数学题目球解析，如果可以的话_百度知道突然想到一个可能更简单的解释数学的方法，求点评一下 | 死理性派小组 | 果壳网 科技有意思
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可能很多人都认为数学是一种复杂的东西，必然是在研究非常高深的问题，也必然是神秘的……数学的确可以很复杂，也的确可以很高深……但我想说的并不是这个……但实际上数学不是是一种好像大多数人所想象的那么神秘的东西……用个历史上曾经出现过的比喻（维也纳学派的数学家以及哲学家们就是这样看数学的），数学所研究的就是“写文章”（至于数学为什么会有这么多的应用，这么高端大气上档次，下文会提）……不过，数学研究的这种写文章的方式，不是小说那种文雅而灵动的方式，不是演讲那种激情而有煽动力的方式，也不是说明书那种简洁而精炼的方式，数学所研究的写文章的方式，是一种“尽可能完整和精确的表达意思”的方式……这里有一个麻烦，就是“意思”是什么意思……幸好，做过阅读理解题的朋友都知道有些时候我们需要“结合背景考虑”（尽管来说我一点都不擅长做阅读理解题，至少我认为那些阅读理解题所引用的文章对于“背景”的描述和文章本身的叙述方式都不怎么完整和精确，不过它依旧可以用在这里）……因为数学需要“尽可能完整和精确”，所以数学也会“尽可能完整和精确”地给出“背景”（也就是说，谢天谢地，我们不用去找隐含的东西了），一般情况下我们把这种被提供的“背景”称之为“公理系统”……这个时候，我们终于可以在这里说明一部分“意思”的意思了……首先可以考虑一个陈述的最简单的两种“意思”：“与背景所提供的信息一致”和“与背景所提供的信息不一致”……当我们给出一个“与背景和前文所提供的信息中的一部分一致”的陈述，并且用来描述某一个在背景和前文中没有出现的新词的时候，我们就下了一个“定义”……很多时候，哪怕是在同一个背景下，这种定义也不是唯一的，因此在数学上，经常能够看到对于同一个概念有多种不同的定义，并且不同的定义之间还可以相互证明，如果我们采用其中一个作为定义，另一个就会作为定理被证明的情况（其实公理系统中的一部分公理在这里的表现也是类似的，例如实数域的最小上界公理可以证明一个有关于最大下界的定理，而如果我们把这个定理挪到公理的位置来替代最小上界公理，则原先的最小上界公理就可以被作为定理而被证明）……上面我们提到了定理，定理就是在“给定的公理、定义和在这一组公理和定义下的定理”下被证明为真的陈述，用个更简单的形容，就是“与背景和前文所提供的信息一致”的陈述，简单吧……这正是数学所做的事情（感谢罗素和怀特海，他们对此贡献卓著）……那么为什么数学可以应用到方方面面呢？……我们不妨想一下，我们不能在什么样的给定的背景下写文章？……至少我很难找到这样的背景……因为我们几乎可以任意地给出背景，这也就代表着，几乎对于任何学科的任何理论，只要我们能尽量完整和精确地描述其背景，那么我们就可以用尽可能完整和精确的方式在这个背景下写出文章来……为什么数学的证明可以用于几乎任何学科的任何理论，并且基本上都是正确的？因为在这个情况下被数学证明的，这就代表着“与学科的背景和前文一致”，也就是说，一开始在这个学科的背景（一些观测和一些假设）被肯定的情况下，这种结论就已经被肯定了，只要我们完整和精确地表达出来，我们就能发现这一点……为什么数学看起来如此复杂？……还是这个原因……因为我们完全可以尽可能完整和精确地给出一个很复杂的背景……当我们在一个非常复杂的背景下写文章，并且还要尽可能完整和精确的时候，我们怎能再要求这篇文章的叙述本身不复杂呢？……复杂的数学来源于复杂的背景……有人说“数学不会骗人”，这绝对是错的……当我们选错了背景还当真的时候，数学绝对会骗人，此时此刻的数学可能骗人一辈子……当我们选定了一个哪怕再怎么完整和精确地描述也不可被理解的毫无含义的背景的时候，数学也会让人无法理解……数学是会骗人的，数学也是会不可理解的，但是我们依旧可以信任数学，因为数学是不会错的……那么这样的数学有没有极限呢？……有的，哥德尔曾经让罗素感叹一生的努力都白费了……说的就是这件事情……罗素不仅希望能够“尽可能完整和精确地写文章”，而且还希望“任何背景下的文章中的任何一个陈述，都可以被完全完整和精确的表达”……然后，哥德尔用他的不完备性定理终结了这种希望，“任何一个形式系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是自洽的，它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明也不能证伪的命题”……等下，这句话是什么意思？……好吧，让我继续用“写文章”的方式来“翻译”一下……尽管要我看懂哥德尔的证明，现在还不是太可能，但是要我“翻译”一下这个结论倒是勉强可以……首先，我们给定一个“背景”，背景中的信息中包含了目前我们所使用的“有关于数数的规则”，并且，“对于背景所提供的信息的描述都是与背景所提供的信息一致的”（或许有人要问，这怎么会不一致，当然会，例如，如果背景提供的信息包含了“所有的天鹅都是白的”与“存在黑色的天鹅”这两个信息，对于背景所提供的信息的描述就与背景所提供的信息不一致）……在一个符合之前所说的条件的“背景”下，我们都可以在文章的结尾插入一个这样的陈述，这个陈述中所用到的都是文章中已经出现的信息，但是，我们却无论如何都无法判定“它与背景和前文所提供的信息一致”还是“它与背景和前文所提供的信息不一致”……于是……我们就不可能完全完整和精确的表达所有背景下的所有文章的所有内容……罗素的目标是不可实现的……尽管这样的一个对于数学来说的宏伟目标不可实现，但是数学依旧会继续前进，因为“可以写的东西”，实在是太多了，而“尽可能完整和精确地表达意思”，这样的努力也永远不会终止……
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科学松鼠会成员，信息学硕士生
我不是太懂到底顶楼在说什么，但是我可以讲一讲数理逻辑中相关的一个东西。数学里有个东西叫模型论，其实就是研究各种公理系统的模型。对于某个公理系统T，一个模型M就是一个符合T中所有定理的结构。一个模型可以对应无数个公理系统，而一个一致的公理系统也可以有无数个模型。我们说“数学是正确的”，其实可以化为一个更本质的判断：“逻辑是完备的”。哥德尔在一阶谓词演算内部自举证明了一阶谓词演算是完备的，也就是说，对于一阶谓词演算中的陈述来说，语法上的真（即可证明）等于语义上的真（即对于所有模型来说该陈述都是真的）。对于别的逻辑，应该也有逻辑学家进行过类似的研究，我没有仔细查过所以不好说。另外，有模型的公理体系必然是一致的，因为模型中非真即假，是一种“真实的”语义，而不是由“间接的”语法决定的。那么，如果现实是某个以一阶谓词演算为语言的公理体系T的模型，由逻辑的完备性，立得T中每个定理在现实中均为真的结论。而我们做这么多研究，其实大概就是想找到T的一些定理，从而猜出T的一组公理。现实对应的T是必定存在的，取所有真理的并即可。现实对应的T可以有很多不同领域的子体系构成，它们必然是一致无矛盾的。有一些子体系可能是一致而完备的，在其中可以得知所有真理；而有一些是一致而不完备的，比如说自然数。所以，现实对应的T中的任意一组公理不可能是递归可枚举的（人类可知的），但也有可能很多领域的子体系存在递归可枚举的（人类可知的）公理。至于谈论不可证明的东西是否有意义，其实是有的。比如说“皮亚诺算术是一致的”，这个论断不可（在皮亚诺算术内）证明（顺带一提，在ZFC内可以证明），但它显然是对的，因为自然数就是皮亚诺算术的一个模型（称为标准模型）。这其实就是语法与语义的差别。语法永远是工具，我们真正关心的是语义。如果语法这个工具得不出我们想要的有关语义的信息，这只是因为我们用的工具不够好，不代表语义不存在。
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窃以为这个表述比较偏向逻辑主义一些，而且没办法说明数学在自然科学中无理由的有效性（当然，目前除了柏拉图主义者谁也别想说清楚就是了→_→）。另外，总觉得对数学 研究的基础进行了归约以后却对数学 研究的内容要求具体问题具体分析有点奇怪啦，要说“背景”的话ZFC公理系统不就是一个相对统一的大背景吗？不过大体上咱是非常支持乃的观点的就是了。
靠谱的数学课(教材)太少了，靠谱的老师更少；所以就那点极少数能把数学（某分支）摸清楚。
理解数学，无论智商多高，都必须训练训练再训练；但是能不能最终能修成，就不知道了；你有没有这个潜质？。。哈哈，去算一卦吧。。。
他们没说错，数学的确可以很复杂，也的确可以很高深……但我想说的并不是这个……而是实际上数学不是是一种好像大多数人所想象的那么神秘的东西……对，个人觉得这个在理。。。那么高冷的东东，总得有个入门吧？先破除神秘，再继续深入；但是。。。这种“神秘”的破除，最终最好还是不要依赖类比（包括与现实生活的联系）；因为数学本身就是精确的，逻辑训练多了以后会发现反而日常有时就是一堆自相矛盾的东西。。开始可以借助日常的东西，到了一定时候就要统统仍掉了。。
数学就是量化的因果论。
引用 的话：窃以为这个表述比较偏向逻辑主义一些，而且没办法说明数学在自然科学中无理由的有效性（当然，目前除了柏拉图主义者谁也别想说清楚就是了→_→）。另外，总觉得对数学 研究的基础进行了归约以后却对数学 研究的内...其实我倒是在这里有个比较大逆不道的想法……就是为什么不把数学丢进硬核里面去呢？……不是数学本身有效……而是我们按照这种方式思考以及表达，当这种思考以及表达下的预测与实际不一致的时候……我们会优先抛弃的是一些在边缘更容易被抛弃的假设……而不是难以抛弃（抛弃了以后我们根本不知道那会是什么样子）的数学……因此数学无论如何都只能是“有效的”……它仅仅是一种思考和表达的方式而已……它怎么会无效……
引用 的话：其实我倒是在这里有个比较大逆不道的想法……就是为什么不把数学丢进硬核里面去呢？……不是数学本身有效……而是我们按照这种方式思考以及表达，当这种思考以及表达下的预测与实际不一致的时候……我们会优先抛弃的...这听起来有些类似于人存原理，多少总会让人觉得有些妥协和消极的意味在里面，对于那些相信万事万物都有其原因和目的的人来说可能不是一个好的回答，不过某种意义上来说好像确实如此，因为数学是研究规律的，所以当咱们试图寻找规律的时候它总是有效的，特别是在模糊数学建立以后，这种情况可能会变得更加明显呢。
引用 的话：这听起来有些类似于人存原理，多少总会让人觉得有些妥协和消极的意味在里面，对于那些相信万事万物都有其原因和目的的人来说可能不是一个好的回答，不过某种意义上来说好像确实如此，因为数学是研究规律的，所以当咱...谁叫现代科学就是在某种方向上要有那么一点实用主义精神呢？……
引用 的话：对，个人觉得这个在理。。。那么高冷的东东，总得有个入门吧？先破除神秘，再继续深入； 但是。。。这种“神秘”的破除，最终最好还是不要依赖类比（包括与现实生活的联系）；因为数学本身就是精确的，逻辑训练多了...对于维也纳学派来说，这大概不是个类比……数学不是“像”这样，而是“就是”这样……只不过是在数学中使用的是人工语言而非自然语言而已……
（晕）楼主我想问一加一为什么等于二？
引用 的话：（晕） 楼主我想问一加一为什么等于二？只要我们完整而精确地表达了“1”“+”“=”以及“2”这几个东西，这几个比较完整和精确的表达分别在“自然数的定义”“自然数域中加法的定义”“等价的定义”中有出现，这就是背景和前文，我们就会发现“1+1=2”与背景和前文中所提供的信息一致……
引用 的话：（晕） 楼主我想问一加一为什么等于二？当然更大的背景是在集合论里面……罗素与怀特海在《数学原理》一书中对此有过解释和证明……以上……
引用 的话：只要我们完整而精确地表达了“1”“+”“=”以及“2”这几个东西，这几个比较完整和精确的表达分别在“自然数的定义”“自然数域中加法的定义”“等价的定义”中有出现，这就是背景和前文，我们就会发现“1+1...嗯，其实说来只要能（通过公理？）严格定义出 1+1=2，那么大概离定义出【整个自然数集合】应该也就不远了。。。下面。。。=,=下面我想起一个曾考虑过的问题，比如哥德巴赫猜想，描述的是【自然数集合】的一个规律——即，是否自然数中，任意偶数=两素数之和？既然【自然数集合】是通过严格的（不证自明）的公理定义出来，那么我们是否通过公理，一定能证明出哥德巴赫猜想？，。。。进一步讲，我想问，是否存在无法被证明（但同时又是正确的）猜想？？或者说，到底是否存在无法被证明、也无法被证否的数学猜想？
引用 的话：嗯，其实说来只要能（通过公理？）严格定义出 1+1=2，那么大概离定义出【整个自然数集合】应该也就不远了。。。 下面。。。=,= 下面我想起一个曾考虑过的问题，比如哥德巴赫猜想，描述的是【自然数集合】...不一定，参看前面所说的数学的极限……任何一个包含了自然数集合内部公理的公理系统中都必然有不可证明也不可证否的命题，这是已经被确认过了的……因此无法被证明也无法被证否的数学猜想必然可以存在……不过，问题在于，在数学上，正确与否只取决于与给定的背景是否一致，因此无法被以任何一种方式证明的正确不存在……
引用 的话：嗯，其实说来只要能（通过公理？）严格定义出 1+1=2，那么大概离定义出【整个自然数集合】应该也就不远了。。。 下面。。。=,= 下面我想起一个曾考虑过的问题，比如哥德巴赫猜想，描述的是【自然数集合】...啊，先生，您是说皮亚诺公理么，1+1=2是个命题，可以证明哦，要用上加法的定义哦。另外的问题，啊，先生，您是说哥德尔不完备性定理么，确实初等数论中存在不证明又不可证伪的命题呢。
数理逻辑学家们在宏伟的数学城堡下的地下室编织了巨大而复杂的网,以为没有了这张网整个城堡都将崩塌.(不记得原话是怎么说的了,大概就是这个意思吧.)其实本来想说很多,但是越斟酌,越是没什么可写...要么是些绝对正确的废话,要么是些难以实现精确的语句,写出来只怕自留漏洞.所以下面仅仅是试图用来表达自己观点的语句,经不起细细推敲.楼主观点基本同意,但是感觉确实是遗漏了些什么.数学至少干了建立起图像与语言间的映射这件事(其实我不该说是映射的).感觉楼主的"解释"重点覆盖的是形式之后,而对其他的实在太过简略或者没有,以至于让我觉得楼主的"解释"有点片面.对数学的图像,我们生来或许就有一定程度的理解能力.每个人都早在自己的印象中对"连续"有所了解(这个例子被用烂了,用这个例子说明我很懒).但是当我们试图去表达时,由于精确的需要,却用了这么复杂的话来说.但是难道说只有这些精确的话是数学?没有了这些话,就没有了我们对"连续"理解的图像了?即使没有数学基础对数学的可靠性进行深入的研究,为数学提供一套可靠的语言,那些数学的概念,图像,是不会因此消失的.简单的例子,解一元一次方程,是初中水平秒杀的数学(这个例子太糟糕了,这分明是算数,但是我懒的举合适的例子了),难道你会因为自己不清楚一阶语言,皮亚诺公理,群,环,而对这个解法不信任吗?这么明显的图像摆在那里,你敢说你对算法的信赖是来源于复杂的证明吗(我敢说我是).或许是我对楼主的"解释"理解错误.....我艸,居然写了这么多,虽然还是觉得自己说的太片面,还想继续说,果然还是不能写下去了.试图表达自己观点简直是个愚蠢的想法.我就应该删掉只留第一句话的.最后抱歉用了半角英文标点,太不清晰了,抱歉用了这么多括号(影响阅读).
引用 的话：只要我们完整而精确地表达了“1”“+”“=”以及“2”这几个东西，这几个比较完整和精确的表达分别在“自然数的定义”“自然数域中加法的定义”“等价的定义”中有出现，这就是背景和前文，我们就会发现“1+1...用一阶语言来描述无穷模型时总是有非标准模型简直是sad(比如皮亚诺算数公理).我对"完整而精确地表达"有着深深的怨念引用 的话：当然更大的背景是在集合论里面……罗素与怀特海在《数学原理》一书中对此有过解释和证明……以上……用集合论来"证明"1+1=2简直流氓,集合论强的太多了.
引用 的话：不一定，参看前面所说的数学的极限……任何一个包含了自然数集合内部公理的公理系统中都必然有不可证明也不可证否的命题，这是已经被确认过了的……因此无法被证明也无法被证否的数学猜想必然可以存在……不过，问题...number我比较看不明白你上面18楼的最后一句话。。。或者直接一点，比如现在就以哥德巴赫猜想为例——该猜想是否可能无法被证明，但却是正确的？？（任意偶数=两素数之和，对所有自然数都成立，但是我们却无法将这一点证明出来）
引用 的话：number我比较看不明白你上面18楼的最后一句话。。。 或者直接一点，比如现在就以哥德巴赫猜想为例——该猜想是否可能无法被证明，但却是正确的？？（任意偶数=两素数之和，对所有自然数都成立，但是我们却...在数学上，对于无法证明的东西……谈论它的正确和错误还有意义吗……
引用 的话：数理逻辑学家们在宏伟的数学城堡下的地下室编织了巨大而复杂的网,以为没有了这张网整个城堡都将崩塌.(不记得原话是怎么说的了,大概就是这个意思吧.) 其实本来想说很多,但是越斟酌,越是没什么可写...要么...“对数学的图像,我们生来或许就有一定程度的理解能力.每个人都早在自己的印象中对"连续"有所了解(这个例子被用烂了,用这个例子说明我很懒).但是当我们试图去表达时,由于精确的需要,却用了这么复杂的话来说.但是难道说只有这些精确的话是数学?没有了这些话,就没有了我们对"连续"理解的图像了?
”……我的确这么认为……如果缺乏了这种表达，而仅仅是一种模糊的“想法”……这真能算得上是一门学科吗？……别说是数学了……它甚至连一门学科都算不上而仅仅是一群人的本能反应而已……“即使没有数学基础对数学的可靠性进行深入的研究,为数学提供一套可靠的语言,那些数学的概念,图像,是不会因此消失的. ”……我对于“数学的概念，图像”这一概念所表达的语义的切实性表达强烈的怀疑……当我们把一系列概念和图像界定为“数学的”的时候，我们是依靠何种规范进行界定的？……如果从未有数学基础对于数学的可靠性进行研究，这个规范甚至从未存在过，数学的概念和图像这种东西根本就不会存在，谈何消失？……我对于算法的信赖是来源于对于给出证明的人的信赖……我即使不必亲自读懂这个人的证明，我也可以从这个人过去的履历中提取出信息，相信这个人给出的证明是有效的，因为他是专家，我不是……
引用 的话：数理逻辑学家们在宏伟的数学城堡下的地下室编织了巨大而复杂的网,以为没有了这张网整个城堡都将崩塌.(不记得原话是怎么说的了,大概就是这个意思吧.) 其实本来想说很多,但是越斟酌,越是没什么可写...要么...其实我倒是感觉“明明是从直觉反应中抽象出了一些东西然后再用尽可能完整精确的方式表达出来，但却好像是自己正在研究什么超然物外的东西”的一部分人更有意思一点……
引用 的话：“对数学的图像,我们生来或许就有一定程度的理解能力.每个人都早在自己的印象中对"连续"有所了解(这个例子被用烂了,用这个例子说明我很懒).但是当我们试图去表达时,由于精确的需要,却用了这么复杂的话来说...你怀疑没有用,因为有人认为这些也是数学.而且这些并不是那么模糊的,没有数学基础的研究,数论,分析也都发展起来了,甚至在精确的表述出现之前就已经相当庞大而又体系.你可以否定那些模糊的概念,但是模糊与绝对的精确,这之间是否真的有明确的界限我不敢说,我也不敢说那些曾经不精确的数学,在基础研究搞清楚之前,就算不上数学了.引用 的话：其实我倒是感觉“明明是从直觉反应中抽象出了一些东西然后再用尽可能完整精确的方式表达出来，但却好像是自己正在研究什么超然物外的东西”的一部分人更有意思一点……你觉得这部分有意思,我觉得这部分有意思,这有用吗?要是按照我的兴趣,我完全对其余的部分一点兴趣都没有,我会把线代,分析直接从"数学"中剔除.但这不是当我"解释"数学时,把视野局限在这个小领域的理由.
数学图像一点也不模糊,矢量就是有方向的线段,这句话你要是用精确的要求,那是错的不知道该怎么改,但是这就是清楚到让初中生明白的图像.我不知道什么是向量的严格定义,并不影响我研究向量的性质(这个例子严格的说其实不是这么回事).一个形式的证明在你不将他与图像联系时,是那么机械,任何人都能去检验,它不过是一串符合语法的字符串,没有任何的意义.数学如果被限制到纯粹的形式系统,你也可以说这就是数学,你可以说数学没有什么语义.因为一切向语义的研究,最后都会沦为一串串符合语法的字符串.仅仅因为不能用别的形式存在,就去否定他的存在,这以我来看就已经是过度自信和排他的推论了(给别人扣什么什么主义的帽子这一点都不精确).我对数学怎么"解释"毫无立场,两个相互对立,各自自洽的立场,你说我除了按照自己审美选还能怎么样?对另一边不屑一顾,确实是无比崇高和坚定了.毕竟我是个有立场而没有勇气站出来的庸人.
引用 的话：你怀疑没有用,因为有人认为这些也是数学.而且这些并不是那么模糊的,没有数学基础的研究,数论,分析也都发展起来了,甚至在精确的表述出现之前就已经相当庞大而又体系.你可以否定那些模糊的概念,但是模糊与绝对...引用 的话：数学图像一点也不模糊,矢量就是有方向的线段,这句话你要是用精确的要求,那是错的不知道该怎么改,但是这就是清楚到让初中生明白的图像.我不知道什么是向量的严格定义,并不影响我研究向量的性质(这个例子严格的...这不是某一部分人在透明的玻璃上盖楼然后自以为自己盖起了空中楼阁的理由。
引用 的话：这不是某一部分人在透明的玻璃上盖楼然后自以为自己盖起了空中楼阁的理由。所以你的立场很坚定.每一个创造话语系统的人都认为自己是对的.我不认为可以作出任何判断.
引用 的话：在数学上，对于无法证明的东西……谈论它的正确和错误还有意义吗…… 意义？我觉得没准挺有意义，而且可能还挺有趣儿~可以试着分析一下：：一个数学命题（例如哥德巴赫猜想），它本身的正确与否，因我们是否能 对其进行证明而改变吗？？关键点在于，关键点在于“如果我们不能对某命题进行证明或证否”，我认为至少存在 两种可能：其一，还没人将正确的方法想出来，但未来会有其二，。。。。是不是根本就无法证明？。。但这影响其本身的正确 与否吗？？******************************退一步讲，我这样问好了——仍然以哥德巴赫猜想为例，该猜想有没可能 就是一个“无法被证明（也无法被证否）的东西”呢？？
引用 的话： 意义？我觉得没准挺有意义，而且可能还挺有趣儿~ 可以试着分析一下：： 一个数学命题（例如哥德巴赫猜想），它本身的正确与否，因我们是否能 对其进行证明而改变吗？？关键点在于， 关键点在于“如果我们不...不，在这里的“意义”是一个语义学的“意义”，在数学上，一个无法证明也无法证否的东西，根本不存在“正确与否”的概念，“正确”与“不正确”的概念无法适用于它们。
科学松鼠会成员，信息学硕士生
我不是太懂到底顶楼在说什么，但是我可以讲一讲数理逻辑中相关的一个东西。数学里有个东西叫模型论，其实就是研究各种公理系统的模型。对于某个公理系统T，一个模型M就是一个符合T中所有定理的结构。一个模型可以对应无数个公理系统，而一个一致的公理系统也可以有无数个模型。我们说“数学是正确的”，其实可以化为一个更本质的判断：“逻辑是完备的”。哥德尔在一阶谓词演算内部自举证明了一阶谓词演算是完备的，也就是说，对于一阶谓词演算中的陈述来说，语法上的真（即可证明）等于语义上的真（即对于所有模型来说该陈述都是真的）。对于别的逻辑，应该也有逻辑学家进行过类似的研究，我没有仔细查过所以不好说。另外，有模型的公理体系必然是一致的，因为模型中非真即假，是一种“真实的”语义，而不是由“间接的”语法决定的。那么，如果现实是某个以一阶谓词演算为语言的公理体系T的模型，由逻辑的完备性，立得T中每个定理在现实中均为真的结论。而我们做这么多研究，其实大概就是想找到T的一些定理，从而猜出T的一组公理。现实对应的T是必定存在的，取所有真理的并即可。现实对应的T可以有很多不同领域的子体系构成，它们必然是一致无矛盾的。有一些子体系可能是一致而完备的，在其中可以得知所有真理；而有一些是一致而不完备的，比如说自然数。所以，现实对应的T中的任意一组公理不可能是递归可枚举的（人类可知的），但也有可能很多领域的子体系存在递归可枚举的（人类可知的）公理。至于谈论不可证明的东西是否有意义，其实是有的。比如说“皮亚诺算术是一致的”，这个论断不可（在皮亚诺算术内）证明（顺带一提，在ZFC内可以证明），但它显然是对的，因为自然数就是皮亚诺算术的一个模型（称为标准模型）。这其实就是语法与语义的差别。语法永远是工具，我们真正关心的是语义。如果语法这个工具得不出我们想要的有关语义的信息，这只是因为我们用的工具不够好，不代表语义不存在。
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