矩阵的乘积有什么代数或具体应用意义？_知识号
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矩阵的乘积有什么代数或具体应用意义？
或者说，为什么要这么定义？数学线性代数矩阵运算高等数学矩阵王筝，数学系在读线性算子的复合。矩阵可以对应到线性算子这件事情不知道题主清楚不清楚。。写一写吧记φ是n维向量空间U到m维向量空间V的线性算子，取定U的一组基{e_i}，V的一组基{f_j}，那么φ就有对应的n行m列矩阵A，也就是，任取x=∑x_ie_i∈U，那么,
或者说，为什么要这么定义？数学线性代数矩阵运算高等数学矩阵王筝，数学系在读线性算子的复合。矩阵可以对应到线性算子这件事情不知道题主清楚不清楚。。写一写吧记φ是n维向量空间U到m维向量空间V的线性算子，取定U的一组基{e_i}，V的一组基{f_j}，那么φ就有对应的n行m列矩阵A，也就是，任取x=∑x_i e_i∈U，那么φ(x)=∑a_ij x_i f_j类似的，考虑V到l维向量空间W的线性算子ψ，取定W的一组基{g_k}，那么ψ也有对应的m行l列矩阵B，也就是任取y=∑y_j f_j∈V，那么ψ(y)=∑b_jk y_k g_k现在考虑U到W的线性算子ψφ，题主不妨自己算一下矩阵表示~越锋利，ME / BME / SJTU / Graduate.代数含义:以下提到的皆为
为列向量.最基本的代数含义就是矩阵乘法的定义;考虑 , 可以把
的列向量的线性组合, 因为根据矩阵乘法定义展开的话, 你会发现计算左边的结果的时候, 的第 n 列前面的系数就是
的第 n 行. 如果考虑, 那么可以把
的行向量的线性组合. 引申一下, 把扩充成矩阵, 则对于 , 则可以把中的每一列看成中列向量的线性组合, 系数为
中的每一列. 当然了, 也可以把
中的行向量看作是中行向量的线性组合，系数为 中的每一行;考虑 , 既然可以把
的列向量的线性组合的话, 那么如果
的列向量为线性空间 V 的一组基，则
可以看作向量
在那组基上的坐标. 当然了, 注意到, 所以所谓的向量
其实指的是向量
在单位阵作为基时候的坐标, 也就是说其实不存在一种绝对的, 独立于基的向量的表示方式, 只是一般默认为单位阵为基而已;继续考虑, 也可以把
算作线性变换算子, 将向量 的各个维度上的坐标进行缩放和组合，将向量映射为向量 . 称
下的像， 为
的原像。这样看来
中的一堆列向量进行变换
中的一堆列向量. 当然了, 正如上一条中提到的, 其实向量并不是向量, 只是一个坐标表示, 深入思考的话, 会发现所有用脱离了基的坐标来讨论线性变换的方式都是耍流氓, 因为省略了单位阵, 所以你就永远不知道如果不是单位阵的话情况会怎么样. 但是要仔细讨论的话, 打公式太累了, 此处省略四行公式, 哦看了下好像前面的 @王筝 提到了;既然矩阵可以看作是一个线性变换算子, 那么意味着一个线性变换能够看作是先做线性变换, 再做一个线性变换, 这个实际上是很有意思的. 比如说, 根据 xx 定理, 在复数域下任何正规矩阵都可以酉对角化, , 那么就可以把任何正规矩阵看作是一个旋转变换之后做一个拉伸变换, 再旋转回来, 这样一来直觉上好像就觉得舒畅很多了呢.实际应用的意义：待补完……王冲同意@王汐的说法。矩阵在数学里面有两层含义。一是线性变换。什么是线性变换呢？假设线性变换为T，要满足的条件就两个：T(x+y) = T(x) + T(y)、T(kx) = kT(x)。x是你工作的对象。这么说简直不是人话。但是落实到具体的应用领域就有趣了。最平凡的，x是(a, b, c)这样的数字向量，所谓线性方程组就是对于这个向量做变换。所以矩阵乘法可以用来解普通线性方程。如果把x看成函数，你知道微分运算是线性变换吗？所以矩阵乘法经常用来解微分方程。如果把x看成是空间中的点，你知道你在玩3d游戏中前进后退旋转，屏幕上的图像都是在做线性变换吗？所以很多同学都会举图形学的例子。如果一个电路有很多个输入端，所有输入端的电流和电压放在一块可以看成x。如果这个电路只包含电线和电阻，那么这个电路就是一个线性变换哦。电路的输出是x的线性变换。所以线性变换的乘法可以看成是一个又一个电路的组合。其实稍微扩展一下，如果把输入的一个波形分解成三角函数的组合，那么很多模拟电路元件如电阻电感什么的也是在做线性变换。所以学信号处理的同学天天就在玩矩阵。他们面临的问题基本上就是，我怎么才能组合几个基本的线性变换（矩阵乘法）来把输入信号（噪声巨多的声音）变成清亮、优美、极有情怀的中国好声音呢？概率书上经常会用矩阵运算来表达天气预测。每一天的天气状况在你观测到之后当然是一个具体值，但是在观测到之前，你可以把它想象成一个概率的向量。然后呢，假设每一天的天气和前一天的天气构成马尔科夫链，也就是说明天的天气是今天天气的线性变换（不可思议吧？这是因为贝叶斯定理。我也觉得很神奇，贝叶斯定理这么基础的定理里面竟然只有乘法和加法。正因为如此，玩概率和统计的兄弟可以每天happy的和矩阵打交道了。不过要不是这样，恐怕我们今天用概率能做的事情会少很多很多，因为人类的数学能力太渣了。）。所以矩阵的乘法可以帮助你预测n天后的天气。另外一个含义是把矩阵想成状态自身。这方面我知识有限，所以没怎么看到有趣的应用，就不献丑了。说了这么多应用，大家可能会好奇，为什么好像什么东西都是线性变换啊？这有三个原因。一个原因是这个世界够简单。比如牛顿定理F=ma。胡克定理F=kl。第二个原因是：我们的数学能力不足。所以在不知道研究对象服从什么定理的时候，我们通常都假设这个现象服从线性关系。因为任何复杂的函数在局部都可以看成线性的。第三个原因还是我们的数学能力不足。所以如果一个现象真的不服从线性关系，大家往往根本就发现不了什么优美的理论，所以往往不做。也就是，我们能认识的东西都是线性的，我们不能认识的东西我们也不知道他们是不是线性的。而线性关系的基础其实就是ax+by，没错，这里的乘法和加法就是我们中学学的乘法和加法。矩阵其实就是中学的乘法和加法，之所以要引入矩阵这么一个东西，是因为我们想要处理向量（一堆对象）的乘法和加法。比如用一次运算算出n个相互碰撞的小球未来的状态。声音、图像、天气看起来都是简单的对象，其实它们有内部结构的，所以是向量，所以要用矩阵。王希，学工科的数学爱好者，专业人士轻虐矩阵可以代表一个状态，也可以代表一个变换。矩阵乘法就是对一个状态执行一个变换。方long其实矩阵的乘法，只是用了乘法这个名字，具体的是复合，矩阵是线性变换的一种表示，就像一个人有很多个名字一样。矩阵是线性变换的数学名字。矩阵的乘法实际上是线性变换的复合，对应到函数就是函数的复合。逆矩阵对应的就是反函数知乎用户，机器学习与数据挖掘。入门者。推荐阅读文章 ”理解矩阵”系列。CSDN网址：孟岩这里简短截几句结论，具体说明参见其文章。首先有空间，空间可以容纳对象运动的。一种空间对应一类对象。有一种空间叫线性空间，线性空间是容纳向量对象运动的。运动是瞬时的，因此也被称为变换。矩阵是线性空间中运动（变换）的描述。矩阵与向量相乘，就是实施运动（变换）的过程。同一个变换，在不同的坐标系下表现为不同的矩阵，但是它们的本质是一样的，所以本征值相同。矩阵描述了一个坐标系。运动等价于坐标系变换。对象的变换等价于坐标系的变换。固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换。对坐标系施加变换的方法，就是让表示那个坐标系的矩阵与表示那个变化的矩阵相乘。知乎用户这本书里写得一清二楚呢。线性代数及其应用 (豆瓣)苏云，物理专业的程序员 / 爱代码胜过爱自己 / …要说物理应用的话：量子力学的矩阵形式。usk d用处很多，我就挑我熟悉的讲，量子力学里面的矩阵。
经典力学里面的物理量对应着量子力学里面的算符。与经典力学里的物理量是”数“不同，量子力学里面的算符用的是”矩阵“，因为量子力学里面的量”不对易“（量子力学基本原理之一，能量不连续等等都是由这个导出的），即不满足乘法交换律AB=BA，不可能用满足交换律的数表示。
你可以试一下，矩阵也是不满足AB=BA的。
其实数学上有证明，只要是满足结合律，不满足交换律，满足乘法线性....以及其他一些条件的量，都可以用矩阵表示，而满足这样条件的东西现实生活中是非常多的。（这一块内容对应着数学上”同构“的概念.）
线性代数课本里的几乎每一个内容都有在量子力学里面有应用。比如坐标变换对应着量子力学里的表象变换。比如特征值，特征向量这些东西，就对应着物理量的本征值，本征态矢。
两个矩阵的乘积自然就对应两个算符的乘积。匿名用户我只说矩阵乘积在计算机图形几何里面的应用。用于完成位移，旋转，缩放，空间变换。手机不方便前后补一些基本的运算公式至于意义我不知道。下面是我博客里面摘的一段。　1、平移操作　　要对某一个点u进行平移，那么值需要一个位移向量b与改点相加即可（前面提到向量只与长度和方向有关，那么平移操作，也就是这个点朝着某方向移动x距离）。在3d世界中，我们要平移某一个物体（异或模型），其实也就是将模型的每一个点都进行平移。但是如何通过矩阵来实现？ 给出平移矩阵如下：至于推导过程，google百度吧。　　　　　　 1　　0　　0　　0　　T = 　
0　　1　　0　　0　　　　　
0　　0　　1　　0　　　　　　bx　 by　bz　　1　　之前提到，点的存放形式为(x, y, z, 1)。那么将该点乘以平移矩阵T，得到的最终结果就为(x +bx, y + by, z + bz, 1)。(结果请参照矩阵乘法公式,也就是前一篇博客中提到的)。那么对向量进行平移呢？向量的存放形式为(x, y, z, 0)，平移结果没变，这也就是为何点和向量的存放方式有一点小区别的原因了。　　2、缩放　　缩放是指改变一个物体的大小。大家其实可以再Matrix3D中发现关于缩放操作的api。缩放矩阵如下（推导过程同样不再讨论了）：　　　　　　sx　　0　　0　　0　　S = 　　0　　sy　
0　　0 　　　　　　0　　0　　 sz　
0　　　　　　0　　0　　0　　1　　假设一个最小点(0, 0, 0)和一个最大点(4, 4, 4)定义一个正方体（注意：以后在讨论的时候，将不再写第四个点）。假设我们希望沿着x轴缩放0.5倍，沿着y轴缩放2倍，沿着z轴不变。那么我们的缩放矩阵则为(将缩放至填入上方矩阵即可)：　　　　　　0.5　　0　　0　　0　　S = 　　0　　
2　　0　　0　　　　　　0　　　0　　1　　0　　　　　　0　　　0　　0　　1　　我们将最小点以及最大点分别乘以缩放矩阵，结果则分别为(0, 0, 0)和(2, 8, 4)，大家可以通过肉眼就可以观察出来，正方体安装我们希望的进行了缩放。　　3、旋转　　我们希望物体围绕一个穿过坐标系原点的轴进行旋转。给出如下矩阵，即可实现绕n = (x, y, z)轴进行?弧度的旋转。其中c = cos?、s = sin?　　　　　　c+(1-c)x^2　　　　(1-c)xy+sz　　　　
(1-c)xz-sy　　　　　　
0　　R = 　　(1-c)xy-sz　　　　 c+(1-c)y^2　　　　
(1-c)yz+sx　　　　　
0　　　　　　(1-c)xz+sy　　　　(1-c)yz-sx　　　　　
c+(1-c)z^2　　　　
0　　　　　　0　　　　　　　　　0　　　　　　　　　　0　　　　　　　　　　1追月比如坐标x，y经过线性组合之后组合出一组新的坐标u，v，比如ax+by=u，cx+dy=v。对u，v再经过新的线性组合组合出第三组坐标 w，z，比如eu+fv=w，gu+hv=z。那用x，y怎么组合出w，z就是那两个矩阵的乘法运算，算一次就知道为啥要那样乘了~~ZZ Chris，在野武将理解矩阵 孟岩去搜下这篇文章看看Xi Yang，生物、计算机、数学、图像、音频全栈二把刀来撸计算机图形学吧，这里面可以用到矩阵运算的几何意义。矩阵对应一个（线性的）空间变换规则。一个点从空间A到空间B，在B中每个轴上的坐标，都是从A中的三个轴的坐标的值，线性组合出来的。比如：Xb = 1 * Xa + 2 * Ya + 3 * Za;Yb = ......Zb = ......这就可以把这些参数写成一个3x3矩阵。当这个矩阵满足特定的条件时，就可以有特定的几何意义。比如，如果变换前后，点到原点的距离不变，就是一个纯的旋转矩阵。不难注意到，这里没有纯的平移，因为b中的坐标都是依赖a中的坐标算出来的，而平移是一个纯粹的额外量。数学上，就需要把矩阵扩展到4x4；同时把点坐标扩展到4维，最后一个维度取固定的1或者0，是1的时候这个点就能受平移影响，是0的时候就会把平移分量在乘的时候抹杀掉。匿名用户matrix algebra是pair groupoid上面的category algebra。这个观点挺好玩的，具体来说jxwiszzw，SMSer就是映射的复合啊。。。一个m*n矩阵实际上可以代表一个R^m-&R^n的映射，而两个矩阵的乘积就是映射的复合王博通，酒逢知己么么哒 话不投机求别说m*n的矩阵可以理解为n维空间到m维空间的一个函数 n*k的矩阵可以理解为k维空间到n维空间的一个函数 二者相乘得到一个m*k的矩阵 可以看做两个函数的叠加 一个k维空间到m维空间的函数知乎用户，GEEK矩阵看作向量的集合。向量看作对多维度的描述。矩阵就是多维数据交互关系的描述。申兆纬，愧对土木工程这饭碗请去瞅瞅结构力学1最后那章，腻就知道什么叫实际运用了。知乎用户，IT纳税人《线性代数应该这么学》这本书里把这些问题讲的清清楚楚，书里边栏的注释里面还嘲讽那些只讲怎么做，不讲为什么的书。赵俊雄，学渣大学老师一枚想象一个牛逼的魔术师，说他牛逼是因为他真的可以无中生有而不是提前藏在衣袖里表演的时候再使个障眼法，而他牛逼的原因是因为他有一个神奇的魔法箱。而矩阵正是这个魔法箱，它的作用是把放进魔法箱的向量给变了（其实只有两种最基本的变法：拉伸和旋转，但这足够千变万化了），矩阵乘积就好像有多了几个魔法箱，一个套一个，第一个先把扑克向量变成围巾，第二个把围巾向量变成小兔，第三个把小兔向量变成鸽子，最终看到的是扑克变成鸽子，但还是一步一步变的，变化的信息就藏在魔法箱，也就是矩阵中
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