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三角函数的周期性.以及y=sinx.y=cosx的有界性是试题经常考查的重要内容.要掌握形如y=Asin(ωx+)或y=Acos(ωx+)的函数的周期的求法,灵活应用y=sinx.y=cosx的有界性研究某些类型的三角函数的最值问题. 【】
题目列表(包括答案和解析)
在中，内角A，B，C所对的分别是a,b，c。已知a=2，c=,cosA=.（I）求sinC和b的值；（II）求的值。【考点定位】本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角和余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查基本运算求解能力.&
若三角函数的部分图象如下,则函数的解析式,以及的值分别为【&& 】.A.,& B.,& C.,& &D.,& &
若三角函数的部分图象如下,则函数的解析式,以及的值分别为【&&】.A．,B．,C．,D．,
由已知得,,, ,, ,,, 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C. 答案:C. 【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.
在中，内角A，B，C所对的分别是a,b，c。已知a=2，c=,cosA=.（I）求sinC和b的值；（II）求的值。【考点定位】本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角和余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查基本运算求解能力.
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A（一）学习指导
第一章函数和极限
一、关于函数的四个特性
1． 函数的有界性
M?0，?x?A,有f(x)?M，则称定义1
设y?f(x)在数集A上有定义，若?
y?f(x)在A上为有界函数，否则，即?M?0，?x0?A,有f(x0)?M，则称y?f(x)在A上为无界函数.
几何上，若能找到两条平行的关于x轴对称的水平直线y?M (M?0)，使y?f(x)在A上的图像夹在两直线y??M之间的，则称y?f(x)在A上为有界函数．而无界函数是找不到具有上述性质的两条平行水平直线的．
分析上，若证明y?f(x)在A上有界，则只要找到一正数M，使?x?A，有f(x)?M即可．而若证明y?f(x)在A上无界，则?M?0，由f(x)?M，只要找A上一点x0，使f(x0)?M即可．这个x0既可由不等式f(x)?M解x求得，又可用观察法．
定义2 设y?f(x)在数集A上有定义，若?p,q?R，?x?A，有q?f(x)?p，则称y?f(x)在A上是有上界p，下界q的有界函数．若?p?R，?x?A，有f(x)?p（或?q），则称y?f(x)在A上是有上界p（或下界q）的函数．
例1 证明y?f(x)?1在x?1上为有界函数；在x?0上是无界函数． x
1?1，故?M?1?0，?x:x?1，有f(x)?1．即x证 因?x:x?1，有f(x)?
y?f(x)?1在x?1上为有界函数． x
111?M，x?，于是?M?0，?x0??0，xM2M
当x?0时，?M?0，由f(x)?
有f(x0)?2M?M． 故y?f(x)?1在x?0上为无界函数． x
例2 证明y?f(x)?xsinx在(??,??)上为无界函数．
证:?M?0，由f(x)?xsinx?M，因sinx?1，x?2k???，k?0,?1,? 2
令k0?[M]?1，?x0?2k0????(??,??)，有f(x0)?x0?k0?M， 2
故y?f(x)?xsinx在(??,??)上为无界函数．
2． 函数的单调性
定义:若?x1,x2?A，x1?x2，有f(x1)?f(x2)（或f(x1)?f(x2)），则称y?f(x)在A上为严格单调上升（或单调下降）函数，简称单调上升（或单调下降）函数，用J（或K）表示．
注：y?f(x)在A上单调下降的箭头表示不可为“L”．
若?x1,x2?A，x1?x2，有f(x1)?f(x2)（或f(x1)?f(x2)），则称y?f(x)在A上为一般单调上升（或单调下降）函数．
在书本中若无特殊说明，函数单调性讨论都指严格单调性的讨论．
对数列?xn?：
若?n有xn?1?xn?0（或?0），则称?xn?为单调上升（或下降）数列．
若?n有xn?1?xn?0（或?0），则称?xn?为一般单调上升（或下降）数列．
注：验证一个函数y?f(x)在区间A上的单调性，根据定义，必须在A上任取两点来比较其函数值大小（在第三章可用导数符号来讨论函数单调性）．
例3若y?f(x)在[?l,l]上为偶函数，又f(x)在[0,l]上J。
证明y?f(x)在[?l,0]上K。
证:?x1,x2?[?l,0]，?l?x1?x2?0，l??x1??x2?0．
因f(x)为偶函数，又在[0,l]上J，所以f(x2)?f(x1)?f(?x2)?f(?x1)?0，
故y?f(x)在[?l,0]上K．
3． 函数的奇偶性
?x?A，?x?A，⑴定义：若y?f(x)在对称区间A上有定义．此时，有f(?x)??f(x)
（或f(?x)?f(x)），则称y?f(x)在A上为奇函数（或偶函数）．
几何上，若y?f(x)在A上为奇（或偶）函数，则y?f(x)在A上的图像关于原点（或y轴）对称．
⑵y?f(x)在对称区间A上非奇非偶函数的判定：
几何上，若曲线y?f(x)在A上图像既不关于y轴对称，又不关于原点对称，则y?f(x)在A上必是非奇非偶函数．
分析上，它是奇偶性定义的否定命题．因此只要验证?x1?A，x2?A，使得f(?x1)??f(x1)，同时f(?x2)?f(x2)，则y?f(x)在A上为非奇非偶函数．
注意：上述两式绝不是f(?x)??f(x)，f(?x)?f(x)．
⑶由函数的奇偶性的几何特性，可以容易地把定义在[0,l]上的函数y?f(x)在
[?l,0]进行延拓，以得到一个新的函数y?F(x)，使y?F(x)在[?l,l]上为奇函数或偶函数．
①把y?f(x)，x?[0,l]，f(0)?0作关于原点对称的图像，如图1?1所示．于是
0?x?l?f(x)?F(x)??0x?0
??f(?x)?l?x?0?
在[?l,l]上为奇函数．
② 把y?f(x)，x?[0,l]作关于y轴对称图像，如图1?2所示．于是
0?x?l?f(x)F(x)???f(?x)?l?x?0
在[?l,l]上为偶函数．
例4 讨论下列函数的奇偶性：
⑴y?f(x)?ln(x?x2?1)
（lnx?logex，它是以一个特殊无理数e?2.7182818?为底数的对数函数） 解：?x?(??,??)，f(?x)?f(x)?ln(?x?x2?1)?ln(x?x2?1)
?ln[(?x?x2?1)(x?x2?1)]?0，f(?x)??f(x)．
故y?f(x)?ln(x?x2?1)在(??,??)上为奇函数．
⑵y?f(x)?cos3x
解：?x?(??,??)，f(?x)?[cos(?x)]3?cos3x?f(x)．
故y?f(x)?cos3x在(??,??)上为偶函数．
注：y?x是奇函数．但对y?(cosx)不要因看到指数3就误认为是奇函数． 33
⑶y?f(x)?x?cosx
解：?x0???(??,??)，
f(??)????1，f(?)???1，f(??)?f(?)，f(??)??f(?)．
故y?f(x)?x?cosx在(??,??)是非奇非偶函数．
注：下面证明对吗：因?x?(??,??)，f(?x)??x?cosx，f(?x)?f(x)，f(?x)??f(x)，故y?f(x)?x?cosx为非奇非偶函数．
4． 函数的周期性
定义：设y?f(x)的定义域为一无限区间，例如：(??,??)．若?T?0，?x?(??,??)，有f(x?T)?f(x)，则称y?f(x)是周期为T的函数．
一般说来，高等数学中讨论的周期T都是指最小正周期． 例如：y?f(x)?cos2x?1?cos2x的周期为?． 2
如果y?f(x)的周期为T，则?T,?2T,?,?nT,?都为周期，即f(x?nT)?f(x)． 如果y?f(x)的周期为T，则只要知道y?f(x)在一个长度为周期的区间（例如：
数值． TT,]）上的表达式，就可利用周期性知道y?f(x)在其定义域内所有点的函22
例5 y?f(x)?tanx是周期为?的奇函数，f(x)?tanx在[0,)上的函数值已知， ?
例如：tan?23????1，则f(?)?f(6??)?f(?)??f()??1． 44444
例6 设y?f(x)周期为1，0?x?1时，f(x)?x，试作出y?f(x)在[?2,2]上的图像，并求：f(?)；f(5)．
解：y?f(x)在[?2,2]上的图像如1?3所示． 53
5111f(?)?f(?2?)?f()?， 3333
f(5)?f(5?0)?f(0)?0．
例7 设y?f(x)?x?[x]?(x)，试证明y?f(x)是周期为1的函数，并求f(?10.2)． 证：因?x?(??,??)，[x?1]?[x]?1，
f(x?1)?x?1?[x?1]?x?1?[x]?1?x?[x]?(x)?f(x)，
故f(x)?(x)是周期为1的函数．
f(?10.2)?(?10.2)?(?11?0.8)?(0.8)?0.8?[0.8]?0.8．
注：[x]是不超过x的最大整数，而(x)?x?[x]是表示一个正小数或零，并且x?[x]?(x)，当0?x?1时，f(x)?(x)?x?[x]?x，因此，f(x)?(x)?x?[x]就是例6中的函数．
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