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8-3-1逻辑推理.题库教师版
题库教师版81.掌握逻辑推理的解题思路与基本方法列表、假设、对比分析、数论分析法等2.培养学生的逻辑推理能力，掌握解不同题型的突破口3.能够利用所学的数论等知识解复杂的逻辑推理题逻辑推理作为数学思维中重要的一部分，经常出现在各种数学竞赛中，除此以外，逻辑推理还经常作为专项的内容出现在各类选拔考试，甚至是面向成年人的考试当中。对于学生学习数学来说，逻辑推理既有趣又可以开发智力，学生自主学习研究性比较高。本讲我们主要从各个角度总结逻辑推理的解题方法。一列表推理法逻辑推理问题的显著特点是层次多，条件纵横交错层剖析，一步步向结论靠近，是解决问题的关键们也常常采用列表的方式，把错综复杂的约束条件用符号和图形表示出来，这样可以借助几何直观，把令人眼花缭乱的条件变得一目了然，答案也就容易找到了.二、假设推理用假设法解逻辑推理问题，就是根据题目的几种可能情况，逐一假设．如果推出矛盾，那么假设不成立如果推不出矛盾，而是符合题意，那么假设成立．解题突破口找题目所给的矛盾点进行假设三、体育比赛中的数学对于体育比赛形式的逻辑推理题，注意一队的胜、负、平必然对应着另一队的负、胜、平。有时综合性的逻辑推理题需要将比赛情况用点以及连接这些点的线来表示，从整体考虑，通过数量比较、整数分解等方式寻找解题的突破口。四、计算中的逻辑推理能够利用数论等知识通过计算解决逻辑推理题.模块一、列表推理法【例1】刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛．事先规定兄妹二人不许搭伴．第一盘刘刚和小丽对李强和小英第二盘李强和小红对刘刚和马辉的妹妹．问三个男孩的妹妹分别是谁【解析】因为兄妹二人不许搭伴，所以题目条件表明刘刚与小丽、李强与小英、李强与小红都不是兄妹．由例题精讲知识点拨教学目标8辑推理题库教师版8第二盘看出，小红不是马辉的妹妹．将这些关系画在左下表中，由左下表可得右下表．李强马辉刘刚小丽小红小英李强马辉刘刚小丽小红小英√√√刘刚与小红、马辉与小英、李强与小丽分别是兄妹．【巩固】王文、张贝、李丽分别是跳伞、田径、游泳运动员，现在知道⑴张贝从未上过天⑵跳伞运动员已得过两块金牌⑶李丽还未得过第一名，她与田径运动员同年出生贝、李丽各是什么运动员【解析】为了能清楚地找到所给条件之间的关系，我们不妨运用列表法，列出下表，在表中√表示是，表示不是，在任意一行或一列中，如果一格是√，可推出其它两格是由⑴⑶可知张贝、李丽都不是跳伞运动员，可填出第一行，即王文是跳伞运动员由⑶可知，李丽也不是田径运动员，可填出第三列，即李丽是游泳运动员，则张贝是田径运动员．【巩固】李波、顾锋、刘英三位老师共同担负六年级某班的语文、数学、政治、体育、音乐和图画六门课的教学，每人教两门．现知道⑴顾锋最年轻⑵⑵李波喜欢与体育老师、数学老师交谈⑶⑶体育老师和图画老师都比政治老师年龄大⑷⑷顾锋、音乐老师、语文老师经常一起去游泳⑸刘英与语文老师是邻居．问各人分别教哪两门课程【解析】李波教语文、图画，顾锋教数学、政治，刘英教音乐、体育．由⑴⑶⑷推知顾锋教数学和政治由⑵推知刘英教体育由⑶⑸推知李波教图画、语文．【巩固】王平、宋丹、韩涛三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长．一次数学测验，这三个人的成绩是⑴韩涛比大队长的成绩好．⑵王平和中队长的成绩不相同．⑶中队长比宋丹的成绩差．请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢【解析】根据条件⑵和⑶，王平和中队长的成绩不相同，中队长比宋丹的成绩差．，可以断定，王平不是中队长，宋丹也不是中队长，只有韩涛当中队长了．王平和宋丹两人谁是大队长呢由⑴和⑶，韩涛比大队长的成绩好，中队长比宋丹的成绩差，可以推断出按成绩高低排列的话，宋丹的成绩比中队长（韩涛）的成绩好，韩涛的成绩比大队长的成绩好．这样，宋丹、韩涛就都不是大队长，那么，大队长肯定是王平．【例2】张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师，已知⑴张明不在北京工作，席辉不在上海工作⑵在北京工作的不是教师⑶在上海工作的是工人⑷席辉不是农民．问这三人各住哪里各是什么职业【解析】这道题的关系要复杂一些，要求我们通过推理，弄清人物、工作地点、职业三者之间的关系．三题库教师版8者的关系需要两两构造三个表，即人物与地点，人物与职业，地点与职业三个表．我们先将题目条件中所给出的关系用下面的表来表示，由条件⑴得到表1，由条件⑵、⑶得到表2，由条件⑷得到表3．因为各表中，每行每列只能有一个√，所以表2可填全为表5．由表5知农民在北京工作，又知席辉不是农民，所以席辉不在北京工作，可以将表1可填全完为表4由表4和表5知得到张明住在上海，是工人席辉住在天津，是教师李刚住在北京，是农民．方法二由题目条件可知席辉不在上海工作，而在上海工作的是工人，所以席辉不是工人，又不是农民，那么席辉只能是教师，不在北京工作，就只能是在天津工作，那么张明在上海工作，是工人。李刚在北京，是农民。【巩固】甲、乙、丙三人，他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东，他们的职业分别是教师、工人、演员．已知⑴甲不是辽宁人，乙不是广西人⑵辽宁人不是演员，广西人是教师⑶乙不是工人．求这三人各自的籍贯和职业．【解析】由题意可画出下面三个表将表3补全为表4．由表4知，工人是辽宁人，而乙不是工人，所以乙不是辽宁人，由此可将表1补全为表5．所以，甲是广西人，职业是教师乙是山东人，职业是演员丙是辽宁人，职业是工人．题库教师版8方法二将能判断的条件先列入图表中，广西人是教师，但是乙不是广西人，所以乙不是教师，乙又不是工人，所以乙为演员。在对应的地方打上√，对应的行列均打。但是辽宁人不是演员，所以乙不是辽宁人，乙就是山东人，所以甲是广西人，职业是教师乙是山东人，职业是演员丙是辽宁人，职业是工人。【巩固】小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项，并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。现知道（1）小明不在一小（2）小芳不在二小（3）爱好乒乓球的不在三小（4）爱好游泳的在一小（5）爱好游泳的不是小芳。问三人上各爱好什么运动各上哪所小学【解析】这道题比上例复杂，因为要判断人、学校和爱好三个内容。先将题目条件中给出的关系用下面的表1、表2、表3表示因为各表中，每行每列只能有一个√，所以表3可补全为表4。由表4、表2知道，爱好游泳的在一小，小芳不爱游泳，所以小芳不在一小。于是可将表1补全为表5。对照表5和表4，得到小明在二小上学，爱好打乒乓球小芳在三小上学，爱好打羽毛球小花在一小上学，爱好游泳。【巩固】小王、小张和小李一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道小李比教师年龄大小王与农民不同岁农民比小张年龄小。问谁是工人谁是农民谁是教师【解析】这道题目并不难，聪明的小朋友思考一下就能得到答案，但是今天我们通过这道题目一起来学习一个十分有用的方法列表分析法。由题目条件可以知道小李不是教师，小王不是农民，小张不是农民。由此得到左下表。表格中打√表示肯定，打表示否定。因为左上表中，任一行、任一列只能有一个√，其余是，所以小李是农民，于是得到右上表。因为农民小李比小张年龄小，又小李比教师年龄大，所以小张比教师年龄大，即小张不是教师。因此得到左下表，从而得到右下表，即小张是工人，小李是农民，小王是教师。例题中采用列表法，使得各种关系更明确。为了讲解清楚，例题中画了几个表，实际解题时，不用画这么多表，只在一个表中先后画出各种关系即可。需要注意的是①第一步应题库教师版8将题目条件给出的关系画在表上，然后再依次将分析推理出的关系画在表上②每行每列只能有一个√，如果出现了一个√，它所在的行和列的其余格中都应画。【例3】甲、乙、丙、丁四个人的职业分别是教师、医生、律师、警察．已知⑴教师不知道甲的职业⑵医生曾给乙治过病⑶律师是丙的法律顾问（经常见面）⑷丁不是律师⑸乙和丙从未见过面．那么甲、乙、丙、丁的职业依次是．【解析】律师、教师、警察．由⑶可以知道丙不是律师，但是他见过律师，再由⑸知乙不是律师，又由⑷可知甲是律师．于是由⑴和⑶知丙不是教师，由⑵和⑸知丙不是医生，从而丙是警察．再由⑵知乙是教师，丁是医生．列表如下（列表的好处在于直观明了，不会犯错误）【巩固】徐、王、陈、赵四位师傅分别是工厂的木工、车工、电工和钳工，他们都是象棋迷。（1）电工只和车工下棋（2）王、陈两位师傅经常与木工下棋（3）徐师傅与电工下棋互有胜负（4）陈师傅比钳工下得好。问徐、王、陈、赵四位师傅各从事什么工种【解析】徐是车工，王是钳工，陈是木工，赵是电工。【巩固】甲、乙、丙三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长．一次数学测验，这三个人的成绩是⑴丙比大队长的成绩好．⑵甲和中队长的成绩不相同．⑶中队长比乙的成绩差．请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢【解析】根据条件⑵和⑶，甲和中队长的成绩不相同，中队长比乙的成绩差，可以断定，甲不是中队长，乙也不是中队长，只有丙是中队长了（也可以列表确定中队长）．甲和乙两人谁是大队长呢由⑴和⑶，丙比大队长的成绩好，中队长比乙的成绩差，可以推断出按成绩高低排列的话，乙的成绩比中队长（丙）的成绩好，丙的成绩比大队长的成绩好．这样，乙、丙就都不是大队长，那么，大队长肯定是甲．【巩固】甲、乙、丙、丁在谈论他们及他们的同学何伟的居住地．甲说我和乙都住在北京，丙住在天津．乙说我和丁都住在上海，丙住在天津．丙说我和甲都不住在北京，何伟住在南京．丁说甲和乙都住在北京，我住在广州．假定他们每个人都说了两句真话，一句假话．问不在场的何伟住在哪儿【解析】因为甲、乙都说丙住在天津，我们可以假设这句话是假话，那么甲、乙的前两句应当都是真话，推出乙既住在北京又住在上海，矛盾．所以假设不成立，即丙住在天津是真话．因为甲的前两句话中有一句假话，而甲、丁两人的前两句话相同，所以丁的第三句话我住在广州是真的．由此知乙的第二句话丁住在上海是假话，第一句我住在上海是真话进而推知甲的第二句是假话，第一句我住在北京是真话最后推知丙的第二句话是假话，第三句何伟住在南京是真话．所以，何伟住在南京．【巩固】A，B，C，D分别是中国、日本、美国和法国人A和中国人是医生⑵B和法国人是教师⑶C和日本人职业不同⑷D不会看病A，B，C，D各是哪国人，【解析】有⑴⑵可知，A、B都不是中国人和法国人，再由⑴⑷知，D也不是中国人，所以，C是中国人，由⑶，日本人也是教师，从而推知，D是法国人，得下表题库教师版8最后由C是中国人及⑴⑶，推知日本人是教师，再由⑵知B是日本人.【巩固】根据条件判断旅游团去了A、B、C、D、E中的哪几个地方⑴如果去A，就必须去B⑵D、E两地至少去一地⑶B、C两地只能去一地⑷C、E两地要去都去，要不去都不去⑸若去D，则A、E两地必须去.【解析】从⑶入手，分别假设去B或C⑶若去B则不能去C，⑷也不能去E，⑵只能去D.⑸必须去A、E，与不能去E矛盾假设去C⑷必去E，⑵需去D，⑸必须去A、E，⑴去，与⑶B、C不能同去矛盾，所以不能去D．综上只能去C、E.【例4】甲、乙、丙、丁每人只会中、英、法、日四种语言中的两种，其中有一种语言只有一人会说．他们在一起交谈可有趣啦⑴乙不会说英语，当甲与丙交谈时，却请他当翻译⑵甲会日语，丁不会日语，但他们却能相互交谈⑶乙、丙、丁找不到三人都会的语言⑷没有人同时会日、法两种语言．请问甲、乙、丙、丁各会哪两种语言【解析】由⑴⑵⑷可得下表，其中丙不会日语是因为甲会日语，且甲与丙交谈需要翻译．由下表看出，甲会的另一种语言不是中文就是英语．丁丙乙甲日法英中√先假设甲会说中文．由⑵知，丁也会中文由⑴知丙不会中文，再由每人会两种语言，知丙会英、法语（见左下表由⑴⑷推知乙会中文和法语再由⑶及每人会两种语言，推知丁会英语（见右下表）．结果符合题意．丁丙乙甲日法英中√√√√√√√√丁丙乙甲日法英中√√√√√再假设甲会说英语．由⑵知，丁也会英语由⑴知丙不会英语，再由每人会两种语言，知丙会中文和法语（见左下表）由⑴⑷推知，乙会中文和日语再由⑶及每人会两种语言，推知丁会法语（见右下表）．右下表与有一种语言只有一人会说矛盾．假设不成立．√丁丙乙甲日法英中√√√√√√√丁丙乙甲日法英中√√√√√所以甲会中、日语，乙会中、法语，丙会英、法语，丁会中、英语．题库教师版8【巩固】宝宝、贝贝、聪聪每人有两个外号，人们有时以数学博士、短跑健将、跳高冠军、小画家、大作家和歌唱家称呼他们，此外⑴数学博士夸跳高冠军跳的高⑵跳高冠军和大作家常与宝宝一起看电影⑶短跑健将请小画家画贺年卡⑷数学博士和小画家关系很好⑸贝贝向大作家借过书⑹聪聪下象棋常赢贝贝和小画家问宝宝、贝贝、聪聪各有哪两个外号吗【解析】由⑵知，宝宝不是跳高冠军和大作家由⑸知，贝贝不是大作家由⑹知，贝贝、聪聪都不是小画家，可以得到下表因为宝宝是小画家，所以由⑶⑷知宝宝不是短跑健将和数学博士，推知宝宝是歌唱家，因为聪聪是大作家，所以由⑵知聪聪不是跳高冠军，推知贝贝是跳高冠军，因为贝贝是跳高冠军，所以由⑴知贝贝不是数学博士，将上面结论依次填入上表，得到下表所以，宝宝是小画家和歌唱家，贝贝是短跑健将和跳高冠军，聪聪是数学博士和大作家．【例5】（2007年湖北省创新杯初赛）六年级四个班进行数学竞赛，小明猜想比赛的结果是3班第一名，2班第二名，1班第三名，4班第四名．小华猜想比赛的结果是2班第一名，4班第二名，3班第三名，1班第四名．结果只有小华猜到的4班为第二名是正确的．那么这次竞赛的名次是班第一名，班第二名，班第三名，班第四名。【解析】方法一依题意，3班不为第一名也不为第三名，那么3班为第四名．同样，2班不为第二名也不为第一名，那么2班为第三名．1班不为第三名也不为第四名，那么1班为第一名．故第一名到第四名依次为1班，4班，2班，3班．方法二我们可以将两人的猜测结果列成表格形式，将小明猜想结果用▲表示，小华猜测结果用★表示，列表如下由题意知只有小华猜到的4班为第二名正确，其他的全是错误的，所以很容易确定各班名次（打√的即为正确的名次）方法二题目中只有小华猜到4班为第二名是正确的，那么其他的猜想均为错误的。在其对应的地方打，正确的则打√。题库教师版8【巩固】甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛，通过抽签决定出赛顺序．在未公布顺序前每人都对出赛顺序进行了猜测．甲猜乙第三，丙第五．乙猜戊第四，丁第五．丙猜甲第一，戊第四．丁猜丙第一，乙第二．戊猜甲第三，丁第四．老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，则出赛顺序中，第一是__________第三是__________．【解析】题中每个人都猜了另外两个人的出场顺序，每个人的出场顺序也都被另外两个人猜过，其中戊被乙和丙猜的都是第四，由于每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，所以戊是第四（否则戊的出赛顺序没有人猜中），以此为突破口。由于戊是第四，则在第四列其余地方均打则丁不能第四，所以丁的出赛顺序被乙猜中，为第五，则丙不能是第五，丙只能是第一，甲不能是第一，故甲是第三，乙是第二，所以答案为第一是丙，第三是甲．【例6】红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，分别用纸包着，在桌子上排成一行，有A、B、C、D、E五个人，猜各包珠子的颜色，每人只猜两包．A猜第二包是紫的，第三包是黄的B猜第二包是蓝的，第四包是红的C猜第一包是红的，第五包是白的D猜第三包是蓝的，第四包是白的E猜第二包是黄的，第五包是紫的．猜完后，打开各纸包一看发现每人都只猜对了一包，并且每包只有一人猜对．请你判断他们各猜对了其中的哪一包【解析】方法一题目要求A、B、C、D、E五个人在猜每包珠子的颜色时每人只猜两包且每人都只猜对了一包每包只有一人猜对，所以观察五包珠子中第一包只有C猜，所以C猜对了第一包，又根据每人只猜对了一种，所以C猜第五包是白的，猜错了第五包只有C、E两人猜，所以E猜第五包是紫的，猜对了那么E猜第二包是黄的，猜错了紫颜色的珠子，只有A、E两人猜，那么A猜第二包是紫的，猜错了第二包有A，B，E三人猜，其中A，E都猜错了，所以B猜第二包是蓝的，猜对了那么B猜第四包是红的，猜错了所以D猜对的是第四包，是白的．D猜第三包是蓝的，也猜错了所以A猜对的是第三包，是黄的总结以上推理判断，A猜对了第三包是黄的，B猜对了第二包是蓝的，C猜对了第一包是红的，D猜对了第四包是白的，E猜对了第五包是紫的．方法二分析同方法一，第一包只有一人猜对，所以第一包为红色，在第一行的其余地方打上第四包不为红色，第四包为白色，白色不能为第五包，第五包就为紫色，同理可知其余各包颜色。题库教师版8【巩固】五封信，信封完全相同，里面分别夹着红、蓝、黄、白、紫五种颜色的卡片．现在把它们按顺序排成一行，让A、B、C、D、E五人猜每只信封内所装卡片的颜色．A猜第2封内是紫色，第3封是黄色B猜第2封内是蓝色，第4封是红色C猜第1封内是红色，第5封是白色D猜第3封内是蓝色，第4封是白色E猜第2封内是黄色，第5封是紫色．然后，拆开信封一看，每人都猜对一种颜色，而且每封都有一人猜中．请你根据这些条件，再猜猜，每封信中夹什么颜色的卡片【解析】把已知条件简明地记录在表格中．选择其中一只信封作为突破口．比如第3封，A猜的是黄色，D猜的却是蓝色．由已知条件，这只信封内的卡片不是蓝色，就是黄色．假如第3封是蓝色，那么逐步推理可导出矛盾白色卡片没人猜对．这说明假设不正确，第3封内应是黄色．由此推出其它各封内的颜色．【巩固】（2008年北京数学解题能力展示读者评选活动）老师在3个小箱中各放一个彩色球，让小明、小强、小亮、小佳四人猜一下各个箱子中放了什么颜色的球．小明说1号箱中放的是黄色的，2号箱中放的是黑色的，3号箱中放的是红色的．小亮说1号箱中放的是橙色的，2号箱中放的是黑色的，3号箱中放的是绿色的．小强说1号箱中放的是紫色的，2号箱中放的是黄色的，3号箱中放的是蓝色的．小佳说1号箱中放的是橙色的，2号箱中放的是绿色的，3号箱中放的是紫色的．老师说你们中有一个人恰好猜对了两个，其余的三人都只猜对一个．那么3号箱子中放的是________色的球．【解析】由于猜中的总次数为5次，所以有一个箱子至少被猜中了2次以上，从而这个箱子只能是2号箱，推理得出只能是小亮对了2次，其他人只对一次，所以1号箱只能是橙色的，那么3号箱的颜色是蓝色的．【巩固】四张卡片上分别写着奥、林、匹、克四个字（一张上写一个字），取出三张字朝下放在桌上，A、B、C三人分别猜每张卡片上是什么字，猜的情况见下表结果，有一人一张也没猜中，一人猜中两张，另一人猜中三张三张卡片上各写着什么字．【解析】A、B有两张猜的相同，必有一人全对，一人对两张，因此，C全错，推知B全对.【例7】老师让小新把小胖、小贝、小丸子、小淘气、小马虎的作业本带回去，小新见到这五人后就一人给了一本，结果全发错了．现在知道⑴小胖拿的不是小贝的，也不是小淘气的⑵小贝拿的不是小丸子的，也不是小淘气的⑶小丸子拿的不是小贝的，也不是小马虎的⑷小淘气拿的不是小丸子的，也不是小马虎的⑸小马虎拿的不是小淘气的，也不是小胖的．另外，没有两人相互拿错例如小胖拿小贝的，小贝拿小胖的．问小丸子拿的是谁的本小丸子的本被谁拿走了【解析】根据全发错了及条件⑴～⑸，可以得到下表由表1看出，小淘气的本被小丸子拿了．此时，再继续推理分析不大好下手，我们可用假设法．题库教师版08由上表知，小胖拿的本不是小丸子的就是小马虎的．先假设小胖拿了小丸子的本．于是得到下表，表中小贝拿小马虎的本，小马虎拿小贝的本．两人相互拿错，不合题意．再假设小胖拿小马虎的本．于是又可得表，经检验，下表符合题意．所以小丸子拿了小淘气的本，小丸子的本被小马虎拿去了．模块二、假设推理【例8】甲、乙、丙三人，一个总说谎，一个从不说谎，一个有时说谎．有一次谈到他们的职业．甲说我是油漆匠，乙是钢琴师，丙是建筑师．乙说我是医生，丙是警察，你如果问甲，甲会说他是油漆匠．丙说乙是钢琴师，甲是建筑师，我是警察．你知道谁总说谎吗【解析】甲．如果甲从不说谎，那么乙的最后一句、丙的第一句都对，没有总说谎的人，矛盾同理，如果丙从不说谎，也将推出矛盾．【巩固】在神话王国内，居民不是骑士就是骗子，骑士不说谎，骗子永远说谎，有一天国王遇到该国的居民小白、小黑、小蓝，小白说小蓝是骑士，小黑是骗子．，小蓝说小白和我不同，一个是骑士，一个是骗子．国王很快判断出谁是骑士，谁是骗子．你能判断出吗【解析】假设小白是骑士（说实话），则小蓝是骑士，小黑是骗子又因为小蓝是骑士，那么小白、小蓝不同，一个是骑士，一个是骗子，与小白、小蓝均为骑士矛盾．假设小白是骗子（说假话），那么小蓝是骗子，小黑是骑士，又因为小蓝是骗子，所以小白、小蓝不同是假话．因此，小白、小蓝是骗子，小黑是骑士.【巩固】一个骗子和一个老实人一路同行，骗子总是讲假话，老实人总是讲真话．请提一个尽量简单的问题，使两人的回答相同．这个问题可以是.【解析】这个问题可以是你是老实人吗如果问的问题是客观的，也就是说对于这两个人来说真正的答案是一样的话，那么他们的回答肯定不一样．所以要问一个与他们自身相关的问题，例如你是老实人吗或者问你是骗子吗这样他们的回答才会一样．【巩固】甲说乙和丙都说谎。乙说甲和丙都说谎。丙说甲和乙都说谎。根据三人所说，你判断一下，下面的结论哪一个正确（1）三人都说谎（2）三人都不说谎（3）三人中只有一人说谎（4）三人中只有一人不说谎。【解析】（4）正确。【例9】某地质学院的学生对一种矿石进行观察和鉴别。甲判断不是铁，也不是铜。乙判断不是铁，而是锡。丙判断不是锡，而是铁。经化验证明有一个人的判断完全正确，有一个人说对了一半，而另一个人完全说错了。你知道三人中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗【解析】丙全说对了，甲说对了一半，乙全说错了。先假设甲全对，推出矛盾后，再设乙全对，又推出矛盾，则说明丙全对，甲说对了一半，乙全说错了。【巩固】三只小猴子聪聪、淘淘、皮皮见到一个水果，他们分别判断这是什么水果聪聪判断不是苹果，也不是梨．淘淘判断不是苹果，而是桃子．皮皮判断不是桃子，而是苹果．老猴子告题库教师版18诉他们有一只小猴子的判断完全正确，有一只小猴子说对了一半，而另一只小猴子完全说错了．你知道三只小猴中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗【解析】先设聪聪全对，不是苹果，也不是梨只能是桃子，那么淘淘两句也都说对了，推出矛盾再设淘淘全对，不是苹果，而是桃子，推出这个水果是桃子，那么聪聪说的也都对了，又推出矛盾则说明皮皮全对，那么这种水果是苹果，聪聪说对了一半，淘淘全说错了．【例10】（2007年太原福布斯迎奥运数学展示活动）4名运动员参加一项比赛，赛前，甲说我肯定是最后一名．乙说我不可能是第一名，也不可能是最后一名．丙说我绝对不会得最后一名．丁说我肯定得第一名．赛后，发现他们4人的预测中只有一人是错误的．请问谁的预测是错误的【解析】假设甲的预测是错的，那么其他三人的预测都是对的，那么甲不是最后一名，乙和丙也不是最后一名，丁是第一名，这样的话没有人是最后一名，矛盾．所以甲的预测是对的，甲是最后一名，那么丙的预测也是对的．如果乙的预测是错的，那么乙是第一名，而丁的预测是对的，丁也是第一名，矛盾．所以乙的预测是对的，丁的预测是错的．【巩固】甲、乙、丙、丁在比较他们的身高，甲说我最高．乙说我不最矮．丙说我没甲高，但还有人比我矮．丁说我最矮．实际测量的结果表明，只有一人说错了．请将他们按身高次序从高到矮排列出来．【解析】丁不可能说错，否则就没有人最矮了．由此知乙没有说错．若甲也没有说错，则没有人说错，矛盾．所以只有甲一人说错．所以丁是最矮的，甲不是最高的，丙没甲高，但还有人比他矮，那么只能是甲第二高，丙第三高，乙最高．所以他们的身高次序为乙、甲、丙、丁．【巩固】（2009年第七届希望杯一试试题）百米决赛前，小芳对参赛的五名选手的名次作了预测，比赛的结果同她预测的名次全不相同．由下图知小芳预测为第一名的选手的实际名次是第名．【解析】假设小芳预测第一名、第二名、第三名、第四名、第五名对应的人分别是甲、乙、丙、丁、戊，由小芳说的话知第四名丁就是实际名次的第一名,预测的第二名乙就是实际名次的第三名,预测的第三名丙就是实际名次的第二名,因此实际的第一名、第二名、第三名的人分别是丁、丙、乙，又知道比赛的结果同她预测的名次全不相同,所以小芳预测的第五名戊只能是实际的第四名了，这样实际名次的第五名只能是小芳预测的第一名甲了.（如下表所述）【例11】（2007年台湾第一届小学数学世界邀请赛）在期末考试前，学生W、X、Y、Z分别预测他们的成绩是A、B、C或D，评分标准是A比B好，B比C好，C比D好．W说我们的成绩都将不相同．若我的成绩得A，则Y将得D．X说若Y的成绩得C，则W将得D．W的成绩将比Z好．Y说若X的成绩不是得到A，则W将得C．若我的成绩得到B，则Z的成绩将不是D．Z说若Y的成绩得到A，则我将得到B．若X的成绩不是得到B，则我也将不会得到B．当期末考试的成绩公布，每位学生所得到的成绩都完全符合他们的预测．请问这四位学生的成绩分别是什么题库教师版28【解析】由于每位学生所得到的成绩都完全符合他们的预测，所以X说W的成绩将比Z好是正确的，这样W将不可能得D，Z不可能得A．这样Y不可能得C（否则W得D）．⑴如果W得A，那么Y将得D．由于X的成绩不是得到A，那么W将得C，这与W得A矛盾．所以W不得A．⑵如果Y得A，那么Z将得到B．但这样W的成绩将不可能比Z好，矛盾．所以Y不得A．⑶由于W、Y、Z均不得A，那么只有X得A．⑷如果Y得B，那么Z的成绩将不是D．这样Z的成绩将是C，W的成绩将是D，矛盾．所以Y不得B．由于Y不得A、B、C，所以Y得D．⑸由于W的成绩比Z好，所以剩下的B和C只能是W得B，Z得C．所以W、X、Y、Z的成绩分别是B、A、D、C．【巩固】一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问．四人分别供述如下甲说罪犯在乙、丙、丁三人之中．乙说我没有作案，是丙偷的．丙说在甲和丁中间有一人是罪犯．丁说乙说的是事实．经过充分的调查，证实这四人中有两人说了真话，另外两人说的是假话．同学们，请你做一名公正的法官，对此案进行裁决，确认谁是罪犯【解析】如果甲说的是假话，那么剩下三人中有一人说的也是假话，另外两人说的是真话．可是乙和丁两人的观点一致，所以在剩下的三人中只能是丙说了假话，乙和丁说的都是真话．即丙是盗窃犯．这样一来，甲说的也是对的，不是假话．这样，前后就产生了矛盾．所以甲说的不可能是假话，只能是真话．同理，剩下的三人中只能是丙说真话．乙和丁说的是假话，即丙不是罪犯，乙是罪犯．又由甲所述为真话，即甲不是罪犯．再由丙所述为真话，即丁是罪犯．所以乙和丁是盗窃犯．【巩固】四个小朋友宝宝、星星、强强和乐乐在院子里踢足球，一阵响声，惊动了正在读书的陆老师，陆老师跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打破了。陆老师问是谁打破了玻璃宝宝说是星星无意打破的。星星说是乐乐打破的。乐乐说星星说谎。强强说反正不是我打破的。如果只有一个孩子说了实话，那么这个孩子是谁是谁打破了玻璃【解析】因为星星和乐乐说的正好相反，所以必是一对一错，我们可以逐一假设检验。假设星星说得对，即玻璃窗是乐乐打破的，那么强强也说对了，这与只有一个孩子说了实话矛盾，所以星星说错了。假设乐乐说对了，按题意其他孩子就都说错了。由强强说错了，推知玻璃是强强打破的。宝宝、星星确实都说错了。符合题意。所以是强强打破了玻璃。【巩固】（2007年春武汉明心奥数挑战赛）5名谋杀案的嫌疑人，在犯罪现场被警察询问，其中有一名是凶手．下面5个人的供述中，只有3句是对的A说D是杀人犯B说我是无辜的C说E不是杀人犯D说A在说谎E说B说的是实话．在这5个人中，是凶手．题库教师版38【解析】B与E判断相同，要么都对，要么都错．假设B与E都错，即凶手是B，那么A也错，就出现了3句错的，与有3句是对的矛盾．所以B与E都是对的．余下的3人中还有1人判断是对的，由于A与D互相矛盾，所以这两个人中必有一个是对的，一个是错的，由于只有3句是对的，那么C必定是错的，所以E是凶手．【巩固】2008年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛个人赛三位女孩A、B、C进行百米赛跑，裁判D、E、F在赛前猜测她们之间的名次。D说我猜A是第一名。E说我猜C不会是最后一名。F说我猜B不会是第一名。成绩揭晓后已知恰只有一位裁判的猜测是正确的，请问哪位女孩得第一名【解析】假设A是第一名，那么D猜测正确，F猜测正确，出现矛盾。假设B是第一名，那么D与F猜测错误，而当C为第二名时，E猜测正确。假设C为第一名，那么E、F猜测正确，出现矛盾，所以第一名是B。【巩固】小强、小明、小勇三人参加数学竞赛，他们分别来自甲、乙、丙三个学校，并分别获得一、二、三等奖．已知⑴小强不是甲校选手⑵小明不是乙校选手⑶甲校的选手不是一等奖⑷乙校的选手得二等奖⑸小明不是三等奖．根据上述情况，可判断出小勇是校的选手，他得的是等奖．【解析】甲校三等奖．由⑵、小明得的不是二等奖，由⑸知小明得的不是三等奖，所以小明得的是⑶、⑷知小明是丙校的，由⑴知小强是乙校的，所以小勇是甲校的，他得的是三等奖．【巩固】甲，乙，丙，丁四个同学中有两个同学在假日为街道做好事，班主任把这四人找来了解情况，四人分别回答如下．甲丙、丁两人中有人做了好事．乙丙做了好事，我没做．丙甲、丁中只有一人做了好事．丁乙说的是事实．最后通过仔细分析调查，发现四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入．到底是谁做了好事【解析】我们用假设法来解决．题目说四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入．注意，此处的与事实有出入表示不完全与事实相符，比如，当乙、丙都做了好事，或乙、丙都没做好事，或乙做了好事而丙没做好事时，乙说的话都与事实有出入．因为乙与丁说的是一样的，所以只有两种可能，要么乙与丁正确，甲与丙错要么乙与丁错，甲与丙正确．⑴假设乙与丁说的话正确．这时丙做了好事，甲说丙、丁两人中有人做了好事，甲说的话也正确，这与题目条件只有两人说的是事实相矛盾．所以假设错误．⑵假设甲与丙说的话正确．那么做好事的是甲与丙，或乙与丁，或丙与丁．若做好事的是甲与丙，或丙与丁，则乙说的话也正确，与题意不符若做好事的是乙与丁，则乙说的话与事实不符，符合题意．综上所述，做好事的是乙与丁．【例12】甲、乙、丙、丁四人同时参加全国小学数学夏令营。赛前甲、乙、丙分别做了预测。甲说丙第1名，我第3名。乙说我第1名，丁第4名。丙说丁第2名，我第3名。成绩揭晓后，发现他们每人只说对了一半，你能说出他们的名次吗【解析】我们以他们每人只说对了一半作为前提，进行逻辑推理。假设甲说的第一句话丙第1名是对的，第二句话我第3名是错的。由此推知乙说的我第1名是错的，丁第4名是对的丙说的丁第2名是错的，丙第3名是对的。这与假设丙第1名是对的矛盾，所以假设不成立。再假设甲的第二句话我第3名是对的，那么丙说的第二句我第3名是错的，从而丙说的第一句话丁第2名是对的由此推出乙说的丁第4名是错的，我第1名是对的。至此可以排出名次顺序乙第1名、丁第2名、甲第3名、丙第4名。题库教师版48【巩固】编号分别为1，2，3，4的四位同学参加了学校的110米栏比赛，获得了全校的前四名，1号同学说3号比我先到达终点.得第三名的同学说1号不是第四名.而另一位同学说我们的号码与我们所得的名次都不相同.聪明的同学们，你们能说出这四位同学各自所得到的名次吗【解析】从得第三名同学的话中可以推知1号不是第三名，也不是第四名而1号同学又说3号比我先到终点，这说明1号同学不是第一名，这样我们可以得知1号同学是第二名，于是3号同学是第一名，而另一位同学说我们的号码与我们所得的名次都不相同.，这样4号不是第四名，只能是第三名，所以获得第四名的同学是2号.【巩固】在一次数学竞赛中，A，B，C，D，E五位同学分别得了前五名（没有并列同一名次的），关于各人的名次大家作出了下面的猜测A说第二名是D，第三名是B．B说第二名是C，第四名是E．C说第一名是E，第五名是A．D说第三名是C，第四名是A．第二名是B，第五名是D．结果每人都只猜对了一半，他们的名次如何【解析】假设A猜的第一句是真的，那么B猜的第二句是真的，即第四名是E，那么C猜的E是第一名是错的，A是第五名，那么D猜的C是第三名是对的，那么B就是第一名，从而E说的全是错的，所以假设不成立．所以A猜的第二句是真的，即B是第三名，那么D猜的第一句是错的，从而以C猜的第二句是错的，E是第一名，从而B猜的C是第二名是对的，E猜的第五名是D正确，所以，第一名是E，第二名是C，第三名是B，第四名是A，第五名是D．【例13】传说有个说谎国，这个国家的男人在星期四、五、六、日说真话，在星期一、二、三说假话女人在星期一、二、三、日说真话，在星期四、五、六说假话．有一天，一个人到说谎国去旅游，他在那里认识了一男一女．男人说昨天我说的是假话，女人说昨天也是我说假话的日子．这下，那个外来的游人可发愁了，到底今天星期几呢请同学们根据他们说的话，判断一下今天是星期几呢【解析】假设男人今天说的是真话，那么今天是星期四、五、六、日其中的一天，而且今天的前一天男人说的是假话，所以，根据男人的话，确定今天是星期四，所以女人说的话是假话，昨天也就是星期三女人说的是真话，符合题意，所以，今天是星期四.【巩固】从A，B，C，D，E，F六种产品中挑选出部分产品去参加博览会。根据挑选规则，参展产品满足下列要求（1）A，B两种产品中至少选一种（2）A，D两种产品不能同时入选（3）A，E，4）B，C两种产品都入选或都不能入选（5）C，D两种产品中选一种（6）若D种产品不入选，则E种也不能入选。问哪几种产品被选中参展【解析】用假设法。从条件（1）开始，有三种情况①假设选选，由（2）知由（5）知由（4）推知C，前面假设不选设不成立。②假设选，由（3）知选E，F，由（6）知由（5）知C不入选，再由（4）推知B，C都不入选，与假设选设不成立。③假设A，B都入选，由（2）知D不入选，由（6）知E也不入选，再由（3）知F入选，由（4）知C入选。符合题意。因此，A，B，C，F选中参展。【例14】三年级一班新转来三名学生，班主任问他们三人的年龄．刘强说我12岁，比陈红小2岁，比李丽大1岁．陈红说我不是年龄最小的，李丽和我差3岁，李丽是15岁．李丽说我比刘强年岁小，刘强13岁，陈红比刘强大3岁．这三位学生在他们每人说的三句话中，都有一句是错的．请你帮助班主任分析出他们三人各是多少岁【解析】经过审题，仔细分析这九句话，不难发现有两句话是相互矛盾的．一句话是刘强说的第一句话我12岁，另一句话是李丽说的第二句话刘强13岁．这两句话不能都真，必有一句是假的．为了确定这两句话的真假性．可以先假设某一句为真，如果推不出矛盾，本题就获得了解决如果推出矛盾，就说明这句话是假的，从而也就找到了突破口．先假设刘强说的第一句话我12岁为真，那么李丽说的第二句话刘强13岁就为假，因此李丽的另外两句话就应该是真话，从陈红比刘强大3岁就推出陈红是15岁又从我比刘强年岁小推出李丽小于12岁．可是这样一来，陈红说的三句话中，李丽和我差3岁和李丽15岁这两句话都不能成立，这与本题中的要求每人说的三句话中，都有一句是错的，即三句话中有两句话是真的相矛盾．因题库教师版58此，刘强说的我12岁这句话是假的．由于刘强说的第一句话是假的，所以后两句话就是真的．因此，李丽说的第三句话陈红比刘强大3岁就是假的，所以，李丽说的第二句话刘强13岁就是真的．于是就可以推出李丽12岁，陈红15岁，刘强13岁．【例15】2008年日本小学算术奥林匹克大赛决赛甲和乙做猜数的游戏。首先，甲在纸上写1个各位数字都不同的四位数，写好后将纸翻过来。不让乙看到，然后让乙猜这个四位数的各位数字。如果数字和位数都猜对了就是○，如果数字对而位数不对就是△。例如甲写的是1234，乙猜的是1354，那么就是2个○，1个△。请阅读以下对话并回答问题乙我猜9856，甲1个○，1个△。乙6972，甲也是1个○，1个△。乙3058，甲也是1个○，1个△。乙4732呢，甲2个△。乙哇，猜不着呀，8369呢甲也是2个△。（1）请从以上的对话中答出甲最可能写的4个四位数。后来，甲发现自己刚才的回答中对四位数的判断有误。甲对不起，刚才有搞错的。乙啊那么甲只是1个数字搞错了，在刚才说到的数字中，只是对4732的判断有误，正确的回答应该是1个○，1个△。乙稍等一会儿啊我知道啦甲写的四位数是吗甲对啦你真棒2请问甲写的这个四位数是什么【解析】如下表由1、4次猜测结果知，2到9中包含了正确数字中的全部四位数字，也即甲写的数字各位都不是0或1由2、3次猜测结果，同理知甲写的数字各位都不是1或4再考察第3、4次猜测结果，由于其中的0和4一定是错的，而且两次各猜对了正确数字四位数中的两位，可以先假设甲写的数字各位上没有3，那么甲写的数字各位就是2、5、7、8，那么第5次猜测的结果就应该是（0，1）或者（1，0）而非（0，2）。因此甲写的数字一定有一位是3再由第5次猜测结果，甲所写的数字各位有且只有6、8、9中的一个于是由第1次猜测结果，甲所写的数字中一定有一位是5再综合第3、5次猜测结果，知甲所写的数字各位上没有8，而一定有且只有6、9其一根据第2次的猜测结果，甲所写的数字应该有一位是2、7其一。假定第1、3次猜测中位数对的数字是5，那么根据第3、5次的猜测结果可以判断出3在甲所写的数字的个位上于是由第2次猜测结果，2或7一定是数字对而位数不对的，那么6或9一定是数字对且位数对的，于是甲可能写的数字是或7953假定第1、3次猜测中位数对的数字不是5，那么第3次猜测中位数对的数字一定是3，第1次猜测中位数对的数字只能是6而不能是9，于是只能第百位是5，十位是7，这时甲可能写的数字只有3576综上所述，甲可能写的四位数是、题库教师版68（2）由上述前半部分推理，仍然能判断出甲写的数字各位上一定有3和5，且仍然6、9中有其一，而2、7中有其一。仍然先假设
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