浅谈新课程下符号意识的含义和特征分析
来源：本站原创 作者：佚名
数学是一个符号化的世界，数学符号是数学抽象思维的产物，是数学思想交流与传播的载体.在一定意义上说，没有优越的符号，就不可能有近代和现代数学.因此，《全日制义务教育数学课程标准（修订稿）》（以下简称《标准修订稿》）中将“符号意识”作为中小学数学教学的目标之一.同时提出“建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式.”那么符号意识究竟包含哪些方面？它和具体的数学知识发生怎样的联系？教学中应如何去培养？本文就这几个方面进行探讨，以期对广大的同仁有所借鉴.&&& 一、符号意识的含义&&& 符号是初中课程内容中代数的主要部分，它所涉及的不仅仅是简单的符号运算，学生还需要理解符号所代表的意义、了解支配符号运算的结构和原理以及如何灵活地运用符号表达观点和洞察情境.国外学者将“符号意识”视为一项能力，并对这些能力进行具体分化.Fey认为符号意识包含这样几部分能力[1]：认识与鉴别能力，估算能力，检查、预测能力以及选择能力.&&& Abraham在Fey的研究基础上，给出了进一步的阐释.他认为符号意识主要包括以下6个成分[2]：&&& （1）符号相关性.它主要包括对符号的理解和审美能力.知道怎么样用、什么时候用符号表示隐藏的关系与证明条件等.&&& （2）在解决代数问题时，要能读懂符号表达式所蕴含的意思并能熟练地进行运算.&&& （3）要有用符号关系表达言语和图像中信息的意识和顺利地设计符号表达式的能力.&&& （4）具有选择最适当的符号表征问题的能力.&&& （5）在解决问题的某一个步骤或者检验结果时要有检查符号含义的意识，关于预期结果中符号的多种含义能依据自己的直觉做出比较.&&& （6）领会在不同情境下符号所起的不同作用，并发展对符号的直觉感.&&& 《标准修订稿》将符号意识界定为“主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行一般性的运算和推理.”也就是说，符号可用于表示，符号间可以运算和转换.此外，《标准修订稿》还突出了符号意识建立的作用，即利用符号可以进行数学表达和数学思考.&&& 由此可见，符号意识包含的对符号本身的认识，符号之间的关系的理解，符号表示所蕴含的意义，能够用符号进行运算和转换，并能用符号去解决现实问题.那么在初中阶段，符号意识与哪些数学内容存在关系呢？&&& 二、与数学内容的联系&&& 符号意识的养成与具体数学内容的学习紧密相连的，尤其是数与代数部分内容的学习.从数理逻辑的观点来看，数学符号可划分为8大类：对象符号，如数（有理数、无理数、实数），∞（无穷大），π（圆周率）等，用x，y，z表示未知量或变量，用字母A，B，C等表示几何中的点，用a，b，c等表示直线等；运算符号，如+，-，×，÷等；关系符号，如=，＞，＜，≠，//，⊥，≌，∽等；结合符号，它规定了算术运算进行的次序，如（），｛｝等；标点符号，如“，”（分节号）、“……”（无限小数）、“？”（未知数）等；结论符号，如公式、定律、数量关系等；性质符号，如“+”（正号），“-”（负号）等；缩略符号.&&& 在初中阶段，笔者认为，符号意识与数学内容的联系主要体现在如下几个方面：&&& 1.符号表示&&& 对于符号表示中，既有字母表示的数，字母表示公式、运算律，字母表示现实世界和各门学科中的各种数量关系，字母还可 第一论文网以表示变化规律等等.这些内容与数与式、方程和不等式、函数等模型的形成有重要的联系.我们就用字母表示数来予以说明.&&& 弗赖登塔尔指出：“如果字母作为一个数的不确定名词，那又为什么要用这么多a，b，c……其实，这就像我们讲到这个人和那个人一样，学生不理解a怎么能等于b？你可以告诉他a与b不一定相等，但也可能偶然相等，就像我想象中的人恰好与你想象中的人相同.最本质的一点是要使学生知道字母表示某些东西，不同的字母或表达式可表示相同的东西.”如：5=2x+1表示x所满足的一个条件，事实上，x在这里只是占据一个特殊数的位置，教师可以利用解方程引导学生找到它的值.&&& 此外，字母可以表示公式，比如有乘法公式、平方差公式等.字母还能表示运算律，如a+b=b+a，a（b+c）=ab+ac等.字母也可表示数量关系和变化规律.y=5x表示变量之间的关系，x是自变量，x可以取定义域内的任何数，y是因变量，y随x的变化而变化.&&& 2.对符号的解释&&& 如代数式的意义，方程的意义、函数的意义等.&&& 在字母表示数中，比如4p表示什么？既可以有数学的解释，即p的4倍；正方形的边长为p，则该正方形的周长为4p.也可以用生活中的实例来解释，比如苹果的价格是每千克4元，买了p千克，则总价格为4p.&&& 再如PISA的一道测试题[3].一辆赛车在一个周长为3千米的封闭跑道上高速行驶.图1反映了它在整个第1圈的行驶过程中速度与行驶路程之间的关系.&&& &&& 根据题中所给的图形，图2中5条曲线中哪一条最能反映赛车的运动轨迹？对于上述函数问题，学生要理解图象所表示的意义，理解行驶的路程与速度之间的变化关系，同时还要理解5条曲线的含义，才能建立起正确的联系.此外，对于已给的函数解析式、表格式，要能够理解其中所表达的含义.&&& &&& 3.符号的运算及符号间的转换&&& 符号的运算主要是指的式的运算，方程和不等式的求解，函数的求值等.符号间的转换，主要指会进行表示数学关系的表格法、解析式法、图像法和语言表示之间的转换.&&& 用方程去刻画现实世界数量关系是由特殊到一般的过程，而求方程的解是利用等式性质和转换思想，体现的是从一般到特殊的过程，可以进一步帮助学生体会字母表示的意义.用多种形式描述和呈现数学对象是一种有效获得对概念本质的深入理解的方法.我们用方程的例子[4]来加以说明.&&& 一个房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有60个，那么有几个椅子和几个凳子？
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认真回顾小学数学《“数与代数”领域相关概念，目标与核心概念》这门课，您对课程中哪一个核心概念理解最深刻？请举例说明？
聆听了小学数学《“数与代数”领域相关概念，目标与核心概念》这门课使我懂得了：数与代数部分是小学数学课程的重要内容。在小学数学学习中占的比例是最大的，更重要的是这部分学习内容是整个数学学习和学习其他的学科的基础，可以说它是学习数学的主线。对于课程的10大核心问题，我对“符号意识”有了初步的认识和领悟
所谓符号就是针对具体事物对象而抽象概括出来的一种简略的记号或代号。数字、字母、图形、关系式等等构成了数学的符号系统。教学中，教师要关注学生已有的符号经验，将数学教学设计成看得见、摸得着的物质化实践活动。
如教学“找规律”时，课件出示：路边这排树有什么规律？生：是按照紫色、绿色、紫色、绿色……这样的规律排列的。师：我们能不能想办法把这排小树的规律表示出来呢？这样，老师给了学生自主探索、实现自我的空间，他们有的摆，有的画，有的用数字表示，有的用拼音代替（生1：△□△□△□……；生2：●○●○●○……；生3：□■□■□■……；生4：121212……）多么富有个性的创造！这正是已有的符号观念在起作用，他们惊喜地发现自己也是一个“研究者、探索者、发现者”，体会符号给数学学习带来的无限乐趣。
再例如我们用符号表示运算律、计算公式和数量关系： 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再同第三个数相加；或者先把后两个数相加，再同第一个数相加，它们的和不变。 用字母表示：（a＋b）＋c=a＋（b＋c）
由此看出，用字母表示运算定律比用文字叙述运算定律更简明、易记，也便于学生灵活运用
也许，再解决简单问题时，我们还看不出它的优势，但随着问题的复杂化，符号的简单灵活的优势会愈加明显。
纵观整个过程，将解决具体问题的思维操作转化为对符号的操作，有利于增强学生建立数学模型的意识，提高解决实际问题的能力，培养了学生的数学语言表达能力，通过对公式的变形，进一步深化了符号感。
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概念教学怎样教？
    分数的初步认识概念教学怎样教？ 《数学课程标准》实施以后，“数感”、“符号感”、“空间观念”、“统计观念”、“数学思考”等关键词吸引着数学老师的眼球，而传统的“概念教学”、“计算教学”等关键词已渐渐远离了我们的教学视点。事实上，在“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”以及“实践与综合应用”四个领域中，无不包含着众多的概念教学内容：数的概念、运算概念、几何形体的概念、方程的概念、量的计量概念、统计图表的概念等。除这些基本的概念外，还有一些法则、性质、公式、定律等，这些都是由概念与概念的联系构成的。对于数学学习而言，概念的形成、理解与掌握是最基本的、起着基石性作用的认知活动，是数学学习中的“基础工程”，有着举足轻重的作用。只有在思维过程中做到概念明确，才能做到计算正确，判断和推理合乎逻辑。小学数学概念一般有概念形成和概念同化两种方式。小学数学教学中最常见的是概念的形成。概念的形成是从大量具体例子中抽象出某一类对象或事物的共同本质特征的过程。概念的同化是指学生用认知结构中原有的概念解释和理解新的概念。概念同化的学习过程，就是学生积极地利用认知结构中原有概念去揭示新概念的本质特征，并形成更完善的新认知结构的过程。派生 公因数 最大公因数一、概念教学的基本过程根据小学生的认知规律，由直观到抽象，概念的形成教学过程应抓好三大环节：概念的引入、概念的形成、概念的巩固和应用。第一，概念的引入。可以是学生自己日常生活中的事实或经验，也可以是教师提供有代表性的典型事例，引导学生去认识和感知。第二，概念的形成。分化出各种属性。概括出共性。 确认其本质属性。 将抽象出的本质属性加以概括形成概念。 理解概念（这五步不是截然分开的，而是浑然一体的，互相渗透，互相融合。）第三、概念的运用。下面就这三大环节分别作具体的阐述：（一）概念的引入。引入概念是概念教学的第一步，直接影响着概念教学的成败。恰当地引入，可以激发求知欲和学习兴趣，集中学生的注意力，为概念的形成提供必要的条件。那么在实际教学中，该如何进行概念的引入呢？小学生正处于具体形象思维向抽象思维的过渡阶段，容易理解和接受具体的、直观的感性认识。教学中，教师可先提供感知材料，让学生充分感知，建立表象，进而通过归纳、抽象概括，获得概念。引入的方法有：1、原型观察法。即提供具有某个数学概念的全部本质属性的具体事物，引导学生观察，引入新概念。如“8的认识”，让学生观察主题图：8棵大树、8个字、8个同学（生活中的具体事物），8个点子、8个圆片、8个算珠等（过渡到半具体半抽象），然后教师指出：这些物体的个数都是8，凡是物体个数是8的，我们就用“8”表示，从而引入数“8”的概念。这种方法形象直观，符合学生的思维特点。　再如长方体的认识，教师可提供冰箱、药箱、牙膏盒等实例，以及长方体模型教具让学生观察，归纳概括长方体面、棱、顶点的特征，从而形成长方体的正确表象。这种引入的方法要求所提供的实例或模型，必须具有典型性，能明显地体现学习对象的本质特征，减少非本质特征的干扰。2、实践操作法。（由静态→动态，促进理解） 如“倍的认识”，可以让全班学生操作：第一行摆OO第二行摆OO OO OO 提出问题：第二行摆了几个2？（观察发现：第二行摆了3个2。）所以第二行O的个数是第一行的3倍，从而引出“倍的概念”。比如：“平均数”概念的引入。通过“移多补少”，每堆都变成相等的数，这个数就叫做这几个数的平均数。通过学生实际操作引入，可以形成鲜明的表象，为概念的抽象奠定基础。再如体积概念的学习，教师可边操作，边引导学生观察：（1）首先出示两只大小相同的杯子。（2）往两只杯子里倒入同样多的水。（3）再往两只杯子里放入大小不同的石块。（4）观察两只杯子水面高低的变化情况。学生很快获得了石块占有空间的感性认识。这种引入的方法是利用活动的对象比静止的事物更容易为人所感知的规律，让学生在教师的指导下观察演示活动，把操作、语言、思维三者有机地结合起来，并通过积极思维感知事物的发生、发展以及变化过程，从而形成表象。 3、已有经验引入法。这种引入方式主要是唤起学生已有的经验方法，引导学生从熟悉的经验或方法出发，通过回忆、联想、想象、分析、比较等活动，帮助学生抓住学习对象的本质特征，从而形成表象。如平行线概念的教学思路： （1）唤起笔直的铁轨线、直跑道线、双杠等学生熟悉的事物的表象。 （2）设问：如果把这两条跑道线、两根横杠、两条铁轨都向两端无限延长，每组事物中的两条线会相交吗？ 这样引入，直观形象，能清晰地显示出新概念的本质属性所在，使学生已有的知识经验成为学习新知的基础，易于引导学生由具体到抽象，概括出新的概念。4、原有概念引入法。不少概念是在旧概念的基础上建立起来的，教学时要根据新旧概念的联系，提出问题，引出新概念。例如，由“同数连加”导出“乘法”。再如，在学习直角、锐角、钝角平角、周角概念时，可用角的概念引入。 5、创设情境引入法。比较抽象的数学概念，通过创设生动的情境，让学生参与其中操作、体验，在轻松、愉快的学习氛围中引入。如“相遇、相距、相对”等概念的引入，“1克、1千克”、“1平方厘米、1平方分米、1平方米”等概念的建立，都必须把学生带入实际情境之中，让学生走一走，感悟“相遇、相对”的含义，让学生掂一掂、比一比，体验“1千克、1平方厘米”的实际含义，教学1吨的含义时，可让学生互相背一背，感受多少个学生的体重大约是一吨。6、计算引入法。有些概念不便从实际引入，又与旧概念关系不太密切，往往需要从计算引入。例如，“余数、循环小数、通分”等概念都是从计算引入，这样的引入，便于观察、抽象和归纳。 7、揭示矛盾法。这种引入的方法主要是创设问题情景，产生矛盾，激起学生的求知欲，从而引入概念学习。如教学“面积单位”时，老师首先提出这样得问题：“你知道课桌面的面积有多大吗？用你身边的材料（书、作业本、文具盒等）量一量你的课桌面究竟有多大。”学生操作后汇报结果，有的说有6本数学课本面那么大，有的说有8本作业本面那么大……面对不―致的测量结果，矛盾产生了。教师顺势问道：“都是课桌面，为什么测量的结果不一样呢？怎样才能得到相同的结果呢？”自然而然地引出了“面积单位”，学生也在操作、交流的过程中，体会到统一面积单位的必要性。 8、故事引趣法。故事引入主要是利用小学生爱听故事的心理特点，引发学生的学习兴趣，从而引入概念。如分数基本性质的教学，可用猴王分饼的故事引入。唐僧师徒四人分一个饼。孙悟空提出把饼平均分成四份，每人一份。猪八戒听了直摇头：“俺老猪胃口大，要多吃一些才公平。”孙悟空说：“那就把饼平均分成12份，八戒吃3份吧。”猪八戒听了很高兴：“这次有3份，俺老猪可以多吃一些了。”同学们说，八戒是否可以多吃一些呢？从而引入分数基本性质的学习。概念的引入，还有分类整理法（质数和合数）、巧设悬念法、问题引入法等。实际上，有许多概念的引入，一种方法是达不到目的的， 必须做到：1、多法并用 协调运用 几种方法相互配合，才能收到良好的效果。例如，“圆周率”的引入，要使用直观教具，要让学生实际操作，还要通过计算等几种形式引入。2、突出重点（利于揭示本质特征） 新颖激趣（求知欲望） 总之，概念的引入无论采用哪种方法，都要注意围绕本节课的教学内容，考虑学生的年龄特征和心理特点，凸现概念的本质特征，做到新颖、有趣、自然，高效。 （二）概念的形成这是概念教学的第二步，也是教学的重点环节。为了使学生形成正确的数学概念，在引入后，就要引导学生对所提供的感性材料进行观察、比较、分析、抽象、概括，揭示概念的内涵和外延，进而形成概念。1、观察概念引入阶段所提供的感性材料。观察要紧紧围绕概念的本质属性进行，防止学生受非本质属性的干扰。观察时要注意观察的方法，比如观察的顺序，观察的目的和任务等，特别要注意把观察和思维结合起来，引导学生不断思考讨论。 2、抽象出概念的本质属性。3、概括出概念的语言表达形式。 ４、正面讲清数学概念的本质属性。前三步是学生初步认识概念，但还要进一步剖析概念，弄清语言结构，抓住关键词，理解本质属性的实际含义，这样有利于学生理解和掌握概念。以五年级下册“分数的意义”为例讲一讲这几步应如何操作。引入后，第一次抽象，先引导学生观察课本上面几幅插图，表示一张纸、一个圆、一条线段的，而一张纸、一个圆、一条线段都是一个物体，从而抽象出把一个物体平均分成4份，每份是它的四分之一；接着观察一把香蕉，一盒面包的，抽象出把一些物体平均分成4份，每份是它的四分之一；再在此基础上抽象出不管是一个物体还是一些物体都可以看作一个整体，只要平均分成4份，每份就是它的四分之一。第二次抽象：为丰富感知材料，前面老师还让学生举例说明了、 、等分数的含义，并展开推理、想像，从而抽象出“一个物体，一些物体都可以看做一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样一份或几份都可以用分数表示。”这是一个描述性定义；第三次抽象：一个整体可以用自然数1来表示，叫做单位“1”，进一步抽象概括出完整的分数意义，把单位‘1’平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数。概念出示之后要读一读，再正面讲清数学概念的本质属性。剖析时应着重指出单位“1”、“平均分”“表示这样的一份或几份”这三个本质属性。还要让学生联系生活实际进一步讲清对“1”、“平均分”实际含义的理解和对分子、分母的理解。５、通过变式突出概念的内涵和外延。依靠感性材料理解概念，往往由于提供的感性材料具有片面性、局限性，或者感性材料的非本质属性具有较明显的突出特征，容易形成干扰的信息，而削弱学生对概念本质属性的正确理解。因此，在教学中应注意运用变式，从不同角度、不同方面去变换材料的呈现形式，使概念的本质属性恒在。一般来说，变式包括图形变式、式子变式和字母变式等。例如“垂直”“长方体”等概念，一般呈现形式为“⊥”“N”，变式为“ ”“ ”“ ”这是图形的位置发生变化，而本质未变。教学时，如果引导学生排除非本质属性的干扰，就能建立清晰的概念。6、启发学生比较有联系的概念的异同（抓比较）。有些概念间既有联系又有区别，通过比较可以区别异同。只有找到了联系，才可以使知识融会贯通；只有弄清了区别，才能建立明晰的概念。对于有联系或易混的概念，通常采用比较的方法。例如，认识了分数之后，还要进一步把分数与除法进行对比，使学生看到分数与除法，既有联系又有区别，他们的关系是a÷b=（b≠0）解决了整数除法中得不到整数商的问题。它们的区别是：除法是一种运算，分数是一种数，而且分数不仅可以表示出除法的商，本身又可以看作是两个数相除。7、从反面揭示，加深对概念本质的认识。概念教学中，除了从正面去揭示概念的内涵外，还应考虑运用适当的反例去突出概念的本质属性，所谓反面揭示，就是针对概念的本质属性提出错误的问题，让学生判断纠正。而学生通过对比正例与反例的差异，对自己出现的错误进行反思，更利于强化学生对概念本质属性的理解。印象会更为深刻。例如：（
）让学生判断对不对？这样可以强化对“平均分”的理解。 8、变换本质属性的表达方式，从不同侧面理解概念。例如：“a÷b”可以叙述为“a除以b”“a被b除”，“b除a”等，使学生在变换表达中认准被除数和除数。概念的形成过程提供了8种方法，1―4步必须扎扎实实地走好，不能简单草率，一带而过。5―8步，教学时不一定都用，可根据实际选用。（三）概念的巩固和应用。这是概念教学的第三步。掌握概念的目的是为了应用，在应用中又可以加深对概念的正确理解。因此，既要注意概念的形成，又要注意概念的练习。练习的方法主要有：1、在理解的基础上达到熟记。2、突出概念重点练，练：内涵、外延。如：学习“分数的意义”后，可以安排学生练习课后的1―4，借助直观练习，教师要着重从单位“1”的具体含义，“平均分”的份数两方面加以小结。第1题突出把一个图形看做单位“1”，第2题突出把一些物体看做单位“1”，第“3”题突出把一些物体看做单位“1”，其中的一份由多个物体组成。 3、正反实例结合练。这种练习是把一种概念放在正反两方面加以考虑，由反面突出正面，有利于对概念的正确理解。如教完三角形的分类后，可练：一个三角形不是直角三角形，但有两个角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形。又如：真分数都小于，假分数都大于等。让学生进行判断，用反例去突出概念的本质属性，实质是使学生明确概念的外延从而加深对概念内涵的理解。 4、混淆概念对比练。 在小学数学中，有些概念之间联系密切，但本质属性又有区别。如化简比与求比值，时间与时刻，质数、质因数与互质数，周长与面积等等。对这类概念，学生常常容易混淆，必须及时把它们加以比较，以避免互相干扰。在比较图形的“周长”与“面积”时，可以先让学生用不同颜色的笔涂一涂图形的“面”，描一描图形的“边”。通过操作和色彩的对比使之初步感知“面”与“线”的不同，然后再用手指顺次“划”“画”图形的各条“边”，用手掌“抹”图形的“面”，用这样不同的操作方法将不同的概念外化为不同的动作，用以体验两个概念的不同内涵。 5、容易出错的概念判断练。6、多种概念综合练。1、2、3、4、5、6、7、8、9，谁是质数、合数、奇数、偶数、最小质数、最小合数？7、结合生活实际练习，解决简单问题。以上7种方法不一定都用，要灵活选用。练习要注意针对性，层次性，综合性，开放性，灵活练习形式，提高练习兴趣，使学生真正建立正确概念。加强思维训练，提高思维品质，注意深刻性、创新性、灵活性、敏捷性、批判性。概念教学的三大环节不是截然分开的，引入中有理解，理解了才便于形成，巩固了学生才能真正理解和掌握。其实，概念教学还应注意深化和发展。二、概念教学应注意的几个问题1、把握概念教学的目标，处理好概念教学的发展性与阶段性之间的矛盾。 概念本身有自己严密的逻辑体系。在一定条件下，一个概念的内涵和外延是固定不变的，这是概念的确定性。但是，在小学阶段的概念教学，考虑到小学生的接受能力，往往是分阶段进行的。如对“数”这个概念来说，在不同的阶段有不同的要求。开始只是认识1、2、3、……，以后逐渐认识了零，随着学生年龄的增大，又引进了分数(小数)，以后又逐渐引进正、负数，有理数和无理数，把数扩充到实数、复数的范围。因此，数学概念的系统性和发展性与概念教学的阶段性成了教学中需要解决的一对矛盾。解决这一矛盾的关键是要切实把握概念教学的阶段性目标。 为此教师必须认真钻研教材，掌握小学数学概念的系统，摸清概念发展的脉络。概念是逐步发展的，而且诸概念之间是互相联系的。不同的概念具体要求会有所不同，即使同一概念在不同的学习阶段要求也有差别。 有许多概念的含义是逐步发展的，一般先用描述方法给出，以后再下定义。例如，对分数意义理解，第一次是在学习小数以前，就让学生初步认识了分数，“像上面讲的、 、 、 、 、 等，都是分数。”通过大量感性直观的认识，结合具体事物描述什么样的是分数，初步理解分数是平均分得到的，理解谁是谁的几分之一。老师切记不要拔高要求，加重学生负担否则自己教得累，学生学得也没有信心。第二次飞跃是由具体到抽象，概括分数的定义。这样两个层次不是一挥而就的，要展现知识的发展过程，引导学生在知识的发生发展过程中去理解分数。 再如长方体和立方体的认识也是分成两个阶段进行教学的。在低年级，先出现长方体和立方体的初步认识，通过让学生观察一些实物及实物图，如装墨水瓶的纸盒、魔方等。积累一些有关长方体和立方体的感性认识，知道它们各是什么形状，知道这些形状的名称。然后，通过操作、观察，了解长方体和立方体每个面是什么样的，比如正方体每个面都一样方方的，长方体的面又长又方，有的面一样，有的面不一样，进一步加深对长方体和立方体的感性认识。再从实物中抽象出长方体和立方体的图形(并非透视图)。但这一阶段的教学要求只要学生知道长方体和立方体的名称，能够辨认和区分这些形状即可。仅仅停留在感性认识的层次上。第二阶段是在较高年级。教学时仍要从实例引入。教学长方体的认识时，先让学生收集长方体的物体，教师先说明什么是长方体的面、棱和顶点，让学生数一数面、棱和顶点各自的数目，量一量棱的长度，算一算各个面的大小，比较上下、左右、前后棱和面的关系和区别。然后归纳出长方体的特征。再从长方体的实例中抽象出长方体的几何图形。 2、加强联系，形成概念系统。小学数学知识的特点是系统性强，前后联系密切，但是由于小学生思维发展水平和接受能力的限制，有些知识的教学往往是分几节课或几个学期来完成，这样难免在不同程度上削弱知识间的联系。对一些有联系的概念或法则，在一定阶段应进行系统的整理，使学生在头脑中建立起知识的网络，形成良好的认知结构。尤其是中高年级，可以引导学生将概念进行分类，明确概念间的联系和区别，以形成概念系统。“公因数”“最大公因数”和 “公倍数”、“最小公倍数”意义的教学，是在学生已经掌握了 “倍数”、“因数”意义的基础上进行的。教学时先结合具体情境，分别找出两个数公有的“因数”或“倍数”，通过比较和列举找出两个数的相同的“因数”或“倍数”，引出新概念，扩充、改组已有的认知结构，促进学生把新、旧概念整合成知识“链”。在后续的学习过程中，再将倍数和因数的相关内容与“合数”、“素数”、“奇数”、“偶数”等概念联系在一起，构成一棵知识“树”，可以用制作“概念图”的方式把这一概念系统下的所有概念组织成概念网络，学生对这些概念的表征因结构关系的支撑得到深化，形成一个知识板块的概念系统。
真分数分数 分子 = 分母 整 数 假分数
分子 〉分母 带分数3、概念教学应注重培养学生几种能力⑴、培养观察能力。苏霍姆林斯基指出：观察是思考和认识之母。概念的引入后，要首先对引入的材料进行观察。应做好以下几点：①要明确观察的目的。就是要通过观察使反映概念本质属性的数学材料在学生头脑中留下深刻的鲜明表象，为抽象概括扫除思维上的障碍。②要有序观察。先观察什么，再观察什么，后观察什么，层次要清，一步步地完成观察任务。③要突出重点。就是重点观察突出事物本质特征的那一部分，排除非本质属性的干扰。④要与口头表达相结合。即观察后要让学生口述思维过程或观察的结果。 ⑵、培养抽象概括能力。任何一个简单的数学概念都是由抽象概括得来的。抽象概括，就是对感性材料舍弃其非本质属性，而抽取本质属性，在此基础上将同一类对象的共同特征集中起来，综合为一般的共同属性。概括要注意综合性，科学性。概括语言必须严谨，全面，用词要准确。比如圆柱的表面积分两层抽象： ①圆柱物体外表由那些图形组成 ②表面积由哪几个面组成。⑶、培养判断推理能力。判断能力是运用概念对事物性质和事物之间的联系，做肯定或否定的断定。它反映了概念之间的联系。要做好以下几点：a、结合数学基本概念、基本原理教学进行判断。如：学习了真分数和假分数后，让学生判断①真分数都小于“1”；②假分数都大于1。B、搞清数学概念间的关系。例如，学习了质数、合数、奇数、偶数等概念，可用集合圈图帮助学生弄清概念之间的关系。
（矛盾关系）表明非零的自然数只有偶数和奇1 数两部分。
（反对关系）表示非0自然数中质数、合 数互不相容，还存在非质非合的“1”。2 （交叉关系）表示偶数和质数的外延有一部 分是重合的2。2既是偶数，又是质数。判断题首先要让学生判断对错，再运用概念对照题目，叙述理由，得出结论，即说清判断正误的依据。通过训练，要逐步培养学生的判断推理能力。即：大前提---小前提---结论，三步推理法。
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