导数学习 - 吴玉珠的博客 - 栖霞研修博客 吴玉珠的博客 时 间 记 忆 最 新 评 论 专 题 分 类 最 新 日 志 最 新 留 言 用 户 登 录 友 情 连 接 15:00:31 | By: qzwuyuzhu ] 导数题是高考题中的常客，而且大都以压轴题的面目出现，所以拿下导数题是迈入高分段的标志。导数题虽年年有，但却悄然之中发生着些改变。这其中，尤以关于“任意”、“存在”的内容最为明显。“任意”、“存在”可以说是导数题最为明显的特色，从早期单一型，发展到现今的混合型。下面对此作一归纳。 &&& 一．单一函数单一“任意”型 例1．已知函数的最小值为,其中。 (1)求的值； (2)若对任意的,有成立,求实数的最小值。 解析：(1)，在单调递减，在单调递增，所 恒成立，即实数的最小值是。 “对任意的，恒成立”等价于“当时，”；“对任意的，恒成立”等价于“当时，”。 二．单一函数单一“存在”型 “存在，使得成立”等价于“当时，”；“存在，使得成立”等价于“当时，”。 三．单一函数双“任意”型 例3. 设函数。 （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若对任意及任意，恒有&成立，求实数的取值范围。 解析：（1），当，即时，&在上是减函数；当，即时，令，得或；令得。当，即时，令得或&令得。 综上，当时，在定义域上是减函数；当时，在和单调递减，在上单调递增；当时，在和单调递减，在上单调递 （2）由（1）知，当时，在上单调递减，当时，有最大值，当时，有最小值，，，&由得，所以。 点评：“任意，恒有”等价于“大于 ” 例4.已知函数。 （1）讨论函数的单调性； （2）设.如果对任意，，求的取值范围。 解析：（1）的定义域为（0，+∞）. ，当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；当-1＜＜0时，令=0，解得。则当时，＞0；时，＜0。故在单调增加，在单调减少。 （2）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而，等价于，。（*） 令，则（*）等价于在单调递减，即 。从而故a的取值范围为。&&&&&&&&&&&&&&&&&& &点评：本题容易得出的错误。因为等式两边都有变量，一边变化会引起另一边变化，这种情况要将等式两边移至一边，通过分离变量，来构造新的函数以达到解题的目的。 四．单一函数双“存在”型 五．双函数“任意”+“存在”型： 例5．已知函数，，若存在，对任意，总有成立，求实数m的取值范围。 解析：题意等价于在上的最大值大于或等于在上的最大值。 ，由得，或，当时， ，当时，所以在（0，1）上，。又在上的最大值为，所以有，所以实数的取值范围是。 点评：，使得成立。同样，，使得成立。 ，令，即，解得：， 的单增区间为；单调减区间为和。 （2）由（1）可知当时，单调递增，当时，，即；时，，单调递减， 时，，即，又 六．双函数“任意”+“任意”型 例7．设，． （1）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数； （2）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围。 解析：（1）存在，使得成立等价于。 由，可得在单调递减，在上单调递增，所以= ，，所以，从而满足条件的最大整数。 （2）由，得在上的最大值为1.则对任意的，都有成立等价于对恒成立，也等价于对恒成立。 记，，。记，，由于，, 所以在上递减，当时，，时，，即函数在区间上递增，在区间上递减，所以，所以。 点评：，使得成立 七．双函数“存在”+“存在”型 例8．已知函数，。若存在，，使，求实数取值范围。 解析：，在上单调递增，在上单调递减，。依题意有，所以。又， 从而或，解得。即实数取值范围是。 &&& 点评：，使得成立，同样，使得成立。 例9．已知函数，。是否存在实数，存在，，使得成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 解析：在上是增函数，故对于，. 设，当时，。 要存在，使得成立，只要， 考虑反面，若，则& 或，解得 或。从而所求为 点评：“，使得成立”等价于“的值域与的值域相交非空”。 从以上例题可以看出，导数题的发展轨迹是从单一函数往双函数发展，从单一变量往双变量甚至是多变量发展，从单一任意或存在往任意存在混合上发展。不管怎样发展，它们的基础还是单函数的任意与存在性问题。对于两个函数的问题，虽然以上例题归纳得很清楚，但真正解题中，往往还是容易迷惑。我们知道，面对两个或多个变量的时候，可以先把其中的一个当成是变量，其它的当成是常量，这样就把问题转化为单变量的常规题了。这里同样可以采取类似的方法，在和中，依次把一个当成是常量，另一个当成是变量，这样就把问题转化成了前面熟悉的单函数单任意（或存成）题了。比如“，使得成立”，就可以先把当成是常量，“，使得成立”等价于，再反过来，再把当成是常量，“，使得成立”等价于，综合以上两方面，就得出了“，使得成立”的正确结论。 阅读全文(68) | 标签： 上一篇： 后，你将出现在这里分类讨论在导数中的应用导学案& 分类讨论在导数中的应用 ①通过利用导数求函数的极值、最值、单调区间等问题对字母参数进行分类讨论 ②培养学生对字母参数进行分类讨论的能力 培养学生分类讨论的意识 运用分类讨论解题的基本环节 如何对参数有效合理的分类 合作探究式教学 掌握常见的分类讨论的方法与思想并应用，能根据所给出的研究对象按照某个标准分类来解决不定问题。 分类讨论思想，近几年在高考中频繁出现，已成为了高考命题的一个热点，其中含有参数的函数性质问题是考查的重点。 多媒体辅助教学& 教&&&&&& 学&&&&&&& 设&&&&&&&& 计& 本节课我们主要学习如何用分类讨论的方法来解决含参数的导数问题&。 明确学习目标 基& 础&& 自&& 测 1．函数,求它的单调增区间＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 2．函数在其定义域内有极值点，求a的范围。 分类讨论在导数中的应用导学案分类讨论在导数中的应用导学案 学生自主完成，教师讲评引导 为课堂进一步探究做好准备。 典&&&&&&&&&&&& 型&&&&&&&&&&&& 例&&&&&&&&&&&&&&&&&& 题 【例1】讨论函数的单调性。 【例2】：若函数，求在区间上的最小值。 分类讨论在导数中的应用导学案文章分类讨论在导数中的应用导学案出自 学生分析解题过程，老师板书主要步骤 学生分组讨论，形成解题思路，师生共同完成解题过程。 通过例题的讲解，让学生进一步领会分类讨论的思想，提高分类讨论解题的中综合能力 分类讨论在导数中的应用导学案阅读答案 在利用导数求函数极值、最值及单调区间等 问题时，若导函数是一个含有参数的一元二次函数，我们需对参数进行分类讨论。通过本节课的学习,你的收获是什么？ 谈谈本节课的收获 反思感悟，通过小结，是学生对于分类讨论在导数中的应用有个系统全面的认识 （2010年山东卷）已知函数.当时，讨论的单调性； 加深知识的巩固与落实，体验高考。 使学生感受高考，增强信心。 导数求参数范围由小学生作文网()收集整理,转载请注明出处!原文地址 频道推荐文章 频道本月排行 随机推荐文章 Copyright (C) 2006 - 2016 All Rights Reserved当前位置： >> 导数重要题型 导数重点题型 1.函数恒成立问题， 都是函数最值问题 （把范围已知字母当成自变量） ? f ( x ) ? 0, x ? [m , n ] ? ? f (x) ? ? f (x1f ( x ) min ? 0 ? f ( x ) ? g ( x ) ? 0 （ f ( x )图像在 g ( x ) 上方g (x)
x ? [m , n] ? h( x)mi n）) ? g ( x 2 ), ? x1 , x 2 ? [ m , n ] ? f ( x1 ) min ? g ( x 2 ) max④ | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? a ? f ( x ) max 与 f ( x ) min 之差 ⑤ ? x1 ? [ m , n ], ? x 2 ? ?m , n ?总有 g ? x1 ? ? h ? x 2 ? ? g ? x1 ? max ? h ? x 2 ? max2.已知函数在某区间单调性，字母范围。 ?[a , b ] ?f (x) ? 0'?恒成立a ? g ? x ? ? a ? g ? x ?ma x或者a ? g ? x ? ? a ? g ? x ? min3.根的分布问题 ?三个交点 极大值&0 极小值&0 ?一个交点 ?二个交点 极大值&0 或极小值&03 2 1 已知函数 f ( x ) ? a x ? b x ? 3 x 在 x ? ? 1 处取得极值。（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的解析式； （Ⅱ）求证：对于区间 [ ? 1,1] 上任意两个自变量的值 x 1 , x 2 ，都有 | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? 4 ； （Ⅲ）若过点 A (1, m ) 可作曲线 y ? f ( x ) 的三条切线，求实数 m 的取值范围。 【解析】 （Ⅰ） f ' ( x ) ? 3 ax ? 2 bx ? 3 ，依题意， f ' (1) ? f ' ( ? 1) ? 0 ， …………1 分2即??3a ? 2b ? 3 ? 0 ?3a ? 2b ? 3 ? 0，解得 a ? 1, b ? 0 ,? f ( x ) ? x ? 3 x3…………………3 分经检验符合。 （Ⅱ）? f ( x ) ? x ? 3 x ,? f ' ( x ) ? 3 x ? 3 ? 3 ( x ? 1)( x ? 1)3 3当 ? 1 ? x ? 1 时， f ' ( x ) ? 0 ，故 f ( x ) 在区间 [ ? 1,1] 上为减函数，f max ( x ) ? f ( ? 1) ? 2 , f min ( x ) ? f (1) ? ? 2……………………5 分∵对于区间 [ ? 1,1] 上任意两个自变量的值 x 1 , x 2 ， 都有 | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? | f max ( x ) ? f min ( x ) |?| f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? | f max ( x ) ? f min ( x ) | ? | 2 ? ( ? 2 ) | ? 4…………………………7 分（Ⅲ） f ' ( x ) ? 3 x ? 3 ? 3 ( x ? 1)( x ? 1) ，2∵曲线方程为 y ? x ? 3 x ，∴点 A (1, m ) 不在曲线上，3设切点为 M(x0,y0)，则点 M 的坐标满足 y 0 ? x 0 ? 3 x 0 。3因 f ' ( x 0 ) ? 3 ( x 0 ? 1) ，故切线的斜率为 3 ( x 0 ? 1) ?22x0 ? 3 x0 ? m3x0 ? 1，整理得 2 x 0 ? 3 x 0 ? m ? 3 ? 0 。3 2 3 2 ∵ 过 点 A(1,m) 可 作 曲 线 的 三 条 切 线 ∴ 关 于 x 0 的 方 程 2 x 0 ? 3 x 0 ? m ? 3 ? 0 有 三 个 实根. ……………………9 分3 2 设 g ( x 0 ) ? 2 x 0 ? 3 x 0 ? m ? 3 ，则 g ? ( x 0 ) ? g x 0 ? 6 x 0 ，22.已知函数 f ( x ) ? ln x ?a x, g ( x ) ? f ( x ) ? ax ? 6 ln x ，其中 a ? R .（Ⅰ）讨论 f ( x ) 的单调性； （Ⅱ）若 g ( x ) 在其定义域内为增函数，求正实数 a 的取值范围； （Ⅲ）设函数 h ( x ) ? x ? mx ? 4 , 当 a ? 2 时，若 ? x1 ? ( 0 ,1) ， ? x 2 ? [1, 2 ] ，总有2g ( x 1 ) ? h ( x 2 ) 成立，求实数 m 的取值范围．21、 【解题指导】 （1）第 1 问，一般利用导数来求函数的单调性，注意分类讨论； （2）第 2 问，一般转化为一个恒成立问题解决，最好利用分离参数法解答； （3）第 3 问实际上就是 最值问题，等价于“ g ( x ) 在 ( 0 ,1) 上的最大值不小于 h ( x ) 在 [1, 2 ] 上的最大值”，所以先分 别求出两个函数的最大值即可。 【解析】 （Ⅰ） f ( x ) 的定义域为 ( 0 , ?? ) ，且 f ' ( x ) ?x? a x2，--------1分 ----2 分①当 a ? 0 时， f ' ( x ) ? 0 ， f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上单调递增； ②当 a ? 0 时，由 f ' ( x ) ? 0 ，得 x ? ? a ；由 f ' ( x ) ? 0 ，得 x ? ? a ； 故 f ( x ) 在 ( 0 , ? a ) 上单调递减，在 ( ? a , ?? ) 上单调递增. （Ⅱ） g ( x ) ? ax ?a x ? 5 ln x ， g ( x ) 的定义域为 ( 0 , ?? )----4 分g '(x) ? a ?a x2?5 x?ax2? 5x ? a x2-----5 分因为 g ( x ) 在其定义域内为增函数，所以 ? x ? ( 0 , ?? ) ， g ' ( x ) ? 05x x ?12? ax2? 5 x ? a ? 0 ? a ( x ? 1) ? 5 x ? a ?2? a ?? 5x ? ? x2 ? 1? ? ? max而5x x ?12?5 x? 1 x?5 2，当且仅当 x ? 1 时取等号，所以 a ?5 2---8 分2 x（Ⅲ）当 a ? 2 时， g ( x ) ? 2 x ?1 2? 5 ln x ， g ' ( x ) ?2x ? 5x ? 22x2由 g '(x) ? 0 得 x ?1或x ? 21当 x ? ( 0 , ) 时， g ' ( x ) ? 0 ；当 x ? ( ,1 ) 时， g ' ( x ) ? 0 .2 2所以在 ( 0 ,1) 上， g ( x ) max ? g ( ) ? ? 3 ? 5 ln 221----10 分而“ ? x 1 ? ( 0 ,1) ， ? x 2 ? [1, 2 ] ，总有 g ( x 1 ) ? h ( x 2 ) 成立”等价于 “ g ( x ) 在 ( 0 ,1) 上的最大值不小于 h ( x ) 在 [1, 2 ] 上的最大值” 而 h ( x ) 在 [1, 2 ] 上的最大值为 max{ h (1), h ( 2 )}? 1 g ( ) ? h (1 ) ? ? 2 所以有 ? ? g ( 1 ) ? h(2) ? 2 ?-------------------------12 分? m ? 8 ? 5 ln 2 ? ? 3 ? 5 ln 2 ? 5 ? m ? ? ? ? m ? 8 ? 5 ln 2 ? ? 1 ? ? 3 ? 5 ln 2 ? 8 ? 2 m ? m ? (11 ? 5 ln 2 ) 2 ?所以实数 m 的取值范围是 [ 8 ? 5 ln 2 , ? ? ) ----------------------------------13 分3.已知函数 f ( x ) ? ln ( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 ， （1）求函数 f ( x ) 的单调区间； （2）若 f ( x ) ? 0 恒成立，试确定实数 k 的取值范围； 解析:该题通过求函数 f ( x ) 的单调区间考查用导数研究函数的单调性、对数函数性质、 导数的运用、分类讨论;通过研究不等式 f ( x ) ? 0 恒成立考查单调性在不等式方面的应用; 解:（1） f ( x ) ?''1 x ?1? k , ( x ? 1) ,所以,'当 k ? 0 时 , f ( x ) ? 0; 当 k ? 0 时 ,由 f ( x ) ? 0 得: x ? 1 ?当 k ? 0 时 f ( x ) 在 ? 1, ? ? ? 上为增函数；1 k, 所以,1 ? 1 ? ? ? 当 k ? 0 时 f ( x )在 ? 1 ,?1 ? 上为增函数；在 ? 1 ? , ? ? ? 上为减函数； k ? k ? ? ?[来源:高&考%资(源#网 ]（2）因为 f ( x ) ? 0 恒成立,所以, ? x ? 1, ln ( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 ? 0,? ? x ? 1, ln ( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1, 所以,k&0,4.设函数 f ( x ) ? x ? 3 a x ? b ( a ? 0 ) .3（Ⅰ）若曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2 , f ( x )) 处与直线 y ? 8 相切，求 a , b 的值； （Ⅱ）求函数 f ( x ) 的单调区间与极值点. 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、 解不等式等基础知识， 考查 综合分析和解决问题的能力． （Ⅰ） f ? x ? ? 3 x ? 3 a ,' 2∵曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2 , f ( x )) 处与直线 y ? 8 相切，? f ? ∴? ? f ?'? ? a ? 4, ?3 ? 4 ? a ? ? 0 ? ? ? ? ?2? ? 8 ?8 ? 6 a ? b ? 8 ?b ? 24. ? 0' 2?2? ?（Ⅱ）∵ f ? x ? ? 3 ? x ? a ? ? a ? 0 ? , 当 a ? 0 时， f ? x ? ? 0 ，函数 f ( x ) 在 ? ? ? , ? ? ? 上单调递增，'此时函数 f ( x ) 没有极值点. 当 a ? 0 时，由 f ? x ? ? 0 ? x ? ? a ，'当 x ? ? ? ? , ? a ? 时， f ? x ? ? 0 ，函数 f ( x ) 单调递增，'当 x ? ? ? a , a ? 时， f ? x ? ? 0 ，函数 f ( x ) 单调递减，'当 x ? ? a , ? ? ? 时， f ? x ? ? 0 ，函数 f ( x ) 单调递增，'∴此时 x ? ? a 是 f ( x ) 的极大值点， x ?a 是 f ( x ) 的极小值点.5..设函数 f ( x ) ?1 3x ? (1 ? a ) x ? 4 a x ? 2 4 a ，其中常数 a&13 2(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若当 x≥0 时，f(x)&0 恒成立，求 a 的取值范围。 解析 本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值， 由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。 解析2 （I） f ? ( x ) ? x ? 2 (1 ? a ) x ? 4 a ? ( x ? 2 )( x ? 2 a )由 a ? 1 知，当 x ? 2 时， f ? ( x ) ? 0 ，故 f ( x ) 在区间 ( ?? , 2 ) 是增函数； 当 2 ? x ? 2 a 时， f ? ( x ) ? 0 ，故 f ( x ) 在区间 ( 2 , 2 a ) 是减函数； 当 x ? 2 a 时， f ? ( x ) ? 0 ，故 f ( x ) 在区间 ( 2 a , ?? ) 是增函数。 综上，当 a ? 1 时， f ( x ) 在区间 ( ?? , 2 ) 和 ( 2 a , ?? ) 是增函数，在区间 ( 2 , 2 a ) 是减函数。 （II）由（I）知，当 x ? 0 时， f ( x ) 在 x ? 2 a 或 x ? 0 处取得最小值。f (2a ) ?? ? 4 3f ( 0 ) ? 24 a1 3( 2 a ) ? (1 ? a )( 2 a ) ? 4 a ? 2 a ? 24 a3 22a3? 4a? 24 a由假设知?a ? 1 ? ? f (2 a ) ? 0, ? f (0) ? 0, ?? a ? 1, ? ? 4 即 ? ? a ( a ? 3 )( a ? 6 ) ? 0 , ? 3 ? 24 a ? 0 . ?解得 1&a&66. 已知函数 f ( x ) ? x ?2 x? a ( 2 ? ln x ), ( a ? 0 ) ，讨论 f ( x ) 的单调性.本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思 想方法和运算求解的能力。本小题满分 12 分。 解析f ( x ) 的定义域是(0,+ ? ), f ? ( x ) ? 1 ?2 x2?a x?x ? ax ? 22x22.设 g ( x ) ? x ? a x ? 2 ,二次方程 g ( x ) ? 0 的判别式 ? ? a ? 8 .22 当 ? ? a ? 8 ? 0 ，即 0 ? a ? 22 时 ， 对 一 切 x ? 0 都 有 f ?( x ) ? 0 , 此 时 f ( x ) 在(0, ? ? ) 上是增函数。2 ①当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 时，仅对 x ?2 有 f ? ( x ) ? 0 ,对其余的 x ? 0 都有f ? ( x ) ? 0 ,此时 f ( x ) 在 (0, ? ? ) 上也是增函数。① 当 ? ? a ? 8 ? 0 ，即 a ? 2 2 时，2方程 g ( x ) ? 0 有两个不同的实根 x1 ?xa?a ?822, x2 ?x2a?a ?822, 0 ? x1 ? x 2 .( 0 , x1 )x1( x1 , x 2 )(x 2 , ?? )f ?( x ) f (x)+ 单调递增 ?a?20 极大a ?8 2_ 单调递减 ?0 极小a? a ?82+ 单调递增a? a ?82此时 f ( x ) 在 ( 0 ,) 上单调递增, 在 (,) 是上单调递减,22在(a?a ?82, ? ? ) 上单调递增.27. 已知函数 （Ⅰ）讨论 的单调性； 在区间{1，，a＞0，（Ⅱ）设 a=3，求}上值域。期中 e=2.71828?是自然对数的底数。【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。2 第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数 f ( x ) 在 ?1, e ? 上的值域。 ? ?解析 令t ?1 x(1)由于 f ( x ) ? 1 ?22 x2?a x得 y ? 2 t ? a t ? 1( t ? 0 )2 ①当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 0 ? a ? 2 2 时, f ( x ) ? 0 恒成立.? f ( x ) 在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数.②当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 时2由 2t ? at ? 1 ? 0 得 t ?2a?a ?82或t ?a?a ?824 a? a ?824 a? a ?82?0? x ?或x ? 0 或x ?44又由 2 t ? a t ? ? 0 得2a?a ?82?t ?a?a ?82?a?a ?82? x ?a?a ?824422综上①当 0 ? a ? 2 2 时, f ( x ) 在 ( ? ? , 0 ) 及 (0, ? ? ) 上都是增函数.a? a ?82②当 a ? 2 2 时, f ( x ) 在 (,a?a ?82) 上是减函数,2 a? a ?822 a ?82在 ( ? ? , 0 )( 0 ,)及 (a?, ? ? ) 上都是增函数.22(2)当 a ? 3 时,由(1)知 f ( x ) 在 ?1, 2 ? 上是减函数.2 在 ? 2 , e ? 上是增函数. ? ?又 f (1) ? 0, f ( 2 ) ? 2 ? 3 ln 2 ? 0 f ( e ) ? e ?2 22 e2?5? 02 ? ? 2 2 ? 函数 f ( x ) 在 ?1, e ? 上的值域为 2 ? 3 l n 2 , e ? 2 ? 5 ? ? ? ? e ? ?8.设函数 f ( x ) ? x ?39 2x ? 6x ? a ．2（1）对于任意实数 x ， f ? ( x ) ? m 恒成立，求 m 的最大值； （2）若方程 f ( x ) ? 0 有且仅有一个实根，求 a 的取值范围． 解析 (1) f ( x ) ? 3 x ? 9 x ? 6 ? 3( x ? 1)( x ? 2 ) ,' 2因为 x ? ( ? ? , ? ? ) , f ( x ) ? m , 即 3 x ? 9 x ? (6 ? m ) ? 0 恒成立,' 2所以 ? ? 8 1 ? 1 2 (6 ? m ) ? 0 , 得 m ? ?'3 4，即 m 的最大值为 ?'3 4'(2) 因为 当 x ? 1 时, f ( x ) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, f ( x ) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ( x ) ? 0 ; 所以 当 x ? 1 时, f ( x ) 取极大值 f (1) ?5 2 ?a;当 x ? 2 时, f ( x ) 取极小值 f ( 2 ) ? 2 ? 故当 f ( 2 ) ? 0 或 f (1) ? 0 时, 方程 f ( x ) ? 0 仅有一个实根. 解得 a ? 2 或 a ?5 2.9.设函数 f ( x ) ? ?1 3x ? x32? (m2? 1) x , ( x ? R , ) 其中 m ? 0（Ⅰ）当 m ? 1时，曲线 y ? f ( x ) 在点（ 1， f （1）） 处的切线斜率 （Ⅱ）求函数的单调区间与极值； （Ⅲ）已知函数 f ( x ) 有三个互不相同的零点 0， x 1 , x 2 ，且 x 1 ? x 2 。若对任意的x ? [ x 1 , x 2 ] ， f ( x ) ? f (1) 恒成立，求 m 的取值范围。答案（1）1（2） f ( x ) 在 ( ?? ,1 ? m ) 和 (1 ? m , ?? ) 内减函数，在 (1 ? m ,1 ? m ) 内增函2 3 m3数。函数 f ( x ) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m ) ，且 f (1 ? m ) = 函数 f ( x ) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m ) ，且 f (1 ? m ) = ? 解析 解析 当 m ? 1时， f ( x ) ?1 3 x ? x , f (x) ? x3 2 / 2? m22?1 32 3m3? m'?1 3? 2 x , 故 f (1) ? 1所以曲线 y ? f ( x ) 在点（ 1， f （1）） 处的切线斜率为 1. （2）解析f (x) ? ? x' 2? 2x ? m2? 1 ，令 f ( x ) ? 0 ，得到 x ? 1 ? m , x ? 1 ? m'因为 m ? 0 , 所以 1 ? m ? 1 ? m 当 x 变化时， f ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表：x' '( ?? ,1 ? m )1? m(1 ? m ,1 ? m )1? m(1 ? m , ?? )f (x)+0-0+f (x)极小值极大值f ( x ) 在 ( ?? ,1 ? m ) 和 (1 ? m , ?? ) 内减函数，在 (1 ? m ,1 ? m ) 内增函数。函数 f ( x ) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m ) ，且 f (1 ? m ) =2 3m3? m32?21 3函数 f ( x ) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m ) ，且 f (1 ? m ) = ? （3）解析 所以方程 ?? ?1? 4 3 (m22 3m? m?1 3由题设， f ( x ) ? x ( ?1 32 21 3x2? x? m2? 1) ? ?1 3x ( x ? x 1 )( x ? x 2 )x ? x ? m ? 1 =0 由 两 个 相 异 的 实 根 x 1 , x 2 ， 故 x 1 ? x 2 ? 3 ， 且 1 2 3 2 ( 舍 )， m ? 1 2 ?1? 1 ) ? 0 ，解得 m ? ?因为 x 1 ? x 2 , 所以 2 x 2 ? x 1 ? x 2 ? 3 , 故 x 2 ? 若 x 1 ? 1 ? x 2 , 则 f (1) ? ?1 3(1 ? x 1 )( 1 ? x 2 ) ? 0 ，而 f ( x 1 ) ? 0 ，不合题意若 1 ? x1 ? x 2 , 则对任意的 x ? [ x 1 , x 2 ] 有 x ? x 1 ? 0 , x ? x 2 ? 0 , 则 f ( x ) ?? ?1 3 x ( x ? x 1 )( x ? x 2 ) ? 0 又 f ( x 1 ) ? 0 ， 所以函数 f ( x ) 在 x ? [ x 1 , x 2 ] 的最小 值 为 0 ， 于 是 对 任 意 的 x ? [ x 1 , x 2 ] ， f ( x ) ? f (1) 恒 成 立 的 充 要 条 件 是1 3f (1 ) ? m2?? 0 ,解得 ?3 3? m ?3 33 2 10. 已 知 函 数 f ( x ) ? x ? 2 b x ? cx ? 2 的 图 象 在 与 x 轴 交 点 处 的 切 线 方 程 是y ? 5 x ? 10 。（I）求函数 f ( x ) 的解析式； （II）设函数 g ( x ) ? f ( x ) ?1 3g ( x ) 取得极值时对应的自变量 x 的值.m x ，若 g ( x ) 的极值存在，求实数 m 的取值范围以及函数解析（I）由已知,切点为(2,0),故有 f ( 2 ) ? 0 ,即 4 b ? c ? 3 ? 0 ??①2 又 f ? ( x ) ? 3 x ? 4 b x ? c ，由已知 f ? ( 2 ) ? 1 2 ? 8 b ? c ? 5 得 8 b ? c ? 7 ? 0 ??②联立①②，解得 b ? ? 1, c ? 1 . 所以函数的解析式为 f ( x ) ? x ? 2 x ? x ? 23 2?????????????4 分（II）因为 g ( x ) ? x ? 2 x ? x ? 2 ?3 21 3mx令 g ?( x ) ? 3 x ? 4 x ? 1 ?21 3m ? 02当函数有极值时，则 ? ? 0 ，方程 3 x ? 4 x ? 1 ? 由 ? ? 4 (1 ? m ) ? 0 ，得 m ? 1 . ①当 m ? 1 时， g ? ( x ) ? 0 有实数 x ? 无极值 ②当 m ? 1 时， g ? ( x ) ? 0 有两个实数根x1 ?x1 3m ? 0 有实数解，2 3，在 x ?2 3左右两侧均有 g ? ( x ) ? 0 ，故函数 g ( x )1 3(2 ?1 ? m ), x 2 ?( ? ? , x1 )1 3(2 ?x11 ? m ), g ? ( x ), g ( x ) 情况如下表：( x1 , x 2 )x2( x2 ? ? )g ?( x )g (x)+ J0 极大值K0 极小值+ J所以在 m ? ( ? ? ,1) 时，函数 g ( x ) 有极值； 当x ?1 3 (2 ? 1 ? m ) 时， g ( x ) 有极大值；当 x ? 1 3 (2 ? 1 ? m ) 时， g ( x ) 有极小值；?????????????12 分11.已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? x ? 1 ， a ? R ．3 2（Ⅰ）讨论函数 f ( x ) 的单调区间；1? ? 2 ? （Ⅱ）设函数 f ( x ) 在区间 ? ? ， ? 内是减函数，求 a 的取值范围． 3? ? 3解析 当a2（1） f ( x ) ? x ? a x ? x ? 1 求导： f ? ( x ) ? 3 x ? 2 a x ? 13 2 2≤ 3 时， ? ≤ 0 ， f ? ( x ) ≥ 0 ， f ( x ) 在 R 上递增当a2? 3 ， f ? ( x ) ? 0 求得两根为 x ??a ? 3a ?322 ? ? ?a ? a2 ? 3 ?a ? a2 ? 3 ? ?a ? a ? 3 ? ， 即 f (x) 在? ?? ， ? 递增， ? ? 递减， ? ? ? ? 3 3 3 ? ? ? ?? ?a ? a2 ? 3 ? ， ? ? 递增 ? ? ? ? 3 ? ?? ?a ? a2 ? 3 2 ≤ ? ? 7 ? 3 3 2 （2） ? ，且 a ? 3 解得： a ≥ 2 4 1 ? ?a ? a ? 3 ≥ ? ? 3 3 ?12.已知函数 f ( x ) ? x ? 3 a x ? 1, a ? 03??? 求 ? ?? ? 若f ( x ) 的单调区间； f ( x ) 在 x ? ? 1 处取得极值， 直线 y=my 与 y ? f ( x ) 的图象有三个不同的交点， 求m 的取值范围。 解析 （1） f ( x ) ? 3 x ? 3 a ? 3( x ? a ),' 2 2 '当 a ? 0 时，对 x ? R ，有 f ( x ) ? 0 , 当 a ? 0 时， f ( x ) 的单调增区间为 ( ? ? , ? ? )' 当 a ? 0 时，由 f ( x ) ? 0 解得 x ? ? a 或 x ?a ；' 由 f ( x ) ? 0 解得 ? a ? x ?a ，当 a ? 0 时 ， f ( x ) 的 单 调 增 区 间 为 ( ? ? , ? a ), ( a , ? ? ) ； f ( x ) 的 单 调 减 区 间 为(? a , a )。（2）因为 f ( x ) 在 x ? ? 1 处取得极大值，所以 f ( ? 1) ? 3 ? ( ? 1) ? 3 a ? 0,? a ? 1 .' 2所以 f ( x ) ? x ? 3 x ? 1, f ( x ) ? 3 x ? 3,3 ' 2由 f ( x ) ? 0 解得 x1 ? ? 1, x 2 ? 1 。'由（1）中 f ( x ) 的单调性可知， f ( x ) 在 x ? ? 1 处取得极大值 f ( ? 1) ? 1 ， 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ? 3 。 因为直线 y ? m 与函数 y ? f ( x ) 的图象有三个不同的交点，又 f ( ? 3 ) ? ? 1 9 ? ? 3，f (3) ? 1 7 ? 1 ，结合 f ( x ) 的单调性可知， m 的取值范围是 ( ? 3,1) 。1.设函数 f ( x ) ? x e2x ?1? a x ? b x ，已知 x ? ? 2 和 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点．3 2（Ⅰ）求 a 和 b 的值； （Ⅱ）讨论 f ( x ) 的单调性； （Ⅲ）设 g ( x ) ?2 3 x ? x ，试比较 f ( x ) 与 g ( x ) 的大小．3 22.已知函数 f ( x ) ?1 3a x ? b x ? x ? 3 ,其中 a ? 03 2（1） 当 a , b 满足什么条件时, f ( x ) 取得极值? （2） 已知 a ? 0 ,且 f ( x ) 在区间 ( 0 ,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围. 3.观察 ( x ) ? 2 x ， ( x ) ? 4 x , (co s x ) ' ? ? sin x ，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数2 ' 4 ' 2f ( x ) 满足 f ( ? x ) ? f ( x ) ，记 g ( x ) 为 f ( x ) 的导函数，则 g ( ? x ) =（A） f ( x )（B） ? f ( x )1? a x（C） g ( x )（D） ? g ( x )4..已知函数 f ( x ) ? 1 nx ? ax ? （Ⅰ）当 a ? ? 1时，求曲线 （Ⅱ）当 a≤1 2? 1( a ? R ).y ? f ( x ) 在点（ 2， f ( 2 )) 处的切线方程；时，讨论 f ( x ) 的单调性．5. 曲线 y ? x ? 1 1 在点 P (1 , 1 2 ) 处的切线与 y 轴交点的纵坐标是3(A)-93(B) -3(C) 9(D) 15 ）3 6.曲线 y ? x ? 2 x ? 4 在点 (1，) 处的切线的倾斜角为（A．30°B．45°C．60°D．120°3 2 7.已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? x ? 1 ， a ? R ．（Ⅰ）讨论函数 f ( x ) 的单调区间；? ? 2 32（Ⅱ）设函数 f ( x ) 在区间 ? ? 8.设函数 f ( x ) ?1 33， ?1? ? 内是减函数，求 a 的取值范围． 3?x ? (1 ? a ) x ? 4 a x ? 2 4 a ，其中常数 a ? 1(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若当 x≥0 时，f(x)&0 恒成立，求 a 的取值范围。w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m9.已知直线 y=x+1 与曲线 y ? ln ( x ? a ) 相切，则α 的值为( (A)1 10.曲线 y ?x 2x ?1) (D)-2(B)2(C) -1在点 ? 1,1 ? 处的切线方程为 B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? 4 y ? 5 ? 0 D.A. x ? y ? 2 ? 0x? 4y ?5 ? 011.设函数 f ? x ? ? x ? a In ? 1 ? x ? 有两个极值点 x1、 x 2 ，且 x1 ? x 22（I）求 a 的取值范围，并讨论 f ? x ? 的单调性； （II）证明： f ? x 2 ? ?1 ? 2 In 2w.w. w. k.s.5. u.c.o.m44 212.已知函数 f ( x ) ? 3 a x ? 2 (3 a ? 1) x ? 4 x （I）当 a ?1 6时，求 f ( x ) 的极值;（II）若 f ( x ) 在 ? ? 1,1 ? 上是增函数，求 a 的取值范围。 13. 若曲线 y ? x ? a x ? b 在点 ( 0 , b ) 处的切线方程式 x ? y ? 1 ? 0 ，则2（A） a ? 1, b ? 1 （C） a ? 1, b ? ? 1（B） a ? ? 1, b ? 1 （D） a ? ? 1, b ? ? 114. 已知函数 f ( x ) ? x ? 3 a x ? 3 x ? 13 2（Ⅰ）设 a ? 2 ，求 f ( x ) 的单调区间； （Ⅱ）设 f ( x ) 在区间（2,3）中至少有一个极值点，求 a 的取值范围.15.已知函数 f ( x ) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 . （Ⅰ）若 xf '( x ) ? x ? a x ? 1 ，求 a 的取值范围；2（Ⅱ）证明： ( x ? 1) f ( x ) ? 0 .16. 已知函数 f ( x ) ? x ? 3 a x ? (3 ? 6 a ) x +1 2 a ? 4 ? a ? R ?3 2(Ⅰ)证明：曲线 y ? f ( x ) 在 x ? 0 处 的 切 线 过 点 （ 2 ， 2 ） ；（Ⅱ）若f ( x ) 在 x ? x 0 处 取 得 最 小 值 ， x 0 ? 1 ， 3 ） ， a 的取值范围. （ 求23导数答案x ?1 2 2 1.解： （Ⅰ）因为 f ? ( x ) ? e ( 2 x ? x ) ? 3 a x ? 2 b x? xex ?1( x ? 2 ) ? x (3 a x ? 2 b ) ，又 x ? ? 2 和 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点，所以 f ? ( ? 2 ) ? f ? (1) ? 0 ，? ? 6 a ? 2 b ? 0， ? 3 ? 3 a ? 2 b ? 0，1 3 1 3x ?1 所以 f ? ( x ) ? x ( x ? 2 )(e ? 1) ，因此 ?解方程组得 a ? ? （Ⅱ）因为 a ? ?，b ? ?1 ． ，b ? ?1 ，令 f ? ( x ) ? 0 ，解得 x1 ? ? 2 ， x 2 ? 0 ， x 3 ? 1 ．1) ? 因为当 x ? ( ? ? ， 2 ) ? (0， 时， f ? ( x ) ? 0 ；0 ? 当 x ? ( ? 2，) ? (1， ? ) 时， f ? ( x ) ? 0 ．0 ? 所以 f ( x ) 在 ( ? 2，) 和 (1， ? ) 上是单调递增的； 1) ? 在 ( ? ? ， 2 ) 和 ( 0， 上是单调递减的．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知 f ( x ) ? x e2x ?1?1 3x ? x ，3 2故 f (x) ? g (x) ? x e2x ?1? x ? x (e3 2x ?1? x) ，令 h(x) ? ex ?1? x， ?1 ．则 h ?( x ) ? ex ?1令 h ? ( x ) ? 0 ，得 x ? 1 ，1 因为 x ? ? ? ? ，? 时， h ? ( x ) ≤ 0 ， 1 所以 h ( x ) 在 x ? ? ? ? ，? 上单调递减． 1 故 x ? ? ? ? ，? 时， h ( x ) ≥ h (1) ? 0 ；? 因为 x ? ?1， ? ? 时， h ? ( x ) ≥ 0 ， ? 所以 h ( x ) 在 x ? ?1， ? ? 上单调递增． ? 故 x ? ?1， ? ? 时， h ( x ) ≥ h (1) ? 0 ．2 所以对任意 x ? ( ? ? ， ? ) ，恒有 h ( x ) ≥ 0 ，又 x ≥ 0 ， ?因此 f ( x ) ? g ( x ) ≥ 0 ， 故对任意 x ? ( ? ? ， ? ) ，恒有 f ( x ) ≥ g ( x ) ． ? 2. 解: (1)由已知得 f '( x ) ? a x ? 2 b x ? 1 ,令 f ' ( x ) ? 0 ,得 a x ? 2 b x ? 1 ? 0 ,22f ( x ) 要取得极值,方程 a x ? 2 b x ? 1 ? 0 必须有解,22 2 所以△ ? 4 b ? 4 a ? 0 ,即 b ? a ,此时方程 a x ? 2 b x ? 1 ? 0 的根为2x1 ??2b ?4b ? 4 a2??b ?b ?a22aa, x2 ??2b ?4b ? 4 a2??b ?b ?a2,2aa所以 f '( x ) ? a ( x ? x1 )( x ? x 2 ) 当 a ? 0 时, x f’(x) f (x) (-∞,x1) ＋ 增函数 x1 0 极大值 (x1,x2) － 减函数 x2 0 极小值 (x2,+∞) ＋ 增函数所以 f ( x ) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.当 a ? 0 时, x f’(x) f (x) (-∞,x2) － 减函数 x2 0 极小值 (x2,x1) ＋ 增函数 x1 0 极大值 (x1,+∞) － 减函数所以 f ( x ) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.2 综上,当 a , b 满足 b ? a 时, f ( x ) 取得极值.(2)要使 f ( x ) 在区间 ( 0 ,1] 上单调递增,需使 f '( x ) ? a x ? 2 b x ? 1 ? 0 在 ( 0 ,1] 上恒成立.2即b ? ?ax 2?1 2x, x ? ( 0 ,1] 恒成立,所以 b ? ( ?2ax 2?1 2x) m ax设 g (x) ? ?ax 2?1 2x, g '( x ) ? ?1 aa 2?1 a1 2x2a(x ? ? 2x21 a),令 g '( x ) ? 0 得 x ?或x ? ?(舍去),当 a ? 1 时, 0 ?1 a? 1 ,当 x ? ( 0 ,1 a) 时 g '( x ) ? 0 , g ( x ) ? ?ax 2?1 2x 1单调增函数;当x? (1 a,1] 时 g '( x ) ? 0 , g ( x ) ? ?ax 2?单调减函数,2x所以当 x ?1 a时, g ( x ) 取得最大,最大值为 g (1 a)? ?a .所以 b ? ? a 当 0 ? a ? 1 时,1 a( 0 ,1] 上单调递增,当 x ? 1 时 g ( x ) 最大,最大值为 g (1) ? ?? 1 ,此时 g '( x ) ? 0 在区间 ( 0 , 1] 恒成立,所以 g ( x ) ? ?ax 2?1 2x在区间a ?1 2,所以 b ? ?a ?1 2综上,当 a ? 1 时, b ? ? 3.D当 0 ? a ? 1 时, b ? ?a ?1 24. 解： （Ⅰ） 当 a ? ? 1时， f ( x ) ? ln x ? x ?x ? x? 222 x? 1, x ? ( 0 , ?? ),所以f '(x) ?x2, x ? ( 0 ?, ?)因此， f （ 2）? 1， 即 又 曲线 y ? f ( x ) 在点（ 2， f ( 2 )) 处的切线斜率为f ( 2 ) ? ln 2 ? 2 ,1， .所以曲线y ? f ( x ) 在点（ 2， f ( 2 )) 处的切线方程为y ? (ln 2 ? 2 ) ? x ? 2 ,即 x ? y ? ln 2 ? 0 .（Ⅱ）因为f ( x ) ? ln x ? ax ?a ?1 x21? a x? 1，? x ?1? a x2所以f '(x) ?1 x? a ?? ?ax2x ? ( 0 , ?? ) ，令g ( x ) ? ax2? x ? 1 ? a , x ? ( 0 , ?? ),（1）当 a ? 0时 , h ( x ) ? ? x ? 1, x ? (0, ?? ) 所以，当 x ? (0,1)时 , h ( x ) ? 0, 此 时 f ?( x ) ? 0 ，函数 f ( x ) 单调递减； 当 x ? (1, ? ? ) 时， h ( x ) ? 0 ，此时 f ? ( x ) ? 0, 函 数 f ( x ) 单调递 （2）当 a ? 0时 , 由 f ?( x ) = 02 即 a x ? x ? 1 ? a ? 0 ，解得 x1 ? 1, x 2 ?1 a?1①当 a ?1 2时， x1 ? x 2 , h ( x ) ? 0 恒成立，此时 f ? ( x ) ? 0 ，函数 f ( x ) 在（0，+∞）上单调递减； ②当 0 ? a ?1 2 时, 1 a ?1 ? 1 ? 0x ? (0,1) 时， h ( x ) ? 0, 此 时 f ? ( x ) ? 0, 函 数 f ( x ) 单调递减；x ? (1,1 a? 1) 时， h ( x ) ? 0, 此 时 f ? ( x ) ? 0, 函 数 f ( x ) 单调递增；x?(1 a? 1, ? ? )时 , h ( x ) ? 0 ，此时 f ? ( x ) ? 0 ，函数 f ( x ) 单调递减；1 a ?1? 0③当 a ? 0 时，由于x ? (0,1) 时， h ( x ) ? 0 ，此时 f ? ( x ) ? 0 ，函数 f ( x ) 单调递减； x ? (1, ? ? ) 时， h ( x ) ? 0 ，此时 f ? ( x ) ? 0 ，函数 f ( x ) 单调递增。综上所述： 当 a ? 0 时，函数 f ( x ) 在（０，１）上单调递减； 函数 f ( x ) 在（１，＋∞）上单调递增；当a ?1 2时，函数 f ( x ) 在（0，+∞）上单调递减；1 2当0 ? a ?时，函数 f ( x ) 在（0，1）上单调递减；1 a ? 1) 上单调递增；函数 f ( x ) 在 (1, 函数 f ( x ) 在 ( 5.C1 a? 1, ? ? ) 上单调递减，/ 2 / 3 6. B 解析： y ? 3 x ? 2 , k ? y | x ? 1 ? 1, ? 曲线 y ? x ? 2 x ? 4 在点 (1，) 处的切线的倾斜角3? ? 4 5 ，选择 B；03 2 2 7. 解： （1） f ( x ) ? x ? a x ? x ? 1 求导： f ? ( x ) ? 3 x ? 2 a x ? 12 当 a ≤ 3 时， ? ≤ 0 ， f ? ( x ) ≥ 0 ， f ( x ) 在 R 上递增；2 当 a ? 3 ，由 f ? ( x ) ? 0 求得两根为 x ??a ? 3a ?32即 f ( x) 在? ?? ，? ???a ?2 ? ?a ? a2 ? 3 ?a ? a2 ? 3 ? a ?3 ? ， ? 递增， ? ? 递减， ? ? ? 3 3 3 ? ? ?? ?a ? a2 ? 3 ? ， ? ? 递增； ? ? ? ? 3 ? ?? ?a ? a2 ? 3 ?a ? a2 ? 3 ? 1? ? 2 ， ? f ( x ) 在区间 ? ? ， ? 内是减函数，? （2） （法一） ∵函数 ?递 ? ? 3? 3 3 ? 3 ? ?? ?a ? a2 ? 3 2 ≤ ? ? ? 3 3 2 减，∴ ? ，且 a ? 3 ，解得： a ≥ 2 。 2 1 ? ?a ? a ? 3 ≥ ? ? 3 3 ?（ 法 二 ） 只 需 3 x + 2 ax + 1 ? 0 在 区 间 (－22 3,－1 3）恒成立即可。令 g (x )= 3 x + 2 a x + 1 ,∴ 只 需 ： ? g (－ ? ? ? ? g (－ ? ? 2 3 1 3 )= 3 ? 1 9 ) ? 3? 4 9 － 2a ? 1 3 － 2a ? 2 3 +1 ? 0 +1 ? 0 7 ? ?a ? ∴? 4 ∴a ? 2 ?a ? 2 ?2∴ a 的 取 值 范 围 为 [2 ,+ ? )2 8. 解： （错误！未找到引用源。 f ? ( x ) ? x ? 2 (1 ? a ) x ? 4 a ? ( x ? 2 )( x ? 2 a ) ）w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m由 a ? 1 知，当 x ? 2 时， f ? ( x ) ? 0 ，故 f ( x ) 在区间 ( ?? , 2 ) 是增函数； 当 2 ? x ? 2 a 时， f ? ( x ) ? 0 ，故 f ( x ) 在区间 ( 2 , 2 a ) 是减函数； 当 x ? 2 a 时， f ? ( x ) ? 0 ，故 f ( x ) 在区间 ( 2 a , ?? ) 是增函数。 综上，当 a ? 1 时， f ( x ) 在区间 ( ?? , 2 ) 和 ( 2 a , ?? ) 是增函数，在区间 ( 2 , 2 a ) 是减函数。 （错误！ 未找到引用源。 由 ） （错误！ 未找到引用源。 知， x ? 0 时， f ( x ) 在 x ? 2 a ） 当 或 x ? 0 处取得最小值。f (2a ) ? 1 3? ? 4 3f ( 0 ) ? 24 a( 2 a ) ? (1 ? a )( 2 a ) ? 4 a ? 2 a ? 24 a3 2a3? 4a2? 24 a由假设知w.w.w. k.s.5. u.c.o.m?a ? 1 ? ? f (2 a ) ? 0, ? f (0) ? 0, ?? a ? 1, ? ? 4 即 ? ? a ( a ? 3 )( a ? 6 ) ? 0 , ? 3 ? 24 a ? 0 . ?解得 1&a&6故 a 的取值范围是（1，6）9. 解:设切点 P ( x 0 , y 0 ) ，则 y 0 ? x 0 ? 1, y 0 ? ln ( x 0 ? a ) ,又? y | x ? x ?'01 x0 ? a?1? x 0 ? a ? 1 ? y 0 ? 0, x10..B 解： y ? | x ? 1 ?0? ? 1 ? a ? 2 .故答案选 B2x ?1? 2x ( 2 x ? 1)2| x ?1 ? [ ?1 ( 2 x ? 1)2] | x ?1 ? ? 1 ,故选 B.故切线方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 1) ,即 x ? y ? 2 ? 011.解: （I） f ? ? x ? ? 2 x ?a 1? x?2x ? 2x ? a21? x( x ? ? 1)1 22 令 g ( x ) ? 2 x ? 2 x ? a ，其对称轴为 x ? ?。由题意知 x1、 x 2 是方程 g ( x ) ? 0 的两个 ，得 0 ? a ?1 2均大于 ? 1 的不相等的实根，其充要条件为 ??? ? 4 ? 8a ? 0 ? g ( ? 1) ? a ? 0⑴当 x ? ( ? 1, x1 ) 时， f ? ? x ? ? 0 ,? f ( x ) 在 ( ? 1, x1 ) 内为增函数； ⑵当 x ? ( x1 , x 2 ) 时， f ? ? x ? ? 0 ,? f ( x ) 在 ( x1 , x 2 ) 内为减函数； ⑶当 x ? ( x 2 , ? ? ) 时， f ? ? x ? ? 0 ,? f ( x ) 在 ( x 2 , ? ? ) 内为增函数； （II）由（I） g ( 0 ) ? a ? 0 ,? ?? f1 2 ? x2 ? 0 ， a ? ? (2 x2 2 22 2+2x2 )? x2 ? ?x 2 ? a ln ? 1 ? x 2 ? ? x 2 ? ( 2 x22 2+ 2 x 2 ) ln ? 1 ? x 2 ?1 2 )，设 h ? x ? ? x ? ( 2 x ? 2 x ) ln ? 1 ? x ? ( x ? ?则 h ? ? x ? ? 2 x ? 2 ( 2 x ? 1) ln ? 1 ? x ? ? 2 x ? ? 2 ( 2 x ? 1) ln ? 1 ? x ? ⑴当 x ? ( ?1 2 , 0 ) 时， h ? ? x ? ? 0 ,? h ( x ) 在 [ ? 1 2 , 0 ) 单调递增；⑵当 x ? ( 0 , ? ? ) 时， h ? ? x ? ? 0 ， h ( x ) 在 ( 0 , ? ? ) 单调递减。? 当 x ? (? 1 2 , 0 )时 , h ? x ? ? h ( ? 1 ? 2 In 2 4 1 2 )? 1 ? 2 ln 2 4故 f ? x2 ? ? h ( x2 ) ?．2 12. 解： （I） f ? ? x ? ? 4 ( x ? 1)(3 a x ? 3 a x ? 1).当a ?1 62 时， f ? ? x ? ? 2( x ? 2 ) ( x ? 1) ， f ? x ? 在 ( ? ? , -2 ) 内单调递减，在 (-2 , + ? ) 内单调递增， 在 x ? 2 时 f ? x ? 有极小值。所以， f ? -2 ? = -1 2 是 f ? x ? 的极小值。2 （ （II）在 -1 , 1 ） f ? x ? 单调递增当且仅当 f ? ? x ? ? 4 ( x ? 1)(3 a x ? 3 a x ? 1) ? 0， 上 即3ax ? 3ax ? 1 ? 0, ①2（1） 当 a ? 0 时 ① 恒成立；2 （2） 当 a ? 0 时 ① 成立，当且仅当 3 a ? 1 ? 3 a ? 1 ? 1 ? 0 . 解得 a ?1 6。（3） 当 a ? 0 时 ① 成立，即 3 a( x + 解得 a ? - 。3? 4 1?1 2) -23a 4-1 ? 0 成立，当且仅当 -3a 4-1 ? 0 .4综上， a 的取值范围是 ? - ， ? 。 ? 3 6?13. A。∵y? ? 2 x ? ax?0? a，∴ a ? 1 ， ( 0 , b ) 在切线 x ? y ? 1 ? 0 ，∴ b ? 13 )( x ? 2 ? 3)3 2 14. （Ⅰ）当 a=2 时， f ( x ) ? x ? 6 x ? 3 x ? 1, f ? ( x ) ? 3( x ? 2 ?当 x ? (?? , 2 ? 当 x ? (2 ? 当 x ? (2 ?3 ) 时 f ? ( x ) ? 0, f ( x ) 在 ( ? ? , 2 ? 3 ) 时 f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 在 ( 2 ?3 ) 单调增加； 3, 2 ? 3 ) 单调减少；3, 2 ?3 , ? ? ) 时 f ? ( x ) ? 0, f ( x ) 在 ( 2 ?3 , ? ? ) 单调增加； 3 ) 和 (2 ? 3, ?? ) ，综上所述， f ( x ) 的单调递增区间是 ( ? ? , 2 ?f ( x ) 的单调递减区间是 ( 2 ?2 2 （Ⅱ） f ? ( x ) ? 3[( x ? a ) ? 1 ? a ] ，3, 2 ?3)2 当 1 ? a ? 0 时， f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 为增函数，故 f ( x ) 无极值点；2 当 1 ? a ? 0 时， f ? ( x ) ? 0 有两个根x1 ? a ?a ? 1, x2 ? a ?2a ?12由题意知， 2 ? a ?a ? 1 ? 3, 或 2 ? a ?2a ?1 ? 32①式无解，②式的解为5 4? a ?5 3，因此 a 的取值范围是 ? 15. 解： （Ⅰ） f ? ( x ) ?x ?1 xx f ? ( x ) ? x ln x ? 1 ,?5 5? ， ?. ?4 3?? ln x ? 1 ? ln x ?1?，2 题设 xf ? ( x ) ? x ? a x ? 1 等价于 ln x ? x ? a .令 g ( x ) ? ln x ? x ，则 g ? ( x ) ?1 x?1' ' 当 0＜ x＜1 ， g ( x )＞ 0 ；当 x≥ 1 时， g ( x )≤ 0 ， x ? 1 是 g ( x ) 的最大值点，g ( x )≤ g (1) ? ? 1综上， a 的取值范围是 ? ? 1, ? ? ? . (Ⅱ)由（Ⅰ）知， g ( x )≤ g (1) ? ? 1 即 ln x ? x ? 1≤ 0 .当 0＜ x＜1 时， f ( x ) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 ? x ln x ? (ln x ? x ? 1)≤ 0 ； 当 x≥ 1 时，f ( x ) ? ln x ? ( x ln x ? x ? 1)? ln x ? x (ln x ? ? ln x ? x (ln≥01 x 1 x? 1) ? 1)1 x?所以 ( x ? 1) f ( x )≥ 02 16. 解： （I） f ? ( x ) ? 3 x ? 6 a x ? 3 ? 6 a.………………2 分由 f (0 ) ? 1 2 a ? 4, f ? (0 ) ? 3 ? 6 a 得曲线 y ? f ( x ) 在 x=0 处的切线方程为y ? (3 ? 6 a ) x ? 1 2 a ? 4由此知曲线 y ? f ( x ) 在 x=0 处的切线过点（2，2）2 （II）由 f ? ( x ) ? 0 得 x ? 2 a x ? 1 ? 2 a ? 0 ..………………6 分（i）当 ? 2 ? 1 ? a ? (ii)当 a ?x1 ? ? a ?2 ? 1 时， f ( x ) 没有极小值； 2 ? 1 时，由 f ? ( x ) ? 0 得a ? 2a ? 12.………………8 分2 ?1或a ? ?2a ? 2 a ? 1, x2 ? ? a ?2故 x 0 ? x 2 .由题设知 1 ? ? a ? 当a ?a ? 2a ? 1 ? 3 ， a ? 2 a ? 1 ? 3 无解；22 ? 1 时，不等式 1 ? ? a ?当 a ? ? 2 ? 1 时，解不等式 1 ? ? a ? 综合(i)(ii)得 a 的取值范围是 ( ?5 2 ,?a ? 2a ? 1 ? 3 得?25 2? a ? ?2 ?12 ? 1)..………………12 分 导数复习经典例题分类(含答案)_数学_高中教育_教育专区。导数复习;还在找什么;一个现成的经典资料送给你!导数解答题题型分类之拓展篇(一)编制:王平审阅:朱成 ...导数题型分类大全_高三数学_数学_高中教育_教育专区。导数题型分类一、考试内容 导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数; 两个函数的和、 差、 基本导数公...导数题型归纳总结_高三数学_数学_高中教育_教育专区。导数题型归纳总结导数题型归纳总结 导数的定义和几何意义 函数 ?y ?x f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x ...F ( b ) ? F ( a ) a 导数各种题型方法总结(一)关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2 变更主元;3 根分布;4 判别式法 5、二次函数...有关“导数”试题的题型分类湖北省秭归一中 周宗圣 随着新教材的使用, “导数”这部分知识在高考中越来越受到重视,成了考查的重点和热 点内容。通过对近几年...mx ? 3 ? 0 在区间[0,3]上恒成立 2 导数各种题型方法总结请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2 变更主元;3 ...高考数学导数题型归纳(文科)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。汪老师超强总结归纳2、不等式恒成立常见处理方法有三种: 、不等式恒成立常见处理方法有三 常见处理方...2 【题型六】导数与零点,恒成立问题 零点定理: 若函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上满足 f (a) ? f (b) ? 0 ,则 f ( x) 在区间 [a, b] 上...1高考数学导数题型归纳( 好)_数学_高中教育_教育专区。导数 高考导数题型归纳请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2 变...导数高考题型全归纳(非常实用)一、导数的基本应用 (一)研究含参数的函数的单调性、极值和最值基本思路:定义域 →→ 疑似极值点 →→ 单调区间 →→ 极值 →→... All rights reserved Powered by copyright ©right 。文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。