也在此图像上的是 安徽文
1 ，b） (B ) (10a,1 ? b) a
10 ,b+1) a
(D)(a2,2b)
（5）D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系. 【解析】由题意 b = lg a ， 2b = 2 lg a = lg a 2 ，即 a 2 , 2b 也在函数 y = lg x 图像上. (10) 函 数 f ( x ) = ax n g(1? x ) 2 在 区 间 〔0,1〕上的图像如图所示，则 n 可能是 （A）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (10)A【命题意图】本题考查导数在研究函 数单调性中的应用，考查函数图像， 考查思维的综合能力.难度大. 【解析】代入验证，当 n = 1 时， 0.5 y
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专题一 函数与导数 文科数学
文科数学专题一函数与导数1.若点(a,b)在 y ? lg x 图像上， a ? ? ,则下列点也在此图像上的是? ??（A） a ，b） (B) (10a,1 ? b) （ 2.(安徽文 10) 函数 f ( x ) ? ax g(? ? x ) 在n ?(C
) ( a ,b+1) y(D)(a2,2b)区间〔0,1〕上的图像如图所示，则 n 可 能是 （A）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 0.5【答案】A【命题意图】本题考查导数在研 究函数单调性中的应用，考查函数图像， 考查思维的综合能力.难度大. 3.（北京文 8）已知点 若点 C 在函数y ? xA ? 0, 2 ? B ? 2, 0 ?x , O 0.5 1,2的图象上，则使得 ? A B C 的面积为 2 的点 C 的个数为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 4.（福建文 6）若关于 x 的方程 x2＋mx＋1＝0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范 围是 A． （－1，1） B． （－2，2） C． （－∞，－2）∪（2，＋∞） D． （－∞，－1）∪（1，＋∞） 【答案】C?2x， x＞0 5.（福建文 8）已知函数 f(x)＝? ，若 f(a)＋f(1)＝0，则实数 a 的值等于 ? x＋1，x≤0A．－3 B．－1 C．1 D．3 【答案】A 6.（福建文 10）若 a＞0，b＞0，且函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2 在 x＝1 处有极值，则 ab 的 最大值等于 A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】Df (x) ? 1 1? x ? lg ( x ? 1)7.（广东文 4）函数 A． ( ? ? , ? 1) 【答案】C的定义域是（） D． ( ? ? , ? ? )B． (1, ?? )C． ( ? 1,1) ? (1, ? ? )8. 广东文 10） f ( x ), g ( x ), h ( x ) 是 R 上的任意实值函数． （ 设 如下定义两个函数 ? f ? g ?? x ? 和?f? g ?? x ?；对任意 x ? R , ? f ? g ?? x ? ? f ? g ( x ) ? ； ? f ? g ?? x ? ? f ? x ? g ( x ) ．则下列等 ）式恒成立的是（ A． ?? f ? g ? ? h ?? x ? ? B． ?? f ? g ? ? h ?? x ? ? C． ?? f ? g ? ? h ?? x ? ? D．?? f? h ? ? ? g ? h ??( x )?? f? h ? ? ? g ? h ??( x )?? f? h ? ? ? g ? h ??( x )? h ? ? ? g ? h ??( x )?? f? g ? ? h ?? x ? ??? f【答案】By ? sin x sin x ? co s x ? 1 2 在点 M (?4, 0)9.（湖南文 7）曲线? 1 2 1处的切线的斜率为（2）?2 2A． 【答案】BB． 2C．D． 2y' ?co s x (sin x ? co s x ) ? sin x (co s x ? sin x ) (sin x ? co s x )1 (sin 1 22?1 (sin x ? co s x )2【解析】y '| ?，所以x??4?4? co s?4? )2。x 210.（湖南文 8）已知函数 f ( x ) ? e ? 1, g ( x ) ? ? x ? 4 x ? 3, 若有 f ( a ) ? g ( b ), 则 b 的取值 范围为 A． [ 2 ? 【答案】B 【 解 析 】 由 题 可 知 f ( x) ? e ? 1 ? ?1 ， g ( x) ? ? x ? 4 x ? 3 ? ?( x ? 2) ? 1 ? 1 ， 若 有x 2 22,2 ?2]B． (2 ?2,2 ?2)C． [1, 3]D． (1, 3)f ( a ) ? g ( b ) , g ( b ) ? ( ? 1,1]则? ， ? b ? 4 b ?3 ? 1 ， 即 解得 2 ?22 ?b? 2?2。f (x) ?1 lo g 1 ( 2 x ? 1)211.（江西文 3）若(? 1 2 (? 1 2 , ?? )，则 f ( x ) 的定义域为(1 2 , 0 ) ? (0, ? ? ) (?)1 2, 0)(?, 2)B.C.D.【答案】C 12.（江西文 4）曲线 y ? e 在点 A（0,1）处的切线斜率为（x）1A.1 【答案】AB.2C. eD. e2011 13.（江西文 6）观察下列各式：则 7 ? 4 9, 7 ? 3 4 3, 7 ? 2 4 0 1 ，…，则 7 的末两位数字234为（ A.01 【答案】B） B.43 C.07 D.49f (x) ?x ( 2 x ? 1)( x ? a )14.（辽宁文 6）若函数1 2为奇函数，则 a=3A． 2 【答案】AB． 3C． 4D．115.（全国Ⅰ文 4）曲线 y ? x ? 2 x ? 1 在点（1,0）处的切线方程为2（A） y ? x ? 1 （C） y ? 2 x ? 2 【答案】A（B） y ? ? x ? 1 （D） y ? ? 2 x ? 216. (全国Ⅰ文 9)设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4 (x ? 0） ，则 （A） （C）?xf? x ? 2? ?0?=?x ?xx ? ? 2 或 x ? 4? x ? 0 或 x ? 6?（B） （D）?xx ? 0 或 x ? 4? x ? ? 2 或 x ? 2??x【答案】B 17.（山东文 4）曲线 y ? x ? 1 1 在点 P(1，12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是3（A）-9 【答案】C（B）-31（C）9（D）1518.（陕西文 4） 函数y ? x3的图像是 （）【答案】B 【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断． 19.（四川文 4）函数1 x y ? ( ) ?1 2 的图象关于直线y=x 对称的图象像大致是【答案】A 20.（天津文 4）函数 Ａ．f? x? ? exＢ．? x?2的零点所在的一个区间是（ Ｃ．） ．? ? 2, ? 1 ?? ? 1, 0 ?? 0,1 ?Ｄ．? 1, 2 ?【答案】C 21.（天津文 6）设 Ａ． a ? c ? b Ｃ． a ? b ? c 【答案】Dg ?x? ? x ? 22a ? log 5 4，b ? ? lo g 5 3 ?2，c ? lo g 4 5，则（） ．Ｂ． b ? c ? a Ｄ． b ? a ? c22. 天津文 10） （ 设函数 的值域是（?x? R?，f?x? ?? g ? x ? ? x ? 4, x ? g ? x ? , ? ? f ? g ? x ? ? x, x ? g ? x ? , ? 则?x?） ．? 9 ? ? ? 4 , 0 ? U ?1, ? ? ? ? Ａ． ? ?9 ? ? 4 , ?? ? ? Ｃ． ?Ｂ．? 0, ? ? ? ，? 9 ? ? ? , 0 ? U ? 2, ? ? ? Ｄ． ? 4 ?【答案】D 23. (重庆文 3)曲线 在点 , 处的切线方程为 A(A) (C)(B) (D)24. (重庆文 6)设 (A) (C) 【答案】B,, (B) (D),则 , , 的大小关系是25. (重庆文 7)若函数在处取最小值,则(A) (C)3 【答案】C 二、填空题 26. (重庆文 15)若实数 , , 满足 是 【答案】 .2 ? log 2 34(B) (D)4,，则 的最大值f (x) ?27. 浙江文 11） （ 设函数 k 【答案】-1f1 ? x ,若 f ( a ) ? 2 ,则实数 a =________________________?x? ?x?128.（天津文 16）设函数 则实数 m 的取值范围是 【答案】x ．对任意 x ? ?1, ? ? ? ， f ? m x ? ? m f? x ? ? 0 恒成立，．? ? ? , ? 1? ．?129.（上海文 3）若函数 f ( x ) ? 2 x ? 1 的反函数为 f? 3 2(x)，则 f?1( ? 2) ?【答案】30.（上海文 14）设 g ( x ) 是定义在 R 上，以 1 为周期的函数，若函数 f ( x ) ? x ? g ( x ) 在区 间 [0,1] 上的值域为 [ ? 2, 5] ，则 f ( x ) 在区间 [0, 3] 上的值域为【答案】 [ ? 2, 7 ]? lg x , x ? 0 f (x) ? ? x ?1 0 , x ? 0 ，则 f ( f ( ? 2)) ? ______. 31.（陕西文 11）设【答案】 ? 2x 32.（辽宁文 16）已知函数 f ( x ) ? e ? 2 x ? a 有零点，则 a 的取值范围是___________．【答案】 ( ? ? , 2 ln 2 ? 2 ] 33.（湖南文 12）已知 f ( x ) 为奇函数， g ( x ) ? f ( x ) ? 9, g ( ? 2) ? 3, 则 f (2) ? 【答案】6 34.（湖北文 15）里氏震级 M 的计算公式为：M?l A l A g ?g 0．，其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅 是相应的标准地震的振幅， 假设在一次地震中， 测震仪记录的最大振幅是 1000,此时标准 地震的振幅为 0.001，则此次地震的震级为__________级；9 级地震的最大的振幅是 5 级 地震最大振幅的__________倍。 【答案】6，10000 35.（广东文 12）设函数 f ( x ) ? x cos x ? 1 . 若 f ( a ) ? 11 ，则 f ( ? a ) ?3．【答案】-9y ? 1 6?x?x236.（安徽文 13）函数的定义域是.【答案】 （－3,2） 【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法. 37.（北京文 18）已知函数 （II）求ff ?x? ? ?x ? k ?ex， （I）求f? x ? 的单调区间；? x ? 在区间 ? 0,1 ? 上的最小值。/ x / f ?x? 解： （I） f ( x ) ? ( x ? k ? 1) e ，令 f ( x ) ? 0 ? x ? k ? 1 ；所以 在 ( ? ? , k ? 1) 上递减，在 ( k ? 1, ? ? ) 上递增；f ?x? ? 0,1 ? 上递增，所以 f ( x ) m in ? f (0 ) ? ? k ； （II）当 k ? 1 ? 0, 即 k ? 1 时，函数 在区间 f ?x? ? 0, k ? 1? 上递减，( k ? 1,1] 当 0 ? k ? 1 ? 1 即 1 ? k ? 2 时，由（I）知，函数 在区间上递增，所以f ( x ) m in ? f ( k ? 1) ? ? ek ?1；f ?x? ? 0,1 ? 上递减， f ( x ) m in ? f (1) ? (1 ? k ) e 。 当 k ? 1 ? 1, 即 k ? 2 时， 函数 在区间 所以38. 福建文 22） （ 已知 a、 为常数， a≠0， b 且 函数 f(x)＝－ax＋b＋axlnx， f(e)＝2， （e＝2.71828… 是自然对数的底数） 。 （Ⅰ）求实数 b 的值； （Ⅱ）求函数 f(x)的单调区间； 解： （Ⅰ）b＝2； （Ⅱ）a＞0 时单调递增区间是（1，＋∞） ，单调递减区间是（0，1） ，a＜0 时单调递增区间是（0，1） ，单调递减区间是（1，＋∞） 39.（广东文 19） 设 a ? 0 ,讨论函数 f ( x ) ? ln x ? a (1 ? a ) x ? 2 (1 ? a ) x 的单调性．2解：函数 f(x)的定义域为（0，+∞）f '( x ) ? 2 a (1 ? a ) x ? 2 (1 ? a ) x ? 12, 1 3 )x 当 a ? 1时 ， 方 程 2 a (1 ? a ) x ? 2 (1 ? a ) x ? 1 ? 0 的 判 别 式 ? ? 1 2 ( a ? 1)( a ?2① 当 0& a ? x1 ? 1 2a ?1 3时 ， ? ? 0 , f '( x ) 有 2 个 零 点 ? 0, x2 ? 1 2a ? ( a ? 1)( 3 a ? 1) 2 a (1 ? a )( a ? 1)( 3 a ? 1) 2 a (1 ? a ),且 当 0 ? x ? x 1或 x ? x 2时 ， f '( x ) ? 0 , f ( x ) 在 ( 0 , x 1 ) 与 ( x 2 , ? ? )内 为 增 函 数 ； 当 x 1 ? x ? x 2时 ， f '( x ) ? 0 , f ( x ) 在 ( x 1 , x 2 )内 为 减 函 数 ②当 1 3 ③ 当 a ? 1时 ， f '( x ) ? 1 x ④ 当 a ? 1时 ， ? ? 0 , x 1 ? 1 2a ? ( a ? 1)( 3 a ? 1) 2 a (1 ? a ) ? 0, x2 ? 1 2a ? ( a ? 1)( 3 a ? 1) 2 a (1 ? a ) ? 0 , 所 以 f '( x ) 在 定 义 域 内 有 唯 一 零 点 x 1 ; ? 0 ( x ? 0 ), f ( x ) 在 ( 0 , ? ? )内 为 增 函 数 ； ? a ? 1时 ， ? ? 0 , f '( x ) ? 0 , f ( x ) 在 ( 0 , ? ? )内 为 增 函 数 ；且 当 0 ? x ? x 1时 ， f '( x ) ? 0 , f ( x ) 在 ( 0 , x 1 )内 为 增 函 数 ； 当 x ? x 1时 ， f '( x ) ? 0 , f ( x ) 在 ( x 1 , ? ? )内 为 减 函 数 ；综上所述，f(x)的单调区间如下表：0?a ? 1 3 1 3 ? a ?1a ?1( 0 , x1 )?( x1 , x 2 )?( x2 , ?? )?(0, ? ? )?( 0 , x1 )?( x1 , ? ? )?x1 ?1 2a?( a ? 1)( 3 a ? 1) 2 a (1 ? a ), x2 ?1 2a2?( a ? 1)( 3 a ? 1) 2 a (1 ? a )（其中）2x x 2x b ? x 40.（湖北文 20）设函数 f( )? ? a ?x a g x ?x ?3 ?2，其中 x ? R ，a、 ， ()3b 为常数，已知曲线 y ? f ( x ) 与 y ? g ( x ) 在点（2,0）处有相同的切线 l 。 (I) 求 a、b 的值，并写出切线 l 的方程；x ? x2 x x x gx m (II)若方程 f( )? ( )? x 有三个互不相同的实根 0、 1 、 2 ，其中 1 ，且对任意的x ?? x1 , x2 ?/x? () m 1 x x ) ， f() g ? ( ? 恒成立，求实数 m 的取值范围。2 /解： f ( x ) ? 3 x ? 4 ax ? b , g ( x ) ? 2 x ? 3 ， (I) 由于曲线曲线 y ? f ( x ) 与 y ? g ( x ) 在点 （2,0） 处有相同的切线，故有 f (2 ) ? g (2 ) ? 0, f (2 ) ? g (2 ) ? 1 ，由此解得： a ? ? 2, b ? 5 ；/ /切线 l 的方程： x ? y ? 2 ? 0 ‘ (II)由(I)得 f ( x ) ? g ( x ) ? x ? 3 x ? 2 x ，依题意得：方程 x ( x ? 3 x ? 2 ? m ) ? 0 有三个互不3 2 2相等的根0, x1 , x 2，故x1 , x 2是方程 x ? 3 x ? 2 ? m ? 0 的两个相异实根，所以2? ? 9 ? 4(2 ? m ) ? 0 ? m ? ?1 4 ；又对任意的x ?? x1 , x2 ?x ? x1 x? () m 1 x x ) ， f() g ? ( ? 恒成立，特别地，取 时，f ( x1 ) ? g ( x 1 ) ? m x 1 ? ? m成 立 ， 即 0 ? ?m ? m ? 0 ， 由 韦 达 定 理 知 ： ， 故0 ? x1 ? x 2x1 ? x 2 ? 3 ? 0, x1 x 2 ? 2 ? m ? 0 x ? x 2 ? 0, x ? x1 ? 0, x ? 0， 对 任 意 的x ?? x1 , x2 ?， 有，则： ；又f ( x1 ) ? g ( x 1 ) ? m x 1 ? 0f ( x ) ? g ( x ) ? m x ? x ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0所以函数在x ?? x1 , x2 ?x ?? x1 , x2 ? 上的最大值为 0，于是当 m ? 0 时对任意的 ，(? 1 4 , 0)f() g ? ( ? x? () m 1 x x )恒成立；综上： m 的取值范围是f (x) ? x ? 1 x ? a ln x ( a ? R ).。41.（湖南文 22）设函数 (I)讨论 f ( x ) 的单调性；x 和 x2 A ( x1 , f ( x1 )), B ( x 2 , f ( x 2 )) （II）若 f ( x ) 有两个极值点 1 ，记过点 的直线的斜率为 k ，问：是否存在 a ，使得 k ? 2 ? a ? 若存在，求出 a 的值，若不存在，请说明理由． 解析： （I） f ( x ) 的定义域为 (0, ? ? ).f '( x ) ? 1 ? 1 x2?a x?x ? ax ? 12x22 令 g ( x ) ? x ? ax ? 1, 其 判 别 式 ? ? a ? 4.2当 | a |? 2时 ,? ? 0, f '( x ) ? 0, 故 f ( x ) 在 (0, ? ? ) 上单调递增．(0, ?) ? ) ? 当 a ? ? 2时 , & 0 , g ( x ) = 0 的两根都小于 0，在 (0, ? ? 上， f '( x ) ? 0 ，故 f ( x) 在 上单调递增．x1 ? a? a ?42? 当 a ? 2时 , &0,g(x)=0 的两根为2, x2 ?a?a ?422，当0 ? x ? x1x ? x ? x2 x ? x2 时， f '( x ) ? 0 ；当 1 时， f '( x ) ? 0 ；当 时， f '( x ) ? 0 ，(0, x1 ), ( x 2 , ? ? ) (x , x ) 故 f ( x ) 分别在 上单调递增，在 1 2 上单调递减．（II）由（I）知， a ? 2 ．f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ? x1 ? x 2 x1 x 2 ? a (ln x1 ? ln x 2 )因为k ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2 ? 1? 1，所以ln x1 ? ln x 2 ? a? x1 x 2 x1 ? x 2又由(I)知，x1 x 2 ? 1．于是ln x1 ? ln x 2 k ? 2 ? a? x1 ? x 2 ln x1 ? ln x 2 ?1若存在 a ，使得 k ? 2 ? a . 则x2 ? 1 x2 ? 2 ln x 2 ? 0 ( x 2 ? 1)(*)x1 ? x 2．即ln x1 ? ln x 2 ? x1 ? x 2．亦即[来源: ]h ( t ) ? t? 1 t ? 2 l nt再由（I）知，函数x2 ? 1 x2 ? 2 ln x 2 ? 1 ? 1 11 3x ?1 在 (0, ? ? ) 上 单 调 递 增 ， 而 2 ，所以? 2 ln 1 ? 0 .这与 (*) 式矛盾．故不存在 a ，使得 k ? 2 ? a .x ? mx3 2f ?x ? ?? nx42.（江西文 20）设.? （1）如果 g ? x ? ? f ? x ? ? 2 x ? 3 在 x ? ? 2 处取得最小值 ? 5 ，求 f ? x ? 的解析式；（2）如果 m ? n ? 10 ? m , n ? N ? ? ， f ? x ? 的单调递减区间的长度是正整数，试求 m 和 n的值．(注：区间 ? a , b ? 的长度为 b ? a ）f ?x ? ? 1 3 x ? mx3 2? nx.解： （1）已知' 2 ，? f ? x ? ? x ? 2 mx ? n' 2 又? g ? x ? ? f ? x ? ? 2 x ? 3 ? x ? ? 2 m ? 2 ? x ? n ? 3 在 x ? ? 2 处取极值， ' 则 g ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? 2 m ? 2 ? ? 0 ? m ? 3 ，又在 x ? ? 2 处取最小值-5.则g ?? 2 ? ? ?? 2 ? ? ?? 2 ? ? 4 ? n ? 3 ? ? 5 ? n ? 22? f ?x ? ?1 3x ? 3x ? 2 x3 2，f ?x ? ?1 3x ? mx32? nx（2）要使' 2 单调递减，则? f ? x ? ? x ? 2 mx ? n ? 0' 2 又递减区间长度是正整数，所以 f ? x ? ? x ? 2 mx ? n ? 0 两根设做 a，b。即有：b-a 为区间长度。又b?a ??a? b ? ? 4 ab ?24m2? 4n ? 2 m2? n ?m , n ? N ? ?又 b-a 为正整数，且 m+n&10,所以 m=2，n=3 或， m ? 3 , n ? 5 符合。 43.（辽宁文 20）设函数 f ( x ) =x+ax2+blnx，曲线 y= f ( x ) 过 P（1,0） ，且在 P 点处的切斜线 率为 2． （I）求 a，b 的值； （II）证明： f ( x ) ≤2x-2．f ?( x ) ? 1 ? 2 a x ? b x .解： （I）? f (1) ? 0, 即 ? ? f ? (1) ? 2 . 由已知条件得?1 ? a ? 0, ? ?1 ? 2 a ? b ? 2 . ，解得 a ? ? 1, b ? 3 .2（II） f ( x )的 定 义 域 为 (0, ? ? ) ，由（I）知 f ( x ) ? x ? x ? 3 ln x . 设 g ( x ) ? f ( x ) ? (2 x ? 2 ) ? 2 ? x ? x ? 3 ln x , 则2g ?( x ) ? 1 ? ? 2 x ?3 x? ?( x ? 1)( 2 x ? 3) x.当 0 ? x ? 1时 , g ? ( x ) ? 0; 当 x ? 1时 , g ? ( x ) ? 0 . 所 以 g ( x ) 在 (0,1) 单 调 增 加 , 在 (1, ? ? ) 单 调 减 少 .而 g (1) ? 0, 故 当 x ? 0时 , g ( x ) ? 0, 即 f ( x ) ? 2 x ? 2.44.（全国Ⅰ文 21）设函数1f ? x ? ? x ? e ? 1? ? a xx2（Ⅰ）若 a= 2 ，求 （Ⅱ）若当 x ≥0 时 （21）解：a ? 1 2 时，f?x? f?x?的单调区间； ≥0，求 a 的取值范围f ( x ) ? x ( e ? 1) ?x1 2x2（Ⅰ）， f '( x ) ? e ? 1 ? xe ? x ? ( e ? 1)( x ? 1) 。当x x xx ? ? ? ? , ? 1?f ' (x ) ?x ? ? ? 1, 0 ? ? 时 f '( x ) ? ? ; 当 时 ， f ' (x )0;当x ? ? 0, ? ? ?时，? ? ? , ? 1 ? ， ? 0, ? ? ? 单调增加，在（-1，0）单调减少。 0 。故 f ( x ) 在a a x（Ⅱ） f ( x ) ? x ( x ? 1 ? a x ) 。令 g ( x ) ? x ? 1 ? a x ，则 g '( x ) ? e ? a 。若 a ? 1 ，则当x ? ? 0, ? ? ?时， g '( x ) ? ? ， g ( x ) 为减函数，而 g (0) ? 0 ，从而当 x≥0 时 g ( x ) ≥0，即 f ( x ) ≥0.x ? ? 0 , ln a ? 若 a ? ? ，则当 时， g '( x ) ? ? ， g ( x ) 为减函数，而 g ( 0 ) ? 0 ，从而当 x ? ? 0, ln a ?? ? ? ,1 ? 时 g ( x ) ＜0，即 f ( x ) ＜0.综合得 a 的取值范围为3 245.（全国Ⅱ文 20）已知函数 f ( x ) ? x ? 3 ax ? (3 ? 6 a ) x ? 12 a ? 4( a ? R ) (Ⅰ)证明：曲线 y ? f ( x ) 在 x ? 0 的 切 线 过 点 ( 2, 2 )； （Ⅱ）若f ( x ) 在 x ? x 0 处 取 得 极 小 值 ， x 0 ? (1, 3)2,求 a 的取值范围。【解析】(Ⅰ) f ?( x ) ? 3 x ? 6 ax ? (3 ? 6 a ) ， f ? (0 ) ? 3 ? 6 a ，又 f (0 ) ? 1 2 a ? 4 曲 线 y ? f ( x)在 x ? 0 的切线 方程是： y ? (12 a ? 4) ? (3 ? 6 a ) x ， 在 上式中 令x ? 2 ，得 y ? 2所以曲线 y ? f ( x ) 在 x ? 0 的 切 线 过 点 ( 2, 2 )；2 ? （Ⅱ）由 f ( x ) ? 0 得 x ? 2 ax ? 1 ? 2 a ? 0 ， （i）当 ? 2 ? 1 ? a ?2 ? 1 时， f ( x ) 没有极小值； (ii)当 a ?2 ? 1 或 a ? ? 2 ? 1 时，由 f ? ( x ) ? 0 得x1 ? ? a ?a ? 2 a ? 1, x 2 ? ? a ?2a ? 2a ? 12故x0 ? x2。由题设知 1 ? ? a ?2a ? 2 a ? 1 ? 3 ，当 a ?22 ? 1 时，不等式1 ? ?a ?a ? 2 a ? 1 ? 3 无解；? 5 2 ? a ? ? 2 ?1当 a ? ? 2 ? 1 时，解不等式 1 ? ? a ?(? 5 2 ,?a ? 2a ? 1 ? 3 得22 ? 1)综合(i)(ii)得 a 的取值范围是。? 46.（陕西文 21）设 f ( x ) ? ln x ， g ( x ) ? f ( x ) ? f ( x ) ．（1）求 g ( x ) 的单调区间和最小值；1 g( ) （2）讨论 g ( x ) 与 x 的大小关系； 1（3）求 a 的取值范围，使得 g ( a ) ? g ( x ) ＜ a 对任意 x ＞0 成立．f ( x ) ? ln x , g ( x ) ? ln x ? 1 x ，∴ g ?( x ) ? x ?1 x2,【解】 （1）由题设知? 令 g ( x ) ? 0 得 x =1，? 当 x ∈（0，1）时， g ( x ) ＜0， g ( x ) 是减函数，故（0，1）是 g ( x ) 的单调减区间。 ? 当 x ∈（1，+∞）时， g ( x ) ＞0， g ( x ) 是增函数，故（1，+∞）是 g ( x ) 的单调递增区间，因此， x =1 是 g ( x ) 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以 g ( x ) 的最小值 为 g (1) ? 1.( x ? 1) 1 1 1 h ?( x ) ? ? g ( ) ? ? ln x ? x h ( x ) ? g ( x ) ? g ( ) ? ln x ? x ? 2 x x x ，则 (2) x ，设 ，21 g (x) ? g ( ) x ，当 x ? (0,1) ? (1, ? ? ) 时， h ? ( x ) ? 0 ， 当 x ? 1 时， h (1) ? 0 ，即 1 g ( x ) ? g ( ). x 因此， h ( x ) 在 (0, ? ? ) 内单调递减，当 0 ? x ? 1 时， h ( x ) ? h (1) ? 0 ，即 g (a ) ? g ( x) ? 1 a ，对任意 x ? 0 ，成立（ 3 ） 由 （ 1） 知g ( x)的 最 小 值 为 1 ， 所以 ，? g (a ) ? 1 ?1 a,即 Ina ? 1, 从而得 0 ? a ? e 。 47.（上海文 21）已知函数 f ( x ) ? a ? 2 ? b ? 3 ，其中常数 a , b 满足 a ? b ? 0x x（1）若 a ? b ? 0 ，判断函数 f ( x ) 的单调性； （2）若 a ? b ? 0 ，求 f ( x ? 1) ? f ( x ) 时的 x 的取值范围.x , x ? R , x1 ? x 2 解：⑴ 当 a ? 0, b ? 0 时，任意 1 2 ，则f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? a (2x1 xx1? 2 2 ) ? b (3xx1?3 2)x∵ 2 ∴? 2 2 , a ? 0 ? a (2x1?2 2) ? 0x， 3 ? 3 , b ? 0 ? b (3 ? 3 ) ? 0 ，x1 x2 x1 x2f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0，函数 f ( x ) 在 R 上是增函数。当 a ? 0, b ? 0 时，同理函数 f ( x )在 R 上是减函数。 ⑵f ( x ? 1 ) f x( ?) a ? ?x? b ?2 ?3 2x0当a ? 0, b ? 03 x a a ( ) ? ? x ? lo g 1 .5 ( ? ) 2 b ，则 2b ； 时， 23 x a a ( ) ? ? x ? lo g 1 .5 ( ? ) 2 b ，则 2b 。 当 a ? 0, b ? 0 时， 23 2 ， h(x) ? x ． 48.（四川文 22）已知函数 （Ⅰ）设函数 F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求 F(x)的单调区间与极值；2 2 3 解： （Ⅰ） F ( x ) ? 18 f ( x ) ? x [ h ( x )] ? ? x ? 12 x ? 9( x ? 0) ，f (x) ?2x?1? F ?( x ) ? ? 3 x ? 1 22．? 2? 令? F ( x ) ? 0 ，得 x（x? ?2舍去） ．? ? 当 x ? (0, 2 ) 时． F ( x ) ? 0 ；当 x ? (2, ? ? ) 时， F ( x ) ? 0 ，故当 x ? [0, 2 ) 时， F ( x ) 为增函数；当 x ? [ 2, ? ? ) 时， F ( x ) 为减函数．x? 2为 F ( x ) 的极大值点，且 F (2) ? ? 8 ? 24 ? 9 ? 25 ．f?x? ?ax ?33 2x ?1249.（天津文 20）已知函数? x ? R ? ，其中 a?0．y ? f ?x? ? 2, f ? 2 ? ? 处的切线方程； （Ⅰ）若 a ? 1 ，求曲线 在点? 1 1? ?? 2 , 2 ? ? 上， f （Ⅱ）若在区间 ?? x ? ? 0 恒成立，求 a 的取值范围．x ?3【解】 （Ⅰ） a ? 1 时， 当 所以曲线 （Ⅱ）y ? ff?x? ?3 2x ?12，f ?2? ? 3．2 f ?? x ? ? 3x ? 3x，f ??2? ? 6．? x ? 在点 ? 2, f ? 2 ? ? 处的切线方程为 y ? 3 ? 6 ? x ? 2 ? ，即 y．? 6x ? 9．2 f ? ? x ? ? 3a x ? 3 x ? 3 x ? a x ? 1?令f ?? x? ? 0，解得 x ? 0 或1 ? 1 2 ．x ?? 1 1? ?? , ? a ．针对区间 ? 2 2 ? ，需分两种情况讨论：1(1) 若 0 ? a ? 2 ,则 a 当 x 变化时，xf ?? x?, f? x ? 的变化情况如下表：? 1 ? ? ? ,0? ? 2 ?0? 1? ? 0, ? ? 2?f ?? x??0?f?x?增极大值减? 1 1? ? 1 1? ?? 2 , 2 ? ?? , ? f ?x? ? ? 上的最小值在区间的端点得到．因此在区间 ? 2 2 ? 上， 所以 在区间f? x ? ? 0 恒成立，等价于? ? 1? ? f ? ? ? ? 0, ? ? 2? ? ? f ? 1 ? ? 0, ? ? ? ?2? ?0? 1 a?5 ? a ? 0, ? 8 ? ? ? 5 ? a ? 0, ? 即? 8 解得 ? 5 ? a ? 5 ，又因为 0 ? a ? 2 ，所以 0 ? a ? 2 ．? 1 2．(2) 若 a ? 2 ，则当 x 变化时，xf ?? x?, f? x ? 的变化情况如下表：? 1 ? ? ? ,0? ? 2 ?0? 1? ? 0, ? ? a?1 a0?1 1? ? , ? ?a 2?f ?? x??0??f?x?增极大值减极小值增? 1 1? 1 x ? ?? 2 , 2 ? f ?x? ? 上的最小值在区间的端点或 a 处得到． 所以 在区间 ?? 1 1? ?? , ? f 因此在区间 ? 2 2 ? 上，2 ? a ?5a ? ?? x ? ? 0 恒成立，等价于2? ? 1? ? f ? ? ? ? 0, ? ? 2? ? ? f ? 1 ? ? 0, ? ? ? ?a? ?? 5?a ? 0, ? ? 8 ? ?1 ? 1 ? 0, 2 2a ? 即?解得 2或2 ，又因为 a ? 2 ，所以 2 ? a ? 5 ．综合(1),(2), a 的取值范围为 0 ? a ? 5 . 50.（浙江文 21）设函数 f ( x ) ? a ln x ? x ? ax ， a ? 02 2（Ⅰ）求 f ( x ) 的单调区间； （Ⅱ）求所有实数 a ，使 e ? 1 ? f ( x ) ? e 对 x ? [1, e ] 恒成立．2注： e 为自然对数的底数． （21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概 括、推理论证能力。满分 15 分。 （Ⅰ）解：因为 f ( x ) ? a ln x ? x ? ax .其 中 x ? 0 ，所以2 2f ?( x ) ?a2? 2x ? a ? ?( x ? a )( 2 x ? a ) xx由于 a ? 0 ，所以 f ( x ) 的增区间为 (0, a ) ，减区间为 ( a , ? ? ) （Ⅱ）证明：由题意得， f (1) ? a ? 1 ? c ? 1, 即 a ? c ，由（Ⅰ）知 f ( x ) 在 [1, e] 内单调 递增，? f (1) ? a ? 1 ? e ? 1, ? 2 2 2 2 f (e) ? a ? e ? ae ? e 要使 e ? 1 ? f ( x ) ? e 对 x ? [1, e ] 恒成立， 只要 ? ， 解得 a ? e.51. (重庆文 19)设的导数为,若函数的图象关于直线/对称，且2.](Ⅰ)求实数 , 的值;(Ⅱ)求函数a 6 ) ?b?2的极值f ( x) ? 6 x ? 2ax ? b ? 6( x ?a2解：(Ⅰ)x ? ? a 6 对称， ? a 6 ? ? 1 236 ，函数的图象关于直线? a ?3所以，又 f (1) ? 0 ? 6 ? 2 a ? b ? 0 ? b ? ? 1 2 ；/ 2 / 2(Ⅱ)由(Ⅰ) f ( x ) ? 2 x ? 3 x ? 1 2 x ? 1, f ( x ) ? 6 x ? 6 x ? 1 2 ， 令f ( x ) ? 0 ? x1 ? ? 2, x 2 ? 1/；函数 f ( x ) 在 ( ? ? , ? 2 ) 上递增，在 ( ? 2,1) 上递减，在 (1, ?? ) 上递增，所以函数 f ( x ) 在x ? ? 2 处取得极大值 f ( ? 2 ) ? 2 1 ，在 x ? 1 处取得极大值 f (1) ? ? 6 。
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