一．基本知识；1．振动；物体在平衡位置所做的往复运动叫做机械振动，通常简；归纳：(1)物体振动时有一中心位置；；(2)物体在中心位置两侧做往复运动；；2．简谐运动：是一种最简单，最基本的振动，研究简；（１）小球的运动是平动，可以看作质点；；（２）弹簧的质量远小于小球的质量，可以忽略不计；；（３）小球运动时不计阻力；；（４）小球运动时有一中心位置，叫平衡位置；
一．基本知识
物体在平衡位置所做的往复运动叫做机械振动，通常简称为振动。
归纳：(1) 物体振动时有一中心位置；
(2) 物体在中心位置两侧做往复运动；
2．简谐运动：是一种最简单，最基本的振动，研究简谐运动的基本模型是弹簧振子 弹簧振子结构(理想模型）：
（１）小球的运动是平动，可以看作质点；
（２）弹簧的质量远小于小球的质量，可以忽略不计；
（３）小球运动时不计阻力；
（４）小球运动时有一中心位置，叫平衡位置；
定义：物体在与位移大小成正比，并且在总指向平衡位置的力的作用下的振动叫简谐运动 即： F= ―Kx
3．回复力：物体在振动时，一定受到指向中心位置的力，这个力的作用总能使物体回到中心位置，这个力叫回复力
回复力的特点：
（1) . 回复力总是指向中心位置；（２）．回复力是根据力的效果命名的；
（３）．回复力可以是弹力或其它的力；（４）．回复力可以是一个力，或几个力的合力，或某个力的分力；（５）．在Ｏ点，回复力是零，叫振动的平衡位置；
简谐运动是一种简单的、基本的振动，许多物体的微小振动都可以看作是简谐运动，复杂的振动可以看作简谐运动的叠加，它的特征是：回复力与偏离平衡位置的位移成正比。
4．简谐运动的方程
理论证明，满足F= ―Kx的振动物体的位移x随时间t的变化规律是一条余弦函数（当然可以表达为正弦函数）这就是简谐运动的方程 x?Acos(?t??) 式中A
ω叫此振动的角频率（也称为圆频率），它与此振动的周期TT?2π?2πν? (?
叫振动的位相， ?
叫此振动的初相位，
简谐运动的周期是由振动系统本身的物理条件来决定的，其关系为T＝2?m式中m为振k
动物体的质量。故此周期又称为此物体的固有周期（对应的也有固有频率）
5．简谐运动的几何表述（详见课本242页）
6．简谐运动的能量
做简谐运动的系统，除具有动能外，还具有势能，其能量是动能和势能的和。
（1）．能量表达式
以弹性振子为例。假设在t时刻质点的位移为x，速度为v，则
x?Acos??t???
v??A?sin??t???
121mv?mA2?2sin2??t??? 2212122
系统动能为：Ep?kx＝kAcos??t??? 22则系统动能为：Ek?
因而系统的总能量为
E＝Ek＋Ep?
考虑到?＝211mA2?2sin2??t???＋kA2cos2??t??? 22k，则 m
E＝mA?＝kA 22
即弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比。
由于系统不受外力作用，并且内力为保守力，故在简谐运动的过程中，动能与势能相互转化，总能量保持不变。
①．E∝A2，对任何简谐运动皆成立；
②．动能与势能都随时间作周期性变化，变化频率是位移与速度变化频率的两倍，而总能量保持不变；且总能量与位移无关。动能Ek=E-Ep
（2）．能量曲线
注意理解能量守恒和动能、势能相互转化过程。
由能量守恒关系可得：k A2/2= mv02/2+ kx02/2，解之即得：?v?Ax??0? ???2
（3）．简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相等，它们都等于总能量的一半。
7．阻尼振动：不论是弹簧振子还是单摆由于外界的
摩擦和介质阻力总是存在，，在振动过程中要不断
克服外界阻力做功，消耗能量，振幅就会逐渐减小，
经过一段时间，振动就会完全停下来。这种振幅越
来越小的振动叫做阻尼振动。
能量减少的方式
能量减少的方式有两种．一种是由于摩擦阻力
的作用使振动系统的能量逐渐转化为热运动的能
量．例如单摆摆动的过程中振幅减小或停下来就是
由于系统的阻力作用使摆的机械能转化为空气的内能．另一种是振动系统引起周围物质的振动，使能量以波的形式向四周发出．例如：琴弦发出声音不仅因为有空气的阻力要消耗能量，同时也因为以波的形式辐射而减少能量．最后琴弦会停止振动．
当阻尼很小时，在一段不太长的时间看不出振幅有明显的减小，就可以把它当作简谐运动来处理
8．受迫振动：受迫振动也称强迫振动．在外来周期性力的持续作用下，振动系统发生的振动称为受迫振动．这个“外来的周期性力”叫驱动力(或强迫力)．
物体的受迫振动达到稳定状态时，其振动的频率与驱动力频率相同，而与物体的固有频率无关．
例如：扬声器纸盆的振动，录音机耳机中膜片的振动都受到外来驱动力的持续作用，振动频率都与驱动力的频率有关与其自身的固有频率无关．
作受迫振动的物体一边克服阻力做功，输出能量，一边从驱动力的做功中输入能量．当从驱动力输入系统的能量等于物体克服阻力做功输出的能量时，系统的能量达到动态平衡，总量保持不变，振幅保持不变，作等幅振动．
9．共振：结构系统受激励的频率与该系统的固有频率相接近时，使系统振幅明显增大的现象
共振在声学中亦称“共鸣”，它指的是物体因共振而发声的现象，如两个频率相同的音叉靠近，其中一个振动发声时，另一个也会发声。在电学中，振荡电路的共振现象称为“谐振”。产生共振的重要条件之一，就是要有弹性，而且一件物体受外来的频率作用时，它的频率要与后者的频率相同或基本相近。从总体上来看，这宇宙的大多数物质是有弹性的，大到行星小到原子，几乎都能以一个或多个固有频率来振动。
既然共振是宇宙间一切物质运动的一种普遍规律，人及其它的生物也是宇宙间的物质，当然共振也是普遍存在于这些生命中了。人除了呼吸、心跳、血液循环等都有其固有频率外，人的大脑进行思维活动时产生的脑电波也会发生共振现象。许多动物身上还存在着其它一些形式的共振现象。炎热的午间，蝉儿发出的“知了、知了”声；宁静的夜晚，蟋蟀发出的“叽―嘶”声；还有不知疲倦的大肚子蝈蝈的鸣叫声，尽管这些昆虫的声调大不相同，但其中的共同之处都是借助了共振的原理，都是靠摩擦身体的某一部位与空气产生共鸣而发声。除了昆虫之外，鸟类也是巧妙地运用着共振来演奏生命之曲的大师，它们运用共振所发出的圆润婉转的鸣叫声，是自然界生命大合唱中最为优美的声部和旋律。因此，可以这么说，如果没有共振，世界将会失去多少天籁、大地将会变得多么死寂！
特例：单摆――数学摆（Mathematical Pendulum）
1．概念：单摆是一个理想化的振动系统：它是由一根无弹性的轻绳挂一个质点构成的。若把质点从平衡位置略为移开，那么质点就在重力的作用下，在竖直平面内来回摆动。
摆锤――重物
摆线――细绳
平衡位置――O点
2．动力学方程
讨论摆锤所受的力，有重力mg，绳的拉力T，合力即为摆锤所受的回复力为：F??mgsin?当θ很小时（θ&50），sinθ≈θ因而F=-mgθ与角位移成正比
又因为摆锤沿圆弧运动，x?l?，?＝x/l，近似在水平方向上运动。
xmg??x 故单摆作简谐运动，mg/l相当于弹簧振子的k ll
kg2? 因而单摆的圆频率为??ml因而
3．运动学方程和周期
单摆的振动方程为
x?x0co?s?t???
振幅x0和初相φ由初始条件确定。
由简谐运动的周期公式
得单摆的周期为
1）单摆的合外力与弹性力类似，但本质不同，称为准弹性力；
2）单摆的周期与单摆的质量无关；
3）若单摆的振幅不是很小时，周期的一般表达式为
T＝2? 1＋sin?sin??222??g?22242?
式中θm为最大摆角，并且含有θm的各项逐渐减小；
当θm&150时，实际周期与理想周期的误差不超过0.5%。
4）单摆可以当作计时器；5）单摆提供了一种测量重力加速度的简便装置，只要测出周期T，T22?g11则g?
5．单摆的频率
????＝TlT2?4?2l
10．振动的合成 （只考两个同方向同频率简谐运动的合成）
若两个同方向的简谐运动，它们的角频率都是ω，运动方程分别是 g l
x1?A1cos(?t??1)x2?A2cos(?t??2)
?A12?A2?2A1A2cos(2?1)
Asin?1?A2sin?
2tan??1 A1cos?1?A2cos?2 x?x1?x2
从上式可以看出，合振幅与两分振动的振幅以及它们的相位差有关( ?2??1)
若（1） ( ?
则Amax=A1+A2即合振动的振幅达到)则? 1
? 1 ) ? ( K
则Amin=A1-A2 即合振动的?Z ) 则
振幅达到最小值
（3）一般情况下， 2
1 ) 可取任意值，则合振动的振幅在Amin
≤A ≤ Amax (?
二．强化训练
1．简谐运动中，t?0的时刻是（
（A）质点开始运动的时刻
（B）开始观察计时的时刻
（C）离开平衡位置的时刻
（D）速度等于零的时刻
2有一个用余弦函数表示的简谐运动，若其速度v与时间t的关系曲线如图所示，则该简谐运动的初相位为 （
3．两个完全相同的弹簧下挂着两个质量不同的振子，若它们以相同的振幅作简 谐运动，则它们的 （
（A）周期相同
（B）频率相同
（C）振动总能量相同
（D）初相位必相同
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（选修3-4）（1）有以下说法：其中正确的是______A、声波与无线电波都是机械振动在介质中的传播B、对于同一障碍物，波长越大的光波，越容易绕过去C、白光通过三棱镜在屏上出现彩色条纹是光的一种干涉现象D、用光导纤维传播信号是光的干涉的应用E、用透明的标准样板和单色光检查平面的平整度是利用了光的干涉F、某同学观察实验室内两个单摆甲和乙的振动，发现单摆甲每完成4次全振动，单摆乙就完成9次全振动，则单摆甲和乙的摆长l甲与l乙之比l甲与l乙为81：16G、相对论认为：无论参照物的运动速度多大，光相对于它的速度都不变（2）一列简谐横波如图所示，波长λ=8m．实线表示t1=0时刻的波形图，虚线表示t2=0.005s时刻第一次出现的波形图．求这列波的波速．（3）如图所示，矩形ABCD为长方体水池横截面，宽度d=6m，高m，水池里装有高度为m、折射率为的某种液体，在水池底部水平放置宽度d'=5m的平面镜，水池左壁高m处有一点光源S，在其正上方放有一长等于水池宽度的标尺AB，S上方有小挡板，使光源发出的光不能直接射到液面，不考虑光在水池面上的反射，求在此横截面上标尺上被照亮的长度和液面上能射出光线部分的长度．
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声强是波强的实例之一，声强级是适合人耳听觉规律的规定标度，即所谓分贝。L=10lg(I/I。)
——引申：里氏震级&地震烈度
求距离多远听不到你讲话？
——球面波衰减规律A1R1=A2R2，声波是球面波。
由已知频率的音叉测另一音叉的频率。
——对应合音最大响度的间隔即为拍频对应的周期，再粘上一块橡皮泥（m↑），υ2=υ1+υ二选一。
观察到一只落在细枝上，由细枝上下摆动的次数和时间估算小鸟的体重。
——鸟飞走后，把1Kg砝码系在鸟落下的位置上，测出细枝弯下高度Δx。
K=mg/Δx，w=(k/m)1/2，T=2π/w
将弹簧振子由空气转入液漕，测液体的阻尼因数β。
W2+β2=w2o欠阻尼
在绳L两端同时引发相位差为ψ的简谐振动，试以绳的中点为坐标原点描写合成驻波的波函数。
——坐标原点不与振源重合的波函数的求法。
声压的振幅Pm、介质质元振动速度的振幅Vm，Pm=Aω·ρμ，Vm=Aω。
——因此，引入声阻抗Z=Pm/Vm=ρμ。
——声强I=½（Pm&Vm）
2比1滞后的相位差Δψ21﹙正值﹚=2π﹙X,2－X1﹚/λ。
相位=振源相位－相位差（以振源为原点，则振源相位=ωt＋ψ0，Δψ=2πX/λ）波函数=振幅&相位余弦值声压=声压振幅&相位正弦值的负数质点位移=振幅&相位的余弦值质点速度=速度振幅&相位正弦值的负数
超声诊断中为什么要在探头与皮肤之间涂上一层石蜡油？——作为耦合剂，降低超声波在皮肤界面处的反射系数β。反射系数、折射系数与声阻抗都是界面处两介质声阻抗的函数。
10、超声多普勒血流仪的工作原理是多普勒效应测速。
——血液中血细胞先作为入射声波的观察者，在作为反射声波的发射者。
11、按显示回波的方式将超声回拨扫描诊断技术分为A超、B超、M超等。
——比较先进的还有彩超、三维彩超3D、四维彩超4D等。（Dimension维）
12、简谐振动、阻尼振动、受迫振动（特例共振）。
——解振动微分方程（牛二）得到振动波函数。
13、欠阻尼、过阻尼、临界阻尼。
——阻尼因数β，固有角频率ω0。＜
14、共振的医疗应用。
——核磁共振成像诊断仪。
15、简谐振动的合成。
——三角函数学@数学
16、振动的谐波分析（又称频谱分析）。
——基频、谐频（倍频）、傅里叶分析法、傅里叶级数。
17、杨氏模量Y，体积模量K。
——材料力学中的几类模量：弹性模量，动态模量，正切模量。
18、机械波中质元的动能与势能时刻相等。
简谐振动中质元的动能与势能时刻相反。
19、驻波是干涉的特例，波腹是相长干涉的特例，波节是相消干涉的特例。
20、驻波是相位原地振动的波，行波是相位向前振动的波。
形成驻波后不再发生能量的传播，一段驻波S1S2中的能量来源于最初形成驻波前S1→S2、
S2→S1两段单独波所含的能量。
21、弦乐器的定调原理、
——弦线的简正模式中基频就是“调”的主音的频率。
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波的传播过程中,任一质元的动能与势能变化是完全同步的.为什么这么说?为什么与单个质点的简谐运动中动能与势能交替变化不同.那么是否违背了机械能守恒定律呢?是简谐波，不是简谐振子
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波在传播过程中传播振动和能量,而传播的能量的变化规律由波源（振源）来决定,所以任何质元的动能和势能的变化规律相同（满足相同的振动函数式）,唯一不同的是有先有后； 简谐波指的是简谐振动在空气中传播,道理一样的.
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它没受到任何外力作用，所以机械能守衡。总能量不会变化，等于动能与势能的和，动能减少必定势能增加。互相转化，书上应该有 （这个也是一样的呀！运动过程中只有动能和势能，没有别的能量形式。）
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