（2016春o成都校级月考）设Q、G分别为△ABC的外心和重心，已知A（-1，0），B（1，0），QG∥AB．（1）求点C的轨迹E．（2）轨迹E与y轴两个交点分别为A1，A2（A1位于A2下方）．动点M、N均在轨迹E上，且满足A1M⊥A1N，试问直线A1N和A2M交点P是否恒在某条定直线l上？若是，试求出l的方程；若不是，请说明理由．【考点】；．【专题】综合题．【分析】出中不等式的解集，确定出集合A，找出U中A部分，可求A的补集．【解答】解：由集合A中的不等式2＜x得：2-＜0，即xx-1）＜0，解得0＜＜，A={x|0＜＜1}，又U{x|2}，故选C【点评】此题考查补集运算，练掌握补集的定义解本的关键．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：zlzhan老师　难度：0.58真题：2组卷：12
解析质量好中差
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△ABC的底边BC=16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．
以BC所在的直线为X轴，BC中点为原点建立直角坐标系．设G点坐标为（x，y），∵重心分中线比为2：1∴|GC|+|GB|=30×=20，根据椭圆的定义可知G点的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因a=10，c=8，有b=6，故其方程为2100+y236=1（y≠0）设A点坐标为（u，v）则x=，y=，把（3u，3v）代入G的方程得2900+2324=1（v≠0）故顶点A的轨迹为得2900+2324=1（y≠0）
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先设G点坐标为（x，y），以BC所在的直线为X轴，BC中点为原点建立直角坐标系．根据重心分中线比为2：1可知|GC|+|GB|=30×根据椭圆的定义可知G点的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．进而求得椭圆的a，c和b得到G的轨迹方程；设A点坐标为（u，v），根据重心分中线比为2：1，可得x与u，y与v的关系，代入G的轨迹方程进而可得A的轨迹方程．
本题考点：
轨迹方程．
考点点评：
本题主要考查了轨迹方程的问题．本题解题的关键是利用了椭圆的定义求得轨迹方程．
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高三数学《专题七曲线的性质和轨迹问题》
专题七 曲线的性质和轨迹问题【考点搜索】【考点搜索】1.掌握圆锥曲线的第一定义和第二定 义反映的几何性质； 2.求曲线的方程的常见方法： ① 待定系数法，即先确定方程的形 式，再确定方程的系数； ② 定义法，即根据已知条件，建立 坐标系、列出x和y的等量关系、化简关系; ③ 代入法; ④ 参数法.【课前导引】【课前导引】x y 1. 已知F1、F2是双曲线 2 ? 2 ? 1 a b(a ? 0, b ? 0) 的两焦点，以线段F1F2为边2 2作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是()3 ?1 A. 4 ? 2 3 B. 3 ? 1 C . D. 3 ? 1 2[解析] 设的中点为P，依题意，PF2 ? PF1 ? 2a,c 故 3c ? c ? 2a , e ? ? a 2 ? 3 ?1 3 ?1[解析] 设的中点为P，依题意，PF2 ? PF1 ? 2a,c 故 3c ? c ? 2a , e ? ? a[答案] D2 ? 3 ?1 3 ?12. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为非零常数，| PA| ? | PB |? k ，则动点P的轨迹为 双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，1 O为坐标原点，若 OP ? (OA ? OB ), 2则动点P的轨迹为椭圆；③方程 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 的两根可分别作2为椭圆和双曲线的离心率；x y x 2 ④双曲线 ? ? 1与 椭 圆 ? y ? 1有 25 9 35 相同的焦点.2 2 2其中真命题的序号为_________（写 出所有真命题的序号）[解析] ① 的轨迹可能是双曲线的一支，也可能是一条射线，也可能无 轨迹；② 的轨迹是圆；计算知③④ 正确。【链接高考】【链接高考】) [例1] (05届 长 郡 月 考 题如 图, 设F1 , F2是 椭 x y 圆C : 2 ? 2 ? 1的 左 右 焦 点A、 分 别 是 椭 , B a b y 圆C的 右 顶 点 和 上 顶 点 , B P P是 椭 圆 上 一 点 O为 C , 坐 标 原 点已 知PF1 ? PF2 , ? 0, | OA || OB |?| OP | .2 2 2F1 OF2 A x1 (1)设椭圆的离心率为，证明 e ? ; 2 y (2)证明： OP ? PA; B P (3)设 PA ? 5 ? 1, F1 O F2 A x 求椭圆的方程.2[解析] (1)由PF1 ? PF2 ? 0知, OP ? OF2 ? c,依题设有 ? c , 设P( x, y), PF1 ? r1 , PF2 ? r2 , ab2则r1 ? r2 ? 2a, r ? r ? 4c , 有r1r2 ? 2b2 1 2 2 22由 面 积 相 等 得 ? cy, b2yB F1 O2P F2 A xb ?y? . c22?y?b2 21 ?c ? b ? c ? a ? c ? e ? 2( 另：由ab=c2知：a b ? c ? a (a ? c ) ? c2 2 4 2 2 2 4yB P F2 A x?e ?e ?1 1 1 2 ?e ? 2 ? , e ?1 24 2F1 O?1? 5 1 或解出 ? e ? ) 2 22(2) 由(1)有b y? c2b4 2 2 2 ?x ? c ? y ? c ? 2 c4 4 2 2 4yB Pc ?b a b ?b ? ? c c F1 O F2 A x c 2b 2 ? ?b c 2 2 b b 则P (b, ),那 么PA ? (a ? b , ? ) c cb b 2 ? OP ? PA ? b(a ? b) ? 2 ? ab ? b ? 2 c c 2 b 2 2 ? c ? b (1 ? 2 ) y c B 2 2 P a b ? c2 ? 2 c F1 O F2 A x 2 2 ? c ?c ? 0? OP ? PA44(3) PA ? 5 ? 1 即 b ? 5 ? 1由ab ? c 得e ? e ? 1 ? 0,2 4 25 ?1 B 解 得: e ? 2 c2 b F1 O 则 2 ? , a 2 有2c 2 ? a 2b ? ac2 ? a ? 22y P F2 A x故所求椭圆的方程为ByPx y ? ?1 4 6?2 522F1 OF2 A x故所求椭圆的方程为ByPx y ? ?1 4 6?2 522F1 OF2 A x[说明] 本题采用了待定系数法求轨迹方程.[例2] 在?ABC中, 已知B(-3,0), C(3,0),AD ? BC于D, ?ABC 的垂心H分有向1 线段 AD 所成的比为 . 8(1) 分别求出点A和点H的轨迹方程;1 1 1 ( 2)设P ( ?1,0), Q(1,0),那 么 , , HP PQ QH 能 成 等 差 数 列 吗为 什 么 ? ?[解答] 设H点的坐标为(x,y),对应的A的坐标为 (x1, y1), 则D的坐标为(x1, 0), 由H分有向线段? x ? x1 1 ? AD所成的比为 知 8 ? 8 ? y ? 9 y1 ? y y1 ? ? ?1 又 ? BH ? AC ? x ? 3 x1 ? 3 9 2 2 y y 8 ? ?1, 即 x ? y ? 1( y ? 0), 故 ? 9 8 x?3 x?3此即点H的轨迹方程.? x ? x1 ? 再 将? , 8 代 入 上 式得 ? y ? 9 y1 ?64 2 y1 2 x1 81 ? ? 1, 9 82 x1 8 2 即 ? y1 ? 1, 9 818 2 故点A的轨迹方程为 ? y ? 1( y ? 0). 9 81x2(2)由(1)可知, P, Q分别为椭圆的左右焦1 点, 设H(x, y), 且 , HP 2 1 数列, 则 ? ? PQ HP1 1 , 能成等差 PQ QH 1 ,但 HQ1 1 PQ ? 2, HP ? 3 ? x , HQ ? 3 ? x , 故 3 3 2 1 1 2 ? ? , 化简得 ? 27 x 2 3? 1 x 3? 1 x 3 3y x 但此时 ? 1? ? 1 ? 3 ? 0, 矛 盾! 8 91 1 1 故 , , 不可能成等差数列 . HP PQ QH22y x 但此时 ? 1? ? 1 ? 3 ? 0, 矛 盾! 8 91 1 1 故 , , 不可能成等差数列 . HP PQ QH22[说明] 本题采用了代入法求轨迹方程.[例3] 如图，设抛物线的焦点为F，动 点P在直线上运动，过P作抛物线C的两 条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.(1)求△APB的重y A F O B心G的轨迹方程.(2)证明∠PFA=lx∠PFB.P[解答] (1)设切点A、B坐标分别为( x0 , x )和( x1 , x )((x1 ? x0 )2 0 2 1?切线AP的方程为 2 x0 x ? y ? x ? 0; :2 0切线BP的方程为 2 x1 x ? y ? x ? 0; :2 1解 得P点 的 坐 标 为 : A x0 ? x1 xP ? , 2 y P ? x0 x1y F OBlxP所以△APB的重心G的坐标为xG ?yG ? ? ?x0 ? x1 ? x P ? xP , 3 y0 ? y1 ? y P 3 A 2 2 x0 ? x1 ? x0 x1 3 2 4 xP ? yP , 2y F OBlxP所 以y p ? ?3 yG ? 4 x ,由 点P在2 G直 线l上 运 动 从 而 得 到 重 点 的 轨 , G 迹方程为 :A x ? ( ? 3 y ? 4 x ) ? 2 ? 0,2y F OBl1 2 即y ? (4 x ? x ? 2). 3xP1 ( 2)方 法1 : 因 为FA ? ( x0 , x ? ), 4 x0 ? x1 1 FP ? ( , x0 x1 ? ), 2 4 1 y 2 FB ? ( x1 , x1 ? ). F 4 A2 0Bl x由于P点在抛物线外，则 | FP |? 0.O P? cos?AFP ?FP ? FA | FP || FA |x0 ? x1 1 2 1 ? x0 ? ( x0 x1 ? )( x0 ? ) 2 4 4 ? 1 2 2 2 | FP | x0 ? ( x0 ? ) y 4 F A 1 x0 x1 ? 4 O ? | FP | PBlx同 理 有cos?BFP ?FP ? FB | FP || FB |x0 ? x1 1 2 1 ? x1 ? ( x0 x1 ? )( x1 ? ) 2 4 4 ? 1 2 2 2 | FP | x1 ? ( x1 ? ) 4 y 1 F x0 x1 ? A 4 ? | FP | O∴∠AFP=∠PFB.BlxP方法2：(1)当x1 x0 ? 0时,由 于x1 ? x0 , 不 妨 x1 设x0 ? 0, 则y0 ? 0, 所 以P点 坐 标 为 ,0), ( 2 | x1 | 则P点 到 直 线 的 距 离 为 d 1 ? AF : ;而 2 1 2 x1 ? 1 4 x,即 直 线BF的 方 程 为 y ? ? : 4 x11 1 ( x ? ) x ? x1 y ? x1 ? 0. 4 42 1所 以P点 到 直 线 的 距 离 为 BF : 1 x1 x1 1 | x1 | 2 | ( x ? ) ? | ( x1 ? ) 4 2 4 ? 4 2 ? | x1 | d2 ? 1 2 2 1 2 2 2 x1 ? ( x1 ? ) ? ( x1 ) 4 42 1所以d1=d2，即得∠AFP =∠PFB.( 2)当x1、x 2 ? 0时, 直 线AF的 方 程: 1 x ? 1 4 ( x ? 0), y? ? 4 x0 ? 02 01 1 即( x ? ) x ? x0 y ? x0 ? 0, 4 42 0所以P点到直线AF的距离为：1 x0 ? x1 1 2 | ( x ? )( ) ? x0 x1 ? x0 | 4 2 4 d1 ? 1 2 2 2 ( x0 ? ) ? x0 4 x0 ? x1 1 2 | | ( x0 ? ) 2 4 ? 1 2 x0 ? 4 x0 ? x1 ?| | 22 0同理可得到P点到直线BF的距离| x1 ? x0 | d2 ? 2因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.同理可得到P点到直线BF的距离| x1 ? x0 | d2 ? 2因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB. [说明] 本题采用了代入法求轨迹方程.[例4] 如右图, 已知⊙A:⊙B: 都相外切. (x?2)2+y2 =(x+2)2+y2 =1 , 动圆P与⊙A、⊙B 4y P B x25 4(1)动圆圆心P的 轨迹方程； (2)若直线y=kx+1 与(1)中的曲线有两个 不同的交点P1、P2， 求k的取值范围.A5 1 [解答] (1)依题意，PA?PB= ? ? 2 2 2故P的轨迹是双曲线的右支，a=1，c=2，y其方程为：y x ? ? 1 ( x ? 1) 32 2P B xA(2)联立方程组? y ? kx ? 1 ? 消y得 : ? 2 y2 ?1 ?x ? 3 ?(k ? 3) x ? 2kx ? 4 ? 02 2(*)在[1, +?)有两不同的解，? k ?3 ? k2 ? 1 ? ? 则?? ? 4k 2 ? 16( k 2 ? 3) ? 0 ? f (1) ? k 2 ? 2k ? 1 ? 0 ? ? ?3 ?1 解 得k的 范 围 是?2,? 3 ) ? ( ( , 3) 2[例5] A、B是抛物线 y2 = 2px(p&0)上的 两点，且OA⊥OB， 1. 求A、B两点的横坐标之积和纵坐 标之积； 2. 求证：直线AB过定点； 3. 求弦AB中点P的轨迹方程；4. 求△AOB面积的最小值；5. 求O在AB上的射影M轨迹方程.[解答] (1)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，中点P(x0, y0)，kOAy1 y2 ? , kOB ? x1 x2∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1，∴ x1x2+y1y2=0 ∵ y12 = 2px1，y22=2px2y1 y2 ? ? ? y1 y2 ? 0 2p 2p22∵ y1≠0, y2≠0, ∴ y1y2=?4p2 ∴ x1x2=4p2.(2)∵ y12=2px1，y22=2px2 ∴ (y1?y2)(y1+y2) = 2p(x1?x2)y1 ? y2 2p ? ? x1 ? x2 y1 ? y2? k AB 2p ? y1 ? y22p ?直 线AB : y ? y1 ? ( x ? x1 ) y1 ? y22 px 2 px1 ?y? ? y1 ? y1 ? y2 y1 ? y22 px y1 ? 2 px1 ? y1 y2 ?y? ? y1 ? y2 y1 ? y22? y1 ? 2 px1 , y1 y2 ? ?4 p222 px ?4p ?y? ? y1 ? y2 y1 ? y222p ?y? ( x ? 2 p) y1 ? y2∴ AB过定点(2p, 0)，设M(2p, 0).(3)设OA∶y = kx，代入y2=2px 得: x=0，2p 2p ?( 2, ) k k 1 同理，? 以代k得B(2pk2, -2pk) . k1 ? 2 ? x0 ? p( k ? k 2 ) ? ?? ? y ? p( 1 ? k ) ? 0 k ?1 1 k 2 ? k ? 2 ?( ? ) ?2 k k k2x0 y0 2 ? ?( ) ?2 p p即 y02 = px0-2p2，∴ 中点M轨迹方程 y2 = px-2p2(4) ? S?AOB ? S?AOM ? S?BOM1 ? | OM | (| y1 | ? | y2 |) ? p(| y1 | ? | y2 |) 2? 2 p | y1 y2 | ? 4 p2当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立.(5)法一：设H(x3, y3), 则 kOH? k AB x3 ?? y3y3 ? x3x3 ? AB : y ? y3 ? ? ( x ? x3 ) y3y3 2 即x ? ? ( y ? y3 ) ? x3 代 入y ? 2 p得 x32 py3 2 p3 y ? y? ? 2 px3 ? 0, x3 x32 2由(1)知，y1y22， ? 2 py3 =-4p2x3? 2 px3 ? 4 p2整理得：x32+y32 -2px3=0，∴ 点H轨迹方程为x2+y2-4x=0(去掉(0, 0)).法二：∵ ∠OHM=90?, 又由(2)知OM为定线段 ∴ H在以OM为直径的圆上∴ 点H轨迹方程为(x-p)2+y2=p2, 去掉 (0, 0). 评注：此类问题要充分利用(1)的结论.专题七 曲线的性质和轨迹问题第二课时【考点搜索】【考点搜索】1. 在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找 与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于 数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件， 侧重于形，重视图形几何性质的运用； 2. 注意向量与解析几何的密切联系.由于向 量具有几何形式和代数形式的“双重身份”， 使向量与解析几何之间有着密切联系，大量的 轨迹问题都是以向量作为背景编拟的 ； 3.注意利用曲线系解题.【课前导引】【课前导引】3 1. 已知反比例函数 y ? 的图像是 x等轴双曲线，则其焦点坐标是 ( A. ( 6 , 6 ),(? 6 ,? 6 ) B. ( 3 , 3 ),(? 3 ,? 3 ) C. (?2 3 ,?2 3 ),(2 3 ,2 3 ))D. (2 6 ,2 6 ),(?2 6 ,?2 6 )[解答] 双曲线的实轴为直线 x-y = 0, 故 两个顶点坐标为 (? 3 ,0), ( 3 ,0) , 且a ? 3 ? 2 ? 6, c ? 6 ? 2 ? 2 3,结 合 图 像 知 焦 点 坐 标 是? 6 ,? 6 ), ( 6 , 6 ). , ([解答] 双曲线的实轴为直线 x-y = 0, 故 两个顶点坐标为 (? 3 ,0), ( 3 ,0) , 且a ? 3 ? 2 ? 6, c ? 6 ? 2 ? 2 3,结 合 图 像 知 焦 点 坐 标 是? 6 ,? 6 ), ( 6 , 6 ). , ([答案] A2. 已知圆x2+y2=1，点A(1，0)，△ABC内接于此圆，∠BAC=60o，当BC在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是(1 A. x2+y2 = 21 1 2+y2 = ( x ? ) C. x 2 2)1 41 1 (x ? ) 4 4B. D.x2+y2 = x2+y2 =2? [解析] 记O为原点，依题意， ?BOC ? , 31 且OB=OC=1, 故原点到直线BC的距离为 , 2 1 由图像可知，BC中点的横坐标小于 ， 4 故选D.【链接高考】【链接高考】[例1] 若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2, 3)，B(3, 2)，求实数m的取值范围.[解答] 直线mx+y+2=0过一定点C(0, -2), 直线 mx+y+2=0实际上表示的是过定点(0, -2)的直线 系，因为直线与线段AB有交点，则直线只能落 在∠ABC的内部，设BC、CA这两条直线的斜 率分别为k1、k2，则由斜率的定义可知，直线 y mx+y+2=0的斜率k应 A 满足k≥k1或k≤k2， B ∵A(-2, 3) B(3, 2)O C(0, -2) 4 5 4 5 ? ? m ? 或 ? m ? ? 即m ? ? 或m ? 3 2 3 24 ? k1 ? 3 5 k2 ? ? 2x[说明] 此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0的斜率?m应为倾角的正切，而当倾角在(0?,90?)或(90?, 180?)内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在∠ACB内部变化时，k应大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，当A、B两点的坐标变化时，也要能求出m的范围.[例2] 根据下列条件，求双曲线方程.x y (1)与 双 曲 线 ? ? 1有 共 同 渐 近 线 , 9 16 且 过 点 ?3,2 3 ); ( x y ( 2)与 双 曲 线 ? ? 1有 公 共 焦 点 , 16 4 且 过 点 3 2 ,2). (2 2 2 2[解答] 方法一：x2 y2 4 y (1) 双 曲 线 ? ? 1的 渐 近 线 为 ? ? x , 9 16 3令x ? ?3, y ? ?4,因2 3 ? 4, 故 点( ?3,2 3 ) 4 在 射 线 ? ? x( x ? 0)及x轴 负 半 轴 之 间 y , 3 ? 双 曲 线 焦 点 在轴 上, xx2 y2 设 双 曲 线 方 程 为 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0), 故 a b?b 4 ?a ? 3 ? ? ( ?3) 2 ( 2 3 ) 2 ? ? ?1 2 2 ? a b ?? 2 9 ?a ? 解之得： ? 4 ?b 2 ? 4 ?x2 y2 ? 双曲线方程为 ? ? 1. 9 4 4x y ( 2)设 双 曲 线 方 程 为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a b?a 2 ? b 2 ? 20 ? 则 ? (3 2 )2 22 ， 解之得： ? 2 ?1 ? 2 b ? a?a 2 ? 12 ? 2 ?b ? 822x y ?双 曲 线 的 方 程 为 ? ? 1. 12 822x2 y2 方法二：(1)设双曲线方程为 ? ? ? (? ? 0) 9 16( ?3) ( 2 3 ) 1 ? ? ? ?, ?? ? 9 16 42 2x y ? 双曲线方程为 ? ? 1. 9 4 422x2 y2 ? 16 ? k ? 0 ? ? ?1 ? (3)设双曲线方程为 ?4 ? k ? 0 ? ? 16 ? k 4 ? k ? ?(3 2 ) 2 ? ? ? 1 ， 解之得：k=4 16 ? k 4 ? kx y ? ?1 ∴ 双曲线方程为 12 82 222x2 y2 评 注 : 与 双 曲 线 2 ? 2 ? 1共 渐 近 线 的 双 曲 线 a b x2 y2 方 程 为 2 ? 2 ? ? (? ? 0),当? ? 0时, 焦 点 在 轴 x a b x2 y2 上;当? ? 0时, 焦 点 在 轴 上.与 双 曲 线 2 ? 2 ? 1 y a b x y 共 焦 点 的 双 曲 线 为2 ? 2 ? 1( a 2 ? k ? 0, a ?k b ?k b ? k ? 0).2 2 2比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分 利用含参数方程的几何意义，可以更准 确地理解解析几何的基本思想.x2 y2 [例3] 已知直线l与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ?
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2012届高考数学第一轮复习轨迹问题单元训练题（附答案）
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
2012届高考数学第一轮复习轨迹问题单元训练题（附答案）
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文章来源 莲山课件 w w w.5 Y Kj.Co M 课时训练50轨迹问题【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、（每小题6分，共42分）1.两定点A（-2，-1），B（2，-1），动点P在抛物线y=x2上移动，则△PAB重心G的轨迹方程是（）A.y=x2- B.y=3x2- C.y=2x2- D.y= x2- 答案：B解析：设G（x,y），P（x0,y0）则x0=3x，y0=3y+2，代入y=x2得重心G的轨迹方程：3x+2=(3x)2.2.曲线C上任意一点到定点A（1，0）与到定直线x=4的距离之差等于5，则此曲线C是（）A.抛物线B.由两段抛物线弧连接而成C.双曲线D.由一段抛物线和一段双曲线弧连接而成答案：B解析：设P（x,y）为曲线C上任意一点，由题意，得 -|x-4|=5，故y2= 故曲线C是由两段抛物线弧连接而成.3.下列命题中，一定正确的是（）A.到两定点距离之比为定常数的点的轨迹是椭圆B.到定点F（-c，0）和到定直线x=- 的距离之比为 （a＞c＞0）的点的轨迹是椭圆的左半部分C.到定直线x=- 和到定点F（-c，0）的距离之比为 （a＞c＞0）的点的轨迹是椭圆D.平面上到两定点的距离之比等于常数（不等于1）的点的轨迹是圆答案：D解析：对照椭圆定义可知A、B、C都不对，故知选D.4.一动圆与圆x2+y2=1外切，而与圆x2+y2-6x+8=0内切，那么动圆的圆心的轨迹是（）A.双曲线的一支B.椭圆C.抛物线D.圆答案：A解析：设动圆圆心为P（x，y），半径为r，又圆（x-3）2+y2=1的圆心为F（3,0）.故|PO|=r+1，|PF|=r-1，故|PO|-|PF|=2.由双曲线定义知P点轨迹是双曲线的右支.5.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点，定点M（-1，2），Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|=|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A.2x+y+1=0B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0D.2x-y+5=0答案：D解析：设Q（x，y），则P点（-x-2，-y+4），又点P在直线2x-y+3=0上，故2（-x-2）-（-y+4）+3=0，即：2x-y+5=0.6.设A1、A2是椭圆 =1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点P的轨迹方程为()A. =1B. =1C. =1D. =1答案：C解析：设P1、P2两点的横坐标为x=3cosθ，又A1(-3,0),A2(3,0),P1(3cosθ,2sinθ),P2(3cosθ,-2sinθ),故直线A1P1和A2P2方程分别为y= (x+3),y= (x-3).设交点P（x，y），则y2= (x2-9)，即 =1.7.点M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线x=8的距离的比为 ，则动点M的轨迹方程为()A. =1B. =1C. =1D.3x2+4y2+8x-60=0答案：D解析：设M为（x，y），则&∶|x-8|=1∶2.整理有：3x2+4y2+8x-60=0.二、题（每小题5分，共15分）8.(2010北京西城区一模，12)点P（0，2）到圆C：（x+1）2+y2=1的圆心的距离为_____________，如果A是圆C上一个动点， =3 ,那么点B的轨迹方程为_______________________.答案： (x-2)2+(y-6)2=4解析：由圆的方程圆心(c-1,0),则P到圆心的距离d= .设A、B点的坐标分别为（x0,y0）、（x,y）.&=（x-x0,y-y0）, =(-x0,2-y0).&=3 ,即（x-x0,y-y0）=(-3x0,6-3y0).∴ ∵A在圆上，∴（- +1）2+( )2=1.即(x-2)2+(y-6)2=4.即为B点的轨迹方程.9.已知定直线l上有三点A、B、C，AB=2，BC=5，AC=7，动圆O恒与l相切于点B，则过点A、C且都与⊙O相切的直线l1、l2的交点P的轨迹是_________________________.答案：去掉两个顶点的双曲线解析：由题设条件可得||PA|-|PC||=3，根据双曲线定义知点P的轨迹为去掉两个顶点的双曲线.10.F1、F2为椭圆的两个焦点，Q是椭圆上任意一点，从某一焦点引∠F1QF2的外角平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是____________________.答案：圆解析：如右图，延长F1P交F2Q于F1′，则&|OP|= |F1′F2|= |F1′Q|+|F2Q|)= (|F1Q|+|F2Q|)= ×2a=a.∴P点轨迹为圆.三、简答题（11―13题每小题10分，14题13分，共43分）11.设抛物线y2=2px的准线l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任意一点，PQ⊥l，Q为垂足，求QF与OP的交点M的轨迹方程.解析：设抛物线上点P（2pt2，2pt）（t≠0），直线OP的方程为：y= x.又Q（- ，2pt），F（ ，0），∴直线QF的方程y=-2t(x- ).它们的交点M（x，y），由方程组 由①×②得：y2=-2x(x- )，∴交点M的轨迹方程y2=-2x(x- ).12.(2010湖北重点中学模拟，21)平面直角坐标系中，O为原点，给定两点A（1，0）、B（0，-2），点C满足OC=α +β ，其中α、β∈R，且α-2β=1，（1）求点C的轨迹方程；（2）设点C的轨迹与双曲线 =1（a＞0,b＞0）交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证： 为定值.（1）解析：设C（x，y），因为 =α +β ，则（x，y）=α（1，0）+β（0，-2）∴ ∵α-2β=1,∴x+y=1.即点C的轨迹方程为x+y=1.（2）证明：由 得：（b2-a2）x2+2a2x2-a2-a2b2=0.由题意,得b2-a2≠0，设M（x1，y1），N（x2，y2）,则：x1+x2= ,x1x2=- .因为以MN为直径的圆过原点， =0，即x1x2+y1y2=0,x1x2+(1-x2)(1-x2)=1-(x1+x2)+2x1x2=1+ =0,即b2-a2-2a2b2=0,∴ =2为定值.13.(2010湖北十一校大联考，22)已知A、B、D三点不在一条直线上，且A（-2，0），B（2，0），| |=2， = （ + ）,（1）求点E的轨迹方程；（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点.线段MN的中点到y轴距离为 且直线MN与点E的轨迹相切，求椭圆的方程.解析：（1）设E（x，y）， = （ + ）∴ =2 - .∴ =2（x+2，y）-（4,0）=(2x,2y).又| |=2,∴x2+y2=1(y≠0).（2）设椭圆方程为： =1，直线l：y=k(x+2),由于直线l与圆E相切，∴ =1.∴k=± .直线l：y=± (x+2).将y=± (x+2)代入b2x2+a2y2-a2b2=0,则有（3b2+a2）x2+4a2x+4a2-3a2b2=0.∴xM+xN= .∴x中= ,|x中|= = ,∴5a2=6b2+2a2.∴a2=2b2.又c2=4,∴b2=4,a2=8,椭圆方程为 =1.14.(2010广东珠海一模，18)已知两定点A（-t,0）和B（t，0），t＞0.S为一动点，SA与SB两直线的斜率乘积为 .（1）求动点S的轨迹C的方程，并指出它属于哪一种常见曲线类型；（2）当t取何值时，曲线C上存在两点P、Q关于直线x-y-1=0对称？解析：（1）设S（x，y），SA的斜率k1= (x≠-t)，SB斜率k2= (x≠t),由题意，得 (x≠±t),经整理，得 -y2=1(x≠±t).点S的轨迹C为双曲线（除去两顶点）.（2）假设C上存在这样的两点P（x1，y1)和Q（x2，y2）,则PQ直线斜率为-1，且P、Q的中点在直线x-y-1=0上.设PQ直线方程为：y=-x+b，由 整理得（1-t2）x2+2t2bx-t2b2-t2=0.其中1-t2=0，方程只有一个解，与假设不符.当1-t2≠0时，Δ＞0，Δ=（2bt2）2-4(1-t2)(-t2b2-t2)=4t2(b2+1-t2)，所以t2＜b2+1，①又x1+x2=- ，所以 .代入y=-x+b，得 .因为P、Q中点为（ ）在直线x-y-1=0上，所以有：- -1=0，整理得t2= ,②解①②，得-1＜b＜0,0＜t＜1，经检验，得：当t取（0，1）中任意一个值时，曲线C上均存在两点关于直线x-y-1=0对称.文章来源 莲山课件 w w w.5 Y Kj.Co M
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