已知z1 , 是实系数一元二次方程的两个虚根
，w=a(√3+i)z1/z2
且|w| &=求：
(1)
实数a的取值范围；
(2)
| (a – 4 ) + ai |的最大值。
实系数一元二次方程的虚根互为共轭虚数，所以z2=z1~，因此
1）|w|=|a(√+i)z1/z2|
=|a|*|√3+i|*|z1|/|z2|
假设|w|=&1
---&2|a|=&1
---&-1/2=&a=&1/2
2)|(a-4)+ai|=√[(a-4)^2+a^2]=√(2a^2-8a+16)=√[2(a-2)^2+8]
由于二次函数f(a)=2(a-2)^2+8在a=&2时递减，所以-1/2=&a=&1/2时有f(1/2)=&f(a)=&f(-1/2)
因此f(a)有最大值f(-1/2)=12+1/2=25/2
y=√x在定义域内递增，所以|w|有最大值√(25/2)=(5/2)√2.
其他答案（共1个回答）
,
∴a=-1时,f(max)=26,|(a-4)+ai|的最大值=√26
w&0显然吧,因为w&0有y=-2sin|w|x在包含原点的区间是减,w=0显然不对
T=2π/w,所以T/2&=π/3-(-π/3)=2π/3,所以π/w&...
设w=|z|+ai(a∈R),i是虚数单位,z=(1+i)³/(1-i)²且|w|&2
（1）求实数a的取值范围 （2）求|w+a|的取...
取值范围应该是(π,2π)
楼上的解答如果带入5π进行检验，可知明显不成立
f(x)=cos[w(x+θ)]为奇函数，则wθ=kπ+1/2π
据已知，π/4不足f(x)的1/4周期，所以2π/4w&π/4，0&w&2。又因为f(x)=sinwt在[0，π/4] 上单调递增，所以最大值f(π/4)=√3...
解：1)由韦达定理得：a+b=-1
由题设3=|a-b|,所以有9=|a-b|²=|(a+b)²-4ab|=|1-4p|
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怎样求1元2次方程的解!最好通俗点!
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一元二次方程的解法 一、知识要点： 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基 础,应引起同学们的重视. 一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的整式方程. 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程.一元二次方程有四种解 法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法. 二、方法、例题精讲： 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程,其解为x=m± . 例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做,（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以 此方程也可用直接开平方法解. （1）(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= （2） 9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2 方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2= 当b2-4ac≥0时,x+ =± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0 将常数项移到方程右边 3x2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= . 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项 系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根. 例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5 将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x= = = ∴原方程的解为x1=,x2= . 4．因式分解法：把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让 两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个 根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 例4．用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学） (1)(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解. (2)2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0,x2=-是原方程的解. 注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解. (3)6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解. (4)x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解. 小结： 一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般 形式,同时应使二次项系数化为正数. 直接开平方法是最基本的方法. 公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法）,在使用公式 法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程 是否有解. 配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法 解一元二次方程.但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方 法之一,一定要掌握好.（三种重要的数学方法：换元法,配方法,待定系数法）. 例5．用适当的方法解下列方程.(选学） （1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0 （3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析：（1）首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算.观察后发现,方程左边可用平方差 公式分解因式,化成两个一次因式的乘积. （2）可用十字相乘法将方程左边因式分解. （3）化成一般形式后利用公式法解. （4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解. （1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0 (5x-5)(-x+13)=0 5x-5=0或-x+13=0 ∴x1=1,x2=13 （2） x2+(2- )x+ -3=0 [x-(-3)](x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 ∴x1=-3,x2=1 （3）x2-2 x=- x2-2 x+ =0 (先化成一般形式) △=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0 ∴x= ∴x1=,x2= （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0 2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 ∴x1= ,x2= 例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根. (选学） 分析：此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我 们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方 法） [3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0 即 (5x-5)(2x-3)=0 ∴5(x-1)(2x-3)=0 (x-1)(2x-3)=0 ∴x-1=0或2x-3=0 ∴x1=1,x2=是原方程的解. 例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0 x2+px+q=0可变形为 x2+px=-q (常数项移到方程右边) x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方) (x+)2= (配方) 当p2-4q≥0时,≥0（必须对p2-4q进行分类讨论） ∴x=- ±= ∴x1= ,x2= 当p2-4q<0时,<0此时原方程无实根. 说明：本题是含有字母系数的方程,题目中对p, q没有附加条件,因此在解题过程中应随时注意对字母 取值的要求,必要时进行分类讨论. 练习： （一）用适当的方法解下列方程： 1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3 3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0 5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0 （二）解下列关于x的方程 1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0 练习参考答案： （一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2 3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2= 6.（把2x+3看作一个整体,将方程左边分解因式） [(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0 即 (2x+9)(2x+2)=0 ∴2x+9=0或2x+2=0 ∴x1=-,x2=-1是原方程的解. （二）1．x2-ax+( +b)( -b)=0 2、x2-(+ )ax+ a· a=0 [x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0 ∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0 ∴x1= +b,x2= -b是 ∴x1= a,x2=a是 原方程的解. 原方程的解. 测试 选择题 1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ） A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5 2．多项式a2+4a-10的值等于11,则a的值为（ ）. A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7 3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数,一次项系数和常数项之和等于零,那么方程必有一个 根是（ ）. A、0 B、1 C、-1 D、±1 4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（ ）. A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0 C、b=0且c=0 D、c=0 5． 方程x2-3x=10的两个根是（ ）. A、-2,5 B、2,-5 C、2,5 D、-2,-5 6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）. A、 B、 C、 D、无实根 7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）. A、x= B、x=- C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=- 8． 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是（ ）. A、(x-)2= B、(x- )2=- C、(x- )2= D、以上答案都不对 9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解该方程配方后的方程是（ ）. A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1 答案与解析 答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 解析： 1．分析：移项得：(x-5)2=0,则x1=x2=5, 注意：方程两边不要轻易除以一个整式,另外一元二次方程有实数根,一定是两个. 2．分析：依题意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7. 3．分析：依题意：有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时, ax2+bx+c=a+b+c,意味着当x=1 时,方程成立,则必有根为x=1. 4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零, 则ax2+bx+c必存在因式x,则有且仅有c=0时,存在公因式x,所以 c=0. 另外,还可以将x=0代入,得c=0,更简单! 5．分析：原方程变为 x2-3x-10=0, 则(x-5)(x+2)=0 x-5=0 或x+2=0 x1=5, x2=-2. 6．分析：Δ=9-4×3=-3<0,则原方程无实根. 7．分析：2x2=0.15 x2= x=± 注意根式的化简,并注意直接开平方时,不要丢根. 8．分析：两边乘以3得：x2-3x-12=0,然后按照一次项系数配方,x2-3x+(-)2=12+(- )2, 整理为：(x-)2= 方程可以利用等式性质变形,并且 x2-bx配方时,配方项为一次项系数-b的一半的平方. 9．分析：x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1 则(x-1)2=m+1. 中考解析 考题评析 1．（甘肃省）方程的根是（ ） （A） （B） （C） 或 （D） 或 评析：因一元二次方程有两个根,所以用排除法,排除A、B选项,再用验证法在C、D选项中选出正确 选项.也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以.选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元 二次方程是两个根,所以是错误的,而选项D中x=－1,不能使方程左右相等,所以也是错误的.正确选项为 C. 另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式,使得方程丢根,这种错误要避免. 2．（吉林省）一元二次方程的根是__________. 评析：思路,根据方程的特点运用因式分解法,或公式法求解即可. 3．（辽宁省）方程的根为（ ） （A）0 （B）–1 （C）0,–1 （D）0,1 评析：思路：因方程为一元二次方程,所以有两个实根,用排除法和验证法可选出正确选项为C,而A、 B两选项只有一个根.D选项一个数不是方程的根.另外可以用直接求方程根的方法. 4．（河南省）已知x的二次方程的一个根是–2,那么k=__________. 评析：k=4.将x=-2代入到原方程中去,构造成关于k的一元二次方程,然后求解. 5．（西安市）用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为（ ） （A）x=3+2 （B）x=3-2 （C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2 评析：用解方程的方法直接求解即可,也可不计算,利用一元二次方程有解,则必有两解及8的平方 根,即可选出答案. 课外拓展 一元二次方程 一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二 次的整式方程. 一般形式为 ax2+bx+c=0, (a≠0) 在公元前两千年左右,一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它 的倒数之和等于 一个已给数,即求出这样的x与,使 x=1, x+ =b, x2-bx+1=0, 他们做出( )2；再做出 ,然后得出+ 及 - .可见巴比伦人已知道一元二次 方程的求根公式.但他们当时并不接受 负数,所以负根是略而不提的. 埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程,例如：ax2=b. 在公元前4、5世纪时,我国已掌握了一元二次方程的求根公式. 希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根,即使遇到两个都是正根的情况,他亦只取其中 之一. 公元628年,从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中,得到二次方程x2+px+q=0的一个求根公 式. 在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法,解出了一次、二次方程,其中涉及到六种 不同的形式,令 a、b、c为正数,如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等.把二次方程分成 不同形式作讨论,是依照丢番图的做法.阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外,还第一 次 给出二次方程的一般解法,承认方程有两个根,并有无理根存在,但却未有虚根的认识.十六世纪意大利的 数学家们为了解三次方程而开始应用复数根. 韦达（）除已知一元方程在复数范围内恒有解外,还给出根与系数的关系. 我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x2+34x-71000=0的正根而解决的.我国数学 家还在方程的研究中应用了内插法.
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书上有求根公式啊
能因式分解的就因式分解，不能因式分解的用公式算判别式b^2-4ac小于0时无解，大于等于0套公式：x=（-b+/-根号（b²-4ac））/2a
通俗的讲就是把包含X平方的算式，变成只包含X的两个算式相乘的形式。如：X2-2X+3=0变成（X-3）（X+1）=0根就是使这个等式可以等于0的X两个括号相乘等于，那么必定是其中一个或者两个是零。所以解是X=3或X=-1
方程有四种解 法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。 二、方法、例题精讲： 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程，其解为x=m± . 例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 分析：（...
扫描下载二维码通过两个定点A ( a，0 )，A 1 ( a，a )，且在y轴上截得的弦长等于2 | a |的圆的方程是（ ）（A）2 x2 + 2 y2 + a x–2 a y –3 a2 = 0 ? （B）2 x2 + 2 y2–a x–2 a y –3 a2 = 0（C）4 x2 + 4 y2 + a x–4 a y –3 a2 = 0 （D）4 x2 + 4 y2–a x–4 a y –3 a2 = 0相关试题 上传我的文档
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官方公共微信0.999……等于1么？这个问题有什么意义？
这周我(原文作者，下同)在IO9发了一篇问答，其中一个问题是：无限循环数如何相加才能得到一个有限数的和？
这是芝诺悖论后又一个困扰着诸多数学家们的难题。在芝诺悖论中，一个人如果要过街，他首先走完总程的1/2，接着走完剩下1/2的1/2，以此类推，无穷尽也。几个月前有一个视频认为：
1 + 2 + 3 + ….的和为-1/12，一时间被疯狂转载，网络上顿时掀起热烈讨论。()
不过说到无穷数谜，大多数人第一次遇到的就是：0.999……无限重复下去，最后会等于1么？
从魔兽世界游戏中的留言板到安·德兰论坛，大家对这个问题的争论非常火爆。对于芝诺悖论，大多数人都觉得题中人最后会到达街对过。可同样的情形放到循环小数里，直觉就会告诉你0.999……怎么也不会等于1啊。光是看就知道0.999……比1小，但是差的却不多……大家都认为0.999……这个数只是不断接近目标，却永远也不会达到。
不过，他们的老师(包括我在内)，会说：错，0.999……就是1。
想要说服人们站到我这边，我就要用下面的方法：
众所周知， 0.33333……=1/3
两边同时乘以3得到0.999… = 3 / 3 = 1
如果这还不足以让你动摇，试试把0.999…乘上10，也就是将小数点向右挪了一位，所以我们得到了
10 x (0.999…) = 9.999…
现在把两边的烦人小数都去掉，我们在等式两边同时减去0.999……
10 x (0.999…) - 1 x (0.999…) = 9.999… - 0.999…..
得到了9 x (0.999…) = 9.
什么数乘以9会等于9？自然是1。
对于大部分人，这种证明方法就足够了。但是老实说，这套证明体系缺了点什么，也没有真正解决0.999……=1的不确定。事实上这种手段只是用了些代数上的小把戏，你不会真的以为1/3=0.333……吧？
比起相信1/3=0.333……，其实还有更可怕的：
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …?
省略号在这里的意思是相加过程会永远持续下去，每次相加的数字大小都是上一次的两倍。这么大的和毋庸置疑应该是无穷大了。但是你试试乘以2，会发生什么？
2 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ….) = 2 + 4 + 8 + 16 + …
好像和原来的和差不多，只是(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …)前面多了个1，所以(2 + 4 + 8 + 16 + …)比(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …)小1，换句话说：
2 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) - 1 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) = -1
相减得到：
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = -1
将越来越大的数字相加无限次，结果却等于-1？
更疯狂了来了，求下列无穷和：
1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …
有人会这样理解：
(1-1) + (1-1) + (1-1) + … = 0 + 0 + 0 + …
除了上面这种和为0的观点，还有一种理念认为应该这样看待算式：
1 - (1 - 1) - (1 - 1) - (1 - 1) - … = 1 – 0 – 0 – 0 …
结果和为1，到底是0还是1？还是“一半时间是0，一半时间是1？”最后的值是多少取决于你停在那里，但是无穷和是不会停的！
先不要着急下结论，我们先假设T是这个神秘的和：
T = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …
两边同时取负
-T = -1 + 1 - 1 + 1 - …
我们注意到右边刚好是T-1，也就是说：
-T = -1 + 1 - 1 + 1 - … = T - 1
所以 -T = T - 1,这个方程只有当T=1/2时才有解。一个由许多整数相加的无穷和到最后竟然神奇地出现了分数解？
你是不是还是觉得没有道理？但是包括意大利数学家格兰迪在内的一些人表示1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …最后会出现分数解，许多时候，人们将1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …称为格兰迪级数。在1703年发表的一份文章中，格兰迪认为这个发散级数的和应为1/2，这个不可思议的结论也代表了宇宙从无到有的造物过程，许多当时的著名数学家，包括莱布尼茨和欧拉都赞同格兰迪的计算，不过不包括他的证明过程。
实际上，0.999……之谜的答案还需要更深入的探索。你无须勉强同意我的代数解法，你完全可以坚持认为0.999…不等于1，而等于1减去一个无穷小的数。既然说到这里，0.333……同样不等于1/3，同样差无穷小的那么一点点。要证明这点需要一点力气，不过也不是做不到。在数学领域，非标准分析这门学科就是专门研究这种数字问题的。非标准分析理论由亚伯拉罕·罗宾逊在20世纪中期创立，也正是非标准分析的出现，人们才终于搞清楚了无穷数的概念。要研究无穷数，你不仅要研究无穷小数，还要研究无穷大数。
好吧，回到我们的问题上来，0.999… 到底是什么？是1么？还是比1小无穷小的数？
现在揭晓正确答案：0.999……可以表达为：
0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + …
这又是什么意思？其实看着让人厌烦的省略号才是真正的问题所在。如果我们有100堆东西，我们还是可以数得出具体数量。但是无穷多我们要怎么办？问题变得不一样了。真实世界绝不可能出现无穷多的“堆”。那么无穷和的数学值又是什么？答案是——除非我们给于一个值，否则不存在这样一个值。法国数学家柯西提出了这个伟大创新理念，他在19世纪20年代将极限这个概念引入了微积分。
伟大数学家哈代在《发散级数》一书中很好的解释了这个问题：
“除非符号分配被定义，现代数学家从来不会认为数学符号有‘意义’，即便是18世纪最伟大的数学家也不觉得定义符号是件琐碎的事情。现在的数学家们都没有定义的习惯：他们觉得写上“我们将X定义为Y”这么许多字相当不自然。”在柯西之前，大多数数学家都会问“1 - 1 + 1 - 1 +…等于几？”，他们不会问“如何去定义1 - 1 + 1 - 1 +…？”这种思维习惯让这些数学家陷入不必要的困惑和争论中。
随着你0.9 + 0.09 + 0.009 + …不断相加下去，最后的值会越来越接近1。最后这个无穷和会随着无穷的相加，最终到达1，并且永远留在1的位置。哈代则认为，这个无穷数应该被简单地定义为1，他也花了一番功夫证明这样定义不会造成其它地方出现什么大矛盾。
对于格兰迪级数1 - 1 + 1 - 1 + …，柯西的理论不管用了。用Lindsay Lohan的名言说就是：极限不存在！
崇尚柯西解法的挪威数学家Niels Henrik Abel在1828年写道：“发散级数是恶魔发明出的东西， 任何基于发散级数的证明都是自取其辱。”而哈代的观点(也是我们今天的观点)更为宽容。对于某些发散级数，我们可以赋值，对于另一些发散级数，我们则不应该赋值。现代数学家会说如果要对格兰迪级数赋予一个值，那么就应该是1/2，因为在所有关于无穷和的理论中，但凡能够引起一些注意的，要么认为这个级数的值为1/2，要么像柯西一样拒绝赋值。1+2+3+4……这个级数的情况也很相似，这是一个发散级数，柯西会说这个级数没有值。但是如果真的要给这个级数一个值的话，-1/12可能是最好的选择。
0.999…这个问题之所以能引起如此大的争论，因为它与我们的直觉不符。我们希望任何一个无穷级数都恰好能够符合运算操作，所以好像0.999……需要等于1。另一方面，我们希望每个数字都有一串唯一的小数位数表示，这就与同样一个数既可以用1表示，也可以用0.999…表示相矛盾。两种愿望无法共存，所以必须舍弃其中一个。柯西用独一无二的十进制展开打开了一扇解决这个问题的窗户，在提出后的2个世纪里，这种解法的价值得到了充分证明。
虽然英语有时候使用两种不同字母串(例如，两个单词)来表示世界中一样相同东西的两种同义词，但是我们并没有因此产生任何困扰。同样的，两种不同的数字串表示同一个数字也不是什么天塌下来的事情。
0.999……等于1么？没错，0.999……确实等于1。前提是我们大家一致同意这个不断重复的无穷小数的意思就是1。
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