提高数学能力
数学思想方法是指数学本身的论证、运算以及应用的思想、方法和手段。实践证明，教师依据数学教材的特点和学生的认知规律，围绕各种数学思想方法的要求，有计划地对学生进行数学思想方法的训练，对于提高学生的数学素质和数学课堂教学的质量非常有益。本文结合小学数学教学仅就几种综合性的数学思想方法作一探讨。一、联想能力的训练联想 是由一种事物的观念想到另一事物的观念的心理过程。教育心理学认为，联想既是一种，也是一种思维能力。其种类包括纵、横向的单维联想和立体交叉式的多维联想。多维联想是指对眼前呈现的问题，从多角度进行思考以寻求问题解决的联想方法，它又包括条件的多维联想和解题方法的多维联想。例如，我们由完成与未完成工程量的比是&５∶６&这一条件，可以联想到下列可做逆推的其他条件：已完成的占总工程量的５１１，未完成的占总工程量的６１１，未完成的是已完成的１１５倍；已完成的是未完成的５６，未完成的比己完成的多１６，已完成的比未完成的少１６等。此关不过，学生解分数应用题难的现状就不易解决。现在用上述条件组编一个应用题：&一个建筑队２０天完成一件工程的５１１，再干几天可以完成该工程？&我们从不同角度进行联想，可得到以下解题方案：（１）用剩下的工作量除以每天的工作效率，列式：（１－５１１）?（５１１?２０）或（１１－５）?（５?２０）；（２）先求出完成该工程的总天数再减去已干的天数，列式：２０?５１１－２０；（３）看剩下的工作量是已完成工作量的几倍，就有几个２０天，列式：２０?〔（１－５１１）?５１１〕；（４）看已完成的工作量是未完成的工作量的几分之几，由已知一个数的几分之几是多少，求这个数的算法可列式为：２０?〔５１１?（１－５１１）〕。进行多维联想的能力训练，要围绕一定的目的，要做到适时、适度、因人而异，要善于发现最佳解题思路，使其真正达到培养学生创造性思维的目的。二、转化能力的训练 转化思想是数学的基本思想之一，是一种十分重要的教与学的策略。常见的转化思维方法有量的转化、式的转化、类比转化等，考虑到数学的研究对象--数与形，在教学中有意识地对学生进行数形转化能力的训练就显得尤其重要。所谓数形转化观是把数、形问题从一种表示形态转化成另一种表示形态或数形相互转化的思想和方法。从这一表述可以看出，数形转化有数的转化、形的转化和数与形的相互转化三种具体形态。数的转化要通过恒等变形，借助数的分解、变换数的位置或对数进行重新调整组合以及利用相关关系等方式进行。如，０．２５根据需要可转化为２５％，可以转化为１４，还可以转化为１∶４。 通过数的转化可使运算过程简单明了，达到计算对、快、巧的要求。形的转化要通过割、补、拼等操作技能，主要借助等积变形来实现转化。既可以把整体转化为部分，又可以把部分拼成整体。如，在推导梯形的面积计算公式时可制作转动式幻灯片进行演示，使学生清晰地看到两个全等的梯形拼补成平行四边形的方法，造成一种动态的视觉形象美，使演示过程更生动、有趣，给学生留下的印象也是深刻的。又如，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。此题若按常规解法，不但计算繁琐，而且因&取近似值，存在计算误差。若把它看成是一个以内外圆周长为上、下底，以２厘米为高的梯形，即利用&把曲线看作直线的思想&，其计算量不但减少，而且提高了答题的准确率。 数与形相互转化的着眼点在于把问题涉及的数与形结合起来综合考察，在实际解题中，既可以把数量关系问题转化为图形性质问题来处理，也可以把图形性质问题转化为数量关系问题来研究。譬如，在应用题教学中，我们根据题意将数量关系转化为线段图，借助形象化的线段图进行分析、解决问题。这样，不仅可使抽象问题直观化、具体化，提高解题的速度和准确度，而且也是发展学生形象思维的有效方法之一。三、探究能力的训练 心理学家布鲁纳指出，探究是数学教学的生命线。重视学生探究能力的训练，要求我们要注重教学活动的过程教学。正如西南师大数学系杨泰良教授所言：&教学上要求揭示的数学活动过程主要是方法论意义上的和逻辑意义上的，这更符合数学知识结构和学生认识结构......数学活动过程的教学有利于启迪和发展学生的思维，所以应是数学方法的核心。& 教学中，要有意识地创设探究情境，培养探究能力。例如，在讲&分数的基本性质&时，采用实际操作的方法，让学生按老师的要求均分课前准备好的一捆小棒（１２根）。具体操作要求是：把１２根小棒平均分成两份，每份是（１）（２）是（６）根；把１２根小棒平均分成四份，取两份是（２）（４），是（６）根；把１２根小棒平均分成六份，取三份是（３）（６），是（６）根。教师要求边操作边填空，学生通过操作（探究）发现不同分法的值相等，即１２＝２４＝３６。这时教师可以提出一个探究性的问题：相等的几个分数的分子、分母都发生了变化，但结果没有变，这是为什么？分数的分子、分母是如何变化的？面对此问题学生一时不能回答，稍后会有同学回答说：&分子增加１，分母增加２。&显然，朝增加多少的方向思考不能揭示出分数的基本性质。随后，老师将相等的几个分数的板书变化了一下，增加中间环节。如，１２＝１?（）２?（）＝２４；３６＝３?（）６?（）＝１２．经教师点拨，使学生产生了新的思维，认识到不是&增加&而是&扩大或缩斜，从而收到良好的教学效果。在此过程中，学生不是被动地接受现成的结论，而是自始至终参予到知识的探究之中。 教师结合教材编制一些&动脑筋&的题目，也是培养学生探究能力的重要手段。如，在学习了除数是一位数的除法后，教师可以给学生提供这样一道题：把一根木棒锯成４段，每锯断一次用２分钟，全部锯完要用多少分钟？乍看此题，学生会不加思索地回答８分钟；我们如果让学生拿纸条、剪刀进行操作、探究时，学生会惊奇地发现自己的错误，并为自己亲手探究出正确的答案而感到自豪。
本文来自：逍遥右脑记忆 /chuzhong/8541.html
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如何进行初中数学课“问题”教学
上传: 叶小建 &&&&更新时间： 23:17:46
一、在授新课时进行&问题教学&
教师在上课时，要改变以前教师讲、学生听、再做练习的教学模式。要善于在新课引入时创设问题情景，激发学生的求知欲。所提问题尽量与生活实际有关，要让学生感兴趣。在学生解决问题的过程中充分体现了&以学生为本&的新理念，注重师生互动，关注过程教学，这样不仅传授学生数学知识，而且教会学生数学方法和技能。我在授新课教学过程中一直尝试&问题教学&新模式。
下面以我曾经上过的一节有关&求本息和与利息&的应用题为例，说明我是怎样关注&问题教学&的。
1、问题提出：本节课&求本息和与利息&的应用题，是在学生掌握&比&的有关知识和分数的混合运算的基础上讲授的，学生知道百分比与分数、小数之间的互化，知道了几种常见的百分率，利用类比教学，会求&一个数是另一个数的百分之几&、&求一个数的百分之几是多少&、&已知一个数的百分之几是多少，求这个数&，这些为本节课的学习打下了基础。但学生并不满足这些知识，他们在想：有没有比这些再难一点的题目？有没有我们实际生活中需要解决的问题？在他们渴望学习的情况下，作为老师要引导学生进入积极的思维状态，传授他们数学知识，给予他们数学方法，提高他们数学技能，让学生学会学习，学会思维，学会交流，学会创新。亚里士多德说过：&思维从对问题的惊讶开始。&上课时，我创设的问题情境是：&同学中有谁看到过银行存折吗？&&存折上有些什么内容？&这个日常生活中经常接触到的问题，同学们很感兴趣，大家也抢着回答问题。老师在此基础上用实物投影仪投影出一张存折。
2、问题求解：阅读存折上的主要内容后，老师提问：&从存折上可以看到，把钱存入银行，经过一段时间后，银行按规定要会给储蓄者一定的酬金。那么我们想一想，去银行存款会碰到哪些储蓄专用名词？&这又是一个学生感兴趣的问题，他们会根据自己的语言说出各种名词，老师把他们的回答稍作修改，用powerpoint课件出示本金、利息、期数、利率、月利率(月息)、年利率、本息和的定义。老师再提问：&把钱存入银行后，如何计算利息与本息和呢？&这个问题可以让学生们去猜想，学生的猜想可能正确，可能不正确，老师要及时对学生的回答进行评价，然后给出公式&利息=本金&利率&期数&，&本息和=本金＋利息&。
3、问题解决：我让学生尝试做一个银行工作人员，去实习，接受一件件任务。第一件任务：张伯伯来银行储蓄人民币1200元，准备存一年，银行月息是0.72%，问张伯伯到期可以拿到利息多少元？第二件任务：郑老师到银行储蓄6000元，存期三年，到期取得本息和8268元，这笔储蓄的利息是多少元？年利率是百分之几？第三件任务：吴刚有500元钱，打算存入银行两年，可以有两种储蓄办法，一种是存两年期的，年利率是2.25%；一种是存一年期的，年利率是1.98%，第二年到期时连同本金和利息再存入一年，选择哪种办法得到的利息多一点？第四件任务：李伟的爸爸有资金100000元，他准备投资做生意或储蓄。已知银行一年期的定期储蓄的年利率是1.98%，到期后还要按国家规定缴纳利息所得税20%，你能否帮他算一下，如果投资做生意，那么一年至少净赚多少元，才能比储蓄合算？第五件任务：告诉你近期银行利率，王喜来银行存500元压岁钱，准备存两年，请你正确填写储蓄存单(可小组讨论，共同完成)。让学生做一个银行工作人员，去体验储蓄过程中遇到的问题，想方设法去解决问题，在探究中学习，在独立思考与互相交流中共进，最后成功解决问题，既理论联系实际提高了解决问题的能力，又在学习体验中充分享受成功的喜悦。学生是整节课活动的主体，老师在过程中只起指点、解惑的作用。对学生解决问题的过程中出现可能出现的错误，也在肯定的基础上及时加以指正。学生当上银行工作人员后，不仅会计算储蓄单上的利息，认识到数学与日常生活密切相关，从而突出本节课的重点：利用&本息和与利息&的公式去解决实际问题，并应用相关知识去解决问题，促进学生数学思维能力的发展。
4、问题反思：一节课的最后五分钟老师让学生反思：&本节课我们学到了哪些知识？&&我还有什么困惑？&作为教师的我也进行教后反思：我认为本节课的成功之处在于：&让学生主动解决问题。&整节课都以学生为主，始终让学生带着浓厚的兴趣、强烈的求知欲望去学习，让他们当银行工作人员，在工作中碰到问题，然后通过学习、交流，又解决了这些问题，于是有了强烈的成就感。学生在&工作&中学习，在探索问题的过程中，学会了如何获取知识、如何用所学的知识解决问题；学生在&工作&中学习，在讨论、研究这一合作过程中相互交流，取长补短，不断完善。在教学过程中，学生的回答十分踊跃，说明他们对这节课兴趣很大，从各个角度发表他们的想法。所以他们在小结中也发自内心地说：&学数学很有趣。&但存在一个问题，我想让每一个学生都动起来，并安排了好几次小组讨论，学生的回答也委踊跃，但仍有几个学习程度差的学生虽参与小组讨论，可不愿举手，怕回答错误，以后要注意鼓励这些学生发言，并针对学生实际适当安排一些简单的题目让他们回答，让这些学生既&跳一跳能摘到果子&，也体会回答正确的喜悦。
二、在复习课中进行&问题教学&
1、学生归纳、总结本章重点。我也把&问题教学&应用到数学复习课上，以新人教版八年级数学(上册)第十三章&全等三角形&的复习课为例，课前我让学生自己归纳、总结本章的知识点，课上老师向学生提问：&本章有哪些知识点？&学生会归纳、总结，一个学生的回答肯定不完全，其他学生会补充完善，老师再提示、点拨，并在学生回答的基础上进行板书：&全等三角形的知识点&(a)全等三角形的定义：图形的三种运动；全等形、全等三角形、对应顶点、对应边、对应角的定义；画三角形的方法。(b)全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。(c)全等三角形的判定方法：sss ，sas，asa，aas，hl。因为这些知识是他们自己归纳出来的，所以他们感到很有成就感，如果别的同学没有想到的知识，某个学生补充出来后，他就特别兴奋。学生不喜欢复习课上老师罗列知识重点，学生抄下来这种上课方式，而采用&问题教学&的复习课能让学生自主学习，自我总结，自我评价，学生很喜欢。
2、学生解答自己的题目。在学生归纳、总结本章知识点之后，我让学生出示自己找到的综合题，并让他指定同学回答，学生在回答过程中同样可以寻求帮助，同学之间再互相评价。对这一环节，学生们同样很兴奋，他们急于要展示自己的学习成果，抢着回答问题。
当黄开鹏同学出示他找到的题目时，我发现这个题目很典型，就对这题进行变式练习，让学生在解答过程中巩固自己所学到的知识。他找到的题目是：
如图：已知&1=&2，&3=&4
　　①说明△abd≌△abc的理由。
　　②△aed≌△aec吗？为什么？
　　③用两种方法说明△bed≌△bce。
他分别请了三个同学回答，并对他们的回答进行评价，我在他们互问互答的基础上加以点评，同时进行变式练习。
变式1：如图，已知&1=&2
要使△abd≌△abc，△aed≌△aec，△bed≌△bce，只需添加一个条件，那么添加的条件是&&&&&&&&&&&&&&& 。
我让刚才回答的学生找同学回答。本题的答案不唯一，我让学生说出尽可能多的答案，并判断答案是否正确。
变式2：如图，已知：ad=ac，de=ec，
①b、f是ae上任意两点，试一试你共能找出几对全等三角形。
②在ae上任意取三个点、四个点、五个点&&，试一试你共能找出几对全等三角形，能否说出其中的规律。
在前面图形的基础上，我添了两条线段，这样共找到六对全等三角形，接着我再让学生思考：在ae上取三个点、四个点、五个点&&，那么你能找到几对全等三角形，并让学生归纳一下其中的规律。
变式3：如图，已知：am=an，ad=ac，求证：&abn=&abm
本题一环扣一环，每次全等都为后面的全等创造条件，共需证三次全等才能得出结论，提高了学生分析问题上，解决问题的能力。
这样由学生找到的一个题目，通过三次由浅入深地变式训练，使学生对全等三角形的内容进行了复习巩固，达到了以点带线，以线带面，巩固知识，培养能力的目的。当然学生找到的题目很多，老师根据时间确定上课解答几题，课后再把其他学生找到的比较好的题目打印出来，在班级里展示。像这样由学生归纳总结、提出问题、解决问题、综合评价的复习课，学生们同样很喜欢。
三、在试卷讲评课上进行&问题教学&
1、传统的教学方式：一个单元、一个章节的教学内容结束后，老师们都要给学生加以复习总结，然后出一份试卷，让学生练习测试，以衡量学生掌握知识的程度。试卷讲评时，大多数老师根据试卷的题序，一题一题讲下去。也有老师挑选其中较典型的错题，加以分析讲解。这时老师们都在就题论题，向学生罗列已学过的知识点，归纳已有的问题类型，操练已教过的解题方法。这种老师讲，学生听的课，学生很不喜欢，有的学生因为老师讲解自己做对的题目而不感兴趣，一个分神，把老师讲解的下一个做错的题目的分析过程给漏了。这样达不到试卷讲评的效果，更不能提高学生解决问题的能力和创新能力。
2、尝试&问题教学&：根据学生的情况，我尝试&问题教学&的方法。当测验试卷批好发下去时，要求学生通阅试卷，然后把自己能订正的题目，先找出错在什么地方，分析出自己错的原因，再订正，并从课本或课外书上找一个类似的题目，进行解答，加以巩固练习。上讲评课时，我针对试卷上的题目先提问：&这题谁错了？&错的学生也很诚实，他们会一个个举起手，我叫一个学生的名字。接着问&你错在什么地方？为什么错了？&学生就会找出错在什么地方，分析出自己错的原因。会订正的学生马上讲出自己的正确的解题步骤，不会订正的学生则要求别的学生帮助他。接着提问&你找到类似的题目了吗？&学生会把自己找到的题目说出来，老师根据学生找到的题目加以评价，表扬。同时问&你要求谁来回答？&这时学生举手非常积极，都抢着要回答问题。当某个学生回答完后，又问&他的回答正确吗？&学生之间就会互相讨论，有的说：&回答得很好!&有的说：&解答得很完整!&有的说：&有些地方不好，应该这样回答&&&。在先后提出的问题中，同学们分析自己的错题，再互问互答。整节课学生是活动过程的中心人物，是认识的主体，老师则是学生解决问题的基础上加以点评。以后学生们熟练了，他们会根据自己的情况，选择自己想说的题目。每次上课，发现学生们上这样的课特别兴奋，思维也很活跃。
2006年10月，我用&问题教学&的方式对一份章节测试题进行了讲评。课上，学生们分析自己做错的原因，再出示自己找到的题目，让别的学生回答。同学答对了，他们会互相表扬；答错了，他们会互相帮助，或允许他寻求帮助(寻求老师的帮助也可以)。例如林建军同学分析填空题第19题：如果一个等腰三角形的两边的长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长是&&&&&&& 。她分析自己解题时想到本题有两种情况，一是腰为2，底为5，这样周长是9；二是腰为5，底为2，这样周长是12，而忽略了&三角形两边之和大于第三边&，因为2+2＜5，所以第一种情况舍去，本题的答案&周长是12&。她找到的类似的题目旧：如果一个等腰三角形的两边的长分别是6和8，那么这个等腰三角形的周长是&&&&&& 。她要求张霞同学回答，并对她的回答进行评价，在帮助别人的同时，也把自己曾经做错的题目弄懂了。
又如陈金晓同学分析最后一个综合题：
已知：如图，点c是线段ab上的一点，△acm、△cbn是等边三角形，设an、bm的中点分别是h、g，连接ch、cg、hg。
求证：①an=bm
&&&&& ②△cgh是等腰三角形吗？是等边三角形吗？若是，请给出证明；若不是，试说明理由。
她分析本题通过两次全等证出hc=gc，从而得出△cgh是等腰三角形，但忽略了&hcn=&gcb及&ncb=60度，所以当时得出错误的结论：△cgh不是等边三角形。
她找到的类似题目是：
已知：如图，△abc是等边三角形，从点b出发在△abc内作一条射线bf并向外延长，从点c出发在△abc外作一条射线，交射线bf于d，且be=dc，&abe=&acd。
问：△aed是等边三角形吗？若是，请给出证明；若不是，试说明理由。
她让黄祥灿同学回答，相对而言这题简单些，黄祥灿同学很快证出△aed是等边三角形。陈金晓表扬黄祥灿同学证明简单、完整。这两题都是结论开放题，也是近几年中考的热点，学生在互问互答中共进。
整节课都是学生们在提出问题、分析问题、解决问题，再互相补充、互相评价，教师只起点拨、提升作用。
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