欢迎来到高考学习网，
免费咨询热线：400-606-3393
今日：2964套总数：5285589套专访：2984部会员：177765位
当前位置：
& 【把握高考】2013高三数学总复习2-8函数与方程、函数模型及其应用
96张（人教A版）
【把握高考】2013高三数学总复习2-8函数与方程、函数模型及其应用
96张（人教A版）
资料类别: /
所属版本: 通用
上传时间：
下载次数：70次
资料类型：
文档大小：1.67M
所属点数: 2点
【下载此资源需要登录并付出 2 点，】
资料概述与简介
课后强化作业（点此链接） 课堂巩固训练 第二章　函　数 走向高考·数学 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 人教A版 · 高考总复习
基础梳理导学
思想方法技巧
课堂巩固训练
4 考点典例讲练
课后强化作业 5 基础梳理导学
思想方法技巧
考点典例讲练
第二章　函　数 第二章　函　数第二章
第节　函数与方程、函数模型及其应用
重点难点　引领方向
重点：1.函数的零点和方程解的联系．
2．掌握几种常见的函数模型：
(1)一次函数　(2)二次函数　(3)分式函数　(4)指数函数　(5)对数函数　(6)分段函数　(7)幂函数　(8)三角函数．
难点：函数模型在实际问题中的应用和函数应用题．
夯实基础　稳固根基
一、函数的零点
1．定义：如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则叫做这个函数的零点．
2．函数的零点与方程的根的关系
(1)函数的零点与方程的根的关系
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的坐标，即方程f(x)＝0有实数根函数y＝f(x)有零点函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．
(2)函数零点的判定(零点存在性定理)
一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
(3)零点在判断两函数图象交点中的应用
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
一般地，对于不能使用公式求根的方程f(x)＝0，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起来，利用函数的图象、性质来求解．
(4)二次函数的零点与一元二次方程的根的关系
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根；二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象(抛物线)与x轴相交时，交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．具体结论如下：
①当Δ＝b2－4ac0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点，二次函数的图象(抛物线)与x轴相交．若该交点分别为A、B，则A、B之间的距离为|AB|＝
二、用二分法求方程近似解
用二分法求方程f(x)＝0近似解的一般步骤：
第一步：确定一个区间[a，b]，使得f(a)·f(b)<0，令a0＝a，b0＝b.
第二步：取区间(a0，b0)的中点x0＝(a0＋b0)．
第三步：计算f(x0)的值，得到下列相关结论．
(1)若f(x0)＝0，则x0就是方程f(x)＝0的一个根，计算终止；
(2)若f(a0)·f(x0)<0，则方程f(x)＝0的一个根位于区间(a0，x0)中，令a1＝a0，b1＝x0；
(3)若f(x0)·f(b0)<0，则方程f(x)＝0的一个根位于区间(x0，b0)中，令a1＝x0，b1＝b0.第四步：取区间(a1，b1)的中点x1＝(a1＋b1)，重复第二、第三步，……直到第n次，方程f(x)＝0的一个根总在区间(an，bn)中．
第五步：当|an－bn|<ε，(ε是规定的精确度)时，区间(an，bn)内的任何一个值精确到ε就是方程f(x)＝0的一个近似根．
注意：二分法只适用于求函数f(x)的变号零点．
三、函数的应用
1．求解函数应用问题的思路和方法
2．函数建模的基本流程
疑难误区　点拨警示
1．函数f(x)的零点不是“点”，它是一个数，是方程f(x)＝0的实数根．
2．在对函数零点的判断中，(1)f(x)在[a，b]上连续；(2)f(a)·f(b)<0；这是零点存在的一个充分条件，不是必要条件，并且满足f(a)·f(b)<0时，f(x)在[a，b]上至少有一个零点；不满足f(a)·f(b)<0时，f(x)在[a，b]上未必无零点，也可能有多个零点．
3．二分法是求方程根的近似值的一种计算方法，它只能用来求函数的变号零点．
4．二次函数当Δ＝0时，有两个相等的实数根，但零点只有一个(二重零点)．
5．求解函数应用题时，关键环节是审题，审题时一要弄清问题的实际背景，注意隐含条件；二是将文字语言恰当准确的翻译为数学语言，用数学表达式加以表示；三是弄清给出什么条件，解决什么问题，通过何种数学模型加以解决；四是严格按各种数学模型的要求进行推理运算，并对运算结果作出实际解释；五要特别注意实际问题中自变量取值范围．
解决与函数零点有关的问题主要方法有：(1)零点存在性定理；(2)解方程f(x)＝0；(3)数形结合．
[例1]　(文)(2011·课标全国文)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　)
A．(－，0)　　　　　B．(0，)
函数零点的判断解析：y＝f(x)在(a，b)上单调且有零点时有f(a)f(b)<0.
依次验证选项．f＝－4<0，f(0)＝－2<0，A错，f＝e－20，选C.
(理)(2011·北京门头沟一模)设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)则y＝f(x)(　　)
A．在区间(0,1)，(1，＋∞)内均有零点
B．在区间(0,1), (1，＋∞)内均无零点
C．在区间(0,1)内有零点；在区间(1，＋∞)内无零点
D．在区间(0,1)内无零点，在区间(1，＋∞)内有零点
解析：当0<x0，f(3)＝1－ln30，f(4)＝ln4－2<0，所以该函数在区间(3,4)内有零点，所以k＝3.
(理)已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则(　　)
解析：由于f(－1)＝－1＝－0，故f(x)＝2x＋x的零点a(－1,0)；g(2)＝0，故g(x)的零点b＝2；h＝－1＋＝－0，故h(x)的零点c，因此，a<c<b.
[例2]　用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.6000)＝0.200 f(1.5875)＝0.133 f(1.5750)＝0.067
f(1.5625)＝0.003 f(1.5562)＝－0.029 f(1.5500)＝－0.060
据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0.01)为________．
二分法解析：用二分法求函数f(x)的零点，只能求f(x)的变号零点，由于f(1.5625)·f(1.5562)<0，且区间(1.5)内每一个值精确到0.01都是1.56，故f(x)＝3x－x－4的一个精确到0.01的零点近似值为1.56.
答案：1.56
(文)(2011·潍坊模拟)用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证知f(2)·f(4)<0.给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间为(　　)
解析：因为f(2)·f(4)<0，由二分法可知函数在区间(2,4)上必存在零点，又因为f(2)·f(3)<0，故函数的零点x0(2,3)．
(理)在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度为1，精确度要求是0.05，则取中点的次数是(　　)
A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6
解析：＝0.0625，＝0.03125，精确度要求是0.05，取中点的次数是5次．
[例3]　有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p和q(万元)．它们与投入的资金x(万元)的关系有经验公式：p＝x，q＝，今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为了获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少时能获得最大利润？
二次函数模型分析：总利润是经营甲、乙两种商品所获利润的和，即S＝p＋q，总投入资金3万元，若投入甲x万元，则投入乙应为3－x万元．
解析：设投资甲商品x万元，则投资乙商品(3－x)万元，则经营甲、乙商品分别获利润p＝x万元，q＝万元．
S＝x＋(0≤x≤3)．
令t＝，则有0≤t≤.
S＝(3＋3t－t2)＝－2＋，
当t＝时，Smax＝.
此时x＝3－t2＝＝0.75(万元)，3－x＝2.25(万元)．
因此，对甲种商品投资0.75万元，乙种商品投资2.25万元，此时获得利润最大为1.05万元．
点评：(1)经营甲、乙两种商品所获利润p、q与投入资金有关，它们是投入资金数的函数，而不是常量．甲、乙两种商品共投入资金3万元，投入甲x万元，则投入乙为3－x万元，从而利润p＝x万元，q＝万元，而不是q＝万元！这是最容易出错的地方．
(2)x与是“二次关系”，据此可设＝t，得到关于t的二次函数，但换元后要注意新元变化范围．
(文)(2011·威海模拟)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2，x(0,240)，若每台售价25万元，则生产者不亏本的最低产量是(　　)
解析：当总收入不低于总成本时生产者不亏本．
则25x≥3000＋20x－0.1x2，即：x2＋50x－30000≥0.
解得x≥150或x≤－200(舍去)，
故最低产量为150台．
(理)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(t)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210t.
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解析：(1)由题意知0g(x)；
当33≤x≤49时，f(x)<g(x)．
当1≤x≤32时，h′(x)＝－0，故h(x)在[33,49]上单调递增，则h(x)在[33,49]上的最小值为h(33)＝＝(h)．
h(33)>h(32)，
h(x)在[1,49]上的最小值为h(32)．x＝32.
为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取32.
(文)(2012·东北三校二模)已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得年利润最大．(注：年利润＝年销售收入－年总成本)
解析：(1)当010时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x，
(2)①当00；当x(9,10]时，W′10时，W＝98－(＋2.7x)
≤98－2＝38，
当且仅当＝2.7x，即x＝时，W取得最大值38.
综合知：当x＝9时，W取得最大值为38.6万元，
故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获的年利润最大．
(理)(2012·潍坊抽检)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目．经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(t)之间的函数关系可近似的表示为y＝
且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．若该项目不获利，国家将给予补偿．
(1)当x[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
[解析]　(1)当x[200,300]时，设该项目获利为S，则
S＝200x－(x2－200x＋80000)
＝－x2＋400x－80000
＝－(x－400)2.
所以当x[200,300]时，S<0.
因此，该项目不会获利．
当x＝300时，S取得最大值－5000，所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损．
(2)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为
当x[120,144)时，＝x2－80x＋5040＝(x－120)2＋240，
所以当x＝120时，取得最小值240；
②当x[144,500)时，＝x＋－200
≥2－200＝200，
当且仅当x＝，即x＝400时，取得最小值200.
因为200<240，
所以当每月处理量为400t时，才能使每吨的平均处理成本最低．
[例5]　(2011·江苏苏州模拟)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.
函数模型的选取(1)若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；
(2)现有两个奖励函数模型：y＝＋2；y＝4lg x－3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？
解析：(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，则公司对函数模型的基本要求是：
当x[10,1000]时，f(x)是增函数；
f(x)≤9恒成立；f(x)≤恒成立．
(2)对于函数模型f(x)＝＋2：
当x[10,1000]时，f(x)是增函数，
则f(x)max＝f(1000)＝＋2＝＋2.
故存在x[10,1000]，使>，即f(x)>.
f(x)≤不恒成立．
故该函数模型不符合公司要求．
②对于函数模型f(x)＝4lg x－3：
当x[10,1000]时，f(x)是增函数，
则f(x)max＝f(1000)＝4lg.
所以f(x)≤9恒成立．
设g(x)＝4lgx－3－，x[10,1000]，
则g′(x)＝－.
当x≥10时，g′(x)＝－≤＝<0，
所以g(x)在[10,1000]上是减函数．
从而g(x)≤g(10)＝－1<0.
所以g(x)＝4lgx－3－<0，即4lgx－3<，
所以f(x)<恒成立．故该函数模型符合公司要求.
[例6]　(理)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．
解析：(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L＝(x－3－a)· (12－x)2，x[9,11]．
(2)L′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)
＝(12－x)(18＋2a－3x)．
令L′＝0得x＝6＋a或x＝12(不合题意，舍去)．
3≤a≤5，8≤6＋a≤.
在x＝6＋a两侧L′(x)的值由正变负．
所以当8≤6＋a<9，即3≤a<时，
Lmax(x)＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)．
当9≤6＋a≤即≤a≤5时，
Lmax(x)＝L
所以Q(a)＝
即：若3≤a<，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝9(6－a)(万元)；若≤a≤5，则当每件售价为元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝43(万元)．
一、选择题
1．(文)(2013·济南外国语学校第一学期质检)函数f(x)＝x3－3x＋2的零点为(　　)
B．±1，－2
[解析]　由f(x)＝x3－3x＋2＝0得x3－x－(2x－2)＝0，(x－1)(x2＋x－2)＝0，(x－1)2(x＋2)＝0，解得x＝1或x＝－2，选C.
(理)(2010·黑龙江哈三中)函数f(x)＝的零点有(　　)
[解析]　令f(x)＝0，得x＝1或ln(x－2)＝0，
x＝1或x＝3，
但x＝1时，ln(x－2)无意义，x＝3时，分母为0，故f(x)无零点．
2．(文)(2011·湘潭调研)下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　)
[解析]　能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)·f(b)<0.A、B选项中不存在f(x)4，故有零点6个．
(理)(2012·河北邯郸市临漳一中模拟)已知函数y＝f(x)是定义在(－∞，0)(0，＋∞)上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x－3，则当方程f(x)＝k有三个不等实根时，k的取值范围是(　　)
A．(－4，－3][3,4)
B．[－4，－3)(3,4]
C．[－4，－3][3,4]
D．(－4，－3)(3,4)
[解析]　当x0，f(－x)＝x2＋2x－3，
f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)，
f(x)＝－x2－2x＋3，f(x)＝，
要使y＝k与y＝f(x)的图象有三个不同交点，应有－4<k<－3或3<k<4.
二、解答题
4．(文)某种商品的生产成本为50元/件，出厂价为60元/件．厂家为了鼓励销售商多订购，决定当一次性订购超过100件时，每多订购一件，所订购全部商品的出厂价就降低0.01元．根据市场调查，销售商一次订购不会超过600件．
(1)设销售商一次订购x件商品时的出厂价为f(x)，请写出f(x)的表达式；
(2)当销售商一次订购多少件商品时，厂家获得的利润最大？最大利润是多少？
[解析]　(1)当0<x≤100时，f(x)＝60；
当100<x≤600时，f(x)＝60－(x－100)×0.01
＝61－0.01x.
(2)设利润为y元，则0<x≤100时，y＝60x－50x＝10x，
x＝100时，ymax＝1000元．
当1004)天时进行第一次复习，则此时知识存留量比未复习情况下增加一倍(复习时间忽略不计)，其后存留量y2随时间变化的曲线恰为直线的一部分，其斜率为(a4)，
所以y＝y2－y1＝·(x－t)＋－(t>4)．
(1)当a＝－1，t＝5时，
y＝＋－＝－＋1
≤－2＋1＝，
当且仅当x＝14时取等号．
所以“二次复习最佳时机点”为第14天．
(2)y＝·(x－t)＋－＝－－＋－≤－2＋，
当且仅当＝，即x＝(t＋4)－4时取等号，由题意知(t＋4)－4>t，所以－4<a<0.
[点评]　求最值时，也可以用导数．
其他相关资源
友情链接：
客服总机：400-606-99777 业务传真：010- 客服邮箱：Copyright &2006 - 2015 高考学习网版权所有. All Rights Reserved. 京ICP证100390号期末试卷高一第一学期期末卷_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
期末试卷高一第一学期期末卷
上传于||暂无简介
阅读已结束，如果下载本文需要使用
想免费下载本文？
下载文档到电脑，查找使用更方便
还剩4页未读，继续阅读
你可能喜欢已知全集R,集合A={x|-2≤x≤5},B={x|a+1≤x≤2a-1},且A&#8838; CRB,求实数a的取值范围为什么≤-1/2舍去?为什么a不能取等号？a_百度作业帮
已知全集R,集合A={x|-2≤x≤5},B={x|a+1≤x≤2a-1},且A&#8838; CRB,求实数a的取值范围为什么≤-1/2舍去?为什么a不能取等号？a
已知全集R,集合A={x|-2≤x≤5},B={x|a+1≤x≤2a-1},且A&#8838; CRB,求实数a的取值范围为什么≤-1/2舍去?为什么a不能取等号？a
1、为什么a不能取等号CRB不含边界 2、a
（1）B是空集时2a-1<a+1，得a<2，此时CuB=R，A包含于CuB成立（2）B不是空集时2a-1》a+1 a》2CuB={X | X2a-1}A包含于CuB∴52a-1得a>4或a4 综上所述，a>4或a<2求采纳为满意回答。