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第 二 章 线 性 规 划线性规划的概念 解的概念及性质 单纯形法 线性规划应用线 性 规 划 的 概 念?线性规划问题的导出?线性规划概念和模型 ?线性规划的标准型?线性规划的标准化问 题 的 导 出例2-1 某工厂在生
产过程中需要 使用浓度为80%的硫酸100吨，而市 面上只有浓度为30%，45%，73%， 85%和92%的硫酸出售，每吨价格分 别为400，700，和2500 元，问应购买各种浓度的硫酸各多 少，才能满足生产要求，并使得所 花费用最小？问 题 的 导 出初等数学（简单情形） 用浓度为45%和92%的硫酸 配制80%的硫酸100吨 解法：设取浓度为45%和92%的硫酸 量分别为x1和x2吨，则依据题意有：? x1 ? x2 ? 100 ? ?0.45x1 ? 0.92x2 ? 0.8 ?100问 题 的 导 出线性代数方法 用浓度为30%，45%，73%，85% 和 92%的硫酸配制80%的硫酸100吨解法：设取浓度为30%，45%，73%， 85%和92%的硫酸量分别为 x1 、 x2、 x3、 x4、 x5吨，则依据题意有：? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 100 ? ?0.3x1 ? 0.45x2 ? 0.73x3 ? 0.85x4 ? 0.92 x5 ? 0.8 ? 100 满足xj≥0（j=1，2，3，4，5）管理角度出发：问 题 的 导 出用浓度为30%，45%，73%，85% 和92%的 硫酸，花费最小，配制80%的硫酸100吨 解法：要求成本最小 min Z=400x1+700x2 +0x4+2500x5? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 100 s.t. ? ?0.3x1 ? 0.45x2 ? 0.73x3 ? 0.85x4 ? 0.92x5 ? 0.8 ? 100x j≥0（j=1，2，3，4，5） min: minimize的缩写， “最小化”， s.t. subject to的缩写， “受限制于……”问 题 的 导 出例2-2 某工厂生产A、B、C三种产品，每吨利 润分别为2000元，3000元，3000元；生产单位 产品所需的工时及原材料如下表所示。若供应 的原材料每天不超过9t，所能利用的劳动力日总 工时为3个单位，问如何制定日生产计划，使三 种产品总利润最大？生产每吨产品所需 资源产 品资 源A1 1B1 4C1 7工 时 材 料问 题 的 导 出问题：工时和材料的日可供量已知 求使利润最大的生产方案解：产品A，B，C的日生产量： x1，x2，x3每日工时= x1 + x2 + x3每日消耗材料量= x1 + 4x2 + 7x3每天可得利润（以千元为单位）Z = 2x1 + 3x2 + 3x3max Z ? 2 x1 ? 3x2 ? 3x3 利润最大问 题 的 导 出工时约束 ? x1 ? x2 ? x3 ? 3 ? s.t.? x1 ? 4 x2 ? 7 x3 ? 9 材料约束 ? x ? 0, x ? 0, x ? 0 非负约束 2 3 ? 1 max：maximize， “最大化”例2-3 某饲料公司生产一种鸡饲料，每份饲料问 题 的 导 出为100公斤，饲料中的营养成份要求、配料及 其成本数据如下：配料 营养成分 单位 蛋白质 配料 钙 含量 粗纤维 单位配料成本 大豆粉 玉米粉 石灰石 0.50 0.002 0.08 2.50 0.09 0.001 0.02 0.926 0 0.38 0 0.164 含量要求 ≥22% ≥0.8%且≤1.2% ≤5%应如何配置该鸡饲料，可使成本最低？问 题 的 导 出例2-4 某公司计划生产I和II两种家电产品。两种 产品所需设备A和B的台时数和调试工序所需的 时间，以及每天可用的能力数如下表所示，产 品I的单位利润为2元，产品2的单位利润为1元。 问该公司应如何制定生产计划才能使利润最大？每天可用 能力 15 24 5I 设备A(h) 设备B(h) 调试工序（h） 利润（千元） 0 6 1 2II 5 2 1 1课堂练习一家家电公司准备将一种新型电视机在三家商场进行销 售，每一个商场的批发价和推销费及产品的利润如表所示。 由于该电视机的性能良好，各商场都纷纷争购，但公司每 月的生产能力有限，只能生产1000台，故公司规定：商场 1至少经销100台，至多200台，商场2至少经销300台，商 场3至少经销200台。公司计划在一个月内的广告预算费为 8000元，推销人员最高可用工时数为1500。同时，公司只 根据经销数进行生产，试问公司下个月的市场对策？经销商场 销售利润 (元/台) 广告费 (元/台) 推销工时 (小时/台)问 题 的 导 出商场1 商场2 商场350 80 7012 7 82 3 4定义：对于求取一组变量xj (j=1,2,…..,n)，使之 既满足线性约束条件，又使具有线性的概 念 和 模 型目标函数取得极值的一类最优化问题称为线性规划问题。 max（或min） Z ? c1 x1 ? c2 x2 ? ?? ? cn xn?a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? (?, ?)b1 ? ?a21 x1 ? a22 x2 ? ? ? a2 n xn ? (?, ?)b2 ? s.t.? ? ? ? ?a x ? a x ? ? ? a x ? (?, ?)b mn n m ? m1 1 m 2 2 ? x1 , x2 ,?, xn ? 0 ?? 0,自由? ?概 念 和 模 型线性的含义：指量与量之间按比例、成直线的关系。?严格的比例性生产某种产品对资源的消耗量与产 量成正比?可叠加性生产多种产品对某种资源的消耗量 等于各产品对该资源的消耗量的和一般形式：目标函数概 念 和 模 型max（或min） Z ? c1 x1 ? c2 x2 ? ?? ? cn xn ? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? ( ?, ? )b1 约束条件 ? ? a21 x1 ? a22 x2 ? ? ? a2 n xn ? ( ?, ? )b2 ? s.t. ? ? ? ? ? a x ? a x ? ? ? a x ? ( ? , ? )b mn n m ? m1 1 m 2 2 ? x1 , x2 ,?, xn ? 0 ? ? 0,自由? ? 非负约束x j ( j ? 1,2,?, n) 称为决策变量c j ( j ? 1,2,?, n) 称为目标函数系数bi (i ? 1,2,?, m) 称为资源常数或约束右端常数aij (i ? 1, 2,?, m, j ? 1, 2,?, n) 称为约束系数紧缩形式：概 念 和 模 型max（或min）Z ? ? c j x jj ?1n? n ?? aij x j ? (?, ?)bi i=1,2,…..,m s.t.? j ?1 ?x ? 0 j ? 1,2, ?, n ? j矩阵形式：概 念 和 模 型max（或min）Z ? CX? AX ? (?, ?)b s.t.? ?X ? 0? x1 ? ? ? ? x2 ? X ?? ? ? ? ? ?x ? ? n?称为决策变量向量C ? (c1 , c2 ,?, cn ) 称为目标函数系数向量? a11 ? ? a 21 A?? ? ? ?a ? m1a12 a 22 ? am2? a1n ? ? ? a2n ? ? ? ? ? a mn ? ?称为约束系数矩阵称为资源常数向量或 约束右端常数向量? b1 ? ? ? ? b2 ? b?? ? ? ? ? ?b ? ? m?概 念 和 模 型线性规划模型特点： ① 用一组未知变量（决策变量）表示要求的方案。通常，根据决策变量所代表的 事物的特点可以对变量的取值加以约束， 例如非负约束。 ② 存在一定的限制条件，通常称为约束条 件，这些约束条件可以用一组线性等式 或者线性不等式来表示 ③ 有一个目标要求，并且可以表示为决策 变量的线性函数，称为目标函数，按所 研究问题的不同，要求目标函数实现最 大化或者最小化。标准型的主要特征：① 目标最大；标 准 型maxZ ? c1 x1 ? c2 x2 ? ? ? cn xn② ③?a11 x1 ? a12 x 2 ? ? ? a1n x n ? b1 约束等式； ? ?a 21 x1 ? a 22 x2 ? ? ? a 2 n xn ? b2 ? s.t.? ? ? 变量非负； ?am1 x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn ? bm ? ? x1 , x 2 ,?, xn ? 0 ?④ 右端非负。标准型的紧缩形式：max Z ? ? c j x jj ?1 n标 准 型?n ?? aij x j ? bi s.t.? j ?1 ?x ? 0 ? ji ? 1,2,?, m j ? 1,2,?, n标准型的矩阵形式：max Z ? CX? AX ? b s.t.? ?X ? 0标准型的向量形式：max Z ? ? c j x jj ?1 n标 准 型?n ?? p j x j ? b s.t.? j ?1 ?x ? 0 j ? 1,2,?, n ? j? a1 j ? ? ? ? a2 j ? 其中： p j ? ? ? ?? ? ?a ? ? mj ?把一般的线性规划问题化成标准型的过程 称为线性规划问题的标准化标 准 化方法： 1 目标标准化 min Z 等价于 max ( - Z ) max Z’=-∑cjxj 2 化约束为等式 加松弛变量、减剩余变量 3 变量非负化 做变换 x?j ? ? x j x?j ? 0 或 x j ? x?j ? x?j? x?j? ? 0 4 右端非负标准化举例（练习）：min Z ? ?2x1 ? 3x2 ? x3? x1 ? x 2 ? x3 ? 10 ?3 x ? 2 x ? x ? 8 ? 1 2 3 s.t.? ? x1 ? 3 x 2 ? x3 ? ?1 ? x1 , x 2 ? 0, x3 符号不受限制 ?标 准 化? maxZ ? ? 2x1 ? 3x2 ? ( x3 ? x4 ) ? 0 ? x5 ? 0 ? x6? ? x1 ? x 2 ? ( x3 ? x 4 ) ? x 5 ? 10 ?3 x ? 2 x ? ( x ? ? x ) ? x ? 8 ? 1 2 3 4 6 s.t.? ? ?? x1 ? 3 x 2 ? ( x3 ? x 4 ) ? 1 ? x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 , x6 ? 0 ? ?线 形 规 划 标 准 化 情 形? ??? ? ?目标函数为求极小值 约束条件中含有小于等于 约束条件中含有大于等于 约束条件右端项小于等于零 取值无约束的变量 变量小于等于零?课堂练习 P38 6(1)解 的 概 念 及 性 质?线性规划的图解法 线性规划解的概念??线性规划解的几何意义 线性规划的求解思路?1．什么是图解法？图 解 法线性规划的图解法就是用几何作图的 方法分析并求出其最优解的过程。 求解的思路是：先将约束条件加以图 解，求得满足约束条件的解的集合 （即可行域），然后结合目标函数的 要求从可行域中找出最优解。用作图的方法确定可行域，判断 目标函数的大小，达到求解的目 的图 解 法适用对象： 仅有两个变量的LP问题 步骤： ?建立平面坐标系 ?图解约束条件和非负条件 ?做目标函数等值线 ?平移目标函数等值线 ?联立求解相应约束条件2. 图解法举例 例2-5 maxZ=2x1+3x2图 解 法?1/3x1 +1/3x 2 ? 1 s.t. ?1/3x +4/3x ? 3 ? 1 2 ? x1,x 2 ? 0 ?运用图解法，以求出最优生产计 划（最优解）。由于线性规划模型中只有两个决策变量 ，因此只需建立平面直角坐标系就可以 进行图解了。图 解 法???第一步：建立平面直角坐标系，标出 坐标原点, 坐标轴的指向和单位长度。 用x1 轴表示产品A的产量，用x2 轴 表示产品B的产量。 第二步：对约束条件加以图解。 第三步：画出目标函数等值线，结合 目标函数的要求求出最优解－最优生 产方案。约束条件的图解:每一个约束不等式在平面直角坐标系中都 代表一个半平面，只要先画出该半平面的 边界，然后确定是哪个半平面。怎么画边界图 解 法?怎么确定 半平面以第一个约束条件 1/3 x1+1/3 x2 ?1 为例 说明约束条件的图解过程。如果全部的劳动工时都用来生产A 产品而不生 产B产品，那么A产品的最大可能产量为3吨，计 算过程为： 1/3x1+1/3×0?1 ?x1?3图 解 法这个结果对应着右图中的点A(3,0),同样我们 可以找到B产品最大可能生产量对应的点B(0,3)。 连接A、B两点得到约束 1/3 x1+1/3 x2 ?1 所代表的半平面 的边界:X25C4C 最优点1/3 x1+1/3 x2 ＝1，即直线AB。l1 3B E 2Dl2 1（1/3）x1+(4/3)x2=3C1@ 2@ 3A 4@ 5@ 6@ 7@ 8@ 9@(1/3)x1+(1/3)x2=10x1第二个约束条件的边界－－直线CD: 1/3x1+4/3 x2 =3 两个约束条件及非负条件x1,x2 ?0所代表的公共部 分－图中阴影区，就是满足所有约束条件和非负 条件的点的集合，即可行域。在这个区域中的每 一个点都对应着一个可行的生产方案。图 解 法5C4C最优点l1 3B E 2Dl2 1C（1/3）x1+(4/3)x=3 201@ 2@ 3A 4@ 5@ 6@ 7@ 8@ 9@C(1/3) 1+(1/3)x=1 x 2令 Z=2x1+3x2=c, 其 中 c 为 任 选 的 一 个 常 数 ， 在 图 中 画 出 直 线 2x1+3x2=c,这条直线上的点即对应着一个可行的生产方案，即使 两种产品的总利润达到c。 这样的直线有无数条，而且相互平行，称这样的直线为目标 函数等值线。只要画出两条目标函数等值线，比如令c＝0和c=6， 就能看出目标函数值递增的方向， 用箭头标出这个方向。图中两 条虚线 l1和l2就分别代表 目标函数等值线 2x1+3x2=0 和 2x1+3x2=6, 箭头表示使两种产品的总利润递增的方向。X5C 4C2图 解 法最优点l1 3B E 2Dl2 1C（1/3 1+(4/3)x ）x 2=31x01@ 2 3 4 5 6 7 8 9 C @ A @ @ @ @ @ @(1/3) 1+(1/3)x x 2=15C 4C最优点l1 3B E 2D（1/3）x1+(4/3)x =3 2图 解 法l2 1C01@ 2@ 3A 4@ 5@ 6@ 7@ 8@ 9@C(1/3)x1+(1/3)x=1 2沿着箭头的方向平移目标函数等值线，使其达到 可行域中的最远点E, E点就是要求的最优点，它 对应的相应坐标 x1=1,x2=2 就是最有利的产品组 合，即生产A产品1吨，B产品2吨能使两种产品 的总利润达到最大值 Zmax=2?1+3?2=8（千元）， x1=1,x2=2就是线性规划模型的最优解，Zmax=8 就是相应的目标函数最优值。M ax Z=2 x1 +3 x2x2s. t.图 解 （0，9/4） 法? 1/ 3 x1 +1/ 3 x 2 ? 1 ? ? 1/ 3x1 + 4 / 3 x 2 ? 3 ? x1 ,x 2 ? 0 ?5 4 3 2 1（0，3） E（1，2）（3，0）（9，0）01234C=056C=6789x1例2－6 用图解法求解下面的线 性规划问题：max Z ? 2 x1 ? 5x2G图 解 法x ? x1 ? x 2 ? 4 4 2 ?? x ? 2 x ? 2 ? 2 3 s.t.? 1 2x1+5x2=10 x1 ? x 2 ? 2 ? 2 ? x1 ? 0, x 2 ? 0 A ? 1H-x1+2x2=2BCIx1F01 2D 3 4 x1-x2=2 x1+x2=4E2x1+5x2=0例2－7 用图解法求解下面的线 性规划问题：Gmax Z ? 2 x1 ? 2 x24 3 2 Bx2H-x1+2x2=2图 解 法? x1 ? x 2 ? 4 ?? x ? 2 x ? 2 ? 2 s.t.? 1 ? x1 ? x 2 ? 2 ? x1 ? 0, x 2 ? 0 ? F10 EAC2D 3 I 41x1-x2=2x1 x1+x2=4例2－8 用图解法求解下面的线 性规划问题：min Z ? x1 ? 2 x2X2图 解 法3 ?? x1 ? 2 x 2 ? 0 ? s.t.? x1 ? 3 x1+2x2=4 2 ? x ? 0, x ? 0 2 ? 1 10 1 2 3-x1+2x2=0x1+2x2=6 4 x1x1=3例2－9 用图解法求解下面的线 性规划问题：min Z ? ? x1 ? 2 x2X2 3-x1+2x2=0图 解 法?? x1 ? 2 x 2 ? 0 ? s.t.? x1 ? 3 ? x ? 0, x ? 0 2 ? 1210 1 2 3 4 x1x1=3例2－10 用图解法求解下面的 线性规划问题：max Z ? x1 ? 2 x2X2-x1+2x2=0图 解 法?? x1 ? 2 x 2 ? 0 3 ? s.t.? x1 ? 3 x1+2x2=4 2 ? x ? 0, x ? 0 2 ? 110 1 2 3x1+2x2=64x1x1=3例2－11 用图解法求解下面的 线性规划问题：max Z ? x1 ? 2 x2X2-x1+2x2=4图 解 法?? x1 ? 2 x 2 ? 4 3 ? s.t.? x1 ? x2 ? 1 ? x ? 0, x ? 0 x1+x2=1 2 2 ? 110 1 2 3 4 x1阅读教材P8例4图 解 法阅读教材P8例4图 解 法图 解 法(a)可行域有界 唯一最优解(b)可行域有界 多个最优解(c)可行域无界 唯一最优解(d)可行域无界 多个最优解(e)可行域无界 目标函数无界(f)可行域为空集 无可行解可行域空集最优解无最优解 唯一最优解 无穷多个最优解 没有有限最优解图 解 法有界集 无界集max Z ? CX解 的 概 念可行解： 变量满足所有约束条件的一组值 可行解集： 所有可行解构成的集合 可行域： 可行解集构成n维空间的区域? AX ? b ? ?x ? 0D ? {x | Ax ? b, x ? 0}? AX ? b s.t.? ?X ? 0max Z ? CX? AX ? b s.t.? ?X ? 0解 的 概 念最优解： 使得目标函数达到最优的可行解 最优值： 最优解对应的目标函数值 目的： 求最优解和最优值 求解方法： 单纯形法解 的 概 念先研究AX=b 设 系数矩阵A是m×n矩阵，秩为m， B是A中m×m阶非奇异子矩阵（即 |B|≠0），则称B是线性规划问题 的一个基。 B是由m个线性独立的列向量组成 基向量 基变量B ? ( pr1 , pr2 ,?, prm )xrj ( j ? 1,2,?, m)非基变量： 其余变量? XB A=（B | N） X ? ( x1 , x2 ,?, xn ) ? ? ?X ? N AX=BXB+NXN=bT? ? ? ?解 的 概 念令 非基变量XN=0 得BXB=b 和特解XB =B-1b 结合XN=0 称为对应于B的基本解 基本解个数=基的个数≤Cnm 基可行解 可行的基本解 XB≥0 XN=0 可行基：对应的基本解也是可行解解 的 概 念基可行解 可行的基本解 XB≥0 XN=0 可行基：对应的基本解也是可行解 最优基： 对应的基可行解也是最优 基可行解个数≤基的个数≤Cnm 基可行解的非零分量均为正分量， 其正分量个数≤ m。 退化的基可行解： 基可行解的非零分量个数小于m时， 也就是在基可行解中一个或多于一个的 基变量取零值时解 的 概 念基解 可行解 基可行解 可行解，基可行解，基解的关系例 2-12 考虑问题：max z ? x1 ? x2解 的 概 念?2 x1 ? x2 ? x3 ? ?2 ?x ? 2x ? x ? 2 ? 1 2 4 s.t.? ? x1 ? x2 ? x5 ? 5 ? x j ? 0; j ? 1,2,3,4,5 ?系数矩阵? 2 ? 1 ? 1 0 0? ? ? A ? ? 1 ? 2 0 1 0? ?1 1 0 0 1? ? ?基阵为? ? 1 0 0? ? ? B1 ? ? 0 1 0 ? ? 0 0 1? ? ?? 2 0 0? ? ? B2 ? ? 1 1 0 ? ? 1 0 1? ? ?解 的 概 念课堂练习：P14例9求基本解和基可行解1、基本概念：凸集――设K是n维欧氏空间的一 个点集，若任意两点X（1）∈K，X（2） ∈K的连线上的一切点：凸 集 的 概 念αX（1）+（1-α）X（2） ∈ K（0&α&1），则称K为凸集。?凸组合―设X（1） ，X（2） ，…，X（k） 是n维欧氏空间中的K个点，若存在k个 数μ1， μ2 ，…， μk ,满足凸 集 的 概 念0≤μi≤1, i=1,2, …,k； 则称X=μ1X（1）+μ2X（2）+…+μkX(k) 为X（1）, ，X（2） ，…，X（k）的凸组合。?顶点――设K是凸集，X?K；若K中不 存在两个不同的点X（1） ? K，X（2） ? K 使 X=αX（1）+（1-α）X（2） （0&α&1） 则称X为K的一个顶点凸 集 的 概 念凸集顶点凸集不是凸集? 定理1线性规划问题的可行域是凸集。? 定理2基 本 定 理线性规划问题的基可行解对应于可行 域的顶点。 如果线性规划的可行域有界，则线性 规划的最优目标函数在可行域的顶点上达到， 并且如果同时在几个顶点上都达到最优，则 在这些顶点的凸组合上也达到最优。 若线性规划问题有最优解，一定存在 一个基可行解是最优解。? 定理3? 定理4?线性规划可行解的全体构成一个凸集，每个可行解都对应这个凸集中的一点?小 结每个基可行解对应于可行域的一个顶点。若可行 域非空则必有顶点存在，从而基可行解一定存在。?一个基可行解对应着约束方程组系数矩阵中一组 m! m Cn ? 线性无关的向量，基解的个数不超过 n !(n ? m)!若最优解存在，目标函数的最优值必在可行域的 某个顶点上达到?
运筹学考试时间:
10:00-12:00 考试地点:金融 1、2: (二)201,会计 1、2: (二)106 人资 1、2: (二)203,工商 1、2: (二)205 林经 1...组织、分配、协调和控制,以期达到最佳效率和效益, 而现代物流管理所呈现的复杂性也不是简单算术能解决的, 以计算机为手段的运筹学理论是 支撑现代物流管理的有效...? 运筹学:Operational Research,是一门应用科学。从实际出发解决实际问题的方法。 ? 建模七步:第一步,定义问题;第二步,收集数据;第三步,构造模型;第四步, 验证...本文首先对运筹学做了简单介绍,并回顾了运筹学的产生和历史,同 时介绍了运筹学研究对象、定义和特点,以及运筹学的内容和研究方 法,深入探讨了运筹学自形成以后在...《运筹学》题库_理学_高等教育_教育专区。运筹学习题库 数学建模题(5) 1、某厂生产甲、乙两种产品,这两种产品均需要 A、B、C 三种资源,每种产品的资源消耗 ...运筹学历年真题解法汇总笔记_管理学_高等教育_教育专区。运筹学历年真题解法汇总 2006 年 11 月第 61、63 ● 某公司需要根据下一年度宏观经济的增长趋势预测决定投...运筹学结果 暂无评价 1页 1下载券运​筹​学 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档1 某饲养场有 5 种饲料.已知各种饲料的单位价格和每百公斤饲料的蛋白质、...运筹学II习题解答_理学_高等教育_教育专区。运筹学II习题解答 第七章 决策论 1. 某厂有一新产品,其面临的市场状况有三种情况,可供其选择的营销策略也是 三种,...运筹学毕业论文选题_管理学_高等教育_教育专区。运筹学毕业论文选题 1.最大程度解决某某城市光棍们的单身最小化问题。 2.非线性连续型效用函数的构造方法及其应用 ...《运筹学》复习参考资料 运筹学》第一部分 线性规划问题的求解一、两个变量的线性规划问题的图解法: 两个变量的线性规划问题的图解法: ㈠概念准备:定义:满足所有...
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兰州大学运筹学——线性规划在管理中的应用课后习题题解
线性规划在管理中的应用 5.1 某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的生产。可用的机器设备是限制新产品产量的主要因素，具体数据如下表： 量，使得公司的利润最大化。1、判别问题的线性规划数学模型类型。2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。 3、建立该问题的线性规划数学模型。 4、用线性规划求解模型进行求解。5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。6、若销售部门表示，新产品Ⅰ、Ⅱ生产多少就能销售多少，而产品Ⅲ最少销售18件，请重新完成本题的1-5。解：首先将上述问题编制成如下关系表格：1、本问题的约束条件都是机器设备，所以是资源分配型的线性规划数学模型。 2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，分别设 x1、 x2、 x3为 新产品Ⅰ、新产品Ⅱ、新产品Ⅲ的产量，
则总利润为：0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
决策的限制条件：8x1+ 4x2+ 6x3≤500
铣床限制条件4x1+ 3x2
车床限制条件 3x1
磨床限制条件即总绩效测试（目标函数）为：max z=
0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 3、本问题的线性规划数学模型max z=
0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
8x1+ 4x2+ 6x3≤5004x1+ 3x2
x1≥0、x2≥0、x3≥04、用Excel线性规划求解模板求解 即：最优解（50，25，0），最优值：30元。 5、变量
松弛/剩余变量
目标函数系数范围 :变量
常数项数范围 :约束
187.5（1） 最优生产方案：新产品Ⅰ生产50件、新产品Ⅱ生产25件、新产品Ⅲ不安排。最大利润值为30元。（2）x3 的相差值是0.083意味着，目前新产品Ⅲ不安排生产，是因为新产品Ⅲ的利润太低，若要使新产品Ⅲ值得生产，需要将当前新产品Ⅲ利润0.25元/件，提高到0.333元/件。（3）三个约束的松弛/剩余变量0，75，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，而车床的可用工时还剩余75个工时；三个对偶价格0.05，0，0.033表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额。（4）目标函数系数范围表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。（5）常数项范围表明铣床的可用条件在400到600工时之间、车铣床的可用条件在275工时以上、磨铣床的可用条件在37.5到187.5工时之间。各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元不变。6、若产品Ⅲ最少销售18件，原数学模型就要修改，即增加一个约束条件：
x3≥18 因此问题的数学模型就是：max z=
0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3S．T．
8x1+ 4x2+ 6x3≤5004x1+ 3x2
x3≤150x3≥18x1≥0、x2≥0、x3≥0这是一个混合型的线性规划问题。 代入求解模板得结果如下： 即：最优解（44，10，18），最优值：28.5元。 灵敏度报告：可变单元格终值 44 10 18
终值递减成本0 0 0
阴影价格 0.05 0 0.0 -0. 单元格 $C$34 $D$34 $E$34 约束 单元格名字 x1 x2 x3
名字目标式系数 允许的增量 允许的减量0.5 0.2 0.251E+30 0.05 0. 0.1 0.1 1E+30约束限制值 允许的增量 允许的减量500 350 150 0 18192 1E+30 15 1E+30 1240 144 132 0 18$R$11 实际值 500 $R$12 实际值 206 $R$13 实际值 150 $R$30 实际值 $R$14 实际值0 18即：目标函数最优值为
: 28.5变量
松弛/剩余变量
目标函数系数范围 :变量
常数项数范围 :约束
30（1） 最优生产方案： 新产品Ⅰ生产44件、新产品Ⅱ生产10件、新产品Ⅲ生产18件。最大利润值为28.5元。 （2）因为最优解的三个变量都不为0，所以三个相关值都为0。（3）四个约束的松弛/剩余变量0，144，0，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，新产品Ⅲ的产量也刚好达到最低限制18件，而车床的可用工时还剩余144个工时；四个对偶价格0.05，0，0.033，-0.083表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额，第四个对偶价格-0.083表明新产品Ⅲ的产量最低限再多规定一件，总的利润将减少0.083元。（4）目标函数系数范围表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。（5）常数项范围表明铣床的可用条件在460到692工时之间、车铣床的可用条件在206工时以上、磨铣床的可用条件在18到165工时之间、新产品Ⅲ产量限制在30件以内。各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元，-.083元不变。 5.2 某铜厂轧制的薄铜板每卷宽度为100cm，现在要在宽度上进行切割以完成以下订货任务：32cm的75卷，28cm的50卷，22cm的110卷，其长度都是一样的。问应如何切割可使所用的原铜板为最少？解：本问题是一个套材下料问题，先用穷举法找到所有可能切割的方式：表中列出了所有可能的10种切割方法设上述每种切割方法数量为xi（i=1，2…..10）卷 2、确定目标函数本问题的目标是使所用的原铜板为最少，而所用原铜板数量为：
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10
因此，目标函数为：min
f=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10 3、确定约束条件3x1+2x2+2x3+x4+x5+x6+x7≥75
32cm 规格的薄铜板数量要求
x2+2x4+x6+3x7+2x8+x9≥50
28cm 规格的薄铜板数量要求
x3+3x5+x6+2x8+3x9+4x10 ≥110
22cm 规格的薄铜板数量要求 所以本问题的线性规划数学模型为：min
f=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10
3x1+2x2+2x3+x4+x5+x6≥75x2+2x4+x6+3x7+2x8+x9≥50x3+3x5+x6+2x8+3x9+4x10 ≥110
xi≥0 （i=1，2…..10）
用Excel线性规划求解模型板求解： 即最优解：（18.33 ,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：63.3333因为铜板切割时必须整卷切割所以需要做整数近似。即其结果为：
即最优解：（19 ,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：64 灵敏度分析报告：可变单元格单元格 $C$34 $D$34 $E$34 $F$34 $G$34 $H$34 $I$34 $J$34 $K$34 $L$34名字 最优解 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 终值 18. 递减成本 1 0. 1 1 允许的减量0.25目标式系数 允许的增量0 0. 0. 0. 1E+30 0.E+30 0.E+30 0.1 0.. 11E+30 0.E+30 0.0 0. 0. 1 0.. 11E+30 0.E+30 0.0 0. 0. 约束 单元格 $R$11 $R$12 $R$13 名字
实际值 终值 阴影价格 75 0. 0.0 0. 允许的减量55 50 60约束限制值 允许的增量75 50 1101E+3060 165即：目标函数最优值为
: 63.333变量
松弛/剩余变量
目标函数系数范围 :变量
常数项数范围 :约束
275这是一个统计型的线性规划问题，所以分析价值系数的取值范围和相差都没有意义。 松弛/剩余变量都为0，表示最优方案已达到三种规格薄铜板数量的最低限。三个约束条件的对偶价格-.333、-.278、-.222分别表示三种规格薄铜板数量的最低限再增加一个，将增加原铜板.333cm、.278cm、.222cm。这个数字实际跟薄铜板长度规格相一致。常数项数范围表示三种规格薄铜板数量的最低限在这些范围内，每增一个限额所原原铜板.333cm、.278cm、.222cm不变。这里需要特别指出的是，第一种规格的薄铜板32cm宽，已使三块组合就能比较恰当地用完原铜板，所以这种规格的薄铜板无论增加多少，都不改变用原铜板的比例。 5.3 某医院对医生工作的安排为4小时一个工作班次，每人要连续工作二个班次。各班次需要医生人数如下表：其中，第6班报到的医生要连续上班到第二天的第1班。问在各班开始时应该分别有几位医生报到。若参加1、2、6班的医生需要支付夜班津贴，为了使支付总的夜班津贴为最少，应如何安排各班开始时医生的报到人数。解：第一步：不考虑夜班津贴。 1、 确定决策变量设每个班次开始时安排人数为xi（i=1，2，3，4，5，6） 2、 确定目标函数本问题的目标是每天安排的总人数为最少，而每天安排的总人数为
x1+x2+x3+x4+x5+x6所以目标函数为： min
f=x1+x2+x3+x4+x5+x6 3、 确定约束条件x6+x1≥4
第一班的人数要求x1+x2≥7
第二班的人数要求 x2+x3≥9
第三班的人数要求 x3+x4≥12
第四班的人数要求 x4+x5≥8
第五班的人数要求 x5+x6≥6
第六班的人数要求所以本问题的线性规划数学模型为：min
f=x1+x2+x3+x4+x5+x6S.T.
x6+x1≥4x1+x2≥7
x5+x6≥6xi≥0（i=1，2，3，4，5，6）用Excel线性规划求解模板求解得： 即：第一班安排7人，第三班安排10人，第四班安排2人，第五班安排6人，第二、第六班不安排人。总人数为25人。灵敏度分析报告：可变单元格
$E$34名字 最优解 x2 x3 终值 递减成本 目标式系数 允许的增量 允许的减量7 0 100 0 01 1 10 1E+30 1 0 1$F$34
$R$16x4 x5 x6
实际值 2 6 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1E+30 0 1 0终值 阴影价格 约束限制值 允许的增量 允许的减量7 7 10 12 8 60 1 0 1 0 14 7 9 12 8 63 1E+301 1E+301 21E+303 1E+301 2 1目标函数最优值为
松弛/剩余变量
--1目标函数系数范围 :变量
常数项数范围 :约束
8松弛/剩余变量一栏就是上表的“多余人数”一列是各时间段安排所剩余的人数。 “对偶价格”一栏。第一个常数项由4增加到5，因为还剩下2人，所以不会改变最优值；第二个常数项由7增加到8，因为再没有剩余的人，所以本班必须再多安排一个人最优值解也必须增加1，因为是求最小化问题，所以对偶价格为－1；第三个常数项由9增加到10，刚好将原来剩余的人用上，所以不会改变最优值； 第四个、第六个常数项与第二个常数项一样；第五个常数项由2增加到3，因为再没有剩余的人，所以本班必须再多安排一个人，但下个班就可以再少安排一个人，所以不会改变最优值；本题的这种情况是每一个变量都会影响到两个时段的结果，所以在进行灵敏度分析时也必定要考虑这个因素，这里第一个时段是特殊情况（有资源剩余），其余的时段分析时相邻两个是相互影响的。因此，第2时段为-1，第3时段为0，后面的依次相反。若第2时段为0，则第3时段就为-1。 第二步：考虑夜班津贴。因为1、2、6班为夜班，与这三班安排人员有x1、x2、x3、x5、x6 所以 目标函数为：min
f=x1+x2+x3+x5+x6 约束条件不变所以其线性规划数学模型为：min
f=x1+x2+x3+x5+x6
x6+x1≥4x1+x2≥7
x5+x6≥6xi≥0（i=1，2，3，4，5，6）用Excel线性规划求解模板求解得： 即：总人数还是25人，但每班安排人数有所调整：第一班不安排人，第二班安排7人，第三班安排2人，第四班安排10人，第五班安排0人，第六班安排6人。灵敏度分析报告：可变单元格
$R$16名字 终值 递减成本 目标式系数 允许的增量 允许的减量x1 x2 x3 x4 x5 x6名字
实际值 0 7 2 10 0 6 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1E+301 0 1 1E+30 1 0 1 0 0 1终值 阴影价格 约束限制值 允许的增量 允许的减量6 7 9 12 10 60 0 1 0 0 14 7 9 12 8 62 2 2 1E+302 1E+301E+302 2 2 1E+302目标函数最优值为
松弛/剩余变量
目标函数系数范围 :变量
常数项数范围 :约束
无上限“对偶价格”一栏。第一个常数项由4增加到5，因为还剩下2人，所以不会改变最优值；第二个常数项由7增加到8，由于上段时间已增一个人，这个人本班还上班，所以本也不需要增加人。第三个常数项由9增加到10，前面安排的人都已下班，本班刚好只朋9人，若需求再增加一人，就需要新安排一人所以对偶价格-1；第四个、第五个、第六个常数项与前三个常数项一样；5.4 某塑料厂要用四种化学配料生产一种塑料产品，这四种配料分别由A、B、C三种化学原料配制，三种化学原料的配方及原料价格如下表： 要配制的塑料产品中，要求含有20%的原料A，不少于30%的材料B和不少于20%的原料C。由于技术原因，配料1的用量不能超过30%，配料2的用量不能少于40%。第一次配制的塑料产品不能少于5公斤。请设计一套配料方案，使总的成本为最低。解：设配料用量xi（i=1，2，3，4）总成本=11×（0.3x1+0.4x2+0.2x3+0.15x4）+13×（0.2x1+0.3x2+0.6x3+0.4x4）+12×（0.4x1+0.25x2+0.15x3+0.3x4）=10.7x1+11.3x2+11.8x3+9.45x4 约束条件：0.3x1+0.4x2+0.2x3+0.15x4=0.2(x1+x2+x3+x4)
0.2x1+0.3x2+0.6x3+0.4x4≥0.3(x1+x2+x3+x4)
原料B含量0.4x1+0.25x2+0.15x3+0.3x4≥0.2(x1+x2+x3+x4)
原料C含量 x1≥0.3(x1+x2+x3+x4)
配料1含量 x2≤0.4(x1+x2+x3+x4)
配料2含量 x1+x2+x3+x4≥5
产量要求 xi≥0（i=1，2，3，4，） 可得线性规划数学模型：min
f =10.7x1+11.3x2+11.8x3+9.45x4 S.T.
0.1x1+0.2x2
+0.3x3+0.1x4≥00.2x1+0.05x2-0.05x3+0.1x4≥00.7x1-0.3x2-0.3x3-0.3x4≥0
-0.4x1+0.6x2-0.4x3-0.4x4≤0
x1+x2+x3+x4≥5
xi≥0（i=1，2，3，4，）将模型代入到线性规划求解模板，得结果：即：用配料1，1.5公斤；用配料2，0.1公斤；用配料3，0公斤；用配料4，3.4公斤；
花费总的最低成本49.31元。灵敏度分析报告： 可变单元格目标式单元格 名字 终值 递减成本 允许的增量 允许的减量 系数$C$34
约束x1 x2 x3 x41.5 0.1 0 3.40 0 1.98 010.7 11.3 11.8 9.451.4.1E+30 0.350.14 493.10000011.98 14. 终值0 0.19 0.645 0 -1.9 5 阴影价格7.4 0 0 0.14 0 9.862单元格 名字
$R$16实际值 实际值 实际值 实际值 实际值 实际值 约束限制值0 0 0 0 0 5 允许的增量 允许的减量0.475 0.19 0.645 0.1E+30 1E+300.025 1E+30 1E+30 1.5 1.9 5目标函数最优值为
: 49.31变量
松弛/剩余变量
目标函数系数范围 :变量
常数项数范围 :约束
无上限本问题的相差值栏，x3的相差值为1.98，表示目前配料3的成本11.8太高，无法选用，若该配料的成本再降低1.98元就可以选取用。松弛/剩余变量栏：前五个给条件都表示的是配料或原料的配比关系。松弛/剩余变量为0 关系表示已完全按要求配比，不为0 的表示没有达到配比要求。第五个约束是总产品的产量最低限，松弛/剩余变量为0 表示已达到产量要求。关五个约束的对偶价格表示配料或者说原料不匹配时，对总费用的影响。不为0的对偶价格表示配比每差一个单位都会使总费用的增加量。第五个对偶价格是每增加一公斤的产品，需要增加的费用值。在学数项取值范围栏：前五个约束在常数项在这个范围内，保持上述的对偶价格，而此时的上限都不高，说明这个最优方案中的匹配关系失衡并不严重，若比例失衡将会导致费用的增加比例更大。对五个对偶价格实际上说明了该产品的绝对成本，在这个方案下，生产多少的产品都是这个成本构成。 5.5 某工厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品，产品Ⅰ需经过A、B两种机器加工，产品Ⅱ需经过A、C两种机器加工，产品Ⅲ需经过B、C两种机器加工，产品Ⅳ需经过A、B两种利润=产品价格-原料成本-机器成本=（65-16）×x1+（80-25）×x2+（50-12）×x3+（70-18）×x4-200×（x1/10+x2/20+x4/20）-150×（x1/20+x3/10+x4/10）-225×（x2/10+x3/15）=(65-16-20-150/20) × x1+（80-25-10-225/10）×x2+（50-12-15-225/15）×x3+（70-18-10-15）×x4=21.5 x1+22.5 x2+8 x3+27 x4约束条件：x1/10+x2/20+x4/20≤150
提供可使用的机时数限制
x1/20+x3/10+x4/10≤120
x2/10+x3/15≤70 因此可得线性规划数学模型：max
Z=21.5 x1+22.5 x2+8 x3+27 x4S.T.
2x1+x2+x4≤3000
x1+2x3+2x4≤2400
3x2+2x3≤2100xi≥0（i=1，2,......4）用Excel线性规划求解模板求解得： 即：最优生产方案：产品Ⅰ生产733.3件；
产品Ⅱ生产700件；
产品Ⅲ不安排生产；
产品Ⅳ生产833.3件。可获得的最高利润：54016.7元。 灵敏度分析报告：可变单元格
$C$34名字 最优解 终值 733.3333333700 递减成本0 0 目标式系数 允许的增量 允许的减量21.5 22.522.68$D$34 x2
实际值1E+30 17.1E+300 -25.833.3333333终值 阴影价格 8 25. 16 16. 约束限制值 允许的增量 允许的减量0000000 10.0 5.即：目标函数最优值为
松弛/剩余变量
-------------
5.722目标函数系数范围 :变量
43常数项数范围 :约束
5400此模型的最优解中，四个变量有三个变量不为0，即需要安排生产，另一个为0 的变量表示产品Ⅲ由于成本高或价格低，使所获的利润太低，不值得生产。从相差值栏可见，该产品的单位利润需要再增加25.111元才值得生产。松弛/剩余变量栏中三个数据都为0，表示该决策中所提供三种设备的机时都已全部利用，没有剩余；从对偶价格栏还可以看到三种设备的机时虽然都已用尽，但此时对三种设备增加机时，则设备B所带来的总利润为最多。因此设备B是瓶径。从约束条件的取值范围也可以看到这一点，因为设备B的机时取值范围最小，因此该设备是关键。5.6 某企业生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，市场两种产品的需求量为：产品Ⅰ在1-4月份每月需1万件，5-9月份每月需3万件，10-12月份每月需10万件；产品Ⅱ在3-9月份每月需1.5万件，其他月份每月需5万件。该企业生产这两种产品的成本为：产品Ⅰ在1-5月份生产时每件5元，6-12月份生产时每件4.5元；产品Ⅱ在1-5月份生产时每件8元，6-12月份生产时每件7元；该企业每月生产两种产品的能力总和不超过12万件。产品Ⅰ容积为每件0.2立方米，产品Ⅱ容积为每件0.4立方米。该企业仓库容积为1.5万立方米。要求：1、问该企业应如何安排生产，使总的生产加工储存费用为最少，建立线性规划数学模型并求解，若无解请说明原因。2、若该企业的仓库容积不足时，可从外厂租借。若占用本企业的仓库每月每立方米需1万元的储存费，而租用外厂仓库时其储存费用为每月每立方米1.5万元，试问在满足市场需求情况下，该企业又应如何安排生产，使总的生产加储存费用为最少。解： 1、（1）确定决策变量我们先将问题的关系整理如下表：（2）确定目标函数本问题的目标是全年总的生产加工储存费用为最少，而加工和存储总费用为： 费用=5×（x1+ x2+ x3+ x4+ x5）+4.5×（x6+ x7+x8+ x9+ x10+ x11+ x12）+8×（x13+ x14+ x15+ x16+ x17）+7×（x18+ x19+x20+ x21+ x22+ x23+ x24）+（x49+ x50+x51+ x52+ x53+ x54+ x55+ x56+ x57+ x58+ x59+ x60） 所以，目标函数为：
Min f=5×（x1+ x2+ x3+ x4+ x5）+4.5×（x6+ x7+x8+ x9+ x10+ x11+ x12）+8×（x13+ x14+ x15+ x16+ x17）+7×（x18+ x19+x20+ x21+ x22+ x23+ x24）+（x49+ x50+x51+ x52+ x53+ x54+ x55+ x56+ x57+ x58+ x59+ x60）（3）确定约束条件（3.1）产量关系（以件为单位）： x1+ x13≤+ x14≤+ x15≤+ x16≤+ x17≤+ x18≤+ x19≤+ x20≤+ x21≤+ x22≤+ x23≤+ x24≤120000（3.2）月末剩余数关系（以件为单位）： x25=x1-10000x26= x2+ x25-10000 x27= x3+ x26-10000 x28= x4+ x27-10000 x29= x5+ x28-30000 x30= x6+ x29-30000 x31= x7+ x30-30000 x32= x8+ x31-30000 x33= x9+ x32-30000x34= x10+ x33-= x11+ x34-= x12+ x35-= x13-50000x38= x14+ x37-50000 x39= x15+ x38-15000 x40= x16+ x39-15000 x41= x17+ x40-15000 x42= x18+ x41-15000 x43= x19+ x42-15000 x44= x20+ x43-15000 x45= x21+ x44-15000 x46= x22+ x45-50000 x47= x23+ x45-50000 x48= x24+ x47-50000（3.3）自有仓容限制（m）：3x49≤1000 x51≤1000 x53≤1000 x55≤1000 x57≤1000 x59≤1000（3.4）仓容与库存量关系（m）：30.2 x25+0.4 x37= x49 0.2 x26+0.4 x38= x50 0.2 x27+0.4 x39= x51 0.2 x28+0.4 x40= x52 0.2 x29+0.4 x41= x53 0.2 x30+0.4 x42= x54 0.2 x31+0.4 x43= x55 0.2 x32+0.4 x44= x56 0.2 x33+0.4 x45= x57 0.2 x34+0.4 x46= x58 0.2 x35+0.4 x47= x59 0.2 x36+0.4 x48= x60因此得本问题的纯属规划数学模型： Min f=5×（x1+ x2+ x3+ x4+ x5）+4.5×（x6+ x7+x8+ x9+ x10+ x11+ x12）+8×（x13+ x14+ x15+ x16+ x17）+7×（x18+ x19+x20+ x21+ x22+ x23+ x24）+（x49+ x50+x51+ x52+x53+ x54+ x55+ x56+ x57+ x58+ x59+ x60） S.T.
x1+ x13≤120000x2+ x14≤+ x15≤+ x16≤+ x17≤+ x18≤+ x19≤+ x20≤+ x21≤+ x22≤+ x23≤+ x24≤-x25=10000x2+ x25－x26=10000 x3+ x26－x27=10000 x4+ x27－x28=10000 x5+ x28－x29=30000 x6+ x29－x30=30000 x7+ x30－x31=30000 x8+ x31－x32=30000 x9+ x32－x33=30000 x10+ x33－x34=+ x34－x35=+ x35－x36=- x37=50000x14+ x37－x38=50000 x15+ x38－x39=15000 x16+ x39－x40=15000 x17+ x40－x41=15000 x18+ x41－x42=15000 x19+ x42－x43=15000 x20+ x43－x44=15000 x21+ x44－x45=15000 x22+ x45－x46=50000 x23+ x46－x47=50000 x24+ x47－x48=50000
x49≤1000 x51≤1000 x53≤1000 x55≤15000x56≤1000 x58≤1000 x60≤150000.2 x25+0.4 x37- x49=0 0.2 x26+0.4 x38- x50=0 0.2 x27+0.4 x39- x51=0 0.2 x28+0.4 x40- x52=0 0.2 x29+0.4 x41- x53=0 0.2 x30+0.4 x42- x54=0 0.2 x31+0.4 x43- x55=0 0.2 x32+0.4 x44- x56=0 0.2 x33+0.4 x45- x57=0 0.2 x34+0.4 x46- x58=0 0.2 x35+0.4 x47- x59=0 0.2 x36+0.4 x48- x60=0
i=1-60（这是一个60个变量，60个约束条件的纯属规划数学模型，求解时需要扩充求解模板）。 见《第五章习题61.xls》求解结果是“找不到有用的解”。其原因是后三个月每月都需要两种产品总和150千件，而每月两种产品的总产量只有120千件，所以必须要有90千件产品要有9月份前做好储备，而90件的最小体积为18000m3，而库房只15000m3，所以该问题就无法安排了，所以系统就找不到有用的解了。2、为了后几个月每月较大的需求量，就需要向外厂租借仓库，以补本厂库容不足的要求。这样就需要对外借仓库容量与本厂仓库容量和需求一同考虑。（1）确定决策变量（2） 确定目标函数由于考虑了外借仓库，所以要在目标函数中加外借仓库的存储费用。 费用=5×（x1+ x2+ x3+ x4+ x5）+4.5×（x6+ x7+x8+ x9+ x10+ x11+ x12）+8×（x13+ x14+ x15+ x16+ x17）+7×（x18+ x19+x20+ x21+ x22+ x23+ x24）+（x49+ x50+x51+ x52+ x53+ x54+ x55+ x56+ x57+ x58+ x59+ x60）+1.5×（x61+ x62+x63+ x64+ x65+ x66+ x67+ x68+ x69+ x70+ x71+ x72）所以目标函数为： min f=5×（x1+ x2+ x3+ x4+ x5）+4.5×（x6+ x7+x8+ x9+ x10+ x11+ x12）+8×（x13+ x14+ x15+ x16+ x17）+7×（x18+ x19+x20+ x21+ x22+ x23+ x24）+（x49+ x50+x51+ x52+ x53+ x54+ x55+ x56+ x57+ x58+ x59+ x60）+1.5×（x61+ x62+x63+ x64+ x65+ x66+ x67+ x68+ x69+ x70+ x71+ x72）（3）确定约束条件考虑了外借仓库后，其约束条件就只对仓容与库存量关系加上外借仓容部分。 仓容与库存量关系（m3）： 0.2 x25+0.4 x37= x49+ x61 0.2 x26+0.4 x38= x50+ x62 0.2 x27+0.4 x39= x51+ x63 0.2 x28+0.4 x40= x52+ x64 0.2 x29+0.4 x41= x53+ x65 0.2 x30+0.4 x42= x54+ x66 0.2 x31+0.4 x43= x55+ x67 0.2 x32+0.4 x44= x56+ x68 0.2 x33+0.4 x45= x57+ x69 0.2 x34+0.4 x46= x58+ x70 0.2 x35+0.4 x47= x59+ x71 0.2 x36+0.4 x48= x60+ x72其它部分都与前面的完全相同。因此可得本问题的线性规划数学模型：Min f=5×（x1+ x2+ x3+ x4+ x5）+4.5×（x6+ x7+x8+ x9+ x10+ x11+ x12）+8×（x13+ x14+ x15+ x16+ x17）+7×（x18+ x19+x20+ x21+ x22+ x23+ x24）+（x49+ x50+x51+ x52+ x53+ x54+ x55+ x56+ x57+ x58+ x59+ x60）+1.5×（x61+ x62+x63+ x64+ x65+ x66+ x67+ x68+ x69+ x70+ x71+ x72）S.T.
x1+ x13≤120000x2+ x14≤+ x15≤+ x16≤+ x17≤+ x18≤120000x7+ x19≤+ x20≤+ x21≤+ x22≤+ x23≤+ x24≤-x25=10000x2+ x25－x26=10000 x3+ x26－x27=10000 x4+ x27－x28=10000 x5+ x28－x29=30000 x6+ x29－x30=30000 x7+ x30－x31=30000 x8+ x31－x32=30000 x9+ x32－x33=30000 x10+ x33－x34=+ x34－x35=+ x35－x36=- x37=50000x14+ x37－x38=50000 x15+ x38－x39=15000 x16+ x39－x40=15000 x17+ x40－x41=15000 x18+ x41－x42=15000 x19+ x42－x43=15000 x20+ x43－x44=15000 x21+ x44－x45=15000 x22+ x45－x46=50000 x23+ x46－x47=50000 x24+ x47－x48=50000
x49≤1000 x51≤1000 x53≤1000 x55≤1000 x57≤1000 x59≤10000.2 x25+0.4 x37- x49- x61=0 0.2 x26+0.4 x38- x50- x62=00.2 x27+0.4 x39- x51- x63=0 0.2 x28+0.4 x40- x52- x64=0 0.2 x29+0.4 x41- x53- x65=0 0.2 x30+0.4 x42- x54- x66=0 0.2 x31+0.4 x43- x55- x67=0 0.2 x32+0.4 x44- x56- x68=0 0.2 x33+0.4 x45- x57- x69=0 0.2 x34+0.4 x46- x58- x70=0 0.2 x35+0.4 x47- x59- x71=0 0.2 x36+0.4 x48- x60- x72=0 x i≥0
i=1-72（这是一个72个变量，60个约束条件的纯属规划数学模型，求解时需要扩充求解模板）。 见《第五章习题62.xls》求解结果如下表：外借的库房，在9月份用了3千平方米的容量。灵敏度分析报告：可变单元格
单元格 名字
$H$5x1 x2 x3 x4 x5 x6 终值
递减成本 目标式系数 允许的增量 允许的减量0 0 0 0 0 05 5 5 5 5 4.50 0.2 0 0.2 0.2 00.2 0 0.2 0.2 0 0.2$J$5
$AY$5x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26 x27 x28 x29 x30 x31 x32 x33 x34 x35 x36 x37 x38 x39 x40 x41 x42 x43 x44 x45 x46 x47 x48 x49
43E-110 0 0 03.95003E-100
0 0-4.98357E-120 01.12299E-100 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2 0.2 0 0 0.2 0 0 0 0 1.45 0 0 0.4 0.4 0 0 0.4 0.2 0.3 0.2 0.2 0 14.5 4.5 4.5 4.5 4.50.2 0.2 0.2 0.2 0.90.2 0.2 0.3 0.2 0.2 0 0.4 0 0.4 1.4 0 0.4 0.2 0.3 0.2 0.2 8.3 0.2 0 0.2 0.2 0 0.2 0.2 0.2 0.5 0.7 0.9 1.45 0 0.4 0.4 0.4 1.4 0 0.4 0.2 0.3 0.2 0.2 8.3 18 9. 8 8 8 7 7 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0.4 0.4 0 1.4 0 0.4 0.2 0.3 0.2 0.2 0 1E+30 1E+30 1E+30 1E+300 1E+30 0.2 0.3 0.2 0.2 1E+30 1E+300 1E+30 1E+300 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 2.9 1E+30$BA$5
$BV$5 约束x51 x52 x53 x54 x55 x56 x57 x58 x59 x60 x61 x6 x63 x64 x65 x66 x67 x68 x69 x70 x71 x72 终值-7.1.00324E-120 01.45519E-11
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 3.5 1 0 0 0 0 0 20.75 1.5 1.5 0.5 0.5 4 1.5 0.5 0.5 0 0.5 0.5 21.25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 0.5 0.5 1E+30 1E+30 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1 1 3.5 1 1 1 1E+301 1 20.75 1.5 1.5 0.5 0.5 4 1.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 21.25单元格 名字
$BW$28阴影价格 约束限制值 允许的增量 允许的减量0 0 0 0 0 0 0 0 -0.2 -0.5 -0.7 -0.9 5 5 5 5 5 4.5000 000 000 000 000 000
1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30
0 0-7.1.00324E-120 01.45519E-11
01.0.9.1.0.4.9.4.3.81943E-11 1.45519E-11 4.5 4.5 4.7 5 5.2 5.4 8 8 8 8 8 7 7 7 7.2 7.5 7.7 7.9 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.5 0 0 0 0 0 -1 -1 2.5 0 -1 -1 -1.5 -1 -1 19.75
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30
1E+30 1E+30
1E+30 本问题灵敏度详细分析太麻烦，从略。5.7 某快餐店坐落在一个远离市区的旅游点中，平时游客不多，而在除冬季外每个双休日游客都比较多。该快餐店有两名正式职工，正式职工每天工作8小时，且每个时间段都至少要有一个正式职工在上班，其余工作由临时工来承担，临时工每班工作4小时。在双休日每天上午10时开始营业到下午10时关门。根据游客就餐情况，在双休日每个营业时间段所已知一名正式职工10点开始上班，工作4小时后休息1小时，而后再工作4小时；另一名正式职工13点开始上班，工作4小时后休息1小时，而后再工作4小时。临时工每小时的工资为4元。1、在满足对职工需求的条件下，如何安排临时工的班次，使得使用临时工的成本为最小？2、这时付给临时工的工资总额为多少？一共需要安排多少个班次的临时工？请用剩余量来说明如果安排一些每班工作3小时的临时工班次，可使得总成本更小。3、如果临时工每班工作时间可以是3小时，也可以是4小时，那么应如何安排临时工的班次，使得使用临时工的总成本为最小？这样比第1问的结果能节省多少费用？这时要安排多少临时工的班次？解：1、从上午10 时到下午10 时分成12 个班次，设xi 表示第i 班次安排的临时工的人数，则快餐店需要支付的最少工资关系：min f＝16（x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9）+12x10+8x11+4x12每班能安排人数和所需人数的关系：s．t．
＋1 ≥ 10x1＋x2＋x3
x1＋x2＋x3＋x4
＋2 ≥ 9x2＋x3＋x4＋x5
＋1 ≥ 3x3＋x4＋x5＋x6
＋2 ≥ 3x4＋x5＋x6＋x7
＋2 ≥ 3x5＋x6＋x7＋x8
＋1 ≥ 6x6＋x7＋x8＋x9
＋2 ≥ 12x7＋x8＋x9＋x10
＋1 ≥ 12x8＋x9＋x10＋x11＋1 ≥ 7 x9＋x10＋x11＋x12＋1 ≥ 7x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12≥ 0因此本问题的线性规划数学模型：min f＝16x1+16x2+16x3+16x4+16x5+16x6+16x7+16x8+16x9+12x10+8x11+4x12
≥9x1＋x2＋x3
x1＋x2＋x3＋x4
≥7x2＋x3＋x4＋x5
≥2x3＋x4＋x5＋x6
≥ 1x4＋x5＋x6＋x7
≥ 1x5＋x6＋x7＋x8
≥ 5x6＋x7＋x8＋x9
≥10x7＋x8＋x9＋x10
≥ 11x8＋x9＋x10＋x11
≥ 6 x9＋x10＋x11＋x12
≥ 6x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12≥ 0将该模型代入到线性规划求解模板得结果： 其解为：x1＝8，x2＝1，x3＝1，x4＝0，x5＝0，x6＝0，x7＝1，x8＝4，x9＝5，x10＝1，x11＝0，x12＝0 最优值为332。在满足对职工需求的条件下， 在10 时新安排临时工8个 ； 11 时新安排临时工1个； 12 时新安排临时工1个； 16 时新安排临时工1个； 17 时新安排临时工4个； 18 时新安排临时工5个； 19 时新安排临时工1个。全天共安排21个临时工，其中18时以前安排的20人是连续上四小时班，19时安排的一人上3小时班。可使临时工的总成本最小为332元。如下表所示：灵敏度分析报告：可变单元格
$N$34 约束
$R$17名字 最优解 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12
实际值 终值 递减成本 目标式系数 允许的增量 允许的减量8 1 0 1 0 0 5 0 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 4 16 16 16 16 16 16 16 16 16 12 8 4 1E+304 12 0 4 4 0 0 4 4 1E+30 1E+30 4 12 0 4 0 12 8 0 0 12 8 4终值 阴影价格 约束限制值 允许的增量 允许的减量8 9 9 10 2 1 64 12 0 0 4 12 08 9 9 7 2 1 10 0 1 3 0 0 50 0 0 1E+300 0 1E+30$R$18
$R$22实际值
实际值5 10 11 6 60 4 12 0 05 10 11 6 61 1 0 5 00 5 1 0 0 2、这时付给临时工的工资总额为332 元，一共需要安排83个临时工的班次。 根据剩余变量的数字分析可知，可以让10 时安排的8 个人中留3人工作3 小时，就可以将13-14时多余的3个工时省下来；同时17 时安排的4个人工作3 小时，也可将20时的4个工时省下来使得总成本更小。这时只有12-13时间段剩余1人，其它时间段都没有剩余的人员，所以总的班次只用76个，总费用将是76×4=304元。3、设在10：00-11：00 这段时间内有x1 个班是3 小时，x2个班是4 小时； 设在11：00-12：00 这段时间内有x3个班是3 小时，x4个班是4 小时； 其他时段也类似。即：3小时
x22则：快餐店需要支付的最少工资关系：：min z =12（x1+x3+x5+x7+x9+x11+x13+x15+x17+x19）+8x21+4x23
16（x2+x4+x6+x8+x10+x12+x14+x16+x18）+12x20+8x22+4x24
每班能安排人数和所需人数的关系：S．T
x1＋x2 ＋x3＋x4
＋1 ≥ 10x1＋x2＋x3 ＋x4＋x5＋x6
x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8
＋2 ≥ 9x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10
＋1 ≥ 3x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11＋x12
x8＋x9＋x10＋x11＋x12＋x13＋x14
x10＋x11＋x12＋x13＋x14＋x15＋x16
x12＋x13＋x14＋x15＋x16＋x17＋x18
＋2 ≥ 12x14＋x15＋x16＋x17＋x18＋x19＋x20
＋1 ≥ 12x16＋x17＋x18＋x19＋x20＋x21＋x22
＋1 ≥ 7 x18＋x19＋x20＋x21＋x22＋x23＋x24
＋1 ≥ 7xi ≥0
i=1,2,…,24即可得线性规划数学模型：min z =12x1+12x3+12x5+12x7+12x9+12x11+12x13+12x15+12x17+12x19+8x21+4x23
16x2+16x4+16x6+16x8+16x10+16x12+16x14+16x16+16x18+12x20+8x22+4x24
x1＋x2 ＋x3＋x4
≥ 9x1＋x2＋x3 ＋x4＋x5＋x6
x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8
≥7x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10
≥ 2x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11＋x12
x8＋x9＋x10＋x11＋x12＋x13＋x14
x10＋x11＋x12＋x13＋x14＋x15＋x16
x12＋x13＋x14＋x15＋x16＋x17＋x18
≥ 10x14＋x15＋x16＋x17＋x18＋x19＋x20
≥11x16＋x17＋x18＋x19＋x20＋x21＋x22
≥6 x18＋x19＋x20＋x21＋x22＋x23＋x24
≥ 6xi ≥0
i=1,2,…,24将该模型代入到线性规划求解模板得结果： 其解为：在满足对职工需求的条件下，10 时安排8 个临时工，其中3个3小时的，5个4小时的； 11 时新安排1个4小时的临时工； 13 时新安排1个3小时的临时工； 16 时新安排1个4小时的临时工； 17 时新安排4个3小时的临时工； 18 时新安排5个4小时的临时工； 19 时新安排1个3小时临时工。全天共安排21个临时工，可使临时工的总成本最小为300元。这样能比第一种方案节省：332-300=32 元。 灵敏度分析报告：可变单元格
单元格名字 最优解 x2
x18 x19 x20 x21 x22 x23
名字 终值 递减成本 目标式系数 允许的增量 允许的减量3 5 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 4 0 0 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 16 12 16 12 16 12 16 12 16 12 16 12 16 12 16 12 16 12 12 8 8 4 4 0 0 0 0 1E+300 0 1E+30 1E+300 1E+30 1E+30 1E+300 0 0 1E+300 0 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0终值 阴影价格 约束限制值 允许的增量 允许的减量8 94 48 90 05 0$AA$11
实际值$AA$13
实际值9 7 2 1 1 5 10 11 6 64 4 4 4 4 4 4 4 4 49 7 2 1 1 5 10 11 6 61 3 0 1 4 1 1 0 4 00 5 1 0 1 0 5 1 0 0 5.8 某咨询公司受厂商的委托对新上市的产品进行消费反映调查。被调查对象分为上班族和休闲族，而调查时间在周一至周五与双休日得到的结果大不相同。委托厂商与该公司签订的业务合同规定：（1）必须调查3000个消费对象；（2）周一至周五与双休日被调查的总人数相等； （3）至少要调查1200个上班族对象； （4）至少要调查800个休闲族对象。1、请建立该问题的线性规划数学模型，以确定在不同时间调查各种对象的人数，使得总的调查费用为最少。2、求解该模型，并对结果进行灵敏度分析。 解：1、（1）确定决策变量设x1为上班族周一至周五调查人数； x2为上班族双休日调查人数；x3为休闲族周一至周五调查人数； x4为休闲族双休日调查人数。（2）确定函数本问题的目标是总的调查费用为最少，而总的调查费用为：
35x1+40x2+25x3+28x4
所以目标函数为：min
35x1+40x2+25x3+28x4（3）确定约束条件x1+x2+x3+x4≥3000
必须调查3000个消费对象;x1-x2+x3-x4=0
周一至周五与双休日被调查的总人数相等；
x1+x2≥1200
至少要调查1200个上班族对象；x3+x4≥800
至少要调查800个休闲族对象。所得线性规划数学模型：min
35x1+40x2+25x3+28x4S.T.
x1+x2+x3+x4≥3000
x1-x2+x3-x4=0x1+x2≥1200x3+x4≥800
x1，x2，x3，x4≥0代入线性规划求解模板得结果： 按此方案的调查费用为最少：91500元。
灵敏度分析报告：可变单元格
单元格名字 x1 x2 x3 x4
名字 终值 递减成本 目标式系数 允许的增量 允许的减量
15000 2 0 035 40 25 282 1E+30 10 210 2 2 53终值 阴影价格 约束限制值 允许的增量 允许的减量26.5 -1.5 10 00 8001E+30 1000600 600 $R$11 实际值 3000
$R$12 实际值 $R$13 实际值 1200
$R$14 实际值 1800即：目标函数最优值为
: 91500变量
松弛/剩余变量
目标函数系数范围 :变量
常数项数范围 :约束
1800 5.9 西兰物业公司承担了正大食品在全市92个零售点的肉类、蛋品和蔬菜的运送业务。运送业务要求每天4点钟开始从总部发货，送完货时间必须在7：30前结束（不考虑空车返回时间）。这92个零售点每天需要运送货物0.5吨，其分布情况为：5公里以内为A区，有36个点，从总部到该区的时间为20分钟；10公里以内5公里以上的为B区，有26个点，从总部到该区的时间为40分钟；10公里以上的为C区，有30个点，从总部到该区的时间为60分钟；A区各点间运送时间5分钟；B区各点间运送时间10分钟；C区各点间运送时间20分钟；各区之间运送时间20分钟。每点卸货、验收时间为30分钟。本公司准备购买规格为2吨的运送车辆，每车购价5万元。请用线性规划方法确定每天的运送方案，使投入的购买车辆总费用为最少。解：由于每天运送货物的总时间为210分钟，因此每种车辆的可能路线是有限的，我们先用穷举法将它们都找出来。（因为载满一车货可以运送几个点，而各点间的运送时间短，所以只考虑一个车每天只运送一趟） 1、 确定决策变量设各种可能的运输方案运输次数为xi，i=1,2…….12. 2、 确定目标函数本问题的目标是使投入的购买车辆总费用为最少，而实际上总的运输时间为最少时，也就确定了最少的车辆数量，本问题最少的运输时间为：155x1+170x2+170x3+175x4+185x5+185x6+190x7+200x8+180x9+190x10+200x11+210x12
3、 确定约束条件根据上表所述，可以得以下三个约束关系：4x1+3x2+3x3+2x4+2x5+2x6+x7+x8+x9+0x10+0x11+0x12≥36
A区运量 0x1+1x2+0x3+2x4+1x5+0x6+2x7+1x8+3x9+4x10+3x11+2x12≥26
B区运量 0x1+0x2+1x3+0x4+1x5+2x6+ x7+2x8+0x9+0x10+ x11+2x12≥30
C区运量 得线性规划数学模型：min z =155x1+170x2+170x3+175x4+185x5+185x6+190x7+200x8+180x9+190x10+200x11+210x12S.T.
4x1+3x2+3x3+2x4+2x5+2x6+x7+x8+x9+0x10+0x11+0x12≥360x1+1x2+0x3+2x4+1x5+0x6+2x7+1x8+3x9+4x10+3x11+2x12≥26 0x1+0x2+1x3+0x4+1x5+2x6+ x7+2x8+0x9+0x10+ x11+2x12≥30代入线性规划求解模板得结果： 最少的运输时间4235小时。需要车辆23台，最小的购车费用23*5=115万元。 灵敏度分析报告： 可变单元格 单元格 $C$34 $D$34 $E$34 $F$34 $G$34 $H$34 $I$34 $J$34 $K$34 $L$34 $M$34 $N$34
约束 单元格 $R$11名字 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12
名字 实际值终值 递减成本 目标式系数 0 0 0 0 0 15 0 0 6 2 0 05 10 2.5 5 7.5 0 2.5 5 0 0 2.5 5155 170 170 175 185 185 190 200 180 190 200 210允许的增量 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 5 1E+30 1E+30 1.25 1.1E+30 1E+30
允许的增量 2.允许的减量5 10 2.5 5 7.5 110 2.5 5 2.5 1.2.5 5
允许的减量6终值 阴影价格 约束限制值 3637.536 $R$12 $R$13实际值 实际值26 3047.5 5526 301E+30 68 2.即：目标函数最优值为
: 4235变量
松弛/剩余变量
目标函数系数范围 :变量
常数项数范围 :约束
36这里从对偶价格可见，A区每增加一个点，需要增加投入37.5分钟；B区每增加一个点，需要增加投入47.5分钟；C区每增加一个点，需要增加投入55分钟。这完全符合实际。 若直接用购车数量最少做为目标可将线性规划数学模型改为：min z =x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12S.T.
4x1+3x2+3x3+2x4+2x5+2x6+x7+x8+x9+0x10+0x11+0x12≥360x1+1x2+0x3+2x4+1x5+0x6+2x7+1x8+3x9+4x10+3x11+2x12≥26 0x1+0x2+1x3+0x4+1x5+2x6+ x7+2x8+0x9+0x10+ x11+2x12≥30代入线性规划求解模板得结果：
即整理如下表：但车辆台数为非整数，这是不合理的，但要去尾取整或四舍五入也都肯定不合理。所以对这类问题这种方法还是有局限性。好则线性规划有专门处理这类问题的方法------整数规划。若用整数规划得以下结果：
即需要车辆23台，最小的购车费用23*5=115万元。5.10 某公司生产A、B、C、D四种规格的电子产品，这四种产品可以分别在五个不同的生产车间单独制造，这五个车间单独制造一件产品所需要时间、各车间可提供的总可制造时间及每件产品的利润如下表：该公司销售人员提供信息：（1） 产品A的销售数量不会超过1500件； （2） 产品B的销售数量在500-900件之间； （3） 产品C销售数量不会超过6000件；（4） 产品D至少能销售800件，在此基础，生产多少能销售多少。 请制定一个生产方案，使得该公司的总利润为最大。 解：1、 确定决策变量分别设产品A、B、C、D的产量为x1、x2、x3、x4。2、 确定目标函数本问题的目标是使得该公司的总利润为最大，而总利润为20x1+18x2+24x3+30x4。 所以目标函数为：Max Z= 20x1+18x2+24x3+30x4 3、 确定约束条件
时间限制：5x1+8x2+5x4≤200006x1+3x2+6x3≤+2x3+3x4≤160002x1+3x2+4x3+4x4≤+4x2+2x4≤15000 产量限制：x1≤1500
产品A的销售数量不会超过1500件 x2≤900x2≥500
产品B的销售数量在500-900件之间 x3≤6000
产品C销售数量不会超过6000件 x4≥800
产品D至少能销售800件所以得本问题的线性规划数学模型：
Max Z= 20x1+18x2+24x3+30x45x1+8x2+5x4≤200006x1+3x2+6x3≤+2x3+3x4≤160002x1+3x2+4x3+4x4≤+4x2+2x4≤15000x1≤1500
x2≤900x2≥500
x1、x2、x3、x4 ≥0用求解模型板求得结果：
即：安排产品A、B、C、D的产量分别为、件，使得最多的利润为97200元。可变单元格 单元格 $C$34 $D$34 $E$34 $F$34
约束 单元格 $R$11 $R$12 $R$13 $R$14 $R$15 $R$16 $R$17 $R$18 $R$19 $R$20名字 x1 x2 x3 x4
名字 实际值 实际值 实际值 实际值 实际值 实际值 实际值 实际值 实际值 实际值终值 0 800
终值 16450递减成本 目标式系数0 0 0 020 18 24 30允许的增量4 1E+30 4 1E+30
允许的增量 1E+30
1E+30 338.0952381400 1E+30 225允许的减量8 4 4 22
允许的减量00 900
1E+30 递减成本 目标式系数
0 2 0 0 4 0 0 22即：目标函数最优值为
: 97200变量
松弛/剩余变量
目标函数系数范围 :变量
常数项数范围 :约束
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