从哲学认知角度谈谈：为什么复数i定义为根号下-1？
这个问题和“为什么常温下1L水的质量是1kg”问题，从哲学认知角度是不是是一致的。
对于这个问题, 我觉得没什么"哲学"的. 数学引发出来的哲学问题不在这里. 而关于计量单位制, 它实际上只是一种规定而已, 比如对于"千克"这个单位, 重要的不是"这个东西究竟有多重", 而是"这东西的质量跟参照物的比值有多大"(不知道的就去查查千克原器). 现在不谈单位的问题, 因为它涉及到跟下文毫无关联的数学内容(齐次函数和定理等等).下面来就事论事.先不谈虚数单位的定义. 我们来看看数系是如何扩充的. 整数抽象自日常的计数. 但是对于"半个馒头"等等的计数问题, 整数无能为力. 把问题精确地写出来, 就是: 多少个(相同的)馒头加在一起是一个馒头? 为此我们需要引入"半个馒头". 换句话说, 我们需要引入方程的解. 从而我们从直观上知道了什么叫做"有理数". 负数的引入同样是为了解这样的一次方程, 不赘述. [注: 我们觉得有理数很好理解, 不过是因为我们习惯了而已. 数学常常要打破习惯, 从而看到不一样的景色.]但是有理数究竟是什么? 对于正整数, 我们可以从日常的经验中抽象出来它的性质, 例如说"1是一只羊, 一头牛, 一个人......的共有的数量属性"(这句话本身含义不清楚, 但我们先不去管它). 正的有理数可以通过"等分"来直观地理解. 对于"零"和负数, 这种直观认知就已经有点困难了; 回想一下罗马人是如何对待零的. 为了弥补这种语义上的模糊带来的缺陷, 数学家发明了严格的定义; 下面再讲.对于无理数, 问题就更加严重, 因为日常计数问题中没有它的对应物. 实际上, 正如我们所知道的, 最早的无理数来源于几何度量问题: 是最为人们熟知的无理数. 但是这依旧可以归结为为方程寻找根. Pythagoras学派遇见就是因为他们要为方程寻找根. 这样, 我们从直观上知道了根式的含义. 由此立刻产生了问题: 很多具有整系数的二次方程是没有根的(以及更高次的方程). 最简单的例子就是. 在抽象思维还不发达的时期, 这种方程确实是没有什么意思. 但正如我们所知道的, 情况从Cardano的时期开始发生了变化. 这段时间内不断地涌现出当时的数学家们无力解释的对象, 而"-1的平方根"就是一个最明显的例子. 为了使得三次方程有形式统一的求根公式, 不得不引入这个"毫无意义"的"虚数单位". 尽管意义不明确, 数学家们还是依靠虚数单位得到了一系列有意思的结果(当然, 很多时候它不过是一种形式上的运算; 只在实数的范围内并非不可以进行, 只是会麻烦得多). [由此我们可以看到"为方程寻找根"实际上是一个比"定义圆周率"要抽象得多的问题, 因为后者是"客观存在"的(现在不追究这是什么意思, 下文再讲), 而前者却不一定有什么现实对应物].我们知道Euler时期就已经对实数有了模糊的概念(他已经发现了很多跟有关的结论), 但对于"虚数", Euler还是不能真正搞清楚, 尽管在形式上他得到了Euler公式.[这个公式的含义实际上也不明确; 什么叫把自乘次?]Dedekind等人严格地定义了实数, 至此人们总算是能够用不引发歧义的语言来描述实数. 按照现在的观点, 实数其实也只是一个思维对象, 十进制小数和Dedekind分划等等不过是这个思维对象在现实中的实现. 而圆周率等等需要借助几何度量来定义的实数也可以纳入这个逻辑框架之下了, 因为有了分析学的帮助后, 我们就能够说清楚什么是"曲线的长度"了.但是对于"虚数", 不得不承认, 我们还是感到困难, 因为它并没有实在的对应物, 可偏偏在实际问题(流体力学, 传热学, 电学etc)之中有着重要的应用.怎么才能够为方程找到一个合理定义的"解"呢?我们当然可以通过实数域上的二维可除代数来定义复数. 但这样似乎没法做太多的推广. 所以我们换一种方式来考虑问题. 这种方式能够让我们说清楚什么是"添加代数方程的根".对于给定的域, 考虑上面的多项式环.[注: 回忆一下, 多项式环定义为无限循环群的系数在中的(具有有限支撑的)群代数, 不应作为"多项式函数"来考虑.] 对于一个不可约多项式, 我们想要找到它的根. 为此, 考虑生成的理想. 由不可约性, 它应当是极大理想, 所以商环是个域. 它包含了一个同同构的子域, 所以可以看成是的一个扩张. 进而, 也可自然地看作是上的多项式. 中的元素是等价类; 我们来特别地考虑类. 根据商环的运算性质, 我们立刻得到. 换句话说, 在域中, 是多项式的根. 至此, 我们找到了的一个根. 剩下的不过是通过不断地扩充域来穷尽的所有根(根据多项式的基本性质, 它在任何域中的根的数目都不可能超过它的次数). 这样, 我们知道了"添加代数方程的根"的严格含义. 至于"有理数"的定义, 则要简单得多; 无非就是整环的分式域而已.如果某域上的任何代数方程在这域中都有解, 则这域称作代数闭的. 对于这类域, 研究其上的多项式是一件比较容易的事情; 实际上, 任何多项式都可以分解成线性因式的乘积(Bezout定理).回到复数的情形, 取, , 则得到的域扩张就是复数. 这个域是代数闭的; 这是所谓的"代数基本定理", 有很多很多的(代数的, 实分析的, 复分析的, 拓扑的,...... )证明, 但代数味道最浓的自然还是基于代数学的证明. 正因为是代数闭的, 它才在数学中扮演着举足轻重的角色. 只举最简单的例子. 为了计算某个方阵的100次乘幂, 我们常常需要把它化为Jordan标准型, 而这必须要借助复数来加以实现. 要是不通过复数, 则计算量会大得难以想象.说了这么多, 才发现自己写了很多似乎很"哲学"的话, 之后后面一部分是干货. 但假如前面的"哲学"能够帮助一些人想清楚问题的话, 我也很欣慰.[注: 我会修改的.]
令人困惑的数学定义之二 ——虚数单位i定义拿负数来开平方有必要吗？有必要！但是这个问题的完整解答，远不止于“定义：i^2=-1”。一、笔者首先简要地介绍有理数集：1、我们有自然数集和加法运算，自然数集对加法运算封闭（两个自然数做加法运算结果还是自然数）。2、加法运算的逆是减法运算，但是自然数集对减法运算不封闭（不能保证任意两个自然数做减法运算结果还是自然数）；通过定义了负数，把自然数集扩充为整数集；整数集对加法运算和减法运算都封闭（人们认可负数经历了很长的过程，原因是认为负数没有现实意义）。3、乘法运算的逆是除法运算，整数集对乘法运算封闭，但是对除法运算不封闭；通过定义了分数，把整数集扩充为有理数集；有理数集对加法运算、减法运算、乘法运算和除法运算（除数非零）都封闭。4、有理数集更严格的称谓是“有理数域”，但是“域”的解释需要抽象代数的内容，为了通俗起见，笔者就把“有理数域”称为“有理数集”；以上的“集”都是集合的意思，就是同一类数的集合；比如自然数集、整数集。二、万物皆数与毕达哥拉斯定理：1、古希腊时期的毕达哥拉斯学派认为”万物皆数“并奉为教义，这里的数指的是有理数；这种信念源于他们对自己构造的有理数集的自信，他们认为有理数集已经包含了所有的数。2、随后这个学派发现了”毕达哥拉斯定理“，即”勾股定理“，并用面积法给出了证明。3、如果”万物皆有理数“的话，那么直角三角形的斜边也应该是有理数；但是毕达哥拉斯学派的希帕索斯（Hipasus)找到了这样的例子并给出了证明：a=1，b=1，由a、b通过勾股定理确定的c不是有理数！有一种说法是Hipasus因为这个发现被逐出了学派，另一种说法是他遭到了学派的屠戮。4、无论如何，有理数集中没有这样”c“，但是现实中确实存在这样的c，那唯一的原因就是毕达哥拉斯学派创造的有理数集存在缺陷，没有涵盖所有的数！5、通过添加开n次方运算，把有理数集扩充为实集（实集不是实数集，只是部分实数的集合，这里的实集严格来说只是有理数集的n次代数扩张）。6、实集对加法运算、减法运算、乘法运算和除法运算（除数非零）封闭，实集中的正数还对开n次方运算封闭，实集中的负数对开奇数次方运算封闭而对开偶数次方不封闭；特别的，√（-1）不在这个实集中，换言之在这个实集中没有数的平方等于（-1）。三、是添加定义的时候了吗？1、那是否应该添加定义”i^2=-1”或是“i=√（-1）”,把上述的实集做成一个更大的数集？答案是人们认为没有必要！2、人们认为正数开方是有意义的，因为开方的结果在现实中有这样的元算与之对应。正如√2，人们确实能找到一条长度不多不少恰好是√2的线段。3、人们认为负数开方是没有意义的，因为开方的结果在现实中没有这样的元素与之对应。当然笔者还说过，那个时代，人们甚至还不认可负数，因为在现实中没有”负“的线段。?√（-2）=-?√（2）只是正数开方的一种”变形“；至于√（-1），那更没有人关心有没有东西与它对应了，因为它没有现实意义。四、三次、四次方程与求根公式：1、所谓的方程，就是含有未知量的等式；未知量是数，方程就是代数方程；未知量是函数，方程就是函数方程（例如微分方程和积分方程）；方程的解，就是一个能使方程成立的量；代数方程的解是数，这样的数称为代数方程的根。2、代数方程里，人们比较关注多项式方程，因为这样的方程与人们的生产生活密切相关；古典数学时期，数学家研究的方程也主要是多项式方程。下文出现的”方程“都特指”多项式方程“。3、所谓的方程的求根公式，就是用方程的系数通过加减乘除和开方运算来构造根的式子。4、一次方程和二次方程的求根公式很早就被发现了，人们致力于寻找三次和更高次方程的求根公式。5、16世纪意大利数学家菲尔洛(Ferro)发现了缺二次项的、即形如x^3+px+q=0的三次方程的求根公式。因为当时人们普遍不接受负数，所以实际上Ferro是把缺二次项的三次方程分成了三类：x^3+px=q、x^3=px+q、x^3+q=px，p和q都是正数；他分别给出了解法。6、有意思的是，当时的数学家之间流行”决斗“（文艺复兴时期的风气？）。所谓的”决斗“，就是相互要求对手解决自己提出的问题。所以Ferro把自己的三次方程求根公式作为决斗时秘密武器，没有发表。也因为这个求根 公式，Ferro在决斗中屡屡获胜，名声鹊起。7、Ferro死前，把自己的秘密武器传授给了学生菲奥尔（Fior)和女婿兼继承人纳威（Nave）。8、Fior也是一个争强好胜的人，他向当时的数学家塔尔塔利亚（Tartaglia，这不是原名，意为口吃者，Tartaglia孩童时期被法国士兵用马刀砍伤了脸变成口吃）提出挑战。Tartaglia并不知道缺二次项的三次方程的求根公式，但是在挑战的压力下，竟然成功地推导出了一般的求根公式！因此，Tartaglia在与Fior的决斗中大获全胜，因为后者并不会解形如x^3+rx^2+px+q=0的一般三次方程。Tartaglia名声鹊起。9、卡尔丹（Cardano）得知这件事后，多次乞求Tartaglia把求根公式告诉他。作为回报，Cardano许诺给予Tartaglia经济上的援助。Tartaglia最终耐不住Cardano的软磨硬泡和利益诱惑，把求根公式以一首晦涩难懂的语句诗的形式告诉了Cardano，并要求Cardano发誓保密。10、后来，Cardano从Nave那里了解到Ferro的求根公式，认为Tartaglia的求根公式本质上和Ferro的求根公式是一样的（其实一般的三次方程通过一个变量代换就可以转化为缺二次项的三次方程，待会大家就会看到）。11、所以Cardano不顾自己的誓言，把求根公式传授给了学生费拉里（Ferrari），Ferrari在此基础上竟然发现了四次方程求根公式！12、Cardano把三次方程求根公式和学生Ferrari的四次方程求根公式发表在了自己的著作《重要的艺术》（Ars magna）。Cardano这样评论道：”Ferro在30年前就发现了这个法则，并把它传给了Fior。是Fior向Tartaglia挑战，使得Tartaglia有机会重新发现这一法则。Tartaglia在我的恳求之下把这个法则告诉了我，但Tartaglia保留了证明，我在获得这种帮助之下找到了它的证明“。13、接下来就是Tartaglia对Cardano的严厉控诉，谴责Cardano的背信弃义。愤怒的Tartaglia向Cardano提出挑战，而Ferrari代替自己的老师接收了挑战。因为Ferrari已经发现了四次方程的求根公式，所以大败Tartaglia。Tartaglia名声扫地，在争吵和穷困中度过了晚年。14、三次方程求根公式是枯燥的，但是公式背后的历史是有趣的；笔者无意评论Cardano和Tartaglia孰对孰错，每个读者心中自有看法。五、三次方程不可约的情况：1、一般的三次方程为aX^3+bX2+cX+d=0，通过变量代换X=x-[b/(3a)]（前文提及的），一般的三次方程可以转化为缺二次项的三次方程x^3+px+q=0，求解这个方程就可以了。2、x^3+px+q=0的求根公式：这里笔者就不给出求根公式的推导过程了。3、注意到⊿要开平方，但⊿并不能保证一定大于0。也就是说，Cardano或是Tartaglia的用加减乘除和开方运算构造的求根公式里，可能要面临负数开平方的困境。4、为了让读者更清晰的认识到矛盾所在，笔者举一个例子：三次方程x^3+px+q=0，p=-10，q=6。函数y=x^3-10x+6的图像大致为函数曲线和x轴相交的点的x值，就是三次方程x^3-10x+6=0的根。通过图像，我们可以清楚地看到这个三次方程有3个实根。但是，⊿=(1/4)q^2+(1/27)p^3=-28.037&0！5、也就是说，实系数的三次方程，对于⊿&0的情况，为了得到3个实根，根据求根公式，必须对负数开平方！这个结果对16世纪的数学家是难以接受的。6、借助负数开平方得到实根的过程，实在难以让人满意，所以Cardano试图”修正“求根公式来避免这种情况。但是，所有的尝试都失败。Cardano无奈地把这种情况称为”三次方程不可约“情况。7、为了处理这种情况，Cardano引入了虚数单位i，定义i^2=-1，使得求根公式可以正常运作。8、那么这样的”修正“是否存在呢？直到19世纪，天才数学家伽罗瓦（Galois）才用他开创性的群论工具才给出答案：不存在！也就是说：”借助负数开平方得到实根的过程“是无法避免的！9 、这里必须强调的是：二次方程的求解之所以没有导致虚数i的引入，原因在于判别式⊿&0时方程确实没有实数解，直观地看就是函数曲线y=ax^2+bx+c与x轴确实没有交点，人们不会有兴趣更不会认为有意义而去为负数开平方动脑筋！六、总结与反思：1、数学似乎和所有人开了一个玩笑：当你认为有理数域完备的时候，你发现用自己证明的毕达哥拉斯定理居然发现了一大类怪胎，所以不得不把开方运算纳入系统；当你认为求根公式能解决所有三次方程的时候，你发现三个明显存在的实根居然要借助负数开平方，所以不得不定义”i^2=-1”；至于定义了”i^2=-1”之后，给代数和分析带来的诸多便利，那已经是后话。2、这再次验证了笔者的话：“没有哪一位数学家，可以从一开始就预见他所定义创造的东西，能带来多少方便快捷”，或是存在多少缺陷；数学家都是摸着石头过河，一路上很多修修补补。课本中的斟字酌句的描述，未能表现出创造过程中的斗争、挫折，以及在建立一个客观的结构之前，数学家所经历的艰苦漫长的道路。3、“i^2=-1”的故事，远不是一个简单的定义所能讲述的.原作者：我爱肖邦
复数最本质的特性是什么？为什么物理上需要，并且能够如此频繁地使用复数？楼上的答案都没有提到这一点，复数最重要的性质是旋转。也就是两个复数的积的辐角等于各自辐角的和。如果没有这一特性，复数在数学和物理上的地位不会像现在这么重要。先从原题说起，从根本上来看，为什么i是-1的平方根。如上图复数构成一个平面，实轴和虚轴正交。如上图复数构成一个平面，实轴和虚轴正交。-1位于实轴负半轴，辐角为π（180度）。开平方，按照前面说的辐角的性质，即是辐角减半，变为π/2，也即虚轴正半轴上的i的位置。另一个解是辐角为3π/2的-i，因为-1的辐角也可以是3π。或者反过来看，一个复数乘以i，就相当于逆时针旋转π/2。那么i^2=1*i*i，就是把1旋转了2次π/2，正好落在-1上。 举一反三，现在大家明白如何从复数旋转的角度，来说明为什么负负得正了吧？理解了这一点，就很容易明白，为什么复数作为一个不那么自然的，人为发明的数，能够如此好地应用于物理了。比如极其重要的简谐振动，可以看成复平面单位圆上，做匀速圆周运动的点，在实轴上的投影。既然是旋转，那么用时间的指数函数就可以表达了，并且求导非常方便。
这很容易啊…因为不知道1的相反数是啥，规定了-1是1的相反数，然后要求-1+1=0好了。不知道5除以11等于多少，那就规定5/11就是得到的那个数吧。同样由于不知道什么数的平方是2于是规定了根号2的平方是2，如果你非要给它加上一个符号也ok。这样子，我又不知道-1开根号是多少了，555，不要紧，我就规定i的平方是-1好了。于是代数随着这个过程就发展了。这样看数学家很无聊吧。
佛曰i,即非i,是名i。施主你明白了么？
不问是不是就问为什么，很流氓的好不好？复数的正式定义：。(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)-(a, b) = (-a, -b)(a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc)现在定义 i = (0, 1)。这才是 i 的正式定义，在这样定义之前，是没有意义的，在这样定义之后，。
可以说说，什么叫"从哲学认知的角度"吗？举个例子可以不？
俺即不是学数学的，也不是学哲学的，所以扯不出符合次话题的犊子。但是俺是学电学的，而且俺得说，没复数就没有电子电工了。一个信号可以是一个时域模型，比如v=sint,但是使用相量模型就可以用一个复数表达一个信号的振幅与幅角，比如1＜pi/2(这个俺打不出符号，姑且那么一看吧。这样就可以用直流的模型处理交流问题了。俺学的不好，现在在学复变函数，每天上课睡觉，感兴趣自行百度。所以复数真的是有用。它当然就是一开始那么定义了，至于把这个数学工具应用在哪就是个十分有创造性的活动。
正如前面的回答所提到的一样，只有当一个数的概念在现实世界有 “实在”的对应时候，人们才能最充分和完整地理解接收它，并辅以更广阔的应用。其实，负数出现时候，人们发现，除了可以把减法转化我加一个负数外，一个数和“-1”的相乘，可以对应于数轴上，一个数关于原点的对称翻转的几何变化。这是数在一维坐标系的几何映射变化。相应的，一个数和“i”相乘，对应于二维坐标系复平面中逆时针旋转90。 拓展了数和空间旋转变化的范围。把数和二维平面几何进一步结合起来！
这就是虚数的“实在”意义。 虚数就再也不是让人摸不着头脑的“根号负一”那么虚无飘渺了！
这个问题其实蛮有意思的。 为什么i是根号下负一？为什么2+2=4？为什么1L水在4摄氏度时是1kg？为什么单身汉是未婚男子？这四类问题有什么联系吗？这些其实都是蛮有趣的问题。首先，i是根号下负一是纯粹由于定义，你可以定义S为根号下负一，也可以定义B为根号下负一。就像单身汉是未婚男子，这个其实也是定义出来的，没别的。你叫Andy也是我的名字，Andy Lee也是我的名字，你光叫Lee我也应声。1L水是1kg也是如此，它也是由于定义，不过最新的定义已经改了。具体可以查一下国际单位制。这两种定义有何不同吗？似乎看起来是不同的。2+2=4，1L水的质量是1kg，单身汉是未婚男子。不过，这些看起来不同的“等同”，其实都是一样的，只不过2+2=4是依据数学规则，但有些人认为数学规则不是任意的，是某种意义上先天的。就单身汉是未婚男子这一语言使用方式来看，语言的用法在某种意义上也是先天的，但就其起源，就“命名仪式”来看，所指和能指是任意的。而1L水的质量是1kg，其实是可错的，所以我们才修改了对kg的定义，使其更精确。这些问题其实蛮有意思的，关系到语言哲学，也关系到认识论以及形而上学。感兴趣的朋友可以了解一下这些领域。
先代科技的发展，在很大程度上取决于以前数学的发展。因为数学的基础在某种程度脱离现实，所以数学的发展可以只是逻辑的严格推论，只要逻辑允许就合理，这样就远远超越了很多当代认知！也就突破了想像力！人的认知很有限，并且很大程度上决定于先想到什么，和心理学上说的表征概念很接近，当人先做假想然后再去验证，这就变得容易发现以前没注意到的现象，并尽量不去忽略一些无法解释的现象！感觉，说到底，科学也就是客观和主观的相互转换，把纯粹主观的东西变得尽量客观！
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社交帐号登录复数运算法则_百度百科
复数运算法则
复数运算法则有：加减法、乘除法
复数运算法则加减法
复数运算法则加法法则
复数的按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，
则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的是原来两个虚部的和。
复数的加法满足交换律和，
即对任意复数z1,z2,z3,有： z1+z2=z2+z1; (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
复数运算法则减法法则
复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，
则它们的差是 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的是原来两个虚部的差。
复数运算法则乘除法
复数运算法则乘法法则
规定复数的乘法按照以下的法则进行：
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得: ac+adi+bci+bdi^2，因为i^2=-1，所以结果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。两个复数的积仍然是一个复数。
复数运算法则除法法则
定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商
运算方法：可以把换算成做,在分子同时乘上分母的共轭. 所谓共轭你可以理解为加减号的变换,互为共轭的两个复数相乘是个实常数.
除法运算规则：
①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，
即(a+bi)÷(c+di)=x+yi
分母有理化
∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.
∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.
由复数相等定义可知 cx-dy=a dx+cy=b
解这个方程组，得 x=(ac+bd)/(c^2+d^2) y=(bc-ad)/(c^2+d^2)
于是有:(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) +(bc-ad)/(c^2+d^2)i②利用将分母实数化得（见右图）：
点评：①是常规方法；②是利用初中我们学习的无理时，都是采用的思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的 的，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法。
企业信用信息虚数介绍虚数可以指以下含义：
(1)unreliable&figure：虚假不实的数字。
(2)imaginary&part：虚部（复数中a+bi，b叫虚部，a叫实部）。
(3)imaginary&number：数学名词——虚数。
(4)汉语中不表明具体数量的词。
如果有数平方是负数的话，那个数就是虚数了；所有的虚数都是复数。“虚数”这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创制，因为当时的观念&认为这是真实不存在的数字。后来发现&虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面&上横轴的实数同样真实。虚数轴和实数轴构成的平面称复数平面，复平面上每一点对应着一个复数。在数学里，如果有数平方是负数的话，那个数就是虚数了；所有的虚数都是。“虚数”这个名词是17世纪著名数学家创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。虚数轴和实数轴构成的平面称复数平面，复平面上每一点对应着一个复数。
三角函数实轴和虚轴sin(a+bi)=sinacosbi+sinbicosa
=sinachb+ishbcosa
cos(a-bi)=cosacosbi+sinbisina
=cosachb+ishbsina
tan(a+bi)=sin(a+bi)/cos(a+bi)
cot(a+bi)=cos(a+bi)/sin(a+bi)
sec(a+bi)=1/cos(a+bi)
csc(a+bi)=1/sin(a+bi)四则运算(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i
(a+bi)(c+di）=(ac-bd)+(ad+bc)i
(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c?+d?)+(bc-ad)/(c?+d?)i
r1(isina+cosa)r2(isinb+cosb)=r1r2(cos(a+b)+isin(a+b)
r1(isina+cosa）/r2(isinb+cosb)=r1/r2(cos(a-b)+isin(a-b))
r(isina+cosa)n=r^n(isinna+cosna)共轭复数_(a+bi)=a-bi
_(z1+z2)=_z1+_z2
_(z1-z2)=_z1-_z2
_(z1z2)=_z1_z2
_(zn)=(_z)n
_z1/z2=_z1/_z2
_zz=|z|?∈R乘方zm·zn=zm+n
zm/zn=zm-n
z1m·z2m=(z1z2)m
(zm)1/n=zm/n
z·z·z…·z（n个）=zn
z1n=z2--&z2=z11/n
logai(x)=ln(x)/[&iπ/2+&lna]
xai+b=xai·xb=&xb[cosln(xa)&+&i&sinln(xa).&]
数学中虚数/虚数
虚数在数学里，将偶指数幂是负数的数定义为纯虚数。所有的虚数都是复数。定义为i?=-1。但是虚数是没有算术根这一说的，所以±√(-1)=±i。对于z=a+bi,也可以表示为e的iA次方的形式，其中e是常数，i为虚数单位，A为虚数的幅角，即可表示为z=cosA+isinA。实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数，起名为复数。虚数没有正负可言。不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小。
这种数有一个专门的符号“i”(imaginary)，它称为虚数单位。不过在电子等行业中，因为i通常用来表示电流，所以虚数单位用j来表示。实际意义我们可以在平面直角坐标系中画出虚数系统。如果利用横轴表示全体实数，那么纵轴即可表示虚数。整个平面上每一点对应着一个复数，称为复平面。横轴和纵轴也改称为实轴和虚轴。在此时，一点P坐标为P&（a，bi），将坐标乘上i即点绕圆心逆时针旋转90度。不能满足于上述图像解释的同学或学者可参考以下题目和说明：若存在一个数，它的倒数等于它的相反数（或者它的倒数的相反数为其自身），这个数是什么形式？
根据这一要求，可以给出如下方程：若存在一个数，它的倒数等于它的相反数（或者它的倒数的相反数为其自身），这个数是什么形式？
根据这一要求，可以给出如下方程：
-x&=&(1/x)
不难得知，这个方程的解x=i&（虚数单位）
由此，若有代数式&t'=ti，我们将i理解为从t的单位到t'的单位之间的转换单位，则t'=ti将被理解为
t'&=&-&1/t
这一表达式在几何空间上的意义不大，但若配合狭义相对论，在时间上理解，则可以解释若相对运动速度可以大于光速c，相对时间间隔产生的虚数值，实质上是其实数值的负倒数。也就是所谓回到过去的时间间隔数值可以由此计算出来。
虚数成为微晶片和数字压缩算法设计中的核心工具，虚数是引发电子学革命的量子力学的理论基础。起源虚数要追溯虚数出现的轨迹，就要联系与它相对实数的出现过程。我们知道，实数是与虚数相对应的，它包括有理数和无理数，也就是说它是实实在在存在的数。
有理数出现的非常早，它是伴随人们的生产实践而产生的。
无理数的发现，应该归功于古希腊毕达哥拉斯学派。无理数的出现，与德谟克利特的“原子论”发生矛盾。根据这一理论，任何两个线段的比，不过是它们所含原子数目的经。而勾股定理却说明了存在着不可通约的线段。不可通约线段的存在，使古希腊的数学家感到左右为难，因为他们的学说中只有整数和分数的概念，他们不能完全表示正方形对角线与边长的比，也就是说，在他们那里，正方形对角线与边长的比不能用任何“数”来表示。西亚他们已经发现了无理数这个问题，但是却又让它从自己的身边悄悄溜走了，甚至到了希腊最伟大的代数学家丢番图那里，方程的无理数解仍然被称为是“不可能的”。
“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。
人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题。像x?+1=0这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解。12世纪的印度大数学家婆什伽罗都认为这个方程是没有解的。他认为正数的平方是正数，负数的平方也是正数，因此，一个正数的平方根是两重的；一个正数和一个负数，负数没有平方根，因此负数不是平方数。这等于不承认方程的负数平方根的存在。
到了16世纪，意大利数学家卡尔达诺在其著作《大术》（《数学大典》）中，把记为m这是最早的虚数记号。但他认为这仅仅是个形式表示而已。1637年法国数学家笛卡尔，在其《几何学》中第一次给出“虚数”的名称，并和“实数”相对应。
1545年意大利米兰的卡尔达诺发表了文艺复兴时期最重要的一部代数学著作，提出了一种求解一般三次方程的求解公式：
形如：x3+ax+b=0的三次方程解如下：
x={(-b/2)+[(b2)/4+(a3)/27]1/2}1/3+{(-b/2)-[(b2)/4+(a3)/27]1/2}1/3
当卡丹试图用该公式解方程x3-15x-4=0时他的解是：x=[2+(-121)^(1/2)]^(1/3)+[2-(-121)^(1/2)]^(1/3)
在那个年代负数本身就是令人怀疑的，负数的平方根就更加荒谬了。因此卡丹的公式给出x=(2+j)+(2-j)=4。容易证明x=4确实是原方程的根，但卡丹不曾热心解释(-121)1/2的出现。认为是“不可捉摸而无用的东西”。
直到19世纪初，高斯系统地使用了i这个符号，并主张用数偶（a、b）来表示a+bi，称为复数，虚数才逐步得以通行。
由于虚数闯进数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活中似乎没有用复数来表达的量，因此在很长一段时间里，人们对它产生过种种怀疑和误解。笛卡尔称“虚数”的本意就是指它是虚假的；莱布尼兹则认为：“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所，它几乎是既存在又不存在的两栖物。”欧拉尽管在许多地方用了虚数，但又说：“一切形如,√-1，√-2的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”
继欧拉之后，挪威测量学家维塞尔提出把复数（a+bi）用平面上的点来表示。后来高斯又提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地，也为复数的应用开辟了道路。现&在，复数一般用来表示向量（有方向的量），这在水利学、地图学、航空学中的应用十分广泛，虚数越来越显示出其丰富的内容。i的性质
i&的高次方会不断作以下的循环：
in具有周期性，且最小正周期是4.
那么&i4n=1
由于虚数特殊的运算规则，出现了符号i
当ω=-1/2+（√3）/2i或ω=-1/2-（√3）/2i时：
ω2&+&ω&+&1&=&0
ω3&=&1有关运算
许多实数的运算都可以推广到i，例如指数、对数和三角函数。
一个数的ni次方为：
xni&=&cos(ln(xn))&+&i&sin(ln(xn)).
一个数的ni次方根为：
x1/ni=&cos(ln(x1/n))&-&i&sin(ln((x1/n)).
以i为底的对数为：
log_i(x)&=&2&ln(x)/&iπ.
i的余弦是一个实数：
cos(i)&=&cosh(1)&=&(e&+&1/e)/2&=&(e?&+&1)&/2e&=&1..
i的正弦是虚数：
sin(i)&=&sinh(1)&i&=[(e&-&1/e)/&2]i&=&1.&i.
i,e,π,0和1的奇妙关系：
ii=e-π/2符号来历
1777年瑞士数学家欧拉(Euler，或译为欧勒)开始使用符号i表示虚数的单位。而后人将虚数和实数有机地结合起来,写成a+bi形式&(a、b为实数，a等于0时叫纯虚数，ab都不等于0时叫复数，b等于0时就是实数)。
通常，我们用符号C来表示复数集，用符号R来表示实数集。相关描述
虚数&原作：劳伦斯·马克·莱瑟（阿姆斯特朗大西洋州立学院）
翻译：徐国强
虚文自古向空构，艾字如今可倍乘。所问逢人惊诧甚，生活何处有真能？嗟哉小试调音放，讶矣大为掌夜灯。三极管中知用否，交流电路肯咸恒。凭君漫问荒唐义，负值求根疑窦增。情类当初听惯耳，事关负数见折肱。几分繁复融学域，百计联席悦有朋。但看几何三角地，蓬勃艾草意同承[①]。
IMAGINARY&by&Lawrence&Mark&LesserArmstrong&Atlantic&State&University
Imaginary&numbers,&multiples&of&iEverybody&wonders,&"are&they&used&in&real&life?"Well,&try&the&amplifier&I'm&using&right&now&--&A.C.!You&say&it's&absurd,this&root&of&minus&one.but&the&same&things&once&were&heardAbout&the&number&negative&one!Imaginary&numbers&are&a&bit&complex,But&in&real&mathematics,&everything&connects:Geometry,&trig&and&call&all&see&"i&to&i."
[①]&see&"i&to&i."指可见虚数符号的应用，并谐音双关see&eye&to&eye&为意见一致引
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