迷宫球设计

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-09-16 05:05 标签：
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怎样设计迷宫？
曾加，把诗意的理性献给你。公众号：PlusZeng
（未经授权，禁止转载）
啊，这是一篇长~~~长的回答。
设计迷宫这件事儿，本来并非让我情有独钟。不过前几天，某个节目组找到我，希望我来给选手们设计一个有难度的迷宫，我觉得这件事儿有点意思，就稍稍研究了下，结果发现，还真有点意思。
说到迷宫，首先映入我脑海的，是《盗梦空间》里的一个情节：
盗梦者 Cobb 为了考察候选的筑梦师 Ariadne 的能力，让她在 2 分钟内画出一个需要用 1 分钟来解出的迷宫。Ariadne 足足用了 3 次机会才画出来。前两次，她分别花了一层和两层的方形迷宫，看起来有模有样的，结果却都被 Cobb 秒杀。但在第 3 次，Ariadne 画的迷宫看上去很简洁，却把 Cobb 难住了。迷宫是这样的：
这是一个环形迷宫。（P.S. 这个迷宫无解，此乃《盗梦空间》的一大 bug）
《盗梦空间》的这则小插曲，告诉了我一些关于迷宫的深刻的道理：
【1】迷宫的难易不完全取决于复杂性
看上去复杂的迷宫，其实不一定难，可能&干扰路线&的干扰性很弱；而看上去简洁的迷宫，如果设计精巧，也可以让人晕头转向。所以一味地扩大迷宫图的大小，让其看起来密密麻麻，但如果不能有效利用整个迷宫图，就未必能让迷宫变得更难。
【2】迷宫设计时间与解出时的间比值应该尽可能小
如果给予足够多的时间，人人都可以画出一个足够复杂的迷宫。但如果你花了 10 个小时画出来的迷宫，被人用 5 分钟就解出来了，那这个迷宫并不比用 2 分钟设计，却要用 1 分钟解出的迷宫更好。
当然，对于迷宫的设计，还应当有一些其它显而易见的准则：
【3】迷宫的解应当是唯一或者极少的
在本题下， 很酷，我也点了赞，但是仔细研究可以发现，迷宫并没有真正意义上的死路，通过好几处从岔路走也可以通，在
中指出，很多岔路本质上还是&捷径&：
在现实中，这样的&无死路&迷宫可能会有点绕，但是在平面上，尤其是在标记已走路线的情况下，这可能反而会降低迷宫的难度。
迷宫中多出现环形路线确实会加大迷惑性，但这些最好设置在岔路上，在正确路线上设计环线一不小心就降低迷宫难度了。
【4】迷宫不容易被固定的方式解出
在平面上的、方方正正的迷宫，最被人诟病的一点是：如果迷宫的入口和出口均在外部，那么只要你贴着墙走，总能找到正确的路线。如果身边有工具的话，瞬间就可以找到出口。比如，在
中，用程序设计出的迷宫看起来很复杂：
然而，只要你身边有一个&画图&工具，用简单的&染色法&（把相连的墙壁染成同一种颜色），就可以一下子看清楚正确路线，把这个迷宫&秒杀&：
在&染色法&下，再令人迷惑的&干扰路线&都会立刻无影遁形。
【5】&倒走迷宫&和&正走迷宫&的难度相当
很多人在设计迷宫时，总想着在入口附近设计大量岔路，但却没在出口附近设计足够多的岔路。这使得玩家在解题时倾向于&倒走&迷宫，从出口往入口找路线让迷宫变得十分简单。这在设计迷宫时是值得注意的。
以上五条准则，是我设计迷宫时需要考虑的问题。
那么，如何设计一个有趣、简洁，并且有一定难度的迷宫呢？
一个容易想到的思路是，将迷宫从二维扩展到三维。
但三维迷宫的设计并不容易，其中一个困难是：如何让它 易于展示 呢？
众所周知，在三维迷宫中，《仙剑奇侠传三》中的迷宫的难度一直被人津津乐道，但它的难度很大程度上源于它的动态性质，比如用复杂的操作步骤解锁机关等。迷宫的静态性质并不复杂，三维迷宫本质上只是多层迷宫，仅仅是将很多个二维迷宫拼在了一起罢了。
这时，我手中的魔方给了我带来了一些灵感。
与此同时，我也受到了《异次元杀阵》的启发：
在一个小立方体组成房间里，我们可以朝 上、下、左、右、前、后六个方向行走，如果把这一个个小立方体堆成一个像魔方一样的大立方体，并且在小立方体里限制一些方向的通行，不就成为一个三维迷宫了了吗？
嗯，就叫它 魔方迷宫 吧！
**********
P.S. 在网上，的确有一种叫&魔方迷宫& 的玩意儿，如下图所示。不过，虽然它看起来是立体的，但其实只利用了立方体的六个面而已，没有利用到内部，不是真正意义上的&三维迷宫&。
**********
那么，如何设计 魔方迷宫 呢？
首先，为了方便描述，给魔方标一下号：
图中是一个三阶魔方。每个小立方体最多有 6 个门，除边缘外，最多有 54 个门。
更一般地，对于 n 阶魔方，除边缘外，至多有
个门。 （留作习题）
接下来，我们可以分层来描述迷宫。一个简单的例子如下图所示：
三个九宫格代表每一层迷宫的平面图。
& 表示可以通过该格连接到下一层，&
&表示可以通过该格连接到上一层。
我们的目标是，从 1 号格进入，最终从 20 号格出去。
这是一个看起来特别简洁的迷宫（仅仅占用了 27 个单位，从占用的空间上来看，比传统的迷宫要少得多），但找到正确路线却并不是特别容易。
聪明的你，试试看吧？
经过认真思考后，你会发现，这个迷宫也不是太难。
正确的路线是：
1&2&3&6&5&14&17&26&25&16&13&22&19&20。共经过 14 个小立方体。
主要干扰路线有：
5&8&7&4，14&15&24&25&21/23/27
这个迷宫的干扰项还是比较弱的，所以不算太难。
如何画这个迷宫呢？
很简单，只有三个步骤：
（1）画出一条复杂度适中的正解路线
路线过于简单会降低迷宫难度，过于复杂的话会限制岔路，同样会降低迷宫难度。
本题的正确路线是：1&2&3&6&5&14&17&26&25&16&13&22&19&20
从层数上讲，是 从 1&2&3&2&3&2，有一定的复杂性。
（2）设计岔路，应该有一定的长度
为了保证解答的唯一性（迷宫设计准则第 3 条），设计岔路时，要注意避开正确路线。
并且要注意，从入口开始的岔路和从出口开始的岔路不能相互连接！必须让所有岔路都成死路或者自循环的情况。
之所以说这个迷宫并不是很难，是因为限于迷宫的规模，岔路都不是特别长，并且从出口往入口走，迷宫会简单许多，这违反了迷宫设计准则第 5 条。
（3）检查迷宫，确保没有不能到达的&死格&
考虑到迷宫设计准则的第 1 条，我们应该充分利用迷宫的空间，让迷宫的每一格都能到达。这在二维迷宫中不是问题，但在三维迷宫中则要动一下脑筋。
综上所述，掌握了一定的方法，画一个三阶的魔方迷宫可能只要 3 分钟，但它的正解好像也不是显而易见的，解开它或许也需要 1 分钟，这就符合了迷宫设计准则的第 2 条。考虑到这样的迷宫也不易用固定模式解答，所以也符合迷宫设计准则的第 4 条。真是一个设计精妙的迷宫啊！
也许有人觉得，这个魔方迷宫并不难，但要知道，这只是一个三阶的魔方迷宫，而且作为示例，它出得并不难（比如倒走就比较简单）。如果扩大阶数，比如，五阶、七阶，甚至十阶，迷宫占有的空间依然不大，但复杂度却大大增加了。保守估计，一个设计精巧的七阶的魔方迷宫，或许能折腾一个普通人 20 分钟以上呢！
要不，先来热个身吧！
我用十几分钟画了一个四阶的&魔方迷宫&， 聪明的你，需要用多久来解开呢？
* 这个迷宫新增了两个概念：
&虫洞&。从图中看，应该不难理解：13 和 33 是连通的。
&单向门&，只能从其中一侧到另一侧的门，用橙色箭头表示。比如，在图中，只能从 50 到 49，但不可以从 49 到 50；可以从 61 到 45，但不可以从 45 到 61。
** 加大难度：如果要求你从入口到出口后，再从出口回到入口，你会怎么做呢？
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