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六年级奥数-第四讲.几何-平面部分.教师版(2)16
小学六年级奥数第四讲 平面几何部分教学目标： 1． 熟练掌握五大面积模型 2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图 S1 : S2 ? a : b ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 S△ AC
DS1 aS2 bAB? S△BCD ；反之，如果 S△ ACD ? S△BCD ，则可知直线 AB 平行于 CD ．CD④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在 △ ABC 中， D, E 分别是 AB , AC 上的点如图 ⑴(或 D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上)， 则 S△ ABC : S△ ADE ? ( AB ? AC ) : ( AD ? AE)DAAD EEBCBC图⑴ 图⑵ 三、蝴蝶定理 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ① S1 : S2 ? S4 : S3 或者 S1 ? S3 ? S2 ? S4 ② AO : OC ? ? S1 ? S2 ? : ? S4 ? S3 ? 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径． 通过构造 模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系； 另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． B 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： a A D 2 2 ① S1 : S3 ? a : b S1 S2 S4 ② S1 : S3 : S2 : S4 ? a2 : b2 : ab : ab ； O 2 ③ S 的对应份数为 ? a ? b ? ． S3D A S2 S1 O S3 CS4BbC四、相似模型 (一)金字塔模型(二) 沙漏模型第 1 页 共 25 页小学六年级奥数AE AFDD B①F GE CBGCAD AE DE AF ； ? ? ? AB AC BC AG2 2② S△ADE：S△ABC ? AF : AG ． 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与 相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、燕尾定理 在三角形 ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点 O ， 那么 S?ABO : S?ACO ? BD : DC ． A 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段， 因为 ?ABO 和 ?ACO 的形状 很象燕子的尾巴， 所以这个定理被称为燕尾定理． 该定理在许多几何题目中都有着 E 广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的 F 三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. O 典型例题 C D 【例 1】 如图，正方形 ABCD 的边长为 6， AE ? 1.5， CF ? 2．长方形 EFGH 的 B 面积为 ．H _ H _A _ E _D _A _ E _ G _D _G _B _F _C _B _F _C _【解析】 连接 DE，DF，则长方形 EFGH 的面积是三角形 DEF 面积的二倍． 三角形 DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，S△DEF ? 6 ? 6 ? 1.5 ? 6 ? 2 ? 2 ? 6 ? 2 ? 4.5 ? 4 ? 2 ? 16.5 ,所以长方形 EFGH 面积为 33．【巩固】如图所示，正方形 ABCD 的边长为 8 厘米，长方形 EBGF 的长 BG 为10 厘米，那么长方形的宽为几厘米？E _ A _ F _ D _ G _ C _ B _ F _ D _ G _ C _ A _ E _ B _【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四 边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接 AG ．(我们通过 △ ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起)． ∵在正方形 ABCD 中， S△ ABG ?1 ? AB ? AB 边上的高， 2第 2 页 共 25 页小学六年级奥数∴ S△ ABG ?1 S 2ABCD(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理， S△ ABG ?1 SEFGB ． 2∴正方形 ABCD 与长方形 EFGB 面积相等． 长方形的宽 ? 8 ? 8 ? 10 ? 6.4 (厘米)． 【例 2】 长方形 ABCD 的面积为 36 cm 2 ， E 、 F 、 G 为各边中点， H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积 是多少？A H DEGBFC【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接 BH 、 HC ，如下图： H ADEGB1 1 1 可得： S?EHB ? S?AHB 、 S?FHB ? S?CHB 、 S?DHG ? S?DHC ，而 S ABCD ? S?AHB ? S?CHB ? S?CHD ? 36 2 2 2 1 1 即 S?EHB ? S?BHF ? S?DHG ? (S?AHB ? S?CHB ? S?CHD ) ? ? 36 ? 18 ； 2 2而 S?EHB ? S?BHF ? S?DHG ? S阴影 ? S?EBF ， S?EBF ? 所以阴影部分的面积是： S阴影 ? 18 ? S?EBFFC1 1 1 1 1 ? BE ? BF ? ? ( ? AB) ? ( ? BC) ? ? 36 ? 4.5 ． 2 2 2 2 8 ? 18 ? 4.5 ? 13.5解法二：特殊点法．找 H 的特殊点，把 H 点与 D 点重合， 那么图形就可变成右图：A D (H)EGBFC这样阴影部分的面积就是 ?DEF 的面积，根据鸟头定理，则有：1 1 1 1 1 1 1 S阴影 ? S ABCD ? S?AED ? S?BEF ? S?CFD ? 36 ? ? ? 36 ? ? ? ? 36 ? ? ? 36 ? 13.5 ． 2 2 2 2 2 2 2【巩固】在边长为 6 厘米的正方形 ABCD 内任取一点 P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分 别与 P 点连接,求阴影部分面积．第 3 页 共 25 页小学六年级奥数ADA (P)DADPPBCBCBC【解析】 （法 1）特殊点法．由于 P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设 P 点与 A 点重合，则阴影部 1 1 分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的 和 ，所以阴影部分的面 4 6 1 1 2 积为 6 ? ( ? ) ? 15 平方厘米． 4 6 （法 2）连接 PA 、 PC ． 由于 ?PAD 与 ?PBC 的面积之和等于正方形 ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和 1 1 等于正方形 ABCD 面积的 ，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形 ABCD 面积的 ， 4 6 1 1 所以阴影部分的面积为 62 ? ( ? ) ? 15 平方厘米． 4 6 【例 3】 如图所示，长方形 ABCD 内的阴影部分的面积之和为 70， AB ? 8 ， AD ? 15 ，四边形 EFGO 的面积 为 ．A DO E B FG C【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形 AOE 、 DOG 和四边形 EFGO 的面积之和，以及三角形 AOE 和 DOG 的面积之和，进而求出四边形 EFGO 的面积． 1 由于长方形 ABCD 的面积为 15 ? 8 ? 120 ，所以三角形 BOC 的面积为 120 ? ? 30 ，所以三角形 AOE 和 4 3 DOG 的面积之和为 120 ? ? 70 ? 20 ； 4 ?1 1? 又三角形 AOE 、 DOG 和四边形 EFGO 的面积之和为 120 ? ? ? ? ? 30 ，所以四边形 EFGO 的面积为 ?2 4? 30 ? 20 ? 10 ． 另解：从整体上来看，四边形 EFGO 的面积 ? 三角形 AFC 面积 ? 三角形 BFD 面积 ? 白色部分的面积， 而三角形 AFC 面积 ? 三角形 BFD 面积为长方形面积的一半，即 60，白色部分的面积等于长方形面积减 去阴影部分的面积，即 120 ? 70 ? 50 ，所以四边形的面积为 60 ? 50 ? 10 ． 【巩固】如图，长方形 ABCD 的面积是 36， E 是 AD 的三等分点， AE ? 2ED ，则阴影部分的面积为 ．A O B【解析】 如图，连接 OE ．EDA M O BE NDCC第 4 页 共 25 页小学六年级奥数根据蝴蝶定理， ON : ND ? S?COE : S?CDE ?1 1 S?CAE : S?CDE ? 1:1 ，所以 S?OEN ? S?OED ； 2 21 1 OM : MA ? S?BOE : S?BAE ? S?BDE : S?BAE ? 1: 4 ，所以 S?OEM ? S?OEA ． 5 2又 S?OED ?1 1 ? S矩形ABCD ? 3 ， S?OEA ? 2S?OED ? 6 ，所以阴影部分面积为： 3 ? 1 ? 6 ? 1 ? 2.7 ． 3 4 2 5【例 4】 已知 ABC 为等边三角形，面积为 400， D 、 E 、 F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为 143， 求阴影五边形的面积．(丙是三角形 HBC )A 甲 乙 I J M B N H 丙 EDFC【解析】 因为 D 、 E 、 F 分别为三边的中点，所以 DE 、 DF 、 EF 是三角形 ABC 的中位线，也就与对应的边平 行，根据面积比例模型，三角形 ABN 和三角形 AMC 的面积都等于三角形 ABC 的一半，即为 200． 根据图形的容斥关系，有 S?ABC? S丙 ? S?ABN ? S?AMC ? S AMHN ，? S AMHN ．1 ? 400 ? 43 ． 4即 400 ? S丙 ? 200 ? 200 ? S AMHN ，所以 S丙又 S阴影 ? S?ADF ? S甲 ? S乙 ? S AMHN ，所以 S阴影 ? S甲 ? S乙 ? S丙 ? S?ADF ? 143 ?【例 5】 如图，已知 CD ? 5 ， DE ? 7 ， EF ? 15 ， FG ? 6 ，线段 AB 将图形分成两部分，左边部分面积是 38， 右边部分面积是 65，那么三角形 ADG 的面积是 ．AAC D BEFGC D BEFG【解析】 连接 AF ， BD ． 根据题意可知， CF ? 5 ? 7 ? 15 ? 27 ； DG ? 7 ? 15 ? 6 ? 28 ；15 S?CBF ， S?BEC ? 12 S?CBF ， S?AEG ? 21 S?ADG ， S?AED ? 7 S?ADG ， 27 28 27 28 7 12 21 15 S?ADG ? S?CBF ? 65 ； S?ADG ? S?CBF ? 38 ； 于是： 28 27 28 27 可得 S?ADG ? 40 ．故三角形 ADG 的面积是 40．所以， S?BEF?【例 6】 如图在 △ ABC 中， D, E 分别是 AB , AC 上的点，且 AD : AB ? 2 : 5 ， AE : AC ? 4 : 7 ， S△ ADE ? 16 平方厘 米，求 △ ABC 的面积．第 5 页 共 25 页小学六年级奥数AAD ED E B CBC【解析】 连接 BE ， S△ ADE : S△ ABE ? AD : AB ? 2 : 5 ? (2 ? 4) : (5 ? 4) ，S△ ABE : S△ ABC ? AE : AC ? 4 : 7 ? (4 ? 5) : (7 ? 5) ，所以 S△ ADE : S△ ABC ? (2? 4) : (7 ? 5) ，设 S△ ADE ? 8 份，则S△ ABC ? 35 份， S△ ADE ? 16 平方厘米，所以 1 份是 2 平方厘米， 35 份就是 70 平方厘米， △ ABC 的面积是70 平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ． 【巩固】如图，三角形 ABC 中， AB 是 AD 的 5 倍， AC 是 AE 的 3 倍，如果三角形 ADE 的面积等于 1，那么三 角形 ABC 的面积是多少？ A ADE CDE CB【解析】 连接 BE ． ∵ EC ? 3AE ∴ S ABC ? 3S ABE 又∵ AB ? 5AD ∴ S ADE ? S ABE ? 5 ? SBABC? 15 ，∴ SABC? 15SADE? 15 ．【巩固】如图，三角形 ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分， BD ? DC ? 4 ， BE ? 3 ， AE ? 6 ，乙部分面积 是甲部分面积的几倍？ A AE B 甲 DE乙 CB甲 D乙 C【解析】 连接 AD ． ∵ BE ? 3 ， AE ? 6 ∴ AB ? 3BE ， S ABD ? 3S BDE 又∵ BD ? DC ? 4 ， ∴ S ABC ? 2S ABD ，∴ S ABC ? 6SBDE， S乙 ? 5S甲 ．【例 7】 如图在 △ ABC 中， D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上，且 AB : AD ? 5 : 2 ， AE : EC ? 3 : 2 ， S△ ADE ? 12 平方厘米，求 △ ABC 的面积．DDAAE B CEBC第 6 页 共 25 页小学六年级奥数【解析】 连接 BE ， S△ ADE : S△ ABE ? AD : AB ? 2 : 5 ? (2 ? 3) : (5 ? 3)所以 S△ADE : S△ABC ? (3 ? 2) : ?5 ? (3 ? 2)? ? 6 : 25 ，设 S△ ADE ? 6 份，则 S△ ABC ? 25 份， S△ ADE ? 12 平方厘米， 所以 1 份是 2 平方厘米， 25 份就是 50 平方厘米， △ ABC 的面积是 50 平方厘米．由此我们得到一个重要 的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【例 8】 如图，平行四边形 ABCD ， BE ? AB ， CF ? 2CB ， GD ? 3DC ， HA ? 4AD ，平行四边形 ABCD 的面 积是 2 ， 求平行四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的面积比．HS△ABE : S△ABC ? AE : AC ? 3: (3 ? 2) ? (3 ? 5) : ?(3 ? 2) ? 5? ，HA G D FB CEA G D FB CE【解析】 连接 AC 、 BD ．根据共角定理 ∵在 △ ABC 和 △ BFE 中， ?ABC 与 ?FBE 互补， S AB ? BC 1 ? 1 1 ? ? ． ∴ △ ABC ? S△ FBE BE ? BF 1 ? 3 3 又 S△ ABC ? 1 ，所以 S△FBE ? 3 ． 同理可得 S△GCF ? 8 ， S△DHG ? 15 ， S△ AEH ? 8 ． 所以 SEFGH ? S△ AEH ? S△CFG ? S△DHG ? S△BEF ? S ABCD ? 8 ? 8 ? 15+3+2 ? 36 ． S 2 1 ? ． 所以 ABCD ? S EFGH 36 18 【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？C 13 12 O 13 1213 D131212AB【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积. 我们可以利用旋转的方法对图形实施变换： 把三角形 OAB 绕顶点 O 逆时针旋转，使长为 13 的两条边重合，此时三角形 OAB 将旋转到三角形 OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为 12 的正方形，且这个正方形的面积就是原来四 边形的面积. 因此，原来四边形的面积为 12 ?12 ?144 .(也可以用勾股定理) 【例 10】 如图所示， ?ABC 中， ?ABC ? 90? ， AB ? 3 ， BC ? 5 ，以 AC 为一边向 ?ABC 外作正方形 ACDE ， 中心为 O ，求 ?OBC 的面积．第 7 页 共 25 页小学六年级奥数EEO A 3 B 5 CDO A 3 B 5 CDF【解析】 如图，将 ?OAB 沿着 O 点顺时针旋转 90 ? ，到达 ?OCF 的位置． 由于 ?ABC ? 90? ， ?AOC ? 90? ，所以 ?OAB ? ?OCB ? 180? ．而 ?OCF ? ?OAB ， 所以 ?OCF ? ?OCB ? 180? ，那么 B 、 C 、 F 三点在一条直线上． 由于 OB ? OF ， ?BOF ? ?AOC ? 90? ，所以 ?BOF 是等腰直角三角形，且斜边 BF 为 5 ? 3 ? 8 ，所以它 1 的面积为 82 ? ? 16 ． 4 5 根据面积比例模型， ?OBC 的面积为 16 ? ? 10 ． 8 【例 11】 如图，以正方形的边 AB 为斜边在正方形内作直角三角形 ABE ， ?AEB ? 90? ， AC 、 BD 交于 O ．已 知 AE 、 BE 的长分别为 3cm 、 5cm ，求三角形 OBE 的面积．C BC BO E D ADO E AF【解析】 如图，连接 DE ，以 A 点为中心，将 ?ADE 顺时针旋转 90 ? 到 ?ABF 的位置． 那么 ?EAF ? ?EAB ? ?BAF ? ?EAB ? ?DAE ? 90? ， 而 ?AEB 也是 90 ? ， 所以四边形 AFBE 是直角梯形， AF ? AE ? 3 且 ， 所以梯形 AFBE 的面积为： 1 ?3 ? 5? ? 3 ? ? 12 ( cm 2 )． 2 又因为 ?ABE 是直角三角形，根据勾股定理， AB2 ? AE 2 ? BE 2 ? 32 ? 52 ? 34 ，所以S?ABD ?那么 S?BDE ? S?ABD ? ? S?ABE ? S?ADE ? ? S?ABD ? S AFBE ? 17 ? 12 ? 5 ( cm 2 )， 所以 S?OBE ?1 AB2 ? 17 ( cm 2 )． 21 S?BDE ? 2.5 ( cm 2 )． 2【例 12】 如下图， 六边形 ABCDEF 中， AB ? ED ， AF ? CD ，BC ? EF ， 且有 AB 平行于 ED ， AF 平行于 CD ， BC 平行于 EF ，对角线 FD 垂直于 BD ，已知 FD ? 24 厘米， BD ? 18 厘米，请问六边形 ABCDEF 的 面积是多少平方厘米？第 8 页 共 25 页小学六年级奥数B A CG AB CF EDF ED【解析】 如图，我们将 ?BCD 平移使得 CD 与 AF 重合，将 ?DEF 平移使得 ED 与 AB 重合，这样 EF 、 BC 都重 合到图中的 AG 了．这样就组成了一个长方形 BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形 BGFD 的面积为 24 ? 18 ? 432 平方厘米，所以六边形 ABCDEF 的面积为 432 平方厘米． 【例 13】 如图，三角形 ABC 的面积是 1 ， E 是 AC 的中点，点 D 在 BC 上，且 BD : DC ? 1: 2 ， AD 与 BE 交于 点 F ．则四边形 DFEC 的面积等于 ．AAAA E F B D CE B D F CBB3 3 E E F 3 F 1 2 C C DD【解析】 方法一：连接 CF ，根据燕尾定理， 设 S△ BDFS△ ABF BD 1 S△ ABF AE ? ? 1, ? ? ， S△ ACF DC 2 S△CBF EC? 1 份，则 S△ DCF ? 2 份， S△ ABF ? 3 份， S△ AEF ? S△EFC ? 3 份，如图所标5 5 S△ ABC ? 12 12所以 SDCEF ?方法二：连接 DE ，由题目条件可得到 S△ ABD ?1 1 S△ ABC ? ， 3 3BF S△ ABD 1 1 1 2 1 ? ? ， S△ADE ? S△ADC ? ? S△ABC ? ，所以 FE S△ ADE 1 2 2 3 31 1 1 1 1 1 1 S△DEF ? ? S△DEB ? ? ? S△BEC ? ? ? ? S△ABC ? ， 2 2 3 2 3 2 12而 S△CDE ?2 1 1 ? ? S△ ABC ? ．所以则四边形 DFEC 的面积等于 5 ． 3 2 3 12【巩固】如图，长方形 ABCD 的面积是 2 平方厘米， EC ? 2 DE ， F 是 DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方 厘米?A F B G D E CBB A A 3F 3 G 1 DD E CF x2 y 3 x yCEG【解析】 设 S△ DEF? 1 份，则根据燕尾定理其他面积如图所示 S阴影 ?5 5 S△BCD ? 平方厘米. 12 12【例 14】 四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O (如图所示)． 如果三角形 ABD 的面积等于三角形 BCD 的面 1 积的 ，且 AO ? 2 ， DO ? 3 ，那么 CO 的长度是 DO 的长度的_________倍． 3第 9 页 共 25 页小学六年级奥数A O BDA H O C BD GC【解析】 在本题中，四边形 ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理方法：⑴利用已知 条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件 S ABD : S BCD ? 1: 3 ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条 件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个” 不良四边形” ，于是可以作 AH 垂直 BD 于 H ， CG 垂直 BD 于 G ，面积比转化为高之比．再应用结论： 三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定 理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题． 解法一：∵ AO : OC ? S?ABD : S?BDC ? 1: 3 ，∴ OC ? 2 ? 3 ? 6 ，∴ OC : OD ? 6 : 3 ? 2 :1 ． 解法二：作 AH ? BD 于 H ， CG ? BD 于 G ． ∵ S? ABD ?1 1 S?BCD ，∴ AH ? 1 CG ，∴ S?AOD ? S?DOC ， 3 3 31 ∴ AO ? CO ，∴ OC ? 2 ? 3 ? 6 ，∴ OC : OD ? 6 : 3 ? 2 :1 ． 3 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形 BGC 的面积；⑵ AG : GC ? ？A 2 B1 G 3DC【解析】 ⑴根据蝴蝶定理， S ⑵根据蝴蝶定理， AG : GC ? ?1 ? 2? : ? 3 ? 6? ? 1: 3 ．BGC? 1 ? 2 ? 3 ，那么 SBGC?6；【例 15】 如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于 O 点， △CEF 、 △OEF 、 △ODF 、 △ BOE 的面积依次是 2、 4、4 和 6．求：⑴求 △OCF 的面积；⑵求 △GCE 的面积．A O G B E CDF【解析】 ⑴根据题意可知， △ BCD 的面积为 2 ? 4 ? 4 ? 6 ? 16 ，那么 △ BCO 和 ?CDO 的面积都是 16 ? 2 ? 8 ，所 以 △OCF 的面积为 8 ? 4 ? 4 ； ⑵由于 △ BCO 的面积为 8， △ BOE 的面积为 6，所以 △OCE 的面积为 8 ? 6 ? 2 ， 根据蝴蝶定理， EG : FG ? S?COE : S?COF ? 2 : 4 ? 1: 2 ，所以 S?GCE : S?GCF ? EG : FG ? 1: 2 ， 那么 S?GCE?1 1 2 S?CEF ? ? 2 ? ． 1? 2 3 3第 10 页 共 25 页小学六年级奥数【例 16】 如图，长方形 ABCD 中， BE : EC ? 2 : 3 ， DF : FC ? 1: 2 ，三角形 DFG 的面积为 2 平方厘米，求长方 形 ABCD 的面积．AGD F CAGD F CB【解析】 连接 AE ， FE ．EBE因为 BE : EC ? 2 : 3 ， DF : FC ? 1: 2 ，所以 S 因为 SAEDDEF3 1 1 1 ? ( ? ? )S长方形ABCD ? S长方形ABCD ． 5 3 2 10SAFD1 ? S长方形ABCD ， AG : GF ? 1 : 1 ? 5:1 ， 所 以 S A G D? 5S G D ? F 1 0平 方 厘 米 ， 所 以 2 2 10 ? 12 平方厘米．因为 S AFD ? 1 S长方形ABCD ，所以长方形 ABCD 的面积是 72 平方厘米． 6【例 17】 如图，正方形 ABCD 面积为 3 平方厘米， M 是 AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．BCG A DM【解析】 因为 M 是 AD 边上的中点，所以 AM : BC ? 1: 2 ，根据梯形蝴蝶定理可以知道S△AMG : S△ABG : S△MCG : S△BCG ? 12 （ : 1? 2） （ : 1? 2） : 22 ? 1: 2 : 2 : 4 ，设 S△ AGM ? 1 份，则 S△MCD ? 1 ? 2 ? 3份，所以正方形的面积为 1 ? 2 ? 2 ? 4 ? 3 ? 12 份， S阴影? 2 ? 2 ? 4 份，所以 S阴影 : S正方形 ? 1: 3 ，所以S阴影 ? 1 平方厘米．【巩固】在下图的正方形 ABCD 中， E 是 BC 边的中点， AE 与 BD 相交于 F 点，三角形 BEF 的面积为 1 平方厘 米，那么正方形 ABCD 面积是 平方厘米．ADF B E C2 S梯形 ? （ 1 ? 2） ? 9 (平方厘米)，【解析】 连 接 DE ， 根 据 题 意 可 知 BE : AD ? 1: 2 ， 根 据 蝴 蝶 定 理 得S△ ECD ? 3 (平方厘米)，那么 SABCD? 12 (平方厘米)．第 11 页 共 25 页小学六年级奥数【例 18】 已知 ABCD 是平行四边形， BC : CE ? 3 : 2 ，三角形 ODE 的面积为 6 平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．A ODA ODBCEBCE【解析】 连接 AC ． 由于 ABCD 是平行四边形， BC : CE ? 3 : 2 ，所以 CE : AD ? 2 : 3 ， 根据梯形蝴蝶定理， SCOE:SAOC:SDOE:SAODABC? 22 : 2 ? 3: 2 ? 3: 32 ? 4 : 6 : 6 : 9 ，所以 S?SACDAOC? 6 (平方 厘 米 ) ， S AOD ? 9 ( 平 方 厘 米 ) ， 又 S 6 ? 1 5? 2 1 (平方厘米)．? 6 ? 9 ? 15( 平 方 厘 米 ) ， 阴 影 部 分 面 积 为【巩固】右图中 ABCD 是梯形， ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分 的面积是 平方厘米．A 9 21 4 B EDA 9 21 C B O 4 EDC【分析】 连接 AE ．由于 AD 与 BC 是平行的，所以 AECD 也是梯形，那么 S?OCD 根据蝴蝶定理， S?OCD 所以 S?OCD? S?OAE ．2? S?OAE ? S?OCE ? S?OAD ? 4 ? 9 ? 36 ，故 S?OCD ? 36 ，? 6 (平方厘米)．【巩固】右图中 ABCD 是梯形， ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分 的面积是 平方厘米．A 8 16 2 B EDA 8 16 C B O 2 EDC【解析】 连接 AE ．由于 AD 与 BC 是平行的，所以 AECD 也是梯形，那么 S?OCD ? S?OAE ． 根据蝴蝶定理，S?OCD ? S?OAE ? S?OCE ? S?OAD ? 2 ? 8 ? 161 S 2，故S?OCD 2 ? 16 ， 所 以S?OCD ? 4 (平方厘米)．另解：在平行四边形 ABED 中， S?ADE ?ABED1 ? ? ?16 ? 8? ? 12 (平方厘米)， 2所以 S?AOE ? S?ADE ? S?AOD ? 12 ? 8 ? 4 (平方厘米)， 根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为 8 ? 2 ? 4 ? 4 (平方厘米)．第 12 页 共 25 页小学六年级奥数【例 19】 如图，长方形 ABCD 被 CE 、 DF 分成四块，已知其中 3 块的面积分别为 2、5、8 平方厘米，那么余 下的四边形 OFBC 的面积为___________平方厘米．A E 2 5 O 8 DF ?BA E 2 5 O 8F ?BCDFOCC， 又根据蝴蝶定理，S?EOD ? S?FOC ? S?EOF ? S?COD ，【解析】 连接 DE 、CF ． 四边形 EDCF 为梯形， 所以 S?EOD ? S所以 S?EOD ? S?FOC ? S?EOF ? S?COD ? 2 ? 8 ? 16 ， 所以 S?EOD ? 4 (平方厘米)，S?ECD ? 4 ? 8 ? 12 (平方厘米)． 那 么长方形 ABCD 的面积为 12 ? 2 ? 24 平方厘米，四边形 OFBC 的面积为 24 ? 5 ? 2 ? 8 ? 9 (平方厘米)． 【例 20】 如图，?ABC 是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段 AB 与 CD 相交于 K 点．已知正方形 DEFG 的 面积 48， AK : KB ? 1: 3 ，则 ?BKD 的面积是多少？D K B EAGD KAGFCBEM FC【解析】 由于 DEFG 是正方形，所以 DA 与 BC 平行，那么四边形 ADBC 是梯形．在梯形 ADBC 中， ?BDK 和 1 1 ?ACK 的面积是相等的．而 AK : KB ? 1: 3 ，所以 ?ACK 的面积是 ?ABC 面积的 ? ，那么 ?BDK 的 1? 3 4 1 面积也是 ?ABC 面积的 ． 4 由于 ?ABC 是等腰直角三角形，如果过 A 作 BC 的垂线， M 为垂足，那么 M 是 BC 的中点，而且 AM ? DE ，可见 ?ABM 和 ?ACM 的面积都等于正方形 DEFG 面积的一半，所以 ?ABC 的面积与正方形 DEFG 的面积相等，为 48． 1 那么 ?BDK 的面积为 48 ? ? 12 ． 4 【例 21】 下图中，四边形 ABCD 都是边长为 1 的正方形， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB ， BC ， CD ， DA 的中 m 点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数 ，那么， (m ? n) 的值等 n 于 ．A H D A H DEGEGBFCBFC【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都 比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积． 如下图所示，在左图中连接 EG ．设 AG 与 DE 的交点为 M ． 1 左图中 AEGD 为长方形，可知 ?AMD 的面积为长方形 AEGD 面积的 ，所以三角形 AMD 的面积为 4 1 1 1 1 1 12 ? ? ? ．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为 1 ? ? 4 ? ． 2 4 8 8 2第 13 页 共 25 页小学六年级奥数AHDAHDM E G E N GBFCBFC1 ，所以三角形 BEF 的面 4如上图所示，在右图中连接 AC 、 EF ．设 AF 、 EC 的交点为 N ． 可知 EF ∥ AC 且 AC ? 2 EF ．那么三角形 BEF 的面积为三角形 ABC 面积的1 1 1 1 1 3 积为 12 ? ? ? ，梯形 AEFC 的面积为 ? ? ． 2 4 8 2 8 8 ? 1: 2 在 梯 形 AEFC 中 ， 由 于 E F: A C ，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为： 3 1 1 2 2 1 :1? 2 :1 ? 2 : 2 ? 1: 2 : 2 : 4 ，所以三角形 EFN 的面积为 ? ，那么四边形 BENF 的面积 ? 8 1 ? 2 ? 2 ? 4 24 1 1 1 1 1 为 ? ? ．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为 1 ? ? 4 ? ． 8 24 6 6 3 1 1 m 3 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为 : ? 3: 2 ，即 ? ， 2 3 n 2 那么 m ? n ? 3 ? 2 ? 5 ．【例 22】 如图， △ ABC 中， DE ， FG ， BC 互相平行， AD ? DF ? FB ， 则 S△ ADE: S四边形DEGF : S四边形FGCB ?A D F B．E G C【解析】 设 S△ ADE ? 1 份，根据面积比等于相似比的平方， 所以 S△ADE : S△AFG ? AD2 : AF 2 ? 1: 4 ， S△ADE : S△ABC ? AD2 : AB2 ? 1: 9 ， 因此 S△ AFG ? 4 份， S△ ABC ? 9 份， 进而有 S四边形DEGF ? 3 份， S四边形FGCB ? 5 份，所以 S△ADE : S四边形DEGF : S四边形FGCB ? 1: 3: 5 【巩固】如图， DE 平行 BC ，且 AD ? 2 ， AB ? 5 ， AE ? 4 ，求 AC 的长．A D B ECA D F M E G【解析】 由金字塔模型得 AD : AB ? AE : AC ? DE : BC ? 2 : 5 ，所以 AC ? 4 ? 2 ? 5 ? 10 【巩固】如图， △ ABC 中， DE ， FG ， MN ， PQ ， BC 互相平行，第 14 页 共 25 页PBNQ C小学六年级奥数AD ? DF ? FM ? MP ? PB ，则S△ADE : S四边形DEGF : S四边形FGNM : S四边形MNQP : S四边形PQCB ?【解析】 设 S△ ADE 同理有 S四边形FGNM 所以有．? 1 份，S△ADE : S△AFG ? AD2 : AF 2 ? 1: 4 ，因此 S△ AFG ? 4 份，进而有 S四边形DEGF ? 3 份，? 5 份， S四边形MNQP ? 7 份， S四边形PQCB ? 9 份．S△ADE : S四边形DEGF : S四边形FGNM : S四边形MNQP : S四边形PQCB ? 1: 3: 5: 7 : 9【例 23】 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4 ， F 是 BC 边的中点， E 是 DC 边上的点，且 DE : EC ? 1: 3 ， AF 与 BE 相交于点 G ，求 S△ ABGA BA BA BG FGFGFDECDECMDEC【解析】 方法一： 连接 AE ， 延长 AF ，DC 两条线交于点 M ， 构造出两个沙漏， 所以有 AB : CM ? BF : FC ? 1:1 ， 因 此 CM ? 4 ， 根 据 题 意 有 CE ? 3 ， 再 根 据 另 一 个 沙 漏 有 GB : GE ? AB : EM ? 4 : 7 ， 所 以4 32 ? ( 4? 4 ? 2 ?) ． 11 11 方法二：连接 AE , EF ，分别求 S△ ABF ? 4 ? 2 ? 2 ? 4 ， S△ AEF ? 4 ? 4 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 4 ? 7 ，根 S△A B G?A B E4 S△ 4? 7?据蝴蝶定理 S△ ABF : S△ AEF ? BG : GE ? 4 : 7 ，所以 S△ ABG ?4 4 32 S△ ABE ? ? (4 ? 4 ? 2) ? ． 4?7 11 11【例 24】 如图所示， 已知平行四边形 ABCD 的面积是 1，E 、F 是 AB 、AD 的中点， BF 交 EC 于 M ， 求 ?BMG 的面积． A F F D I A DE B H M G CE M G HB C 【解析】 解法一：由题意可得， E 、 F 是 AB 、 AD 的中点，得 EF / / BD ，而 FD : BC ? FH : HC ? 1: 2 ， EB : CD ? BG : GD ? 1: 2 所以 CH : CF ? GH : EF ? 2 : 3 ， 并得 G 、 H 是 BD 的三等分点，所以 BG ? GH ，所以BG : EF ? BM : MF ? 2 : 3 ，所以 BM ?2 BF ， S?BFD 51 1 1 ? S?ABD ? ? S 2 2 2ABCD1 ? ； 41 2 1 2 1 1 1 又因为 BG ? BD ，所以 S?BMG ? ? ? S?BFD ? ? ? ? ． 3 5 3 5 4 30 3 解法二：延长 CE 交 DA 于 I ，如右图， 可得， AI : BC ? AE : EB ? 1:1 ，从而可以确定 M 的点的位置， 2 1 BM : MF ? BC : IF ? 2 : 3 ， BM ? BF ， BG ? BD (鸟头定理)， 5 3可得 S?BMG ?2 1 2 1 1 ? S?BDF ? ? ? S 5 3 5 3 4ABCD?1 30第 15 页 共 25 页小学六年级奥数【例 25】 如图，ABCD 为正方形，AM ? NB ? DE ? FC ? 1 cm 且 MN ? 2 cm ， 请问四边形 PQRS 的面积为多少？D E R S P A M N B Q F CDE R S PFCQAMNBMQ MB MP PC ? 【解析】 (法 1 )由 AB / / CD ，有 ，所以 PC ? 2 PM ，又 ，所以 ? QC EC MN DC 1 1 1 1 1 MQ ? QC ? MC ，所以 PQ ? MC ? MC ? MC ，所以 SSPQR 占 S AMCF 的 ， 6 2 2 3 6 1 2 所以 SSPQR ? ? 1? (1 ? 1 ? 2) ? (cm 2 ) ． 6 3 1 (法 2 )如图，连结 AE ，则 S?ABE ? ? 4 ? 4 ? 8 ( cm2 ) ， 2 RB ER RB AB 2 2 16 而 ，所以 ? ? ? 2 ， S?ABR ? S?ABE ? ? 8 ? ( cm 2 )． AB EF EF EF 3 3 3 1 1 MN MP 而 S?MBQ ? S?ANS ? ? 3 ? 4 ? ? 3 ( cm 2 )，因为 ， ? 2 2 DC PC 1 1 1 4 所以 MP ? MC ，则 S?MNP ? ? 2 ? 4 ? ? ( cm 2 )，阴影部分面积等于 3 2 3 3 16 4 2 S?ABR ? S?ANS ? S?MBQ ? S?MNP ? ? 3 ? 3 ? ? ( cm 2 )． 3 3 3【例 26】 如右图，三角形 ABC 中， BD : DC ? 4 : 9 ， CE : EA ? 4 : 3 ，求 AF : FB ．A F B O D EC【解析】 根据燕尾定理得 S△ AOB : S△ AOC ? BD : CD ? 4 :9 ? 12 : 27S△ AOB : S△BOC ? AE : CE ? 3: 4 ? 12 :16 （都有 △ AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以 S△ AOC : S△BOC ? 27 :16 ? AF : FB 【点评】本题关键是把 △ AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能 掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形 ABC 中， BD : DC ? 3 : 4 ， AE : CE ? 5 : 6 ，求 AF : FB .A F B O D EC【解析】 根据燕尾定理得 S△ AOB : S△ AOC ? BD : CD ? 3: 4 ? 15 : 20S△ AOB : S△BOC ? AE : CE ? 5 : 6 ? 15 :18（都有 △ AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数）第 16 页 共 25 页小学六年级奥数所以 S△ AOC : S△BOC ? 20 :18 ? 10 : 9 ? AF : FB 【巩固】如右图，三角形 ABC 中， BD : DC ? 2 : 3 ， EA : CE ? 5 : 4 ，求 AF : FB .A F B O D EC【解析】 根据燕尾定理得 S△ AOB : S△ AOC ? BD : CD ? 2 : 3 ? 10 :15S△ AOB : S△BOC ? AE : CE ? 5 : 4 ? 10 : 8（都有 △ AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以 S△ AOC : S△BOC ? 15 : 8 ? AF : FB 【点评】本题关键是把 △ AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能 掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！ 【例 27】 如右图， 三角形 ABC 中，AF : FB ? BD : DC ? CE : AE ? 3 : 2 ， 且三角形 ABC 的面积是 1 ， 则三角形 ABE 的面积为______，三角形 AGE 的面积为________，三角形 GHI 的面积为______．A E F H B【分析】 连接 AH 、 BI 、 CG ．A E FI D CGG H I D CB2 2 2 AC ，故 S?ABE ? S?ABC ? ； 5 5 5 根据燕尾定理， S?ACG : S?ABG ? CD : BD ? 2 : 3 ， S?BCG : S?ABG ? CE : EA ? 3: 2 ，所以 4 9 S?ACG : S?ABG : S?BCG ? 4 : 6 : 9 ，则 S?ACG ? ， S?BCG ? ； 19 19 2 2 4 8 那么 S?AGE ? S?AGC ? ? ? ； 5 5 19 95 9 ? ?S 同 样 分 析 可 得 S?ACH ? ， 则 E G: E H ， EG : EB ? S?ACG : S?ACB ? 4 :19 ， 所 以 A C G : ? SA C? H 4 : 9 19 E G: G H: H ? B 4 : 5 : ，同样分析可得 10 AG : GI : ID ? 10 : 5 : 4 ， 5 5 2 1 5 5 1 1 所以 S?BIE ? S?BAE ? ? ? ， S?GHI ? S?BIE ? ? ? ． 10 10 5 5 19 19 5 19 【巩固】 如右图， 三角形 ABC 中，AF : FB ? BD : DC ? CE : AE ? 3 : 2 ， 且三角形 GHI 的面积是 1 ， 求三角形 ABC 的面积．由于 CE : AE ? 3 : 2 ，所以 AE ?A AF I BH G DEF I C BH G DEC【解析】 连接 BG， S△ AGC ? 6 份第 17 页 共 25 页小学六年级奥数根据燕尾定理， S△ AGC : S△BGC ? AF : FB ? 3: 2 ? 6 : 4 ， S△ ABG : S△ AGC ? BD : DC ? 3: 2 ? 9 : 6 S 6 得 S△ BGC ? 4 (份)， S△ ABG ? 9 (份)，则 S△ ABC ? 19 (份)，因此 △ AGC ? , S△ ABC 19 同理连接 AI、CH 得S△ ABH S 6 S 6 19 ? 6 ? 6 ? 6 1 ? , △ BIC ? ,所以 △GHI ? ? S△ ABC 19 S△ ABC 19 S△ ABC 19 19三角形 GHI 的面积是 1，所以三角形 ABC 的面积是 19 【巩固】 如图，?ABC 中 BD ? 2DA ，CE ? 2 EB ，AF ? 2 FC ， 那么 ?ABC 的面积是阴影三角形面积的 倍．A D G F H B E I CB H E D GAF I C【分析】 如图，连接 AI ． 根据燕尾定理， S?BCI : S?ACI ? BD : AD ? 2 :1 ， S?BCI : S?ABI ? CF : AF ? 1: 2 ， 2 2 所以， S?ACI : S?BCI : S?ABI ? 1: 2 : 4 ，那么， S?BCI ? S?ABC ? S?ABC ． 1? 2 ? 4 7 2 同理可知 ?ACG 和 ?ABH 的面积也都等于 ?ABC 面积的 ，所以阴影三角形的面积等于 ?ABC 面积的 7 2 1 1 ? ? 3 ? ，所以 ?ABC 的面积是阴影三角形面积的 7 倍． 7 7 【巩固】如图在 △ ABC 中，△GHI的面积 DC EA FB 1 的值． ? ? ? ,求 △ ABC的面积 DB EC FA 2A E H F I B G D C B F I G D C H A E【解析】 连接 BG,设 S△ BGC ? 1 份， 根据燕尾定理 S△ AGC : S△BGC ? AF : FB ? 2 :1 , S△ ABG : S△ AGC ? BD : DC ? 2 :1 ,得 S 2 S△ AGC ? 2 (份)， S△ ABG ? 4 (份),则 S△ ABC ? 7 (份)，因此 △ AGC ? ,同理连接 AI、CH 得 S△ ABC 7S△ ABH 2 S△ BIC 2 S 7?2?2?2 1 ? , ? ,所以 △GHI ? ? S△ ABC 7 S△ ABC 7 S△ ABC 7 7【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面 积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称 法作辅助线. 【例 28】 如图，三角形 ABC 的面积是 1 ， BD ? DE ? EC ， CF ? FG ? GA ，三角形 ABC 被分成 9 部分，请写出 这 9 部分的面积各是多少?第 18 页 共 25 页小学六年级奥数AAGGPQF BBF N D E CMDEC【解析】 设 BG 与 AD 交于点 P，BG 与 AE 交于点 Q，BF 与 AD 交于点 M，BF 与 AE 交于点 N．连接 CP，CQ， CM，CN． ? 1 : 2， S△ ABP : S△ ACP ? BD : CD ? 1: 2 ，设 S△ ABP ? 1 ( 份 ) ，则 根据燕尾定理， S△ A B P : S△ C B P? AG: GC 1 S△ ABC ? 1 ? 2 ? 2? 5(份)，所以 S△ ABP ? 5 2 1 1 2 1 3 1 2 1 同理可得， S△ABQ ? , S△ABN ? ,而 S△ ABG ? ，所以 S△ APQ ? ? ? ， S△ AQG ? ? ? ． 7 2 3 7 5 35 3 7 21 3 1 1 2 3 9 同理， S△BPM ? ， S△BDM ? ,所以 S四边形PQMN ? ? ? ? 35 21 2 7 35 70 1 3 9 5 1 1 5 1 1 1 1 5 , S四边形NFCE ? ? ? S四边形MNED ? ? ? ? ? , S四边形GFNQ ? ? ? ? 3 35 70 42 3 21 42 6 3 21 6 42 【巩固】如图， ?ABC 的面积为 1，点 D 、 E 是 BC 边的三等分点，点 F 、 G 是 AC 边的三等分点，那么四边形 JKIH 的面积是多少？C F G K A I H B A J D E G K I FC J D E H B【解析】 连接 CK 、 CI 、 CJ ． 根据燕尾定理， S?ACK : S?ABK ? CD : BD ? 1: 2 ， S?ABK : S?CBK ? AG : CG ? 1: 2 ， 1 1 1 1 所以 S?ACK : S?ABK : S?CBK ? 1: 2 : 4 ，那么 S?ACK ? ? ， S?AGK ? S?ACK ? ． 1? 2 ? 4 7 3 21 2 类似分析可得 S?AGI ? ． 15 1 又 S?ABJ : S?CBJ ? AF : CF ? 2 :1 ， S?ABJ : S?ACJ ? BD : CD ? 2 :1 ，可得 S?ACJ ? ． 4 1 1 17 那么， SCGKJ ? ? ? ． 4 21 84 17 根据对称性，可知四边形 CEHJ 的面积也为 ， 那 么 四 边 形 J K I H周 围 的 图 形 的 面 积 之 和 为 84 17 2 1 61 61 9 ，所以四边形 JKIH 的面积为 1 ? SCGKJ ? 2 ? S?AGI ? S?ABE ? ? 2 ? ? ? ? ． 84 15 3 70 70 70 【例 29】 右图， △ ABC 中， G 是 AC 的中点， D 、 E 、 F 是 BC 边上的四等分点， AD 与 BG 交于 M ， AF 与 BG 交于 N ，已知 △ ABM 的面积比四边形 FCGN 的面积大 7.2 平方厘米，则 △ ABC 的面积是多少平 方厘米？第 19 页 共 25 页小学六年级奥数A G M F C B D EA GN M B【解析】 连接 CM 、 CN ．ND EFC1 根据燕尾定理， S△ ABM : S△CBM ? AG : GC ? 1:1 ， S△ ABM : S△ ACM ? BD : CD ? 1: 3 ，所以 S△ ABM ? S△ABC ； 5 再根据燕尾定理， S△ ABN : S△CBN ? AG : GC ? 1:1 ，所以 S△ ABN : S△FBN ? S△CBN : S△FBN ? 4 : 3 ，所以AN : NF ? 4 : 3 ，那么S△ ANG 1 5 1 5 4 2 ? 2? S△ ABC ． ? ? ? ，所以 S FCGN ? ?1 ? ? S△ AFC ? ? S△ ABC ? 7 4 28 S△ AFC 2 4 ? 3 7 ? 7?1 5 根据题意，有 S△ ABC ? S△ ABC ? 7.2 ，可得 S△ ABC ? 336 (平方厘米) 5 28【例 30】 如图，面积为 l 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA 的三等分点,求阴影部分面 积.A D E I HE Q D P A I M HNBFGCBFGC【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！ 令 BI 与 CD 的交点为 M，AF 与 CD 的交点为 N，BI 与 AF 的交点为 P,BI 与 CE 的交点为 Q,连接 AM、 BN、CP ⑴求 S四边形ADMI ： 在 △ ABC 中， 根据燕尾定理，S△ ABM : S△CBM ? AI : CI ? 1: 2 S△ ACM : S△CBM ? AD : BD ? 1: 2 设 S△ ABM ? 1 (份)，则 S△CBM ? 2 (份), S△ ACM ? 1 (份), S△ ABC ? 4 (份), 1 1 1 1 所以 S△ ABM ? S△ ACM ? S△ ABC ，所以 S△ADM ? S△ABM ? S△ABC , S△ AIM ? S△ ABC , 4 3 12 12 1 1 1 所以 S四边形ADMI ? ( ? )S△ ABC ? S△ ABC , 12 12 6 1 同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是 △ ABC 面积的 6 ⑵求 S五边形DNPQE ：在 △ ABC 中，根据燕尾定理S△ ABN : S△ ACN ? BF : CF ? 1: 2 S△ ACN : S△BCN ? AD : BD ? 1: 2 , 1 1 1 1 1 所以 S△ ADN ? S△ ABN ? ? S△ ABC ? S△ ABC ,同理 S△BEQ ? S△ ABC 3 3 7 21 21 在 △ ABC 中，根据燕尾定理 S△ ABP : S△ ACP ? BF : CF ? 1: 2 , S△ ABP : S△CBP ? AI : CI ? 1: 21 ? 11 1 ?1 1 S△ ABC 所以 S△ ABP ? S△ ABC ，所以 S五边形DNPQE ? S△ ABP ? S△ ADN ? S△ BEP ? ? ? ? ? S△ ABC ? 105 5 ? 5 21 21 ? 11 1 11 13 同理另外两个五边形面积是 △ ABC 面积的 ，所以 S阴影 ? 1 ? ? 3 ? ?3 ? 105 6 105 70【例 31】 如图，面积为 l 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA 的三等分点,求中心六边形 面积.第 20 页 共 25 页小学六年级奥数A D E I HA D E QCNRI P HBFGBM FS G C【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为 N、R、P、S、M、Q，连接 CR 在 △ ABC 中根据燕尾定理， S△ ABR : S△ ACR ? BG : CG. ? 2 :1 ,S△ ABR : S△CBR ? AI : CI ? 1: 22 2 2 S△ ABC ,同理 S△ACS ? S△ABC , S△CQB ? S△ABC 7 7 7 2 2 2 1 1 所以 S△RQS ? 1 ? ? ? ? ，同理 S△MNP ? 7 7 7 7 7 1 1 13 1 根据容斥原理，和上题结果 S六边形 ? ? ? ? 7 7 70 10所以 S△ ABR ?课后练习： 练习1. 已知 △ DEF 的面积为 7 平方厘米， BE ? CE , AD ? 2 BD, CF ? 3 AF ，求 △ ABC 的面积．A F D B EC【解析】 S△BDE : S△ ABC ? ( BD ? BE ) : ( BA ? BC) ? (1?1) : (2 ? 3) ? 1: 6 ，S△CEF : S△ ABC ? (CE ? CF ) : (CB ? CA) ? (1? 3) : (2 ? 4) ? 3:8 S△ ADF : S△ ABC ? ( AD ? AF ) : ( AB ? AC) ? (2 ?1) : (3 ? 4) ? 1: 6设 S△ ABC ? 24 份，则 S△ BDE ? 4 份， S△ ADF ? 4 份， S△CEF ? 9 份， S△DEF ? 24 ? 4 ? 4 ? 9 ? 7 份，恰好是 7 平 方厘米，所以 S△ ABC ? 24 平方厘米 练习2. 如图， 四边形 EFGH 的面积是 66 平方米，EA ? AB ，CB ? BF ，DC ? CG ，HD ? DA ， 求四边形 ABCD 的面积．H D A E C B GH D C B GFA EF【解析】 连接 BD ．由共角定理得 S△BCD : S△CGF ? (CD ? CB) : (CG ? CF ) ? 1: 2 ，即 S△CGF ? 2S△CDB 同理 S△ ABD : S△ AHE ? 1: 2 ，即 S△ AHE ? 2S△ ABD 所以 S△ AHE ? S△CGF ? 2(S△CBD ? S△ ADB ) ? 2S四边形ABCD 连接 AC ，同理可以得到 S△DHG ? S△BEF ? 2S四边形ABCDS四边形EFGH ? S△AHE ? S△CGF ? S△HDG ? S△BEF ? S四边形ABCD ? 5S四边形ABCD所以 S四边形ABCD ? 66 ? 5 ? 13.2 平方米第 21 页 共 25 页小学六年级奥数练习3.正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米， E 是 AB 的中点， F 是 BC 的中点，四边形 BGHF 的面积是 平方厘米．A DEG H FADBCEG H F【解析】 欲求四边形 BGHF 的面积须求出 ?EBG 和 ?CHF 的面积．BCM1 由题意可得到： EG : GC ? EB : CD ? 1: 2 ，所以可得： S?EBG ? S?BCE 3 将 AB 、 DF 延长交于 M 点，可得： BM : DC ? MF : FD ? BF : FC ? 1:1 ， 1 2 而 EH : HC ? EM : CD ? ( AB ? AB) : CD ? 3: 2 ，得 CH ? CE ， 2 5 1 1 2 1 而 CF ? BC ，所以 S?CHF ? ? S?BCE ? S?BCE 2 2 5 5 1 1 1 S?BCE ? ? AB ? BC ? ?120 ? 30 2 2 4 1 1 7 7 ． S四边形B G H F ? S S S ?C S ?B C 3? 0 1 ? 4 ?E B C ? ? EB? C ? EB ? E 3 5 15 15 本题也可以用蝴蝶定理来做，连接 EF ，确定 H 的位置(也就是 FH : HD )，同样也能解出．练习4. 如图，已知 AB ? AE ? 4cm ， BC ? DC ， ?BAE ? ?BCD ? 90? ， AC ? 10cm ，则 S?ABC ? S?ACE ? S?CDE ?cm 2 ．C BC BA E D A'AE DC'【解析】 将三角形 ABC 绕 A 点和 C 点分别顺时针和逆时针旋转 90 ，构成三角形 AEC ' 和 A ' DC ，再连接 A ' C ' ， 显然 AC ? AC ' ， AC ? A ' C ， AC ? A ' C ? AC ' ，所以 ACA ' C ' 是正方形．三角形 AEC ' 和三角形 A ' DC 关于正方形的中心 O 中心对称，在中心对称图形 ACA ' C ' 中有如下等量关系： S?AEC ? S?A ' DC ' ； S?AEC ' ? S?A ' DC ； S?CED ? S?C ' DE ． 1 1 所以 S?ABC ? S?ACE ? S?CDE ? S?AEC ' ? S?ACE ? S?CDE ? S ACA' C ' ? ?10 ?10 ? 50cm2 ． 2 2 练习5. 如图，正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米， E 是 AB 的中点， F 是 BC 的中点，四边形 BGHF 的面 积是_____平方厘米．第 22 页 共 25 页小学六年级奥数ADADEG HEG HBFCBFC【解析】 连接 BH ,根据沙漏模型得 BG : GD ? 1: 2 ,设 S△BHC ? 1 份，根据燕尾定理 S△CHD ? 2 份， S△ BHD ? 2 份，因 1 2 7 7 此 S正方形 ? （ 1 ? 2 ? 2) ? 2 ? 10 份， SBFHG ? ? ? ，所以 SBFHG ? 120 ? 10 ? ? 14 (平方厘米). 2 3 6 6 练习6. 如图， ?ABC 中，点 D 是边 AC 的中点，点 E 、 F 是边 BC 的三等分点，若 ?ABC 的面积为 1，那么四 边形 CDMF 的面积是_________．A D N C B EA DN B EMMFFC【解析】 由于点 D 是边 AC 的中点，点 E 、 F 是边 BC 的三等分点，如果能求出 BN 、 NM 、 MD 三段的比，那 么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形 CDMF 的面积． 连接 CM 、 CN ． 根据燕尾定理， S?ABM : S?ACM ? BF : CF ? 2 :1 ，而 S?ACM ? 2S? ADM ，所以 S?ABM ? 2S?ACM ? 4S?ADM ，那么 4 BM ? 4 DM ，即 BM ? BD ． 5 BM BF 4 2 1 4 1 4 7 那么 S?BMF ? ． ? ? S?BCD ? ? ? ? ， S四边形CDMF ? ? ? BD BC 5 3 2 15 2 15 30 1 1 1 1 另解：得出 S?ABM ? 2S?ACM ? 4S?ADM 后，可得 S?ADM ? S?ABD ? ? ? ， 5 5 2 10 1 1 7 则 S四边形CDMF ? S?ACF ? S?ADM ? ? ? ． 3 10 30 练习7. 如右图，三角形 ABC 中， AF : FB ? BD : DC ? CE : AE ? 4 : 3 ，且三角形 ABC 的面积是 74 ，求角形 GHI 的面积．A AF I BH G DEF I C BH G DEC【解析】 连接 BG， S△ AGC ? 12 份 根据燕尾定理， S△ AGC : S△BGC ? AF : FB ? 4 : 3 ? 12 : 9 ， S△ ABG : S△ AGC ? BD : DC ? 4 : 3 ? 16 :12 S 12 得 S△ BGC ? 9 (份)， S△ ABG ? 16 (份)，则 S△ ABC ? 9 ? 12 ? 16 ? 37 (份)，因此 △ AGC ? , S△ ABC 37第 23 页 共 25 页小学六年级奥数同理连接 AI、CH 得S△ ABH 12 S△ BIC 12 S 37 ? 12 ? 12 ?12 1 ? ? ? , ,所以 △GHI ? S△ ABC 37 S△ ABC 37 S△ ABC 37 37三角形 ABC 的面积是 74 ,所以三角形 GHI 的面积是 74 ? 月测备选1 ?2 37【备选1】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角 边分别为 2cm 和 4cm ，乙三角形两条直角边分别为 3cm 和 6cm ，求图中阴影部分的面积．甲23 4乙 6甲23 4乙 6【解析】 如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之和．所（3 ? 6 ? 2 ? 4 ? 2 ? 2） ? 11 （cm2） 以阴影部分面积为： 3 ? 4 ? 6 ? 2 ?【备选2】 如图所示，矩形 ABCD 的面积为 36 平方厘米，四边形 PMON 的面积是 3 平方厘米，则阴影部分的 面积是 平方厘米．D M O AP NCB【解析】 因为三角形 ABP 面积为矩形 ABCD 的面积的一半，即 18 平方厘米，三角形 ABO 面积为矩形 ABCD 的 1 面积的 ，即 9 平方厘米，又四边形 PMON 的面积为 3 平方厘米，所以三角形 AMO 与三角形 BNO 的 4 面积之和是 18 ? 9 ? 3 ? 6 平方厘米． 又三角形 ADO 与三角形 BCO 的面积之和是矩形 ABCD 的面积的一半，即 18 平方厘米，所以阴影部分 面积为 18 ? 6 ? 12 (平方厘米)． 【备选3】 如图，已知 BD ? 3DC ， EC ? 2 AE ， BE 与 CD 相交于点 O , 则 △ ABC 被分成的 4 部分面积各占 △ ABC 面积的几分之几？A A 1 1 E 2 4.5 D 1 CE O9O 213.5 B D C B 3【解析】 连接 CO ,设 S△ AEO ? 1 份，则其他部分的面积如图所示，所以 S△ ABC ? 1 ? 2 ? 9 ? 18 ? 30 份，所以四部分 1 2 ? 4.5 13 9 3 13.5 9 按从小到大各占 △ ABC 面积的 , ? , ? , ? 30 30 60 30 10 30 20 【备选4】 如图，在 △ ABC 中，延长 AB 至 D ，使 BD ? AB ，延长 BC 至 E ，使 CE ?第 24 页 共 25 页1 BC ， F 是 AC 的中点， 2小学六年级奥数若 △ ABC 的面积是 2 ，则 △ DEF 的面积是多少？A F B D【解析】 ∵在 △ ABC 和 △CFE 中， ?ACB 与 ?FCE 互补， S AC ? BC 2 ? 2 4 ? ? ． ∴ △ ABC ? S△ FCE FC ? CE 1 ? 1 1 又SABCCE? 2 ，所以 SFCE? 0.5 ．同理可得 S△ ADF ? 2 ， S△BDE ? 3 ． 所以 S△DEF ? S△ ABC ? S△CEF ? S△DEB ? S△ADF ? 2 ? 0.5 ? 3 ? 2 ? 3.5 【备选5】 如图， BD : DC ? 2 : 3 , AE : CE ? 5 : 3 ,则 AF : BF ?A E CF B DG【解析】 根据燕尾定理有 S△ ABG : S△ ACG ? 2 : 3 ? 10 :15 , S△ ABG : S△BCG ? 5 : 3 ? 10 : 6 ,所以S△ ACG : S△BCG ? 15 : 6 ? 5 : 2 ? AF : BF△GHI的面积 DC EA FB 1 的值． ? ? ? ,求 △ ABC的面积 DB EC FA 3A E H F I B G D C B F I G D C H A E【备选6】如图在 △ ABC 中，【解析】 连接 BG,设 S△ BGC ? 1 份，根据燕尾定理 S△ AGC : S△BGC ? AF : FB ? 3:1 , S△ ABG : S△ AGC ? BD : DC ? 3:1 ,得 S 3 S△ AGC ? 3 (份)， S△ ABG ? 9 (份),则 S△ ABC ? 13 (份)，因此 △ AGC ? ,同理连接 AI、CH 得 S△ ABC 13S△ ABH S 3 ? 13 , △ BIC ? , S△ ABC S△ ABC 13所以S△GHI 13 ? 3 ? 3 ? 3 4 ? ? S△ ABC 13 13第 25 页 共 25 页
六年级奥数-第四讲.几何-平面部分.教师版(2)16_学科竞赛_小学教育_教育专区。小学六年级奥数 第四讲 平面几何部分教学目标: 1. 熟练掌握五大面积模型 2. 掌握...六年级奥数-第四讲.几何-平面部分.教师版(2)16_学科竞赛_小学教育_教育专区。小学六年级奥数 第四讲 平面几何部分教学目标: 1. 熟练掌握五大面积模型 2. 掌握...六年级奥数-第四讲.几何-平面部分.教师版_六年级数学_数学_小学教育_教育专区...AB = 2 : 5 , AE : AC = 4 : 7 , S△ ADE = 16 平方厘 】 的...六年级奥数-第四讲.几何-平面部分.教师版 2~A341C_六年级数学_数学_小学...16 平方厘 米,求△ ABC 的面积. 第 5 页共 25 页 小学六年级奥数 A A...六年级奥数-第四讲[1].几何-平面部分.教师版_六年级数学_数学_小学教育_教育...2: 5 , AE : AC ? 4: 7 , S△ ADE ? 16 平方厘 米,求△ABC 的...六年级奥数-第四讲.几何-平面部分.教师版_学科竞赛_小学教育_教育专区。小学六...4 ? 2 ? 16.5 ,所以长方形 EFGH 面积为 33.【巩固】如图所示,正方形 ...六年级奥数-第四讲[1].几何-平面部分.教师版 2_学科竞赛_小学教育_教育专区...16 平方厘 米,求△ ABC 的面积. 第 5 页共 25 页 小学六年级奥数 A A...六年级奥数-第四讲[1].几何-平面部分.教师版_学科竞赛_小学教育_教育专区。小学...16 平方厘米,所以 1 份是 2 平方厘米, 35 份就是 70 平方厘米, △ ABC...六年级奥数-第4讲.几何-平面部分.学生版_学科竞赛_小学教育_教育专区。第四讲...(单位:平方厘米),阴影部分的面积 是 平方厘米. A 8 16 2 B E D C 【...小学六年级奥数 第四讲 平面几何部分教学目标: 1. 熟练掌握五大面积模型 2. ...A H D E G B F C 第 2 页共 16 页 小学六年级奥数 【例 3】 如图...
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