&&&非完整机器人的原理与控制
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版 次：1页 数：168字 数：223000印刷时间：开 本：16开纸 张：胶版纸印 次：1包 装：平装丛书名：国际标准书号ISBN：5所属分类：&&
由谭跃刚编著的《非完整机器人的原理与控制》基于非完整约束系统的力学原理与非线性控制理论的结合，重点阐述了非完整机器人的概念、特性及其可控欠驱动机械机构设计、运动规划和控制的原理与方法，提出了控制模型与机构模型相融合的思想方法，建立了非完整可控机械系统的设计理念与方法，介绍了基于这种设计思想和方法开发的非完整机器人实例，以及这种设计理念和方法的应用前景。
本书适合相关专业大学生、研究生以及工程技术人员阅读使用。
本书主要介绍非完整机器人的机构原理与控制方法，强调机器人机构学与控制理论的结合，提出了基于非完整约束机构模型与控制模型映射关系的可控欠驱动机器人机构设计的方法。书中内容是根据作者在非完整机器人领域的研究成果撰写的。全书共分9 章，内容包括：非完整机器人的基本问题和基础知识、非完整约束机构及其运动传递特性、可控非完整机器人的机构原理和控制方法等。本书着眼于对问题的理解，力图用通俗的语言诠释非完整机器人的机构原理与控制方法，突出非完整机器人的新机构。
本书适合于机械设计及理论、机械电子工程、控制理论等相关专业的研究生及科研工作者阅读，也可供从事机器人设计和应用的工程技术人员参考。
前言第1章 绪论1.1 非完整约束与非完整系统1.2 非完整机器人1.3 非完整机器人的基础问题1.3.1 机器人的“非完整性”判别1.3.2 非完整机器人的可控性1.3.3 非完整机器人的运动规划1.4 非完整机器人的研究综述1.4.1 非完整机器人特性的研究综述1.4.2 非完整运动规划与控制的研究综述1.4.3 新型非完整机器人的研究综述1.5 本书内容概述参考文献第2章 非完整系统的基本特性
前言第1章 绪论1.1 非完整约束与非完整系统1.2 非完整机器人1.3 非完整机器人的基础问题1.3.1 机器人的“非完整性”判别1.3.2 非完整机器人的可控性1.3.3 非完整机器人的运动规划1.4 非完整机器人的研究综述1.4.1 非完整机器人特性的研究综述1.4.2 非完整运动规划与控制的研究综述1.4.3 新型非完整机器人的研究综述1.5 本书内容概述参考文献第2章 非完整系统的基本特性2.1 非完整系统的约束特性2.2 约束的非完整性判别2.3 非完整系统的可控性2.4 非完整系统的控制与链式变换2.4.1 非完整系统的控制2.4.2 链式变换2.4.3 链式变换的特性2.5 非完整系统的动力学方程2.5.1 非完整系统的哈密顿原理2.5.2 非完整系统的典型动力学方程2.6 本章小结参考文献第3章 非完整约束机构的原理3.1 非完整约束机构的结构模型3.2 非完整约束机构的运动模型及其特性3.2.1 非完整约束机构的运动模型3.2.2 非完整运动传递机构的主要特性3.3 非完整约束机构的运动学分析3.3.1 圆盘转动为机构运动的输入3.3.2 转盘转动为机构运动的输入3.4 非完整约束机构的动力学特性3.5 本章小结参考文献第4章 面向控制的非完整机器人机构的理论设计4.1 可控非完整机器人机构的设计思想4.2 开链式非完整机器人机构的理论设计4.2.1 机器人的关节结构与运动传递关系4.2.2 机器人的结构4.3 开链式非完整机器人的运动学模型4.4 开链式多关节机器人的可控性和非完整性4.5 并链式可控非完整机器人机构的理论设计4.5.1 能量主传递链的设计4.5.2 并链式非完整机器人机构的理论设计4.5.3 并链式非完整机器人的可控性和非完整性4.6 本章小结参考文献第5章 多关节非完整机器人的基本特性与链式变换5.1 四关节非完整机器人机构的基本特性5.1.1 开链式四关节非完整机器人机构的基本特性5.1.2 并链式四关节非完整机器人机构的基本特性5.2 四关节非完整机器人系统的链式变换5.2.1 多关节非完整机器人系统的链式变换方法5.2.2 开链式四关节非完整机器人的链式变换5.2.3 并链式四关节非完整机器人的链式变换5.3 多关节非完整机器人的动力学模型5.4 本章小结参考文献第6章 多关节非完整机器人的运动规划6.1 链式系统的控制6.1.1 链式系统的时间多项式输入控制6.1.2 链式系统的三角函数输入控制6.1.3 链式系统的最优控制6.2 非完整机器人的运动规划方法6.3 基于时间多项式输入的非完整机器人的运动规划6.3.1 开链式多关节非完整机器人的运动规划6.3.2 并链式多关节非完整机器人的运动规划6.4 基于三角函数输入的非完整机器人的运动规划6.4.1 开链式多关节非完整机器人的运动规划6.4.2 并链式多关节非完整机器人的运动规划6.5 本章小结参考文献第7章 多关节非完整机器人的设计与实验研究7.1 开链式三关节非完整机器人的机械设计7.1.1 设计中的主要问题7.1.2 关节传动机构的设计7.1.3 多关节非完整机器人的机械设计7.2 运动控制实验平台7.2.1 实验平台系统的建立7.2.2 硬件结构体系7.2.3 软件结构体系7.3 三关节非完整机器人的控制实验研究7.3.1 时间多项式输入控制7.3.2 时间多项式控制的三关节非完整机器人的实验分析7.4 本章小结参考文献第8章 多挂车轮式移动机器人的操舵控制8.1 多挂车轮式移动机器人的运动学模型及特性8.2 多挂车轮式移动机器人的操舵与模型8.3 多挂车轮式移动机器人系统的链式变换8.4 多挂车轮式移动机器人的操舵方法8.5 多挂车轮式移动机器人的轨迹跟踪性能8.6 本章小结参考文献第9章 非完整机器人的研究展望9.1 非完整系统的控制研究9.2 非完整机器人机构的研究9.3 非完整机器人的应用参考文献
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第1章 绪论
“完整（holonomic）”和“非完整（nonholonomic）”是力学上对约束和系统的分类概念。完整约束是对系统位形的限制，非完整约束是对系统运动的限制。具有非完整约束的机器人属于非完整系统，也称为非完整机器人，如轮式移动机器人就是受到非完整滚动约束的非完整机器人。非完整机器人的显著特征是系统的广义坐标变分并不都是独立的，这就是说非完整机器人系统的位形空间维数多于控制输入空间的维数，从而使得非完整机器人表现出与完整机器人（如工业机器人等）不同的运动特性和控制特性。
本章主要介绍非完整约束、非完整系统及非完整机器人的一些基本概念，以及相关研究的发展现状，以展示非完整机器人系统的基本概貌。
1.1　非完整约束与非完整系统
机械是基于力学原理组成的机构和机器，机械的基础是力学。
在力学中，对系统的位形（即位置与姿态）和运动的限制作用称为约束。例如，轮式移动机器人的运动就受制于车轮与地面之间的无滑动滚动，这种滚动约束表现为限制车轮上与地面接触点的瞬时速度为零。一般情况下，可用包含坐标参数的数学方程来描述约束，这种数学方程就称为系统的约束方程。
实际中的系统总是受到各种各样的约束，如几何约束与运动约束、定常约束与非定常约束、双面约束与单面约束、可积分约束与不可积分约束等。在这些约束作用下，系统的运动往往表现出不同的特性。从系统的运动本质类别（或从约束方程的实质）来看，约束可分为完整约束和非完整约束两大类。
若约束仅限制系统的空间位形，则这种约束称为几何约束。其约束方程一般表示为
f（q，t）＝0（1?1）式中，参数t是时间；q是表示系统位形的广义坐标向量，一般表示为
显然，几何约束只限制系统的几何位置和姿态，不限制系统的运动速度。
?2?非完整机器人的原理与控制
若约束不仅限制系统的位形，还限制系统运动的速度，则这种约束称为运动约束。对于系统的广义坐标向量q和广义速度向量q?，即
　和　q?＝ddqt＝
运动约束的约束方程一般表示为
f（q，q?，t）＝0式中，f（q，q?，t）∈Rm×1，m是约束个数。
在许多的实际问题中，运动约束可以转化为与系统广义速度q?i（i＝1，.，n）呈线性关系的形式，即
f（q，q?，t）＝∑nWi（q）?q?＝W（q）?q?＝0（1?3）
式中，系数矩阵W（q）∈Rm×n（m＜n）是满秩的，其中的每一个行向量Wi（q）∈R1×n（i＝1，2，.，m）是对系统广义速度q?取值方向的一种约束。许多的轮式移动机器人、多指机器人、冗余机器人等的运动约束方程一般可表示为这种关于系统广义速度
q?的线性关系。
定义1.1　式（1?3）表示的线性运动约束称为Pfaffian约束。
在图1.1中，半径为r的滚轮在直线轨道上作无滑动的滚动时，滚轮的位形由滚轮所在平面上的滚轮中心坐标（xc，yc）和姿态角φ确定，记q＝
T。此时滚轮与直线轨道的接触点A是其速度瞬心（线速度vA＝0），滚轮的运动可看成是绕速度瞬心A的瞬时转动，其约束方程为
yc＝r（1?4）
W（q）?q?＝10-r
＝x?c-rφ?＝vA＝0（1?5）φ?
　无滑动滚动约束
　　显然，约束方程式（1?4）表示的是对滚轮的几何约束；约束方程式（1?5）是速度
x?c、φ?的线性组合，表示的是一种线性运动约束。但是，滚轮受到的这种运动约束可以通过积分表示为
xc-rφ＝C　（C为积分常数）（1?6）表明图1.1所示滚轮受到的运动约束的本质是几何约束，或者说这时的滚轮速度
x?c、φ?被限制在超曲面xc-rφ＝C上。在图1.2中，半径为r的滚轮在平面上做自由的无滑动滚动时，滚轮的位形可由坐标（xc，yc）、方位角θ和姿态角φ确定，记q＝
xcycθφT。此时，滚轮与平面的接触点A仍是滚轮的速度瞬心（线速度vA＝0），其运动仍可看成是绕速度瞬心A的瞬时转动，约束方程为
yc＝r（1?7）
100-rcosθ
W（q）?q?＝
010-rsinθ
x?c-rcosθ?φ?
＝vA＝0（1?8）
yc-rsinθ?φ
在图轮平　12.上的无滑动滚动约束
　　可以看到，滚轮在平面上做自由的无滑动滚动时，滚动约束既限制滚轮的几何位置，还限制滚轮的运动速度。这时的滚动约束是一种本质的运动约束，即约束方程不能通过积分转化成几何约束，因为滚轮的方位角θ是变化的，或者说这时的滚轮速度不被限制于某个超曲面上。只有当滚轮的方位角θ固定不变时，自由的无滑动滚动约束就可转化为图1.1所示的滚动约束。
几何约束和可积分的运动约束属于同一个范畴的约束，这类约束是对系统空间位形的限制，系统运动速度被限制在某个超曲面上。不可积分的运动约束是对系统速度的限制，且这种限制不局限于位形空间中的某个超曲面上。因此，几何约束和可积分的运动约束规定了一类系统运动，不可积分的运动约束规定了另一类系统运动。
定义1.2　几何约束和可积分的运动约束，称为完整约束；不可积分的运动约束，称为非完整约束。相应地，只含有完整约束的系统，称为完整系统；含有非完整约束的系统，称为非完整系统。
完整系统和非完整系统是具有不同运动性质的两类系统。完整系统的运动限于某一位形，用微分几何的术语表述就是完整系统的运动被限制在位形空间中的某个流形上；非完整系统的运动是在不同流形之间的运动。可以进一步通过考察某系统在受到式（1?9）约束时的运动情况，看到这两类运动的区别。
p1（q（t））0≤t＜T
p2（q（t））T≤t＜2T
-p1（q（t））2T≤t＜3T（1?9）-p2（q（t））3T≤t＜4T
?4?非完整机器人的原理与控制
式中，q（t）是系统的广义坐标；p1（q（t））、p2（q（t））分别是相互独立的沿某超曲面运动的速度。对于这个系统运动的最终位形q（4T），可以依据式（1?9）的约束条件，通过逐个时域区间的Taylor
级数展开计算得到［1］
抄p2（抄qq（t））p1（q（t））-抄p1（抄qq（t））p2（q（t））
+O（T3）q（4T）＝q（0）+T2
（1?10）　　由此可见，如果时间T充分小，则系统运动的最终位形q（4T）与初始位形q
（0）一致，这时式（1?9）所示约束的完整性和非完整性无关。系统运动的差异主要
表现在式（1?10）右边第2项上（即关于T的二次项）。为了便于说明，令［p1，p2］＝抄抄pq2p1-抄抄pq1p2（1?11）
　　实际上，对于完整约束，［p1，p2］总是处于系统位形q（t）可能运动的切空间内，即完整约束下的系统运动速度只能限于局部的位形空间内；对于非完整约束，［p1，p2］一般不是总处于系统位形q可能运动的切空间内，亦即非完整约束下的系统运动可以抵达系统位形空间内的任一位形。因此，完整约束存在一个确定的约束超曲面，而非完整约束不存在这样的约束超曲面。这就表明，完整系统的运动只能限于位形空间中的一个约束超曲面上，而非完整系统的运动则没有这个限制。因此，完整约束是对系统的一种本质几何约束，非完整约束是一种本质运动约束。
1.2　非完整机器人
约束的“完整性”和“非完整性”规定了两类不同性质的运动，这表明在分析非完整系统的运动时，不能完全用完整系统的方法来处理。这个问题在机器人领域尤为突出。机器人的约束方程常常是复杂的非线性方程，且在许多情况下可以实现严密的反馈线性化，从而可以应用线性系统的控制方法来控制机器人的运动。然而，人们在研究轮式移动机器人、宇宙机器人的一些运动规划和控制问题时，遇到了如何处理不可积微分方程式的约束问题。例如，在处理多指机器人的抓取问题时，若手指端在抓取物体表面存在自由滚动，那么采用反馈线性化等方法就不能解决其运动规划和控制问题［2］。对于这类可控的非线性机器人，采用线性化方法所遇到的这些问题，后来研究发现可归结为系统约束的非完整性。
常见的工业机器人或机械操作臂，由于其坐标之间的约束关系可以表示成代数方程的几何约束形式，因此这些工业机器人属于完整系统的范畴。而常见的轮式移动机器人、水下机器人、宇宙机器人、体操机器人和多指机器人等，由于其运动约束存在非完整性，它们属于非完整系统的范畴。
定义1.3　含有非完整约束的机器人，称为非完整机器人（nonholonomicro
非完整机器人属于非完整系统的范畴，它的特性主要反映在非完整约束方程上，不同的非完整约束形式直接影响着这类机器人的运动规划和控制方法。实际上，非完整约束的表现形式有一阶微分方程和二阶微分方程等多种。轮式移动机器人、太空机器人等机器人受到的非完整约束一般就表现为一阶微分方程；具有自由关节的欠驱动机械臂（如倒立摆）等机器人受到的非完整约束一般就表现为二阶微分方程。本书主要是以不可积一阶微分方程约束下的非完整机器人为对象，重点讨论这类非完整机器人的设计与控制等问题。
实际中，大多数非完整机器人的运动约束是对系统运动速度的约束，非完整约束的方程表现为不可积一阶微分方程。在许多情况下，这种一阶微分方程的约束形式一般可表示为不可积Pfaffian约束的形式，即
W（q）?q?＝0（1?12）式中，q∈Rn为系统的广义坐标向量；W（q）∈Rm×n为关于系统广义坐标的系数矩阵（m＜n）。显然，式（1?12）是关于系统广义速度的一种一阶线性微分方程组。
在不可积Pfaffian约束下，如果可确定彼此线性独立的广义速度u（u∈Rn-m），那么非完整机器人系统就又可表示为一种系统状态的导数与系统状态的非线性关系，与系统控制量呈线性关系的对称仿射系统（affinesystems），即
q?＝P（q）?u（1?13）式中，P（q）是关于系统广义坐标的满秩矩阵。注意：对称仿射系统的状态量q∈Rn数目多于控制输入量u∈Rn-m的数目，这对相应的非完整机器人来说就是机器人的位形空间维数大于控制输入空间维数，表明非完整机器人是一类欠驱动机器人。
轮移动机器人
图1.3所示为一个二轮移动机器人，其轮子的无滑动滚动就构成移动机器人系统的非完整约束，它表现为3维位形空间中2个位置坐标（Xc，Yc）和1个方位坐标θ的运动变化之间的关系，即
X?csinθ-Y?ccosθ＝sinθ　-cosθ　0Y?c＝0（1?14a）
表示成对称仿射系统的形式就是
?6?非完整机器人的原理与控制
式中，v是动坐标系c-xy的原点沿c-x轴方向运动的速度。这个二轮移动机器人系统的实际控制输入是左右轮的转动角速度，即有
φ?R（1?14c）＝
φL从而，以左右轮转动角速度为控制输入时，这个二轮移动机器人系统的对称仿射系
统的形式就为
rcosθrcosθ
rsinθrsinθ
r／a-r／aφL
　　因此，二轮移动机器人系统是一个位形空间维数为3，控制输入空间维数为2的欠驱动系统。同样，对于图1.4所示的三轮和四轮移动机器人系统，其车轮与地面之间的无滑动滚动约束是一种非完整约束。如果取位形空间由坐标Xc、Yc、θ构成，控制输入空间是由速度v和φ?构成，那么这类三轮和四轮移动机器人系统的运动约束方程为
sinθ-cosθ0
＝0（1?16a）
-tanφ0acosθ
＝cosθsinθ（tanφ）／a000vφ?（1?16b）
图1.4　三轮
和四型轮式移动机器人
如果把轮式移动机器人的前轮方位角φ也作为位形量，则系统的运动约束方程就表示为
sinθ-cosθ00
＝0（1?16c）
-tanφ0acosθ0
cosθ0sinθ0（tanφ）／a001
式（1?16b）不是对称仿射系统，式（1?16d）是对称仿射系统。
在如图1.4所示的轮式移动机器人系统中，假设其位形空间内还存在一个φ＝45°的几何约束，且认为轮式移动机器人上的c点沿c-x轴方向运动的速度v是常数。那么，由运动约束式（1?16d）的求解可知，此时轮式移动机器人的运动被限制于位形空间内的某个超曲面上，这个超曲面就是
Xc＝vasinvta，　Yc＝-vacosvta-1，　θ＝vta，　φ＝45°（1?17a）
X2c+Y2c＝2va21-cosvta，　θ＝vta，　φ＝45°（1?17b）
　　根据人们实际的经验，轮式移动机器人尽管存在非完整约束，但它仍能以任意方位停留在平面上的任意位置，这表明轮式移动机器人的位形坐标是可以自由变化的，也就是说轮式移动机器人可以在其位形空间内处于任意位形。如果在轮式移动机器人的位形坐标之间还存在完整约束，那么这些坐标之间就不可能是自由的，此时轮式移动机器人就不能在位形空间内任意运动，而只能在位形空间内的某个超曲面上运动。
1.3　非完整机器人的基础问题
对非完整机器人的研究，许多情况下可以归结为对不可积Pfaffian约束和对称仿射系统的研究。事实上，许多轮式移动机器人、多指机器人、宇宙机器人的运动约束就表现为不可积Pfaffian约束，其对应的对称仿射系统就是研究这类非完整机器人系统运动控制的基础。正是由于非完整机器人的运动有其自身的特点，对非完整机器人性能的研究就不能采用针对完整系统的研究方法。
?8?非完整机器人的原理与控制
1.3.1　机器人的“非完整性”判别
这实际上是判断机器人所受运动约束是否可积的问题，涉及力学和数学的方法。对于机器人受到的Pfaffian约束Wi（q）q?＝0，　Wi（q）∈Rn，　i＝1，2，.，m（1?18）可积就意味着存在函数hi（q（t））：Rn→R，且有
hi（q（t））＝0（1?19）代数方程式（1?19）就是对机器人的几何约束。因此，Pfaffian约束可积与完整约束等价。
这样看来，似乎只要确定函数hi（q）不存在的条件就可判断Pfaffian约束是否为非完整约束。但是，问题没有这样简单，要判断机器人是否为非完整机器人还不是一件容易的事。因为根据文献［2］的介绍和作者的研究表明，对于式（1?18）表示的这些Pfaffian约束，要判断是否具有可积性，不但要考察每个Pfaffian约束是否可积，还要考察这些Pfaffian约束的线性独立组合是否都可积。只有在每个Pfaffian约束及其线性独立组合都不可积时，这些Pfaffian约束才是完全非完整的。这时机器人在整体上才反映出“非完整性”，即为非完整机器人。这方面的一些问题目前还需要深入系统地探索和研究。
另一方面，考虑到机器人受到的Pfaffian约束一般可以转化为对称仿射系统的形式，那么考察其相应对称仿射系统的可达性，就可判断机器人是否为非完整机器人。因为非完整机器人可在位形空间内任意运动，如果对应的对称仿射系统能够在位形空间内实现任意两点之间运动，即系统的可达位形不受限制，那么Pfaffian约束就是非完整约束，所约束的机器人就是非完整机器人。这项工作有不少的研究成果［2］，为判断非完整机器人提供了一些有效方法。但是，这些判断方法的普适性还不够，需要进一步的研究和探索。
1.3.2　非完整机器人的可控性
Pfaffian约束表现为一阶微分方程，是对系统运动的限制。如果Pfaffian约束可积，即为完整约束时，系统的运动在位形空间内就被限制于某个超曲面（即流形）上，也就是系统运动的速度被限制在这个超曲面的切空间上；如果Pfaffian约束不可积，即为非完整约束时，系统的运动在位形空间内就不被限制在某个超曲面上，可以自由运动，即可在不同位形之间运动。因此，非完整机器人在位形空间中可以自由的运动。很显然，对于这种自由运动，人们所关注的主要问题是这种自由运动是否可控？在位形空间内运动的可达空间是否一定充满位形空间？或者可达空间在什么条件下将是位形空间？这些问题与机器人所受约束的非完整性密切相关。
另一方面，非完整机器人的运动往往表现为非线性，很多情况下呈现出非线性对称仿射系统的形式。Brockett在1983年讨论了非线性仿射系统连续状态反馈控制渐近稳定化的条件，得出使非线性对称仿射系统在平衡点渐近稳定的连续状态反馈控制律不存在的结论［3］。这表明非完整机器人的控制存在一定的难度，需在非线性控制理论方面有深入的研究和突破。
1.3.3　非完整机器人的运动规划
非完整系统的广义坐标变分并不都是独立的，而完整系统的广义坐标变分都是独立的。这就使得在分析非完整系统动力学特性时，不能用第二类拉格朗日方程来建立其动力学方程。因此，在求解和分析非完整机器人的动力学特性时，必须考虑非完整约束的存在所带来的问题，尤其是非完整机器人的运动规划必须考虑约束的非完整性问题。
机器人的运动规划是寻求位形空间内的许可运动（空间），使机器人能从初始位形沿许可运动（空间）达到终端位形。对于（完整）机器人的运动规划，一般认为在位形空间内不与不可达空间相交的任何运动都是许可的。对于非完整机器人的运动规划，不仅要确定与不可达空间不相交的运动（空间），而且还要求这个运动（空间）满足非完整约束的条件。例如，轮式移动机器人的运动规划不但要避开障碍物，而且还要满足车轮无滑动的滚动约束条件，这就是说轮式移动机器人尽管在位形空间内可运动到任意的目标点，但在位形空间内的运动路径不是任意的，运动路径必须满足车轮无滑动滚动约束的条件。因此，非完整机器人的运动规划有其特殊性，必须建立相应的运动规划方法。近些年来，这方面的研究非常多，已成为研究非完整机器人的一个热点。
总而言之，非完整机器人的“非完整性”判别、可控性、运动规划等问题仍是目前需要解决的主要基础问题。实际上，从20世纪80年代开始，在机器人领域就围绕这些问题在开展研究，并逐步形成了机器人学科的一个研究方向。从分析力学的角度看，非完整机器人是一种自由度少于其位形空间维数的欠驱动机械系统，如何利用约束的“非完整性”开发可控的欠驱动机器人也是一项非常有意义的工作。
为了提高机器人精细操作的性能，机器人机械本体的运动复杂性与运动控制实时精确性的协调问题一直是机器人领域研究解决的主要问题之一。机器人机械本体必须与控制系统构成一个紧密的整体，机器人的操作性能才可获得充分的发挥。然而，在以前的机器人系统的研究开发中，机器人的机械本体基本是独立的从机构学角度提出的，机器人的控制主要是针对已有机器人机械本体在控制理论领域展开研究。机器人系统的机械本体开发与控制方法研究的这种相
?10?非完整机器人的原理与控制
对分离或结合不紧密的问题，一直制约着机器人领域的创新。对此，近20年来，有不少学者在探索将机器人机构学与控制理论结合起来研究开发新型机器人的工作。
1.4　非完整机器人的研究综述
在机器人领域，“非完整”这一术语在较早的文献中就有出现，如文献［4］、［5］分析了手指机器人的滚动接触是一种非完整约束。但是，基于约束的非完整性来研究机器人问题的文章，最早的可能是在1987年，由法国LAAS（theLaboratoryforAnalysisArchitectureofSystems）的学者Laumond［6］发表的轮式移动机器人在非完整约束下运动的论文和由美国麻省理工学院的Vafa［7，8］博士发表的关于不可积微分约束下的太空机器人的姿态控制论文。1989年，Li和Canny［9，10］等学者讨论了多手指机器人在非完整约束下的运动规划问题，Nakamura和Mukherjee［11，12］学者给出了宇宙机器人运动在角动量守恒条件下的非完整约束性证明。
1990年11月在法国格勒诺布尔举行的机器人控制研讨会（InternationalWorkshoponNonlinearandAdaptiveControl：IssuesinRobotics）上，非完整机器人的控制成为了主要的研讨问题之一［13］，同年出版的?机器人运动规划?［14］一书中的第9章就机器人的运动约束和运动规划问题进行了较详细的介绍。在1991年5月的IEEEInternationalConferenceonRoboticsandAutomation会议上，举行了非完整运动规划的理论和算法及其应用的专题讨论［15］，针对这次研讨的内容，1993年出版了?非完整运动规划?一书［16］。这些研究和介绍表明非完整机器人的问题是一个关于机器人学与力学、数学和非线性控制理论等学科相融合的问题，从而使得许多不同学科的学者更多地关注或重视对非完整机器人的研究，使非完整机器人的研究逐渐成为了机器人领域的一个研究方向。
1.4.1　非完整机器人特性的研究综述
机械约束的完整性和非完整性很早就引起了一些学者的关注。文献［17］、
［18］就Pfaffian约束的完整性和非完整性作了详细的阐述。文献［19］的第1章介绍了不同类型约束的特性。文献［20］专门对一些机械机构的Pfaffian约束的非完整性作了详细的分析。文献［5］、［10］、［21］、［22］研究分析了机械手指与物体表面接触的滚动约束的特性。在关于非完整机器人系统的专题讲座文献［1］中的第一部分，系统地归纳了Pfaffian约束非完整性的分析判别方法。
由于不可积Pfaffian约束的形式是一阶微分方程，它是对系统广义速度的限制，因此具有这类约束的非完整机器人系统属于一阶非完整系统，如轮式移动机器人、太空机器人等就属于这类系统。具有不可积二阶微分方程约束形式的系统称为二阶非完整系统，属于这类系统的典型代表是一种具有自由运动关节的欠驱动机械臂（如倒立摆等），这类二阶非完整机器人的运动约束形式为
f（q，q?，?q?）＝0（1?20）且不能表示成Pfaffian约束的形式，其系统的运动可以表示成一种非对称仿射系统，即
q?（t）＝g（q）+P（q）?u（t）（1?21）式中，g（q）称为偏差（drift）。
显然，二阶非完整机器人系统的运动特性不同于一阶非完整机器人系统，从而对其非完整性、可控性、状态反馈镇定等特性的研究就不能用一阶非完整机器人系统的分析设计方法。文献［23］就这种二阶非完整机器人系统的运动特性、约束的非完整性、系统的可控性和反馈稳定性进行了系统的介绍。文献［24］在研究一种具有一个自由关节的欠驱动机械臂的控制问题时，给出了其二阶微分约束方程可以通过积分转换成完整约束形式的条件，进而文献［25］对这种约束的可积分性作了更系统的分析，文献［26］从混沌理论的角度分析了这种欠驱动机械臂的运动特性。文献［27］就完全二阶非完整系统的定义和可达性进行了讨论。除此而外，文献［28］、［29］研究的水上船舶、文献［30］研究的水中机器人、文献［31］研究的气垫船（hovercraft）等都属于二阶非完整机器人系统。从这些文献中可以看到，各种二阶非完整机器人系统的特性是不同的，如具有自由运动关节的多关节机械臂的特性就受关节数、欠驱动关节的配置、重力因素以及构件质量分布的影响，从而使得运动控制方法也不同。这表明在非完整机器人系统的研究中，还有许多需要深入研究的问题。
国内北京理工大学梅凤翔老师从力学的角度，对非完整约束及其非完整系统的特性也有很多的研究，文献［32］、［33］详细地介绍了非完整系统的力学特性，在文献［34］的第4章和第5章中分析研究了非完整系统的平衡稳定性和运动稳定性的问题。
1.4.2　非完整运动规划与控制的研究综述
非完整机器人系统可分为一阶和二阶两种类型，一阶非完整机器人系统的运动可以归结为对称仿射系统，二阶非完整机器人系统的运动对应着非对称仿射系统。实际上，对称放射系统是非对称仿射系统的偏差项为零时的一种特例，它们都可以看成是非线性控制系统。因此，对非完整机器人系统的运动规划和控制的研究，就主要是围绕这类非线性仿射系统在展开。
非完整机器人系统的控制研究已经取得了许多的成果，其中最具代表性的就
?12?非完整机器人的原理与控制
是针对仿射系统的一种标准形式DDD链式系统（chainedform）提出的各种非完整运动规划和控制方法［2，35］。最简单的链式系统（即单链系统）是一种具有两个控制输入、n（＞2）个输出的可控非完整系统。在文献［2］、［36］、［37］中较系统地介绍了基于链式系统的各种非完整运动规划及其控制的方法，如三角函数输入控制、时间多项式输入控制等，并且介绍了非完整系统通过非线性坐标变换和反馈输入变换转化为链式系统的条件和方法。
在非完整机器人系统的运动控制研究中，大多数是针对轮式移动机器人系统展开的。发表的许多文献都是利用链式形式讨论轮式移动机器人系统的控制问题。文献［38］在研究图1.5所示带有2个拖挂车的轮式移动机器人系统的链式变换及其运动控制中，发现将图1.5（a）所示坐标选为系统广义坐标时，系统虽然具有可控性，但却不能满足链式变换条件，从而难以利用链式系统的控制方法实施有效的运动控制。对这个问题，S宝rdalen在其博士论文［39］中针对具有n个拖挂车的轮式移动机器人系统给出了满意的解决办法，这就是将系统的（x，y）坐标选在最末一个拖挂车上（如图1.5（b）所示），这样具有n个拖挂车的轮式移动机器人系统就可以转换成链式系统，从而利用链式系统的运动规划方法给出了这种轮式移动机器人系统的运动控制算法。
图带拖车15
的轮式移动机器人系统
Murray和Sastry在文献［40］中，利用Fourier级数的方法给出了链式系统的正弦输入控制算法。文献［41］给出了链式系统的一种时间多项式输入控制算法，克服了正弦输入控制实时性不强的弱点。文献［42］依据Lie括号计算形成的扩展系统，提出了不论是幂零（nilpotenzable）还是非幂零的无漂移系统的一种运动规划方法，不过这样形成的规划轨迹对于高维系统难以实现。对此，文献［43］专门讨论了这种高维系统的正弦输入控制方法，认为采用高频正弦输入控制可以近似地逼近这种规划轨迹，且当正弦输入的频率为无穷大时就收敛于期望轨迹。文献
［44］、［45］基于一种扩展型链式系统，分别讨论了非完整系统的正弦输入控制方法和稳定性问题。
在文献［41］、［46］、［47］中，采用非完整系统的另一种标准形式DDDGoursat标准形式讨论了非完整机器人系统的运动规划及其应用的问题。Goursat标准形式的主要特点是给出了对非完整系统进行转换的简单条件和运算法则，且可以转换成链式形式。因此，在非完整机器人系统的运动规划与控制中获得较多的应用。在文献［48］、［49］中，采用链式系统的一种对偶形式DDD幂式（powerform）讨论了非完整机器人系统的运动规划问题，文献［50］讨论了链式系统和幂式系统的各自特点。另外，文献［51］、［52］介绍了一种将链式形式转换成可控的时间-状态控制型（time?statecontrolform）的方法，这种时间-状态控制型可以看成是非线性状态方程，一般通过状态反馈可实现稳定控制。
国内以北京航空航天大学、中国科学院沈阳自动化研究所、华中科技大学、华南理工大学等单位为代表，在非完整机器人系统的运动规划和控制研究方面也取得了许多的研究成果。文献［53］、［54］针对移动机器人运动模型的一种标准型，分别提出了动态跟踪控制和一维动态控制的方法；文献［55］用动态扩展线性化方法提出了链式系统的一种跟踪算法；文献［56］、［57］在考虑实际轮式移动机器人速度饱和限制的条件下，通过人工场的方法提出了一种非连续位形控制方法；文献［58］通过适当的输入及非线性状态变换将非完整系统分解为二个低阶子系统，进而给出了非完整系统的高阶滑模控制方法；文献［59］给出了移动机器人的一种实时解耦控制方法。除此而外，文献［60］、［61］分别研究了空间双臂机器人和欠驱动体操机器人的控制问题。综合国内发表的一些研究文章来看，对于非完整机器人系统的运动规划和控制的研究主要还是针对移动机器人和多指手抓取问题展开的。
在实际中，为减小各种干扰因素对机器人系统运动的影响，一般需采用反馈控制方法。可是，按照Brockett在文献［3］中给出的仿射系统状态反馈渐近稳定的必要条件（称为Brockett定理），对称仿射的非完整系统采用光滑定常状态反馈渐近稳定是不可能的。不过，人们从Brockett定理中对状态反馈的光滑性和时间定常等的要求得到启发，认为非完整机器人系统在运动目标是状态空间中点的集合或运动轨迹时，采用分段光滑或者时变状态反馈是可以实现闭环控制的。
对非完整机器人系统反馈控制问题的研究，从1990年代开始国内外都十分活跃，提出了许多有效的反馈控制方法。文献［62］较详细地介绍了非完整机器人系统的各种反馈控制方法，如基于时间-状态控制型的反馈控制方法、时变状态反馈控制方法、分段连续状态反馈控制方法、指数镇定控制方法等，并对这些反馈控制方法的特性进行了比较。
文献［63］、［64］针对二轮移动机器人给出了时变反馈控制方法，但分析也表明这些时变反馈控制方法的收敛速度较慢。对此文献［65］提出了在目标附近采用时变反馈方案的一种混合控制方法。随后，许多学者提出了各种不同的时变反馈控制方法［66~71］。时变反馈控制在大多数情况下是以时间周期性变化实现的，一般来说其指数稳定的收敛速度较慢，甚至可能不收敛，这是时变反馈控制方法的不足点。另一方面，文献［35］按照Brockett定理的证明，分析了在水平面内具有自由关节的欠驱动机械臂的反馈控制问题，发现采用定常连续状态反馈控制不能实现渐近稳定，但是如果这种欠驱动机械臂的关节轴线与重力方向成一定角度，如倒立摆装置等，则可以通过线性化的定常状态反馈实现在平衡点的渐近稳定。对于这种不受重力影响的欠驱动机械臂，只能采用时变状态反馈控制或分段连续反馈控
?14?非完整机器人的原理与控制
制实现平衡点的渐近稳定。
Sussmann在文献［72］中证明了可控系统在分段连续反馈控制下可以收敛于状态空间内的任意点。根据这一结论，文献［73］、［74］针对轮式移动机器人提出了分段连续反馈控制方案，并表明了这种反馈控制实现全局指数稳定的有效性和收敛的快速性。进一步，S宝rdalen和Egeland将这种分段连续反馈控制方法扩展到了链式系统［75］，实现了时变和分段连续的K?指数收敛反馈。文献［76］介绍了将这种分段连续反馈控制方法应用于带有n个挂车的轮式移动机器人系统所遇到的控制问题，并给出了一种解决方法。文献［77］介绍了一种独轮车的分段连续反馈控制方法。实际上，关于非完整机器人系统的分段连续反馈控制的研究至今已经取得了许多的成果［76~86］，国内在这方面的研究也有许多独特的优势和成果［82~86］。
1.4.3　新型非完整机器人的研究综述
轮式移动机器人、体操机器人和宇宙机器人是典型的非完整机器人系统，这类机器人的约束非完整性和运动非线性，确定了其运动控制的特点。人们在努力研究和完善这类非完整机器人系统的运动规划和控制的同时，也在不断地研究开发新型非完整机器人系统。非完整机器人系统的研究开发涉及力学、机构学和控制理论等学科的交叉融合。
［87］图1.6所示是基于对动物猫在空中下落过程的分析，开发的一种非完整机器猫，其模型可以表示为由两个圆柱构成的一种万向联轴节的形式，在空中下落过程中这两个圆柱的相对运动可以保持角动量守恒，从而使得机器猫具有“非完整性”。实际机器猫的背骨机构是依据动物猫体形和质量分布，采用空气人工筋做成的，实现了动物猫在空中下落的模拟运动。
量守恒的机器猫
图1.7所示是根据非完整系统具有的可用较少控制输入数控制较多位形空间维数的特点而开发的一种控制平台［88］它实际上是由两个球体的滚动接触来控制平台的x、y和?这三个位形参数的非完整，机械装置，也可以看成是一个由两个轮子（球体）驱动的轮式移动机器人。显然，这个机械平台的运动是由球与地面、球与圆盘之间的滚动约束确定的。分析表明机械平台模型可以表示成链式形式，用加速度作为输入时可以实现最短时间控制。
图1.8所示也是根据非完整系统的欠驱动控制特点而开发的一种机械臂，它实际上是利用摩擦球矢量分解合成机构组成的一种非完整机器人［89，90］。摩擦球矢量分解合成机构的原理模型如图1.9所示［91］，中心球体通过滚动接触构成周围
完整工作平台
完整机械手臂
圆盘之间的运动传递通路，这是一种非完整约束机构。分析表明这种非完整机械臂的模型可以转换为链式形式，但是在运动中圆盘与球体之间存在滑动而使得控制效果不理想。
图1.10所示也是利用滚动接触的非完整性所开发的一种灵巧机械手指，它由两个平板手指组成。文献［92］对这种机械手抓取球体时的跟踪控制方案进行了有效的实验研究。文献［93］将这种灵巧机械手的抓取对象扩展到了不规则凸形物体，并给出了在其可达位形空间内的一种路径规划算法。
综上所述看到：约束的非完整性表明可用较少的控制输入数目控制非完整机器人在具有较多维数的位形空间内任意运动，如图1.11所示轮式移动机器人的控制，由于受车轮滚动约束的限制，使轮式移动机器人不能直接从位形1运动到位形3，但是在对车轮“驱动”和“转向”这2个控制参数的操作下，通过位形2的中间变换，就可使轮式移动机器人运动到位形3。这里，轮式移动机器人的可达位形空作数目只有2个。从驱动控制的角度来看，这种控制输入数目少于系统位形空间
图擦19图动触的灵巧机械手指　.
矢量分解合成机构
维数的控制是间是由平面上的位置及其方位确定的3维空间，而控制轮式图式1
　约束的非完整性与系统的可控性
移动机器人的位形控制存在某种对应关系。揭示这种对应关系，不但对研究和发展非完整机器人系统的运动规划和控制方法，丰富非线性控制理论具有重要意义；而且对研究开发可控的机器人系统，探索复杂机械系统的运动本质，拓宽机器人学的研究领域，也具有重要的意义。轮.移动机器人的操一种欠驱动控制。因此，
1.5　本书内容概述
完整系统和非完整系统是两类不同运动性质的系统。非完整机器人属于非完整系统，可分为一阶非完整机器人和二阶非完整机器人。一阶非完整机器人是具
?16?非完整机器人的原理与控制
有不可积一阶微分约束方程的非完整系统，一般可表示为不可积Pfaffian约束；二阶非完整机器人是具有不可积二阶微分约束方程的非完整系统。一阶非完整系统和二阶非完整系统的运动特性和控制特性是不相同的。本书主要是围绕一阶非完整机器人的基本原理、方法和控制等问题进行介绍和讨论。除特别指出外，在后续叙述中所说的非完整机器人就是指一阶非完整机器人。
非完整机器人涵盖的内容很多，涉及分析力学、机器人机构学、非线性系统理论和控制理论等多个学科领域。本书共分九章，除本章是介绍非完整机器人的一些基本概况和第九章是介绍非完整机器人研究展望外，其余各章的内容可以分为三个部分：非完整系统的数理基础、非完整机器人的基本原理与设计、非完整机器人的控制。
1）非完整机器人的数理基础
非完整系统有其独特的运动特性，需要用数理方法进行描述和分析，本书第2章的内容主要包含这部分内容。非完整系统涉及的理论知识分别属于分析力学、机器人学和非线性控制理论等学科，其论点虽然是经典的，但是所采用的数学工具主要是近代数学。这部分内容主要是利用近代数学方法，分析和研究非完整系统的基本特性与控制特性，并且结合非线性系统理论的链式变换，进一步研究非完整系统与可控链式系统的转换关系，这些是研究非完整机器人系统的理论基础。
2）非完整机器人的基本原理与设计
这部分内容包含第3章、第4章、第5章，这是本书的重要组成部分。重点是研究非完整机器人机械系统的设计与基本特性等问题。
第3章主要是研究一种基于非完整约束的运动传递机构，这是在第2章给出的自由滚动约束为非完整约束的基础上，通过对圆盘自由滚动的研究提出的。该机构实际上就是一种位形可控的非完整约束机构，它是构建多关节非完整机器人的基本组成单元。
第4章主要是研究非完整机器人机械系统的设计方法。基于非完整运动传递机构与非完整运动规划和控制原理的结合，提出和研究可控非完整机器人机械系统的设计思想和设计方法，依此给出两种多关节非完整机器人（操作臂）的运动传递方案及其结构形式，并分析研究这两种多关节非完整机器人的非完整性、可控性及其对应的链式形式。实际上，给出的这两种多关节非完整机器人机械系统就是以第3章提出的非完整运动传递机构为主要传递单元构成的可控非完整机械传动系统。
第5章主要是采用理论推演的方法，研究具体的四关节非完整机器人的运动特性及其链式变换方法，以确定多关节非完整机器人运动的基本特性及其链式变换的条件和方法，在此基础上，应用分析力学原理，给出了多关节非完整机器人的动力学模型。
3）非完整机器人的控制
这部分内容包含第6章、第7章、第8章，这也是本书的重要组成部分。重点是研究多关节非完整机器人、轮式移动机器人的运动规划与控制等问题。
第6章主要是基于链式系统的控制方法，研究多关节非完整机器人的运动规划和控制方法。由理论推演和仿真分析，重点研究四关节非完整机器人在多项式输入控制和三角函数输入控制下的运动特性和控制方法。
第7章主要是进行开链式多关节非完整机器人实验装置的设计制作及其运动控制的实验研究，以校验理论研究的结果。首先，分析开链式多关节非完整机器人设计制作中的主要问题及处理方法，依此建立起多关节非完整机器人的控制实验装置。然后，进行多关节非完整机器人机构的运动传递性及其运动控制的实验研究与分析。
第8章主要是讨论多挂车轮式移动机器人的操舵问题，重点是利用链式变换和链式系统控制方法，研究多挂车轮式移动机器人的操舵机构设计、各无动力挂车跟踪牵引车轨迹运动的控制方法。这一章的内容实际上反映的仍是非完整机器人的机构设计与控制的结合问题，这里提出来的目的是希望在机构设计与控制理论的结合上，扩宽非完整机器人研究领域的外延。
综上所述，本书讨论的非完整机器人是以多学科交叉融合为基础，努力将机器人机械本体与运动控制作为一个整体来展开研究，旨在探讨和研究非完整机器人机械系统设计及其运动控制的方法。这种研究的主要思想和方法是：利用非完整力学、机器人学与非线性控制原理等学科的结合，将非完整运动规划和控制方法及条件等融入到非完整机器人机械系统的设计和其运动控制的研究中。
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第2章　非完整系统的基本特性
非完整系统与完整系统是两类具有不同运动属性的系统。机械系统的位形由广义坐标（可完全确定系统位形的独立坐标）确定，其运动状态由广义坐标和广义速度确定。若机械系统是完整系统，其广义坐标的变分都是彼此独立的，广义坐标数目与广义坐标变分数目是一致的，此时系统的运动限于位形空间内的某个超曲面上；若机械系统是非完整系统，即广义坐标的变分不完全是彼此独立的，广义坐标数目与广义坐标变分数目不一致，系统可在位形空间内任意两位形之间运动。
非完整机器人属于非完整系统，本章介绍非完整系统的基本特性，主要包括非完整约束特性和约束的可积性，非完整系统的运动特性、可控性、系统变换方法以及动力学特性等。
2.1　非完整系统的约束特性
机械系统的运动是由运动方程和约束方程决定的。把机械系统看作刚体时，它在三维空间内的运动按Newton定律，一般可以表示为mr?
＝F（2?1a）
J（r，θ）θ??＝M（2?1b）式中，r是机械系统质量中心的位置向量；θ是机械系统的角位移向量，相应的θ?和θ??分别是机械系统的角速度向量和角加速度向量；m和J（r，θ）分别是机械系统的质量和转动惯量；F和M分别是外部作用于机械系统质量中心上的力和力矩。
显然，如果外部作用力可以任意施加到机械系统上，机械系统（刚体）未受任何约束，并能以任意的速度实现运动，机械系统（刚体）的自由度就为6。如果对机械系统施加力作用的同时，对其运动的速度r?和角速度θ?还施加约束，假设这个约束作用为
θ?2p3-θ?3p2?
θ3p1-θ1p3
（2?2）r?＝θ×p＝
θ?1p2-θ?2p1
p1　p2　p3T是机械系统上某点到其质心的位置向量，如图2.1所示。那么，从机械系统运动的自由度观点来看，式（2?2）就是机械系统运动的约束条件，亦即机械系统的运动约束，而式（2?1）则是表示机械系统运动需满足的力学条件，或者是机械系统运动的力约束。
械系统（刚体）受到的运动约束
按照式（2?2）所示的运动约束条件，如果取角速度为控制输入，设为
0　θ?2　0T（2?3）那么，考虑p＝
p1　p2　p3T为常数向量时，式（2?2）和式（2?3）的积分可得
r1（t0）+p3（θ2（t）-θ2（t0））r（t）＝
　　　　r2（t0）
（2?4）r3（t）r2（t）＝r3（t0）-p1（θ2（t）-θ2（t0））
θ1（t）-θ1（t0）＝0
θ3（t）-θ3（t0）＝0　　这个积分结果表明了在机械系统运动的6维（r1、r2、r3、θ1、θ2、θ3）位形空间内，当以角速度θ?2为控制输入时，存在由运动约束导出的5个几何约束式（2?4）和式（2?5），使其运动被限制在由这5个超曲面相交的1维线上。这就是说在这样的约束条件下，机械系统的可达位形空间为1维空间，机械系统的自由度是1，与控制输入数一致。
如果机械系统有3个控制输入θ?＝
θ?1θ?2θ?3T，且p＝
0　0　p3T时，则运动约束式（2?2）中可积分的就只有?r3项，为
r3（t）-r3（t0）＝0（2?6）这个结果表明，此时机械系统只受到一个几何约束，即对于机械系统的6维位形空间，在给出的3个控制输入作用下，可在5维可达位形空间上运动。实际上，机械系统这时还受到2个不可积分的运动约束，使得控制输入数比机械系统可达位形空间的维数小。因此，仅从运动约束的性质来看，完整约束和非完整约束规定了控制输入数与位形空间维数的一种关系，对于非完整系统，其控制输入数总是少于位形空间维数；完整系统的控制输入数与位形空间维数是一致的。
现在，考察力约束的性质。对于机械系统运动的力约束式（2?1），可以把它们看成是机械系统运动的力学方程。如果取这个力约束为
?24?非完整机器人的原理与控制
那么，对于式（2?1）中的Newton方程就有如下的二次积分：
mr?（t）＝mr?（t0）
r（t）＝r（t0）+（t-t0）?r（t0）（2?7）可见，式（2?7）中的第一式是一次积分的结果，它是机械系统运动的动量守恒方程，第二式是二次积分的结果，它是一个代数方程。因此，从力约束的角度来看，作用力F＝0是完整约束，或者说动量守恒且M≠0的机械系统一般是完整系统。另一方面，如果取力约束为
F3那么，对于式（2?1）中的力矩方程，由于在一般情况下转动惯量J（r，θ）是机械系统位形的函数，就只存在一次积分，为
J（r（t），θ（t））θ（t）＝J（r（t0），θ（t0））θ（t0）（2?8）显然，式（2?8）是机械系统运动的角动量守恒方程，也是对机械系统的一种运动约束。因此，角动量守恒的机械系统在很多情况下为非完整系统。由此可见：机械系统在不受外力作用下，机械系统的动量守恒和角动量守恒所反映出的运动约束性质是不一样的。动量守恒作为运动约束一般可以积分成几何约束，而角动量守恒作为运动约束一般不能积分成几何约束。因此，机械系统的动量守恒一般是机械系统运动的完整约束，机械系统的角动量守恒一般是机械系统运动的非完整约束。
一般地，不论机械系统是否受到力作用，其运动约束用广义坐标表示都是f（q，q?，t）＝0，q∈Rn×1，　f（q，q?，t）∈Rm×1（2?9）这是一个非线性方程。在实际中，一般可对运动约束式（2?9）进行线性化，即有抄f抄f?抄f抄qq+抄q?q+抄tt＝0（2?10a）
W（q）q+G（q，t）＝0（2?10b）
W（q）＝抄抄q?f∈Rm×n，　G（q，t）＝抄抄qfq+抄抄ftt∈Rm×n
　　对于非完整机器人，一般有G（q，t）＝0，这时机器人的非完整约束就是W（q）q?＝0（2?11）这是关于广义速度的线性运动约束，称为Pfaffian约束。
定义2.1　满足Pfaffian约束的广义速度q?所生成的空间，称为Pfaffian约束流形。Pfaffian约束流形是一种具有一阶微分结构的微分流形。如果令δq＝dq＝q?dt＝δqxi+δqyj+δqzk
楚f＝W（q）＝抄抄q?f＝抄抄q?fxi+抄抄q?fyj+抄抄q?fzk
式中，δq是系统的虚位移；楚f是Pfaffian约束流形上某点q?的梯度。则式（2?11）又可表示为
W（q）?δq＝楚f?δq＝抄抄q?fxδqx+抄抄q?fδqy+抄抄q?fzδqz＝0（2?12）
这表明Pfaffian约束规定系统运动方向必须垂直于yPfaffian约束流形的法线方
向，亦即非完整约束规定的虚位移处于Pfaffian约束流形的切平面上。因此，非完整约束不限制系统运动于某个曲面上。
现在来看完整约束的情况，设机械系统受到的完整约束为
f（q，t）＝0（2?13）这是关于系统广义坐标q的代数方程。
定义2.2　满足完整约束的广义坐标所生成的空间，称为完整约束流形。
完整约束流形是一种具有零阶微分结构的微分流形，实际为几何超曲面。为
了分析系统在完整约束下的运动空间，对完整约束线性化为抄f抄f抄qq+抄tt＝0（2?14）按虚位移δq满足完整约束的条件，式（2?14）可表示为楚f?δq＝0（2?15）
楚fδ＝q＝抄抄qfδq＝xi抄抄+qfxδiq+yj抄抄+qfyδjq+zk抄抄qfzk
这时的楚f是完整约束流形f（q，t）＝0上q点的梯度。式（2?15）表明完整约束规定的系统运动方向必须垂直于完整约束流形的法线方向，亦即完整约束规定的虚位移δq必须在完整约束流形的切平面上。因此，完整约束限制系统运动于完整约束流形上。
由此看到，非完整约束是一类不限制系统的位形，只限制系统运动的约束。因此，非完整系统可在位形空间内任意运动，也就使得非完整系统的位形空间维数大于系统的控制输入空间维数。针对机器人操作灵活性定义的机器人自由度是指机器人的广义坐标数，亦即机器人的位形空间维数；按照分析力学定义的自由度是指系统独立的广义坐标变分数，亦即系统的控制输入空间维数，反映系统在位形空间
?26?非完整机器人的原理与控制
内运动至少需要的控制数目。
对于有N个运动件的机器人系统，在未受到任何约束时，系统的广义坐标数就是6N。若机器人系统受到g个完整约束，这时机器人为完整机器人。那么，完整机器人系统的广义坐标数目就是f＝6N-g。而按照式（2?15），完整机器人系
统的广义坐标变分应满足
抄qx11抄qy12抄qz13
抄qxg1抄qyg2抄qzg3
δqx11.δqxg1
δqy12.δqyg2
δqz13.δqzg3
这意味着在6N个广义坐标变分中，有g个广义坐标变分是线性相关的。实际广义坐标变分数目是
f＝6N-g（2?16）因此，完整机器人系统的广义坐标数目与广义坐标变分数目是一致的，亦即完整机器人系统的广义坐标和广义坐标变分的数目相等。也就是说，完整机器人系统的控制输入空间维数就是它的位形空间维数。
进一步考虑，对于有N个运动件的机器人系统，在受到g个完整约束的同时，还受到d个非完整约束，这时机器人为非完整机器人，机器人系统的广义坐标数目为k＝6N-g，同时广义坐标变分也有k个。但是，由于机器人系统还受到非完整约束，这k个广义坐标变分还应满足式（2?12），即有
抄抄q?xf11抄抄q?yf12抄抄q?zf13...抄抄q?xdf1抄抄q?yfd2抄抄q?zdf3
δqx11.δqxd1δqy12.δqyd2＝0
δqz13.δqzd3
表明这时机器人系统的k个广义坐标变分中d个是线性相关的，独立的广义坐标变分数目是
f＝6N-g-d（2?17）　　因此，当具有N个运动件的非完整机器人受到g个完整约束、d个非完整约束时，
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