小学数学“平移与旋转”的教学研究与案例评析
小学数学“平移与旋转”的教学研究与案例评析
【导读教师】
吴正宪（北京教科院,数学特级教师）
【导读文本】
老师们，大家好！欢迎您参加关于“图形的旋转”案例评析模块的研讨。
“图形的旋转”这节课是人教义务教育课程标准实验教材数学五年级下册第一单元的教学内容。它属于“图形与几何”领域中“图形运动”的知识内容。通过这个内容的学习，可以帮助学生从运动变换的角度去认识周围的事物，发展空间观念和几何直觉，感受数学与现实世界的联系，体验学习“空间与图形”的乐趣。
有人把案例比作是微观的教学参考书。我觉得这个比喻很贴切。因为案例是着眼于课堂教学，它的表达方式就是一个具体教学内容、一节课甚至一个问题和你一起探讨研究。诸如《图形的旋转》这个内容围绕《2011版数学课程标准》所提出的核心理念，在教学上应该怎样设计，这节课应该做什么样的准备，课堂上的合作与交流应该如何展开，学生可能有什么样的反应，实施过程可能会遇到什么问题，如何处理教师的角色等等问题。这些都是从“微观”的角度对其他探讨宏观问题的参考书提供的良好补充，从而共同形成提高教学质量的合力。教学案例研究的出发点和归宿是学生的发展，使学生主动、积极、生动地得到发展。
那么，在“图形的旋转”这节课的教学中，如何整体把握教材，注重学段衔接呢？
教师如何基于学生现实，引导学生在活动中学习“图形的旋转”，帮助学生形成表象，积累活动经验，发展空间观念呢？
让我们带着这样的思考，走进王老师的课堂吧。
案例：《图形的旋转》
【案例信息】
案例名称：人教版教材五年级下册《图形的旋转》
讲课教师：王彦伟（北京东城区教师研修中心，中学高级教师）
【教学设计】
教学目标：
（1）知识与技能：进一步认识图形的旋转，明确含义，感悟特征及性质。能够运用数学语言清楚描述旋转运动的过程。会在方格纸上画出线段旋转90度后的图形。
（2）过程与方法：经历观察实例、操作想象、语言描述、绘制图形等活动，积累几何活动经验，发展空间观念。
（3）情感态度价值观：欣赏图形旋转变换所创造的美，学会用数学的眼光观察、思考生活，体会数学的价值。
教学重点：通过多种学习活动沟通联系，理解旋转含义，感悟特征及性质。
教学难点：用数学语言描述物体的旋转过程及会在方格纸上画出线段旋转90度后的图形。
教学过程设计
◆认识旋转要素
1.呈现生活实例，引出研究问题
（1）出示动态挂钟，请同学判断挂钟中哪些物体在做旋转运动。
问题：看一看挂钟上哪些物体在运动？用我们学过的知识描述一下它们在做怎样运动？
引导：大家都认可钟面上的指针在旋转，但是钟摆到底是在平移还是旋转
意见不统一。这是我们今天要弄明白的一个问题。
（2）师生举例，温故引新
①学生举例。
问题：在二年级的时候我们初步学习了生活中的旋转现象，能举几个例子吗？
②教师举例。
课件展示生活中的旋转现象。（动态）
王老师也收集了一些，我们一起来看看。（出示课件）选择你喜欢的一个，说说它是怎么旋转的？
问题：通过刚才的观察，你认为什么样的运动就是旋转？
出示课题：看来同学们已经初步认识了生活中的旋转现象，今天我们进一步学习图形的旋转，从数学的角度研究图形旋转到底有哪些特征。
【设计意图：通过课前调研，教师从学生的问题入手，选取学生熟悉的但又有争议的实例作为研究旋转现象的素材，有意识地引导学生探讨:"钟摆的运动方式属于平移还是旋转?"学生有明显的争议,以此产生认知冲突，引发探究的欲望。特别是教师注意选取旋转角度不是360°的实例作为教材补充实例，如道闸等，丰富学生的认知。】
2．借助钟面指针，明确旋转三要素
（1）认识旋转要素——旋转方向。
问题1：同学们请看大屏幕，这是什么？（风车）请注意观察，风车的叶
片是怎么运动的？
问题2：这个风车的两层叶片旋转有什么不同？
问题3：什么叫顺时针旋转，谁能解释一下，能用箭头表示一下吗？
与顺时针相反的方向叫什么？用箭头怎么表示？
导入：通过观察风车旋转，我们发现旋转要具备的一个特征是要按一定方向旋转。旋转还有哪些特征呢？下面我们就从大家最熟悉的表针旋转入手研究。为了研究方便，只从中选取一根指针来研究。
【设计意图：顺时针和逆时针方向是学生第一次正式了解，教师以风车为例，通过让学生观察对比两层风车叶片旋转的区别与联系，使学生感受到现实生活中物体旋转是有方向的，认识顺时针和逆时针方向。】
（2）认识旋转要素——旋转中心、旋转角度。
动态出示指针从“12”到“1”、从“2”到“6”。
问题1：注意观察，甲乙两个钟面上的指针分别是怎么旋转的？任意选择一个钟面来说一说指针的旋转过程。
问题2：两个钟面上都是指针在旋转，在旋转过程中有什么不同的地方吗？
问题3：有相同的地方吗？
问题4：你是怎么知道甲钟面上的指针旋转了30°？
问题5：通过刚才的学习，想一想怎样就能把指针的旋转表述清楚？
小结：一定要说清“指针是绕哪个点旋转”“是向什么方向旋转”“转动了多少度”这几点。
（3）想象操作，加深理解。
问题1：这里还有一个空白的钟面，想象一下，指针如果从“6”到“9”，你知道是怎么旋转的吗？一边演示一边说。
问题2：指针只能从“6”顺时针旋转到“9”吗？一边演示一边说。
问题3：同学们又是怎么知道是逆时针旋转270度呢？
【设计意图：在观察的基础上，教师特别加入空白钟面和指针的教具，请学生先想象，再操作，至此学生对旋转要素有了全面的认识。想象与操作有机结合，在操作过程中，鼓励学生能够用数学语言描述物体的旋转过程，初步体会了图形旋转的基本要素，解决问题的策略是多样的、开放的。】
（4）借助自制教具，突破难点。
问题1：现在谁能说一说什么是旋转？
问题2：判断钟摆是不是做旋转运动？为什么？
教师演示教具。
【设计意图：教师借助自制教具——模仿钟摆运动，利用粉笔把钟摆运动的轨迹留下来，帮助学生直观地认识到钟摆运动是钟摆围绕一个点做局部圆周运动，而且在摆动中既包含了顺时针旋转，也包含了逆时针旋转。旋转角度可以是任意的。】
◆感悟旋转性质
1．研究线段的旋转
（1）模拟操作。
问题：我们能够清楚地描述指针的旋转了，如果把指针看作一条线段，用OA来表示，想想看，线段能旋转吗？可以怎么旋转？拿出一支笔，用它来表示线段OA，在桌面的方格中感受一下可以怎么旋转？
展示交流：可以绕点O，也可以绕点A；可以顺时针旋转，也可以逆时针旋转。
（2）画中理解。
问题：想象一下，线段OA如果绕点A逆时针旋转90度会旋转到什么位置，并把它画在方格纸中。
（3）辨析深化
问题：谁愿意介绍一下自己是怎么画的？观察旋转前后的线段，什么变了？什么不变？
错例辨析：这里还有几份画的不太一样的，我们一起来看看，有什么问题？
（旋转中心错；旋转方向错；线段长度错）
小结：看来在画图的时候一定要注意这三个要素。
【设计意图：线段的旋转是本节课的教学重点，这时已经由生活中的旋转现象上升到图形的旋转。在方格纸上画图，是一种特殊的操作活动，它在图形变换初步认识的教学过程中，具有不可或缺的作用。因为学会画图是学生必须达成的学习目标，同时它又是反映学生是否理解有关概念，掌握有关特征的表现形式与检测手段。这里教师设计在方格纸上画出线段旋转90°后的图形，让学生先模拟“转”再“画”，通过操作，看清楚旋转后图形位置，再讨论怎样画，由此可以比较容易找到画图方法。线段的旋转既承载了对旋转要素的深化理解的作用，又为后继学习面的旋转打下了坚实基础。】
2．研究面的旋转
（1）模拟操作，类比迁移。
教师利用旋转前后的两条线段，补充第三条线段围成了一个三角形。这时，
由“线段的旋转”自然迁移到第二阶段“面的旋转”。
问题1：三角形AOB绕点O顺时针旋转90度后，得到的是什么样的图形呢？
请利用老师提供的活动三角形学具，在有方格的桌面操作。
（2）展开想象，激活思维。
问题2：如果继续绕点O顺时针旋转90度3次，最终会旋转成一个什么图案？
学生回答后，课件动态演示风车形成过程。
【设计意图：这里教师设计了在带有方格的桌面上操作小三角形旋转90°的活动。首先，请学生想象三角形AOB绕点O逆时针旋转90°后到方格的什么位置？其次，利用三角形学具，在有方格的桌面上操作，对刚才的想象进行验证。最后再次展开想象，如果依次绕点O顺时针旋转90度3次，最终会旋转成一个什么图案。一方面为下节课学习例4做了知识与技能上的孕伏，另一方面将想象与操作结合，有效地激发了学生的空间想象力。】
◆感受旋转的应用
1．欣赏图案，感受旋转创造的美
（1）动态呈现：菱形旋转、等边三角形旋转、圆形旋转。
（2）多角度观察图形，识别不同的基本图形。
2．拓展延伸，感受旋转变换在生活中的应用
欣赏生活中的雪花及千手观音舞美造型。
设计意图：学习图形与变换内容的一个重要目的是使学生运用数学的眼光看待现实世界。在感受旋转的应用的阶段，教师借助信息技术，动态呈现一些基本图形旋转后形成的美丽图形、图案以及生活中的应用，鼓励学生从变换的角度去欣赏，感受其中蕴涵的美，体会数学的应用价值。并注意鼓励学生从不同角度观察图形，识别不同的基本图形发生了怎样的变换之后，形成了同一个图形，体验图形旋转的美妙，同时也激发了学生的创造性思维，为后面利用图形变换自己设计、制作图案做了孕伏。】
【教学反思】
一、根据试教情况，调整教学内容
本节课“图形的旋转”的教学内容是义务教育课标实验教科书《小学数学》五年级下册第一单元“图形的变换”的例3。一般教师在日常教学中习惯于把例3、例4放在一起学习。我在试讲时也是这样设计的，但是发现，如果在一节课内既要完成认识实物怎样按照顺时针和逆时针方向旋转90°，明确旋转的含义及特征。能够运用数学语言清楚描述旋转运动的过程（例3）。又要学会在方格纸上画出把三角形图形旋转90度后的图形（例4），40分钟不够用，很多环节只能行云流水，不能落实。所以将教学内容做了适当调整。在完成例3教学任务同时，精心选择“铅笔”这一学生耳熟能详的素材帮助学生建构概念，学生借助围棋盘的桌面为平面，同桌配合完成各种形式的“旋转”活动。然后再把铅笔想成线段，加入研究在方格纸上画线段旋转90°后的图形，为例4做孕伏。
二、注意丰富教材实例，解释概念本质
提起“旋转”一课，相信不少教师脑海中会立刻闪现出：转椅，风车、摩天轮在悠闲地转动。在第一学段的教材中提供的也正是这样一些实例。但是因为这些实例的局限性，影响概念的科学构建。通过前测我发现学生能够比较准确的判断生活中的旋转现象。但是通过进一步访谈，发现有的相当一部分学生认为“钟摆没有转一圈，所以不是旋转，应该是平移”。分析其原因，由于在第一学段学习时，教材提供的具体实例都是物体围绕一个点或一个轴作整圆周运动，这样给部分学生造成认识上的误区，认为只有转一圈才是旋转，即旋转就是转圈。实际钟摆的运动属于钟摆围绕一个点作局部的圆周运动,也应该属于旋转的范畴。
儿童的抽象思维需要具体形象思维与生活经验给与支撑，对感知图形变换这样的抽象概念尤其需要。小学阶段关于图形变换的教学定位在于积累感性体验，形成初步认识。如果选取例子不够典型或者具有局限性，就容易屏蔽概念本质，有时还可能产生歧义，不利于学生形成正确表象。
于是，我增加了一些旋转角度非360°的实例，如道闸、钟摆等。
三、巧设教具，突破难点
钟摆运动方式是什么？使学生乃至我们教师都有困惑的问题。解决这个问题会加深学生对旋转含义的理解。该如何突破这个问题呢？我结合自制学具——细绳的一端系上一个白色的粉笔头,一只手捏住细绳的另一端慢慢地小幅度地摇晃，并在黑板上渐渐形成一个圆形的运动轨道(教师边摇晃粉笔边顺势在黑板上画出它的运动轨迹)，请学生说一说,通过刚才的观察，现在你觉得钟摆的运动方式是平移还是旋转？为什么？这时学生一致认为钟摆的运动方式应该是旋转，因为它是围绕一个点在做圆周运动，只是它旋转了其中的一小部分。钟摆可以分解成向左摆动时在做顺时针旋转，向右摆动时在做逆时针旋转。
我的再思考：本节课如何在教学实施中，根据课程标准学段目标，更好地从“衔接”着眼改进教学，能够使学生感悟。
【评析教师】
吴正宪（北京教科院，数学特级教师）
王彦伟（北京东城区教研中心教研员，中学高级教师）
韩玉娟（北京市一师附小，中学高级教师）
【评析文本】
“图形的旋转”是人教义务教育课程标准实验教材数学五年级下册第一单元的教学内容，是课程标准新增的知识。从课程标准的要求上来看,小学阶段只是初步认识图形的变换。通过此内容的学习，可以帮助学生从运动变换的角度去认识周围的事物，发展空间观念和几何直觉，感受数学与现实世界的联系，体验学习“空间与图形”的乐趣。东城教师研修中心王彦伟老师设计的“图形的旋转”一课是2010年北京市教学设计评选中数学学科中的优秀作品。教学设计以新课程理念为指导，关注学段衔接，基于学生需求，将多种活动有机结合，观察、操作、想象、思维并重。具有以下几个突出的特点：
1.立足学段衔接，有效使用教材
本节课教师注重整体把握课标的学段要求及教材的结构体系，一方面注重关注新旧知识的联结点，将原有知识、经验作为学习新知的推动，另一方面注重从单元目标中合理分割课时目标，将教学重点定位在对图形旋转特征和性质的理解感悟上，没有处理在方格纸上画出三角形旋转90°后的图形，而是下放到后面的课时学习，本节课只要求学生利用手中的学具在方格纸上摆出三角形旋转90°后的图形。这样安排，既分散了难点，学生对旋转的含义理解清晰，探索图形旋转的特征与性质的活动落实，为接下来学习在方格纸上画图奠定了坚实的基础，又使学生有足够的时间去学习画法，切实形成技能，使学生在40分钟的学习中学有侧重，也为学生后继进入初中学习旋转，探索它的基本性质做了很好的孕伏。
2.基于学生需求，选取恰当素材
本节课的一个突出特点是基于学生的问题，准确把握教学的起点。学生在二年级的学习中已通过生活中的旋转实例初步感知了旋转现象，对图形旋转的认知并非“空白”，教师通过前测，准确地了解到部分学生存在着物体以一个点或一个轴为中心进行整圆周运动才是旋转的认识偏差，很好地捕捉到学生的问题。小学阶段关于图形变换的教学，定位在积累感性体验，形成初步认识，如果选取例子不够典型或者具有局限性，就容易屏蔽概念本质，有时还可能产生歧义，不利于学生形成正确表象。为此在新课伊始教师有意识地选取了道闸、钟摆等旋转角度不是360°的实例作为教材的补充，使实例的选择更具典型性、全面性，有效地助推了学生对概念本质的把握，纠正了认识的偏差。从学生出发进行教学设计，才能确定教学的着力点，这样的教学才具有实效性。教师的智慧是点点滴滴的日积月累和锤炼的结晶，要拥有智慧，就要真正读懂学生。
3.多种活动结合，发展空间观念
图形的旋转对于帮助学生建立空间观念，掌握变换的数学思想方法有很大作用。
课标实验版教材不仅设计了看一看、做一做、画一画等丰富多彩的操作活动，而且还设计了需要学生想象、猜测和推理进行的探究活动，以使学生的空间想象力和思维能力得到充分的锻炼。本节课中，我们可以看到教师精心设计了多种探究活动，将观察想象、模拟操作、语言描述、绘制图形等多种学习活动有机结合，帮助学生认识旋转要素，感悟旋转性质，积累数学活动经验。这种先想象再操作的方法，不但适合小学高年级学生的年龄特点，培养了学生动态感知图形变换的能力，而且当操作的结果与自己的想象对接成功后，能使学生感受到自己有驾驭数学知识的能力，从而体验到想象带来的学习快感。在以上教学过程中，教师还特别注意充分利用语言工具，引导学生刻画图形特征，适时抽象概括，提升认识水平。多种活动的有机融合，有效地发展了学生的空间观念。
4.巧借自制教具，突破教学难点
早在十七世纪捷克著名教育家夸美纽斯就在他的《大教学论》中提出：“在尽可能的范围之内，一切事物都应尽力地放在感官的跟前。”知识是在感知的基础上形成和发展起来的，而教具的使用可以将知识具体化，便于学生对知识的掌握和理解。在这节课上，针对前测分析中发现的学生认为钟摆运动不是旋转的歧义，教师巧妙地利用简单的自制教具，在黑板上渐渐形成一个圆形运动轨迹，帮助学生认识钟摆运动是钟摆围绕一个点做的局部圆周运动，而且在摆动中既包含了顺时针旋转，同时也包含了逆时针旋转，巧妙地突破了难点，简单的教具发挥了不可替代的作用。因此，成功的课堂往往是多种教学手段的有机结合，灵活运用。
5．利用课堂生成，拓展学习资源
课堂教学是千变万化的，不期而至的意外生成，是新课程下数学教学中常常出现的场景，正如叶澜教授所说的：“课堂应是向未知方向挺进的旅行，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程。”本节课中，教师真诚尊重每一位学生，创设和谐民主的学习交流环境，巧妙利用“平面搬家”和“为什么一样长”等课堂上的预设外生成，鼓励学生用不同的路径去获取新知，并给予恰当引导，让学生的灵性真正得以释放，使这种生成拓展为促进学生学习的重要的资源，有效地促进了学生知识技能与情感态度的协调发展。
综上所述，本节课展示了王老师积极思考与探索的成果，是践行新课程理念的优秀教学设计。
&思考与活动
1.分析下面的教学案例：
这是人教版五年级《图形的旋转》中的一个教学片断：
⑴师：结合钟面，我们能够描述指针的旋转了，如果我们把指针看作一条线段，用OA来表示，想想看，线段能旋转吗？可以怎么旋转？拿出一支笔，用它来表示线段OA，感受一下都可以怎么旋转？（学生随意的转动铅笔）
师：把笔平放在桌面上不动了，说一说你的想法。
生：可以绕点O，也可以绕点A；可以顺时针旋转，也可以逆时针旋转。
⑵师：现在我们就一起来转转看
我说要求，大家来操作：
①绕点O顺时针旋转90度。
师：怎么旋转的，谁愿意到实投上演示一下？
师：旋转时，你始终按住一点，这个点是……?它在旋转的时候怎么样？（始终不动）
②绕点A顺时针旋转90度。
师：这一次又是怎么旋转的？
⑶师：把铅笔收好，这回我们不动手旋转了，直接看线段，想象一下，线段OA如果绕点A逆时针旋转90度会旋转到什么位置？想好了吗？你能把它画在方格纸中吗？拿出一号练习纸，自己来画一画。
生画，师采样。
活动提示与要求：
(1)阅读以上教学片断。
(2)思考：在这个片段中，笔的旋转对于学生理解线段的旋转有什么帮助？方格纸对于学生画图有什么帮助？在学生动手画线段旋转之前，教师先要求学生想象，有什么意义？
(3)讨论：操作在学生理解平移和旋转的过程中有什么作用？如何借助操作活动帮助学生积累几何活动经验，建立空间观念？
2.观察与思考：
(1)独立思考： 图一中花瓣图案是怎样形成的？经过怎样的变化得到右图？
　　　　　　　图二可能是由什么样的基本图形经过怎样的变换得到的？
(2)讨论：把你的想法与大家进行交流，看看哪些是你没有想到的？
(3)运用图形的平移和旋转设计一幅图案。
选择1个对您启发最大的内容，做一次教学实践（教学设计、教学案例、学生调研等）。
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