极坐标_百度百科
在平面内取一个定点O，叫极点，引一条Ox，叫做，再选定一个和角度的（通常取逆时针方向）。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度（有时也用r表示），θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做。通常情况下，M的极径坐标单位为1（长度单位），极角坐标单位为rad（或°）。
极坐标射影
过点M作轴Ox的垂线，垂足M'叫做点M的极坐标射影点，记作
的极坐标射影矢量，记作
。少数情况下，PrjPoint也可以记作“射影点”，PrjVector也可以记作射影矢量。
极坐标与直角坐标转换
在极坐标系Ox中，以O为原点Ox为x轴正方向建立平面Rt坐标系xOy。矢量
=(ρ,θ)，那么
θ|=ρcosθ。|MM'|=ρsinθ，于是
的直角坐标为
=(ρcosθ,ρsinθ)
极坐标来源
第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是。他的《流数法与无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用，例如按描出曲线。书中创建之一，是引进新的坐标系。17甚至18世纪的人，一般只用一根坐标轴（x轴），其y值是沿着与x轴成直角或斜角的方向画出的。牛顿所引进的坐标之一，是用一个固定点和通过此点的一条直线作标准，例如我们使用的极坐标系。牛顿还引进了双极坐标，其中每点的位置决定于它到两个固定点的距离。由于牛顿的这个工作直到1736年才为人们所发现，而瑞士数学家J.贝努利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由地应用极坐标去研究曲线。他还给出了从到极坐标的变换公式。确切地讲，J.赫尔曼把cosθ,sinθ当作变量来使用，而且用n和m来表示cosθ和sinθ。扩充了极坐标的使用范围，而且明确地使用的记号；欧拉那个时候的极坐标系实际上就是现代的极坐标系。
有些几何轨迹问题如果用处理，它的方程比用直角坐标法来得简单，也较方便。1694年，J.贝努利利用极坐标引进了，这曲线在18世纪起了相当大的作用。
在极坐标中，x被ρcosθ代替，y被ρsinθ代替。ρ2=(x2+y2)
极坐标系是一个二维。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点（相当于我们较为熟知的中的原点）的距离来表示。极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海以及机器人领域。在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在中，这样的关系就只能使用来表示。对于很多类型的曲线，是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。[1]
极坐标极坐标系
众所周知，希腊人最早使用了角度和的概念。天文学家喜帕恰斯（Hipparchus 190-120 BC）制成了一张求各角所对弦的弦长函数的表格。并且，曾有人引用了他的极坐标系来确定恒星位置。在螺线方面，描述了他的著名的螺线，一个半径随角度变化的方程。希腊人作出了贡献，尽管最终并没有建立整个坐标系统。
关于是谁首次将极坐标系应用为一个正式的坐标系统，流传着有多种观点。关于这一问题的较详尽历史，教授朱利安·卢瓦尔·科利奇的《极坐标系起源》作了阐述。格雷瓜·德·圣-万桑特 和博纳文图拉·卡瓦列里，被认为在几乎同时、并独立地各自引入了极坐标系这一概念。圣-万桑特在1625年的私人文稿中进行了论述并发表于1647年，而卡瓦列里在1635进行了发表，而后又于1653年进行了更正。卡瓦列里首次利用极坐标系来解决一个关于内的面积问题。随后使用极坐标系来计算的长度。
在1671年写成，1736年出版的《流数术和无穷级数》（en:Method of Fluxions）一书中，第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点。牛顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系。在1691年出版的《博学通报》（Acta eruditorum）一书中雅各布·正式使用定点和从定点引出的一条，定点称为极点，射线称为。平面内任何一点的坐标都通过该点与定点的距离和与极轴的来表示。伯努利通过极坐标系对曲线的进行了研究。
实际上应用“极坐标”en:Polar coordinate system这个术语的是由格雷古廖·丰塔纳开始的，并且被18世纪的意大利数学家所使用。该术语是由乔治·皮科克在1816年翻译拉克鲁瓦克斯的《与》（Differential and Integral Calculus）一书时，被翻译为英语的。
阿勒克西斯·谢罗特和被认为是将扩展到的数学家。
如何表示点
点(3,60°) 和 点（4,210°）
正如所有的二维坐标系，极坐标系也有两个坐标轴：r（半径坐标）和θ（角坐标、极角或方位角，有时也表示为φ或t）。r坐标表示与极点的距离，θ坐标表示按逆时针方向坐标距离0°射线（有时也称作极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系中的x轴正方向。
比如，极坐标中的（3,60°）表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60°的点。（-3,240°） 和（3,60°）表示了同一点，因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点3个单位长度的地方（240° - 180° = 60°）。
极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点，可以在极坐标系中有无限种表达形式。通常来说，点（r，θ）可以任意表示为（r，θ ± 2kπ）或（-r，θ ± (2k+ 1)π），这里k是任意。[7] 如果某一点的r坐标为0，那么无论θ取何值，该点的位置都落在了上。
使用弧度单位
极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度，使用公式2π rad = 360°.具体使用哪一种方式，基本都是由使用场合而定。航海（en:Navigation）方面经常使用角度来进行测量，而物理学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算，所以物理方面更倾向使用弧度。
两坐标系转换
极坐标系中的两个坐标r和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值
x = rcos（θ），
y = rsin（θ），
由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标：
θ = arctan(y/x)
在x = 0的情况下：若y为正数θ = 90° （
radians)；若y为负，则θ = 270° (
极坐标极坐标方程
用极坐标系描述的称作极坐标方程，通常用来表示ρ为自变量θ的函数。
极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果ρ(-θ）= ρ（θ），则曲线关于极点（0°/180°）对称，如果ρ（π-θ）= ρ（θ），则曲线关于极点（90°/270°）对称，如果ρ（θ-α）= ρ（θ），则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。
在极坐标系中，圆心在（r，φ）半径为r的圆的方程为
方程为r（θ）=1的圆
ρ=2rcos（θ-φ）
另：圆心M(ρ',θ') 半径r 的圆的极坐标方程为:
(ρ')2+ρ2-2ρρ'cos(θ-θ')=r2
根据余弦定理可推得。
极坐标直线
经过极点的射线由如下表示
其中φ为射线的倾斜角度，若m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ = arctan m。任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。这些在点（r′，φ）处的直线与射线θ = φ 垂直，其方程为r′（θ）= r′sec（θ - φ）。
极坐标玫瑰线
极坐标的玫瑰线（polar rose）是中非常著名的曲线，看上去像花瓣，它只能用极坐标方程
方程为 r（θ） = 2 sin 4θ的玫瑰线
来描述，方程如下：
r（θ）= acos kθ
或r（θ）= asin kθ，
如果k是整数，当k是时那么曲线将会是k个花瓣，当k是偶数时曲线将是2k个花瓣。如果k为非整数，将产生圆盘（disc）状图形，且花瓣数也为非整数。注意：该方程不可能产生4的倍数加2（如2，6，10……）个花瓣。变量a代表玫瑰线花瓣的长度。
极坐标阿基米德螺线
右图为方程r（θ）= θ for 0 & θ & 6π的一条。
阿基米德在极坐标里使用以下方程表示：r（θ）= a+bθ，
改变参数a将改变螺线形状，b控制螺线间距离，通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线，一条θ & 0，另一条θ & 0。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻转90°/270°得到其，就是另一条螺线。
一条阿基米德螺线
极坐标圆锥曲线
圆锥曲线方程如下：
其中l表示半径，e表示离心率。如果e & 1，曲线为椭圆，如果e = 1，曲线为抛物线，如果e & 1，则表示双曲线。
其中e表示，p表示焦点到的距离。
极坐标其他曲线
由于统是基于的，所以许多有关曲线的，极坐标要比直角坐标系（）简单得多。比如，。
极坐标应用
行星运动的：
：太阳系中的所有围绕的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
：极坐标提供了一个表达开普勒行星运行定律的自然数的方法。开普勒第一定律，认为环绕一颗恒星运行的行星轨道形成了一个椭圆，这个椭圆的一个焦点在上。上面所给出的二次曲线部分的等式可用于表达这个椭圆。开普勒第二定律，即等域定律，认为连接行星和它所环绕的的线在等时间间隔所划出的区域是面积相等的，即ΔA/Δt是常量。这些等式可由推得。在中有相关运用极坐标的详细推导。
．测绘[引用日期]
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=2 5),2 5,2 35(25)2 5()2 35(535sin5cos35sin5cos35 2222 2半径是所以圆心为化为标准方程是即化为直角坐标为-=得两边同乘以=解:yxyxyx5 3 co3s 5sin
已知一个圆的方程是=求圆心坐标例:和半径。1 4sin
练习:、曲线的极坐标方程= 化为直角坐标方程_________2.曲线极坐标方程 cos( - )=1化为直角坐6标方程_________4)2( 22 yx2 0x y
3 2 2 2 2 2 3 0 2 0x y x yx yx yx
(1)直角坐标方程的极坐标方程为_______(2)直角坐标方程- +1 的极坐标方程为_______(3)直角坐标方程 9的极坐标方程为_______(4)直角坐标方程 3的极坐标方程为__例2:_____cos 3 sin 0
2-2cos sin 1 0
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文档介绍：
互化公式的三个前提条件:1. 极点与直角坐标系的原点重合;2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;3. 两种坐标系的单位长度相同.极坐标与直角坐标的互化关系式:设点M的直角坐标是(x, y)极坐标是(ρ,θ)x=ρcosθ, y=ρsinθ)0(tan,222 xxyyx O xyθ),( yxM1、直角坐标是(x, y) 极坐标是(ρ,θ)2、极坐标是(ρ,θ) 直角坐标是(x, y)将下列直角坐标转化为极坐标(1) (-1,3) (2) (-2,-2)例3 已知两点(2, ),(3, )求两点间的距离.π3π2o xAB解:∠AOB =π6用余弦定理求AB的长即可.简单曲线的极坐标方程求下列圆的极坐标方程(1)中心在极点,半径为r;(2)中心在C(a,0),半径为a;(3)中心在(a,/2),半径为a;(4)中心在C(a,0),半径为a=r=2acos =2asin 圆心的极径与圆的半径相等0cos( )a
=2 5),2 5,2 35(25)2 5()2 35(535sin5cos35sin5cos35 2222 2半径是所以圆心为化为标准方程是即化为直角坐标为-=得两边同乘以=解:yxyxyx5 3 co3s 5sin
已知一个圆的方程是=求圆心坐标例:和半径。1 4sin
练习:、曲线的极坐标方程= 化为直角坐标方程_________2.曲线极坐标方程 cos( - )=1化为直角坐6标方程_________4)2( 22 yx2 0x y
3 2 2 2 2 2 3 0 2 0x y x yx yx yx
(1)直角坐标方程的极坐标方程为___...
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＞＞＞圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程为______，圆心的直角坐..
圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程为______，圆心的直角坐标为______．
题型：填空题难度：中档来源：不详
将方程p=2cosθ两边都乘以p得：p2=2pcosθ，化成直角坐标方程为x2+y2-2x=0．半径为1，圆心的直角坐标为（1，0）．故答案为：x2+y2-2x=0& （1，0）．
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据魔方格专家权威分析，试题“圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程为______，圆心的直角坐..”主要考查你对&&平面直角坐标系，极坐标系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
平面直角坐标系极坐标系
数轴（直线坐标系）:
在直线上取定一点O，取定一个方向，再取一个长度单位，点O，长度单位和选定的方向三者就构成了直线上的坐标系，简称数轴．如图，
平面直角坐标系：
在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O为原点。再取一个单位长度，如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，即为xOy。如图：
平面上的伸缩变换：
设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换对应到为平面直角坐标系中的伸缩变换。
&建立坐标系必须满足的条件:
任意一点都有确定的坐标与它对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置．
坐标系的作用：
①坐标系是刻画点的位置与其变化的参照物；②可找到动点的轨迹方程，确定动点运动的轨迹（或范围）；③可通过数形结合，用代数的方法解决几何问题。
&极坐标系的定义：
在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样就建立了一个极坐标系。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角。
点的极坐标：
设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对（ρ，θ）叫做M点的极坐标，如图， 极坐标系的四要素：
极点，极轴，长度单位，角度单位和它的正方向．极坐标系的四要素，缺一不可．
极坐标系的特别注意：
①关于θ和ρ的正负：极角θ的始边是极轴，取逆时针方向为正，顺时针方向为负，θ的值一般以弧度为单位。&
极坐标和直角坐标的互化:
(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位．(2)互化公式特别提醒:①直角坐标化为极坐标用第二组公式．通常取所在的象限取最小正角;②当③直角坐标方程及极坐标方程互化时，要切实注意互化前后方程的等价性．④若极点与坐标原点不是同一个点．如图，设M点在以O为原点的直角坐标系中的坐标为（x，y），在以为原点也是极点的时候的直角坐标为(x′,y′)，极坐标为(ρ,θ)，则有 第一组公式用于极坐标化直角坐标；第二组公式用于直角坐标化极坐标．
发现相似题
与“圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程为______，圆心的直角坐..”考查相似的试题有：
591284626628754718754725471816560928极坐标与直角坐标的转换(含圆的极坐标方程)_图文_百度文库
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