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B.再将投影面的平行平面变换成投影面的垂直平面
C.直接将一般位置平面一次变换成投影面的垂直平面
D.首先将一般位置平面变换成投影面的垂直平面
E.再将投影面的平行平面变换成投影面的平行直线平面
将一般位置平面变换成投影面的垂直平面，需要
A.首先将一般位置平面变换成投影面的平行平面
B.再将投影面的平行平面变换成投影面的垂直平面
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线线、线面、面面的位置关系-2016届高三数学（文）33个黄金考点总动员
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资料概述与简介
2016届高三数学33个黄金考点总动员
考点24 线线、线面、面面的位置关系
【考点剖析】
1.最新考试说明：
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定.
2. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定.
3.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理．能证明一些空间位置关系的简单命题.
2.命题方向预测：
1.点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点．以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，属低中档题.
2.线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点．着重考查线线、线面、面面平行的转化及应用．题型多为选择题与解答题.
3.线线、线面、面面垂直的问题是命题的热点．着重考查垂直关系的转化及应用．题型多以选择题、解答题为主．难度中、低档.
3.课本结论总结：
1.平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
2.直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角(或夹角).
3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.
4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
7.直线与平面平行的判定与性质
|定义] |定理
|a?α，b?α，a∥b
|a∥α，a?β，α∩β＝b
8.面面平行的判定与性质
|α∩β＝?
|a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α|α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b
|α∥β，a?β
9.直线与平面垂直
(1)判定直线和平面垂直的方法
②利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
(2)直线和平面垂直的性质
①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线.
②垂直于同一个平面的两条直线平行.
③垂直于同一条直线的两平面平行.
10.斜线和平面所成的角
斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角.
11.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的判定方法
②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
(2)平面与平面垂直的性质
两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
12.二面角的有关概念
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.
4.名师二级结论：
（1）异面直线的判定方法：
判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．
反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
(2)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．
(3)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．
(4)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．
(5)平行问题的转化关系：
(6)垂直问题的转化关系
(7)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等；
(8)利用公理4或平行四边形的性质证明两条直线平行.
5.课本经典习题：
（1）必修2第37页
用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；
④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中真命题的序号是(　　)．
【经典理由】考察线面、线线的平行和垂直关系。
必修2第42页
已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)．
A．m∥n，m⊥α=>n⊥α
B．α∥β，m?α，n?β=>m∥n
C．m⊥α，m⊥n=>n∥α
D．m?α，n?α，m∥β，n∥β=>α∥β
【经典理由】考察线面、线线、面面的平行和垂直关系。
6.考点交汇展示：
(1)立体几何与函数交汇
四边形ABCD中，,AD∥BC，AD =6，BC =4，AB =2，点E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABCD平面EFDC，设AD中点为P．
( I )当E为BC中点时，求证：CP//平面ABEF
(Ⅱ)设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A-CDF的体积有最大值？并求出这个最大值。
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）当时，有最大值，最大值为3.
【解析】（Ⅰ）取的中点，连、，则，又∥，所以，即四边形为平行四边形，………………… 3分
所以∥，又平面，，
故∥平面. ……………………………………………5分
立体几何与基本不等式交汇
如图4， 在三棱锥中，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，，当三棱锥的体积最大时，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）当三棱锥的体积最大时，．
立体几何与三角函数交汇
【2015高考浙江，理8】如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（
【答案】B.
∵，，∴（当时取等号），
∵，，而在上为递减函数，∴，故选B.
【考点定位】立体几何中的动态问题
【名师点睛】本题主要考查立体几何中的动态问题，属于较难题，由于的形状不确定，与
的大小关系是不确定的，再根据二面角的定义即可知，当且仅当时，等号成立
以立体几何为背景的创新题是浙江高考数学试卷的热点问题，12年，13年选择题压轴题均考查了立体几
何背景的创新题，解决此类问题需在平时注重空间想象能力的培养，加强此类问题的训练.
【考点分类】
线线、线面、面面平行与垂直关系的判定
1. 【2015高考浙江，文4】设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（
【考点定位】直线、平面的位置关系.
【名师点睛】本题主要考查空间直线、平面的位置关系.解答本题时要根据空间直线、平面的位置关系，从定理、公理以及排除法等角度，对个选项的结论进行确认真假.本题属于容易题，重点考查学生的空间想象能力以及排除错误结论的能力.
2. 【2015高考广东，文6】若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（
A．至少与，中的一条相交
B．与，都相交
C．至多与，中的一条相交
D．与，都不相交
【解析】若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则至少与，中的一条相交，故选A．
【考点定位】空间点、线、面的位置关系．
【名师点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系，属于容易题．解题时一定要注意选项中的重要字眼“至少”、“至多”， 否则很容易出现错误．解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，也可作必要的合情推理．
3.【2015江苏高考，16】（本题满分14分）
如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，.求证：（1）；（2）.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
试题解析：（1）由题意知，为的中点，
又为的中点，因此．
又因为平面，平面，
所以平面．
【考点定位】线面平行判定定理，线面垂直判定定理
【名师点晴】不要忽视线面平行的判定定理中线在面外条件．证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线, 常利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行. 证明线面垂直时，不要忽视面内两条线为相交线这一条件．证明直线与平面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．
4.【2014高考江苏第16题】如图在三棱锥中，分别为棱的中点，已知，
求证（1）直线平面；
（2）平面平面.
【答案】证明见解析．
【考点】线面平行与面面垂直．
【方法规律】
1.证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件.
2.线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.
线面平行的证明思考途径：线线平行线面平行面面平行.
3.面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；②面面平行的判断定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④向量法：证明两个平面的法向量平行.
4.证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性.
5.线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.线面垂直的证明思考途径：线线垂直线面垂直面面垂直.
6.面面垂直的证明方法：①定义法；②面面垂直的判断定理；③向量法：证明两个平面的法向量垂直.解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行垂直之间的转化.
【解题技巧】
1.利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.
2.立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设.
3.转化思想：垂直关系的转化
线线垂直线面垂直面面垂直
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决.
4.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.
5.线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.
6.在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.
7.垂直关系综合题的类型及解法
(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.
(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.
8.线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；
9.线线关系是线面关系、面面关系的基础.证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；
【易错点睛】
1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.
2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.
3.解题中注意符号语言的规范应用.
4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.
5.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.
6.证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.
例1已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出 的是
【解析】∵m∥n, ∴
【易错点】没有掌握线面垂直的条件
例2：设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)
A.若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n
B.若α∥β，m?α，n?β，，则m∥n
C.若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β
D.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
【答案】　D
【解析】　A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，m?α，n?β，故C错误；故D正确.
【易错点】忽略两条直线异面的情况
热点2 空间线线、线面及面面关系中的角度问题
1. 【2015高考四川，理14】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为
【考点定位】1、空间两直线所成的角；2、不等式.
【名师点睛】空间的角与距离的问题，只要便于建立坐标系均可建立坐标系，然后利用公式求解.解本题要注意，空间两直线所成的角是不超过90度的.几何问题还可结合图形分析何时取得最大值.当点M在P处时，EM与AF所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M点向左移动时，EM与AF所成角逐渐变小，点M到达Q点时，角最小，从而余弦值最大.
2. 【2014高考大纲卷文第4题】已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（
考点：正多面体的性质和异面直线的夹角以及余弦定理.
3. 【2014高考上海卷文第7题】 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为
（结果用反三角函数值表示）.
【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意，即，母线与底面夹角为，则为，.
【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.
【方法规律】
求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.
判定空间两条直线是异面直线的方法
(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线.
(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.
3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解.
【解题技巧】
求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解.
【易错点睛】
1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”.
2.不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件.
3.两条异面直线所成角的范围是(0°，90°].
例1：如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.
【解析】　取AC的中点F，连接EF，BF，
在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，
∴∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角.
在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝AD＝，
在Rt△EAF中，AF＝AC＝，AE＝，
在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.
在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝.
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
【易错点】不能正确找出异面直线所成角，异面角的取值范围．
例2：过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作
【答案】　D
【解析】　如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱BC、BA、BB1所成的角都相等，
∵BB1∥AA1，BC∥AD，
∴体对角线BD1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C、DB1也与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1、A1C、DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条.
【易错点】忽视异面直线所成的角，只找两条相交直线所成角，没有充分认识正方体中的平行关系.
热点3 线线、线面、面面的位置关系的综合问题
1. 【2015高考浙江，文7】如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（
D．双曲线的一支
由题可知，当点运动时，在空间中，满足条件的绕旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.
【考点定位】1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.
【名师点睛】本题主要考查圆锥曲线的定义以及空间线面的位置关系.解答本题时要能够根据给出的线面位置关系，通过空间想象能力，得到一个无限延展的圆锥被一个与之成角的平面截得的图形是椭圆的结论.本题属于中等题，重点考查学生的空间想象能力以及对圆锥曲线的定义的理解.
2.【2015高考浙江，文18】（本题满分15分）如图，在三棱锥中，在底
面ABC的射影为BC的中点，D为的中点.
（1）证明：；
（2）求直线和平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)略；(2)
(2)作，垂足为，连结.
因为平面，所以.
【考点定位】1.空间直线、平面垂直关系的证明；2.直线与平面所成的角.
【名师点睛】本题主要考查空间直线与平面垂直的证明以及直线与平面所成角的大小的计算.能够利用直线与平面垂直的定义及判定，通过直线与直线垂直证明得到直线与平面垂直；通过证明直线与平面垂直，构造得到直线与平面所成角的平面角，利用解三角形的知识计算得到其正弦值.本题属于中等题，主要考查学生基本的运算能力以及空间想象能力，考查学生空间问题转化为平面问题的转化与化归能力.
3.【2015高考上海，文19】（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点.已知，，求三棱锥的体积，并求异面直线与所成角的大小.
【解析】因为，，
所以三棱锥的体积．
因为，所以异面直线与所成的角就是与的夹角.
在中，，，
过作，则，
所以异面直线与所成角的大小.
【考点定位】圆锥的性质，异面直线的夹角.
【名师点睛】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．
4.【2014高考大纲卷文第19题】如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90，BC=1，AC=CC1=2.
(1)证明：AC1⊥A1B;
(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1-AB-C的大小.
【答案】（1）证明详见解析；（2）arctan.
试题解析：
解法一：（1）∵A1D⊥平面ABC, A1D平面AA1C1C,故平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，因为侧面AA1C1C是棱形，所以AC1⊥A1C,由三垂线定理的AC1⊥A1B.
解法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内.
（1）设A1（a，0，c），由题设有a≤2，A（2,0,0）B（0,1,0），则(-2，1，0),
，，由得，即，于是①,所以.
（2）设平面BCC1B1的法向量，则，,即，因，故y=0，且（a-2）x-cz=0，令x=c，则z=2-a，，点A到平面BCC1B1的距离为，又依题设，点A到平面BCC1B1的距离为，所以c= .代入①得a=3（舍去）或a=1.于是，
设平面ABA1的法向量，则,即.且-2p+q=0，令p=，则q=2，r=1，，又为平面ABC的法向量，故cos，所以二面角A1-AB-C的大小为arccos，
考点：1.直线与平面垂直的判断和性质；2.二面角的求法；3.平面与平面垂直的判断和性质.
【方法规律】
(1)证明线线垂直的方法
①定义：两条直线所成的角为90°；
②平面几何中证明线线垂直的方法；
③线面垂直的性质：a⊥α，b?α=>a⊥b；
④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α=>a⊥b.
(2)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直=>a⊥α；
②判定定理1：=>l⊥α；
③判定定理2：a∥b，a⊥α=>b⊥α；
④面面平行的性质：α∥β，a⊥α=>a⊥β；
⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l=>a⊥β.
(3)证明面面垂直的方法
①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
②判定定理：a?α，a⊥β=>α⊥β.
【解题技巧】
1． 利用线线、线面和面面的平行、垂直关系相互转化．
2． 求线面所成角时注意垂直关系的应用．
结合向量法进行证明和求解
【易错点睛】
(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．
(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．
证明过程要规范
注意角度的取值范围（线线、线面和面面）
例1：如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.
【解析】在平面PCD内，过E作EG∥CD交PD于G，
连接AG，在AB上取点F，使AF＝EG，
∵EG∥CD∥AF，EG＝AF，
∴四边形FEGA为平行四边形，
又AG?平面PAD，FE?平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
∴F即为所求的点.
又PA⊥面ABCD，∴PA⊥BC，
又BC⊥AB，∴BC⊥面PAB.
∴PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋PA2.
设PA＝x则PC＝，
由PB·BC＝BE·PC得：
·a＝·a，
∴x＝a，即PA＝a，∴PC＝a.
又CE＝ ＝a，
∴＝，∴＝＝，
即GE＝CD＝a，∴AF＝a.
【易错点】不会灵活应用线线、线面和面面平行的判定定理和性质定理进行转换，答题过程不规范。
【热点预测】
1. 【2015高考湖北，文5】表示空间中的两条直线，若p：是异面直线；q：不相交，则（
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【考点定位】本题考查充分条件与必要条件、异面直线，属基础题.
【名师点睛】以命题与命题间的充分条件与必要条件为契机，重点考查空间中直线的位置关系，其解题的关键是弄清谁是谁的充分条件谁是谁的必要条件，正确理解异面直线的定义，注意考虑问题的全面性、准确性.
2.设a，b，c表示三条直线，表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（
A．c⊥α，若c⊥β，则α∥β
B．bα，cα，若c∥α，则b∥c
C．bβ，若b⊥α，则β⊥α
D．a，b，，c⊥a，c⊥b，若⊥，则
【解析】C的逆命题是“，若，则”，是错误的
3. 【2015高考安徽，理5】已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（
（A）若，垂直于同一平面，则与平行
（B）若，平行于同一平面，则与平行
（C）若，不平行，则在内不存在与平行的直线
（D）若，不平行，则与不可能垂直于同一平面
【考点定位】1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.
【名师点睛】空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
4. 【2015高考福建，理7】若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ 的 （
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“ ”是“ 的必要不充分条件，故选B．
【考点定位】空间直线和平面、直线和直线的位置关系．
【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查空间直线、平面的位置关系，要理解线线垂直和线面垂直的相互转化以及线线平行和线面平行的转化还有平行和垂直之间的内部联系，长方体是直观认识和描述空间点、线、面位置关系很好的载体，所以我们可以将这些问题还原到长方体中研究．
5. 【2015高考山东，文18】
如图，三棱台中，分别为的中点.
（I）求证：平面；
（II）若求证：平面平面.
【答案】证明见解析
证法二：在三棱台中，由为的中点，
可得所以为平行四边形，可得
在中，分别为的中点，
所以平面平面，
因为平面，
【考点定位】1.平行关系；2.垂直关系.
【名师点睛】本题考查了空间几何体的特征及空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系和垂直关系，从证明方法看，起点低，入口宽，特别是第一小题.证明过程中，关键是注意构造线线的平行关系、垂直关系，特别是注意利用平行四边形，发现线线关系，进一步得到线面关系、面面关系.
本题是一道能力题，属于中等题，重点考查两空间几何体的特征及空间直线、平面的平行关系和垂直关系等基础知识，同时考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力思维的严密性、函数方程思想及应用数学知识解决问题的能力.
6.（本小题满分13分）在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，，，．
(I)求证：BC平面PBD：
(II)求直线AP与平面PDB所成角的正弦值；
(Ⅲ)设E为侧棱PC上异于端点的一点，，试确定的值，使得二面角E－BD－P的余弦值为．
【答案】（I）参考解析；（II）;（Ⅲ）
试题解析：（Ⅰ）证明：因为侧面⊥底面，⊥，
所以⊥底面，所以⊥.
又因为＝，即⊥，
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，所以.
由⊥底面，可得,
又因为，所以⊥平面.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面的一个法向量为，
设直线AP与平面PDB所成角为，则
考点：1.空间坐标系的建立.2.线面垂直的证明.3.线面所成的角.4.面面所成的角.5.待定系数的方法.
7. 【2015高考陕西，文18】如图1，在直角梯形中，，是的中点，是与的交点，将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.
(I)证明：平面；
(II)当平面平面时，四棱锥的体积为，求的值.
【答案】(I) 证明略，详见解析；(II) .
试题解析：(I)在图1中，因为，是的中点，所以，
即在图2中，
(II)由已知，平面平面，
且平面平面
又由(I)知，，所以平面，
即是四棱锥的高，
由图1可知，，平行四边形面积，
从而四棱锥的为
【考点定位】1.线面垂直的判定；2.面面垂直的性质定理；3.空间几何体的体积.
【名师点睛】1.在处理有关空间中的线面平行、线面垂直等问题时，常常借助于相关的判定定理来解题，同时注意恰当的将问题进行转化；2.求几何体的体积的方法主要有公式法、割补法、等价转化法等，本题是求四棱锥的体积，可以接使用公式法.
8.如图，矩形所在的平面和平面互相垂直，等腰梯形中，∥，=2，，，，分别为，的中点，为底面的重心.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.
本题建系后，确定点的坐标及平面的法向量为， 及
计算得到 ，利用角的“互余”关系，即得直线与平面所成角的正弦值为.
法二：以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
-----------------7分
设平面的法向量为，
-------------------8分
令，则 ，所以，-----------------10分
---------------------11分
∴直线与平面所成角的正弦值为 -------------------12分
考点：平行关系，空间的角，空间向量的应用.
9. 【2015高考重庆，文20】如题（20）图，三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF//BC.
(Ⅰ)证明：AB平面PFE.
(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.
【答案】（Ⅰ）祥见解析，（Ⅱ）或.
试题分析：（Ⅰ）先由已知易得，再注意平面平面，且交线为，由面面垂直的性质可得平面，再由线面垂直的性质可得到，再注意到，而，从而有，那么由线面垂的判定定理可得平面，
（Ⅱ）设则可用将四棱锥的体积表示出来，由已知其体积等于7，从而得到关于的一个一元方程，解此方程，再注意到即可得到的长．
(2)解：设,则在直角中，
由，知，得,故，
从而四边形DFBC的面积为
由(1)知，PE 平面，所以PE为四棱锥P-DFBC的高.
在直角中，,
故得，解得，由于，可得.
【考点定位】1. 空间线面垂直关系，2. 锥体的体积，3.方程思想.
【名师点睛】本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系的判定及简单几何体的体积的运算，第一问通过应用面面垂直的性质定理将面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直来完成证明，第二通过设元，将已知几何体的体积表示出来，建立方程，通过解方程完成解答.本题属于中档题，注意方程思想在解题过程中的应用.
10.【湖北省部分重点中学学年度上学期高三起点考试19】（本小题满分12分）如图，中，两点分别是线段 的中点，现将沿折成直二面角。
(Ⅰ) 求证：；
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正切值.
【答案】(Ⅰ)证明如下；(Ⅱ)
试题分析：(Ⅰ)本小题可由面面垂直的判定定理加以证明，即线面垂直面面垂直，通过证得，又通过证相似得到，而AD，CD为平面ADC内两相交直线，可证得，又，所以得到；(Ⅱ) 本小题关键找到线面角，连结BE交CD于H，连结AH过点D作于O，可证得为与平面所成角，在中，，又在中，，从面可求得直线与平面所成角的正切值.
连结BE交CD于H，连结AH
过点D作于O。
所以为与平面所成角。
所以直线与平面所成角的正切值为 .
考点：线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，直线与平面的成角，直角三角形的边角关系.
11. 【江苏省扬州中学2015届高三8月开学考试24】（本题满分10分）如图，在长方体中，是棱的中点，点在棱上，且（为实数）.
（1）当时，求直线与平面所成角的正弦值的大小；
（2）试问：直线与直线能否垂直？请说明理由.
【答案】（1）．（2）不可能；理由祥见解析．
试题解析：分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则A（2，0，0），C（0，4，0），D1（0，0，2），E（0，，2），F（1，4，0），则＝(2，0，-2)，＝(0，4，-2)
⑵假设，则，因为，
化简，得，因为，所以该方程无解，所以假设不成立，即直线不可能与直线垂直．
考点：1.用空间向量求直线与平面的夹角;2.空间中直线与直线之间的位置关系.
12. 【2015高考新课标1，文18】（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，，
（I）证明：平面平面；
（II）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.
【答案】（I）见解析（II）
试题解析：（I）因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，
因为BE平面ABCD，所以ACBE，故AC平面BED.
又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED
考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力
【名师点睛】对空间面面垂直问题的证明有两种思路，思路1：几何法，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；思路2：利用向量法，通过计算两个平面的法向量，证明其法向量垂直，从而证明面面垂直；对几何体的体积和表面积问题，常用解法有直接法和等体积法.
13. 【2015高考广东，文18】（本小题满分14分）如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，
（1）证明：平面；
（2）证明：；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
（2）因为四边形是长方形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以
（3）取的中点，连结和，因为，所以，在中，
，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，由（2）知：平面，由（1）知：，所以平面，因为平面，所以，设点到平面的距离为，因为，所以，即，所以点到平面的距离是
【考点定位】1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.
【名师点晴】本题主要考查的是线面平行、线线垂直和点到平面的距离，属于中档题．证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是三角形的中位线和构造平行四边形．证明线线垂直的关键是证明线面垂直，证明线面垂直可由面面垂直得到，但由面面垂直得到线面垂直一定要注意找两个面的交线，否则很容易出现错误．点到平面的距离是转化为几何体的体积问题，借助等积法来解决．
14. 【2015高考湖北，文20】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接.
（Ⅰ）证明：平面. 试判断四面体是
否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值．
【答案】（Ⅰ）因为底面，所以. 由底面为长方形，有，而，所以平面. 平面，所以. 又因为，点是的中点，所以. 而，所以平面.四面体是一个鳖臑；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）因为底面，所以. 由底面为长方形，有，而，所以平面. 平面，所以. 又因为，点是的中点，所以. 而，所以平面. 由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是
【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何体的体积，属中高档题.
【名师点睛】以《九章算术》为背景，给予新定义，增添了试题的新颖性，但其实质仍然是考查线面垂直与简单几何体的体积计算，其解题思路：第一问通过线线、线面垂直相互之间的转化进行证明，第二问关键注意底面积和高之比，运用锥体的体积计算公式进行求解. 结合数学史料的给予新定义，不仅考查学生解题能力，也增强对数学的兴趣培养，为空间立体几何注入了新的活力.
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