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关于拉格朗日乘子法及kkt条件的探究
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[Math & Algorithm] 拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier Method）之前听数学老师授课的时候就是一知半解，现在越发感觉拉格朗日乘数法应用的广泛性，所以特意抽时间学习了麻省理工学院的在线数学课程。新学到的知识一定要立刻记录下来，希望对各位博友有些许帮助。
1. 拉格朗日乘数法的基本思想
作为一种优化算法，拉格朗日乘子法主要用于解决约束优化问题，它的基本思想就是通过引入拉格朗日乘子来将含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有（n+k）个变量的无约束优化问题。拉格朗日乘子背后的数学意义是其为约束方程梯度线性组合中每个向量的系数。
解决的问题模型为约束优化问题：
min/max a function f(x,y,z), where x,y,z are not independent and g(x,y,z)=0.
即：min/max f(x,y,z)
s.t. g(x,y,z)=0
2. 数学实例
首先，我们先以麻省理工学院数学课程的一个实例来作为介绍拉格朗日乘数法的引子。
【麻省理工学院数学课程实例】求双曲线xy=3上离远点最近的点。
首先，我们根据问题的描述来提炼出问题对应的数学模型，即：
min f(x,y)=x 2 +y 2 （两点之间的欧氏距离应该还要进行开方，但是这并不影响最终的结果，所以进行了简化，去掉了平方）
s.t. xy=3.
根据上式我们可以知道这是一个典型的约束优化问题，其实我们在解这个问题时最简单的解法就是通过约束条件将其中的一个变量用另外一个变量进行替换，然后代入优化的函数就可以求出极值。我们在这里为了引出拉格朗日乘数法，所以我们采用拉格朗日乘数法的思想进行求解。
我们将x 2 +y 2 =c的曲线族画出来，如下图所示，当曲线族中的圆与xy=3曲线进行相切时，切点到原点的距离最短。也就是说，当f(x,y)=c的等高线和双曲线g(x,y)相切时，我们可以得到上述优化问题的一个极值（注意：如果不进一步计算，在这里我们并不知道是极大值还是极小值）。
现在原问题可以转化为求当f(x,y)和g(x,y)相切时，x,y的值是多少？
如果两个曲线相切，那么它们的切线相同，即法向量是相互平行的，delta(f)//delta(g).
由delta(f)//delta(g)可以得到，delta(f)=lamda*delta(g)。
这时，我们将原有的约束优化问题转化为了一种对偶的无约束的优化问题，如下所示：
原问题：min f(x,y)=x 2 +y
2 & & & & & & &
对偶问题： 由delta(f)=lamda*delta(g)得，
s.t. xy=3 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &f x =lamda*g x，
f y =lamda*g y，
约束优化问题 & & & & & & & & & & & & & & & & & 无约束方程组问题
通过求解右边的方程组我们可以获取原问题的解，即
2x=lamda*y
2y=lamda*x
通过求解上式可得，lamda=2或者是-2；当lamda=2时，(x,y)=(sqrt(3), sqrt(3))或者(-sqrt(3), -sqrt(3))，而当lamda=-2时，无解。所以原问题的解为(x,y)=(sqrt(3), sqrt(3))或者(-sqrt(3), -sqrt(3))。
通过举上述这个简单的例子就是为了体会拉格朗日乘数法的思想，即通过引入拉格朗日乘子(lamda)将原来的约束优化问题转化为无约束的方程组问题。
3. 拉格朗日乘数法的基本形态
下的条件极值，可以转化为函数
的无条件极值问题。
求这个椭球的内接长方体的最大体积。这个问题实际上就是条件极值问题，即在条件 & &
的最大值。
当然这个问题实际可以先根据条件消去
，然后带入转化为无条件极值问题来处理。但是有时候这样做很
困难，甚至是做不到的，这时候就需要用 拉格朗日乘数法 了。
通过拉格朗日乘数法将问题转化为
求偏导得到
联立前面三个方程得到
，带入第四个方程解之
带入解得最大体积为
拉格朗日乘数法对一般多元函数在多个附加条件下的条件极值问题也适用。
题目： 求离散分布的最大熵。
分析：因为离散分布的熵表示如下
而约束条件为
的最大值，根据 拉格朗日乘数法 ，设
求偏导数，得到
个等式的微分，得到
这说明所有的
都相等，最终解得
因此，使用 均匀分布 可得到最大熵的值。
4. 拉格朗日乘数法与KKT条件
我们上述讨论的问题均为等式约束优化问题， 但等式约束并不足以描述人们面临的问题，不等式约束比等式约束更为常见，大部分实际问题的约束都是不超过多少时间，不超过多少人力，不超过多少成本等等。所以有几个科学家拓展了拉格朗日乘数法，增加了几个条件之后便可以用拉格朗日乘数法来求解不等式约束的优化问题了。
min f(x) 或 max& f (x)
s.t. h i (x)=0, i=1,2,…,n
g j (x)&=0, j=1,2,…,m
1.同样构造拉格朗日函数，L(x)=f(x)+∑α i h i (x)+∑β j g j (x)
2.求L(x)的梯度，令其等于0，得到K个方程，但此时L(x)的极值不一定为f(x)的极值，此时L(x)&=f(x),等号成立的条件是∑β j g j (x)=0，也就是β j g j (x)=0，j=0,1,2…,m.(其中β j &=0)再加上等式约束，解方程即可求得最优解。
当求minf(x)时，L(x)=f(x)+∑α i h i (x)+∑β j g j (x)（f(x)&=L(x)），求最大值时L(x)=f(x)+∑α i h i (x)+∑β j g j (x) (f(x)&=L(x)）
最后附上拉格朗日乘数法求解不等式约束优化问题的具体推导过程：
我们定义一般化的拉格朗日公式
都是拉格朗日算子。如果按这个公式求解，会出现问题，因为我们求解的是最小值，而这里的
已经不是0了，我们可以将
调整成很大的正值，来使最后的函数结果是负无穷。因此我们需要排除这种情况，我们定义下面的函数：
这里的P代表primal。假设
，那么我们总是可以调整
有最大值为正无穷。而只有g和h满足约束时，
为f(w)。这个函数的精妙之处在于
，而且求极大值。
因此我们可以写作
这样我们原来要求的min f(w)可以转换成求
。如果直接求解，首先面对的是两个参数，而
也是不等式约束，然后再在w上求最小值。这个过程不容易做，那么怎么办呢？
我们先考虑另外一个问题
D的意思是对偶，
将问题转化为先求拉格朗日关于w的最小值，将
看作是固定值。之后在
求最大值的话：
这个问题是原问题的对偶问题，相对于原问题只是更换了min和max的顺序，而一般更换顺序的结果是Max Min(X) &= MinMax(X)。然而在这里两者相等。用
来表示对偶问题如下：
下面解释在什么条件下两者会等价。假设f和g都是凸函数，h是仿射的（affine，
）。并且存在w使得对于所有的i，
。在这种假设下，一定存在
是原问题的解，
是对偶问题的解。还有
满足库恩-塔克条件（Karush-Kuhn-Tucker, KKT condition），该条件如下：
满足了库恩-塔克条件，那么他们就是原问题和对偶问题的解。让我们再次审视公式（5），这个条件称作是KKT dual complementarity条件。这个条件隐含了如果
。也就是说，
时，w处于可行域的边界上，这时才是起作用的约束。而其他位于可行域内部（
的）点都是不起作用的约束，其
。这个KKT双重补足条件会用来解释支持向量和SMO的收敛测试。
这部分内容思路比较凌乱，还需要先研究下《非线性规划》中的约束极值问题，再回头看看。KKT的总体思想是将极值会在可行域边界上取得，也就是不等式为0或等式约束里取得，而最优下降方向一般是这些等式的线性组合，其中每个元素要么是不等式为0的约束，要么是等式约束。对于在可行域边界内的点，对最优解不起作用，因此前面的系数为0。
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库恩—塔克
库恩—塔克
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