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& 黑龙江省哈尔滨第六中学学年高二上学期期末考试数学（理）试卷
黑龙江省哈尔滨第六中学学年高二上学期期末考试数学（理）试卷
资料类别: /
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资料类型：期中/期末
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资料概述与简介
2．从某单位45名职工中随机抽取5名职工参加一项社区服务活动，用随机数法确定这5名职工．现将随机数表摘录部分如下：
16 22 77 94 39　49 54 43 54 82
17 37 93 23 78　87 35 20 96 43
84 42 17 53 31　57 24 55 06 88
77 04 74 47 67　21 76 33 50 25
从随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个职工的编号为（
3．已知向量，，且与互相垂直，则的值是（
（A）1　　 （B） 　　 （C） 　　　（D）
4．已知正四棱柱中，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（
5．设，集合是奇数集，集合是偶数集．若命题，则（
6．已知点是以为焦点的椭圆上一点，若，，则椭圆的离心率为（
（A）　　　　
（B）　　　　
（C）　　　　
7．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示
甲　 茎 　乙
5　7 1 6　8
8　8　2 2 3　6　7
设s1，s2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，1，2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（
（A）1＝2，s1s2
（C）1>2，s1>s2
（D）1＝2，s1＝s2
8．设表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，则；
②若，是在内的射影，，则；
③若是平面的一条斜线，，为过的一条动直线，则可能有；
④若，则其中真命题的个数为（
9．某四面体的三视图如图所示，三个三角形均为直角三角形，则该四面体的表面积是（
10．已知两点，，若抛物线上存在点使为等边三角形，则＝（
11．设是双曲线的两个焦点，是上一点，若
，且最小内角的大小为，则双曲线的渐近线方程是（
12．在球的表面上有三个点，若，且到平面的距离为，则此球的表面积为（
第Ⅱ卷（非选择题
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置
13．袋中有大小相同的红色、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸3次，3次摸到的红球比白球多1次的概率为___________________．
14．如图，在直三棱柱中，，点是线段上的一点，且，，则点到平面的距离为____________________
15．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为2，的面积为，则____________．
16．如图，从双曲线上一点引直线的垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程________________________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17.（本小题满分10分）
直角坐标系和极坐标系的原点与极点重合，轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为，（为参数）
（1）在极坐标系下，曲线C与射线和射线分别交于A，B两点，求的面积；
（2）在直角坐标系下，直线参数方程为，（为参数），求曲线C与直线的交点坐标．
18.（本小题满分12分）
三棱锥中，面与面均为正三角形，点分别为中点
（1）证明：四边形为矩形；
（2）若二面角大小为，求直线与面所成角的正弦值．
19.（本小题满分12分）
从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)；第二组[160,165)、…、第八组[190,195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．
（1）估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上(含180cm)的人数；
（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；
（3）由直方图估计男生身高的中位数．
20.（本小题满分12分）
如图，已知椭圆，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点（1）若，求椭圆的离心率；
（2）若，，求椭圆的方程．
21.（本小题满分12分）
四棱锥中，棱长，底面是边长为的菱形，点为中点（1）若，证明：；
（2）若，，求二面角的余弦值．
22.（本小题满分12分）
椭圆的左、右焦点为，离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点（1）求椭圆的方程；
（2）求点的轨迹的曲线方程；
（3）点为曲线上异于原点的两点，，，求四边形的面积最小值．
19解：(1)由直方图，前五组频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，后三组频率为1－0.82＝0.18.
这所学校高三男生身高在180cm以上(含180cm)的人数为800×0.18＝144人．…………4分
(2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2人，
设第六组人数为m，则第七组人数为0.18×50－2－m＝7－m，
又m＋2＝2(7－m)，所以m＝4，即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08,0.06.
频率除以组距分别等于0.016,0.012，见图．
…………9分
（3）设中位数为，由频率为，所以，，解得=174.5
………12分
20解：若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
…………5分
(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中，c＝，设B(x，y)．
由＝2(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝，
y＝－，即B(，－)．将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，
解得a2＝3c2.①
又由·＝(－c，－b)·(，－)＝=>b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②
由①，②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.
…………12分
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熟练运用旋转解决平面几何中的问题
熟练运用旋转解决平面几何中的问题　　平面几何的证题方法多种多样．利用旋转来解决平面几何问题，有时能收到事半功倍的效果．例
图1中以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方形ABDE及正方形ACFG，连结BG、CE．求证：(1)BG=CE；(2)BG⊥CE．　　分析：一般的证法是证明△ABG与△AEC全等，然后应用全等三角形的性质。而如果采用旋转，则可以如下证明：由已知可知，点E绕点A逆时针旋转90°为点B，点C绕点A逆时针旋转90°为点G，从而知线段EC绕点A逆时针旋转90°为线段BG，故有BG=CE，BG⊥CE．本文将从最常见的两种旋转出发，谈谈旋转在平面几何中的应用。一、按旋转的角度进行区分1、90°角旋转例1
如图2，E、F分别是边长为1的正方形ABCD的BC、CD-上的点，且△CEF的周长是2．求∠EAF的大小。　　解：将△ABE绕点A作逆时针旋转90°，则AB边与AD边重合，设旋转后E→E′，由条件△CEF的周长为2，即CE+EF+CF=2，又BE+CE+CF+ DF=2，且显然有BE=DE′，故CE+ CF+FE′=2．从而必有EF=FE′，又AE= AE′，AF=AF，故△AEF≌△AE'F，∴∠EAF=E'AF，又从作图知∠EAE′=90°，故∠EAF=45°。例2（北京东城2010年上学期期末）如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a(a＞0)，求:(1)∠APB的度数;(2)正方形ABCD的面积．分析:三条已知的线段PA、PB、PC具有一个共公顶点，且它们不能构成三角形．但是当把△ABP按顺时针方向旋转90°后，即会出现等腰直角三角形，于是PA旋转后的线段与PC构成了一个新的三角形．　　解:(1)将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ．　　则△ABP ≌ △CBQ且PB⊥QB．　　于是PB=QB=2a，PQ==2a．　　在△PQC中，∵PC2=9a2，PQ2＋QC2=9a2．　　∴PC2=PQ2＋QC2． ∴∠PQC=90°．　　∵△PBQ是等腰直角三角形，　　∴∠BPQ=∠BQP=45°．　　故∠APB=∠CQB=90°＋45°=135°．　　(2)∵∠APQ=∠APB＋∠BPQ=135°＋45°=180°，　　∴三点A、P、Q在同一直线上．　　在Rt△AQC中，AC2=AQ2＋QC2=(a＋2a)2＋a2=(10＋4)a2．　　故S正方形ABCD =AC2=(5＋2)a2．　　思考
例2中，如果把△CBP绕点B逆时针方向旋转90°得△ABM，怎样解以上问题?(答:　　(1)△PBM是等腰直角三角形， 且由勾股定理的逆定理得∠APM=90°;(2)过点B作BN⊥AP，垂足为N．则PN=BN=，于是在△ABN中可求出边长AB的平方，即得正方形的面积．)2、60°角旋转．例1
如图3，分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作等边三角形ABD及等边三角形ACE。连结BE、CD。设M、N分别是BE、CD的中点。求证：△AMN是等边三角形。证明：由条件可知，△ADC绕点A逆时针旋转60°为△ABE。即线段CD绕点A逆时针旋转60°得BE中点M，故AN=AM，∠NAM二60°，即△AMN是等边三角形。例2
如图4，P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5．求∠APB的大小。解：将△APC绕点A顺时针旋转60°，由ABC为等边三角形知，此时所得新三角形-边与AB重合。设P旋转后为P′，则△APP′的边长为3的等边三角形，P'B=PC=5，又PB=4，故pp'2+PB2=P′B2．从而△P'PB是以∠P′PB为直角的直角三角形，从而∠APB=∠APP′+∠P'PB=60°+90°=150°。　　例3
如图，在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．证明:BD2=AB2＋BC2．　　分析:所证结论即是三条线段BD、AB、BC能构成一个直角三角形．因此需利用图形变换把它们集中到一个三角形中．　　证:连接AC．　　∵AD=DC，∠ADC=60°，　　∴△ADC是等边三角形．　　故将△DCB绕点C顺时针方向旋转60°时可得△ACE．连接BE．　　于是△DCB≌△ACE且CB=CE，∠BCE=60°．　　∴△BCE是等边三角形，∴BC=BE，∠CBE=60°．　　∵∠ABC=30°， ∴∠ABE=90°．　　故AB2＋BC2=AB2＋BE2=AE2=BD2．练习．已知：如图，M是等边△ABC内的一个点，且MA=2cm，MB=cm，MC=4cm，求：△ABC的边AB的长度。　　3、旋转到特殊位置　　例1
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，以点C为旋转中心将△ABC旋转α角到△A1B1C的位置，使B点恰好落在A1B1上．求旋转角α的度数．　　分析:将△ABC旋转到点B落在A1B1上的特殊位置时，即确定了旋转角α的大小．于是∠A1BB1是平角，它是解题的切入点，通过平角可列方程求出角α ．　　解:∵△ABC≌△A1B1C(旋转前后的图形全等)．　　∴∠A=∠A1且CB=CB1．　　∵∠ADC=∠A1DB， ∴∠A1BD=α ．　　在△ABC中，∠ABC=90°－25°=65°．　　∵∠BCB1=α(对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角)．　　∴∠CBB1=(180°－α)　　∵点A1、B、B1在同一直线上，　　∴α＋65＋(180－α)=180．　　解之得α=50°．　　思考
例1中，若∠A=θ，那么α与θ有何数量关系?(答: α=2θ)二、按计算要求进行区分　　1、求角度　　例1（青岛）、如图1，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB的度数。　　分析：由题中已知条件中的6、8、10这组勾股数联想到直角三角形，于是设法将PA、PB、PC集中到一个三角形中，可以将△APC绕着A点逆时针旋转60°得到△AFB，
图2从而可得∠APB=∠APF+∠BPF，然后设法求出∠APF、∠BPF的度数即可。解：将△APC绕点A逆时针旋转60°后，得△AFB，连接FP（如图2），则FB=PC=10，FA=PA=6，∠FAP=60°。∴△FAP是正三角形，FP=PA=6，在△PBF中，PB2+PF2=82+62=102=BF2，∴∠BPF=90°，∠APB=∠APF+∠FPB=60°+90°=150°。　　例2、如图所示，△ABC中，∠ACB=120°，将该图形绕点C按顺时针旋转30°后，得到△A'B'C，则∠AB'C的度数是
。分析：根据旋转的性质可以知道∠BCB'是旋转角，它的度数　　应该是30°，∠AB'C可以看成是∠ACB和∠BCB'的和，所以∠AB'C=120°＋30°=150°。　　答：∠AB'C的度数是150°。　　2、求线段间的关系或长度　　例1（旅顺）操作：如图3，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连MN。探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。　　分析：本题要探究的三条线段不在同一个三角形之中，必须设法将它们集中到一个三角形中。易知∠DBA=∠DCA=90°，BD=CD，于是将△DBM绕D点顺时针旋转120°到△DCP的位置，则BM=CP，DM=DP，再证MN=NC+CP即可得证。　　解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，　　又∵∠BDC=120°，DB=DC，∴∠DBC=∠DCB=30°。∴∠DBM=∠DCN=90°。于是将△DBM绕D点顺时针旋转120°到△DCP位置，则BM=CP、DM=DP、∠MDP=120°，又∵∠MDN=60°，∴∠PDN=60°，∴∠PDN=∠MDN，∵DN=DN，∴△MDN≌△PDN，∴MN=NP=NC+CP，∴BM+NC=MN。　　答：∠AB'C的度数是150°。　　例2、如图4所示，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFGH，EF交AD于点H，那么DH的长是
。分析：由旋转的性质可以知道∠BFC=∠DCG=30°，所以∠FCD=60°，可以连结线段HC（如图4所示），由已知可知∠F=∠D=90°，FC=DC，HC是Rt△FHC和Rt△DHC公共的斜边，　　根据HL公理可以判断Rt△FHC≌Rt△DHC，所以∠FHC=∠DHC=30°，所以HC=2DH，根据勾股定理可得，即，因为DC=3，所以DH=。　　答：DH的长是。　　3、求面积　　例1、如图4，△ABC是等腰直角三角形，D为AB的中点，AB=2，扇形ADG和BDH分别是以AD、BD为半径的圆的，求阴影部分面积。
图5　　分析：从表面上看图形异常繁杂，若想直接求阴影部分面积则不可能，若将扇形BDH和△BDC绕D点顺时针旋转180°，问题就迎刃而解了。　　解：将扇形BDH和△BDC绕D点顺时针旋转180°变成图5。　　∴S阴=S半圆－S△AEF=π×12－×12=（π－1）。　　例2、如图所示，△AOB中，OA=3cm，OB=1cm，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°到△A'OB'，那么AB扫过的区域的面积是
。　　分析：AB扫过的区域是一个不规则的图形，要想计算它的面积，可以将它分割为①和③两部分（如图2所示），根据旋转可以知道区域②和区域③的面积是相等的，所以可以将①＋③转化为①＋②，而区域①＋②的面积=扇形OAA'的面积－扇形ODD'的面积，又因为OD=OD=1，OA=3，所以区域①＋②的面积=－=。　　答：AB扫过的区域的面积是。　　4、进行图形分割　　例4（厦门）如图6，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠ABC与∠ADC互补。　　（1）求∠C的度数；（2）若BC＞CD且AB=AD，请在图上画一条线段，把四边ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由。　　析解：本题设计新颖，巧妙把直观感知、操作确认和逻辑推理结合起来，第（1）问可根据四边形内角和直接求解；第（2）问则∠ABC+∠ADC=180°，以及要把四边形分成两部分，使得这两部分能够
图7拼成一个正方形，则新图必须有四个直角，由∠C=90°，又AB=AD，因此猜想过点A作AE⊥BC于E，又得一个直角。把△ABE绕点A逆时针旋转90°，这时AB与AD重合，则被分成两部分拼成一个正方形。　　5、构造平行四边形　　例5（天津）如图8，已知四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片。如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：
（用"能"或"不能"填空）。若填"能"，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填"不能"，请简要说明理由。　　分析：本题旨在通过操作与几何说理，拓展学生思考与探索空间，主要考四边形的分割和平行四边形的判定知识，其中包含着深刻的图形变换思想，需要丰富观察能力、抽象思维能力、动手操作能力和解决实际问
图10题能力。本题通过连接四边形对边中点，构造线段相等并利用四边形内角和为360°，借助旋转、平移变换，可达到剪拼的目的。解：能。如图9、图10，取四边形ABCD各边的中点E、G、F、H，连接EF、GH，则EF、GH为裁剪线，EF、GH将四边形分成1、2、3、4四个部分，拼接时，图中的1不动，将2、4分别绕点H、F各旋转180°，3平移，拼成的四边形满足条件。三、按旋转类型进行区分1、正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔCP中，此时ΔAP也为正三角形。　　
?　　　　图（1-1-a）
图（1-1-b）例1.
如图：（1-1）：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，　　　　　　　则APB的度数是________.?图（1-1）
图（1-2）简解：在ΔABC的外侧，作BA=CAP，且A=AP=3，连结B。　　　则ΔBA≌ΔCAP。易证ΔAP为正三角形，ΔPB为RtΔ　　　∴APB=AP+PB=+=15002、正方形类型　　在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCP中，此时ΔBP为等腰直角三角形。　　　
?　　　　图（2-1-a）
图（2-1-b）例2 .
如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。　　
?　　　图（2-1）
图（2-2）　　简解：作ΔAED使DAE=BAP，AE=AP连结EP，则ΔADE≌ΔABP（SAS）同样方法，作ΔDFC且有ΔDFC≌ΔBPC。易证ΔEAP为等腰直角三角形，又∵AP=1∴PE=
同理，PF=3∵EDA=PBA，FDC=PBC又∵PBA+PBC=900∴EDF=EDA+FDC+ADC= 900+900=1800∴点E、D、F在一条直线上。∴EF=ED+DF=2+2=4，在ΔEPF中，EF=4，EP=，FP=3由勾股定理的逆定理，可知ΔEPF为RtΔ∴S正方形ABCD =SRtΔEPF+SRtΔEPA+SRtΔPFC=3++=8例3
.如图（3-1）正方形ABCD中,边长AB=，点E、F分别在BC、CD上,且BAE=300, DAF=150。求ΔAEF的面积。(第十一届希望杯邀请赛试题)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图（3-1）简解： 延长CB至使得B=DF，连结A，则RtΔAB≌RtΔADF（SAS）。　　∴AE =300 +150=450，FAE=900 -300 -150=450易证ΔAE≌ΔFAE(SAS)∴EA =FEA=600，∴FEC=600, ∵在RtΔABE中, AB=，BAE=300∴BE=1, CE=-1, FE=2CE==2(-1), ∴ E=EF=2(-1)所以,SΔAEF= S△AF'E=AB·E=((2(-1)=3-3、等腰直角三角形类型　　在等腰直角三角形ΔABC中，C=Rt, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔCP为等腰直角三角形。　　
图（3-1-a）
图（3-1-b）例4．如图（4-1），在ΔABC中，ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求BPC的度数。?图（4-1）
图（4-2）简解：在RtΔABC的外侧，作BC=ACP，且C=CP=2，连结P。则ΔBC≌ΔACP。易证RtΔCP为等腰直角三角形，在ΔPB中，B=3，BP=1，P=2，由勾股定理的逆定理可知，ΔPB为RtΔ为RtΔ，PB=900　　　∴BPC=CP+PB=450+=1350例5. 如图（5-1），在ΔABC中，BAC =900，AB=AC，ΔABC内一点O，AO=2cm,如果把ΔABO绕A点按逆时针方向转动900，使AB与AC重合，则O点经过的路径长为__________。　　　　　　　　　　　　　图（5-1）例6． 如图（6-1），五边形ABCDE中， ABC=AED=900，AB=CD=AE=BC+DE=1，则这个五边形ABCDE的面积等于______________。（2003年宁波市至诚杯竞赛题）　　　
?　　　　　　图（6-1）
图（6-2）　　简解：延长DE至使得E=BC，连结A，则ΔAE≌ΔABC（SAS）∵AB=CD=AE=BC+DE=1，∴CD =D∴ΔCAD≌ΔAD（SSS）　　∴SABCDE=2 S△C'DA=2（11）=14、 三角形与圆混合类型　　将ΔCAD绕A点按顺时针方向旋转600到ΔBA，经过旋转变化，将图（3-1-a）中的DC与BD组合在一条直线上，见图（3-1-b）此时BD是个平角，ΔAD为正三角形。?　　图（3-1-a）
图（3-1-b）例7． 如图（7-1），正三角形ABC内接于⊙O，P是劣弧上任意一点，PA=2，则四边形ABPC的面积为______________。?　　　　　　　图（7-1）
图（7-2）简解：延长PB至使得B=PC，连结A，则ΔAB≌ΔAPC（SAS）　　　∴A=AP，AB=PAC， 又 ∵BAC=600　　　∴ΔAP为正三角形　　　　　∴S四边形ABPC = S△AP'P =四、与旋转有关的探索型题目　　1、条件探索型　　条件探索型的特征是给出了结论，要求探索使该结论成立所具备的条件.解题时，一般需要从结论出发，逆向思维解(即执果索因).例1:（遂宁）如图1,把正方形ACFG与Rt△ACB按如图(甲)所示重叠在一起,其中AC=2, ∠BAC=600,若把Rt△ACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转,使斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点F,得△A′B′C′，A B分别与A′C,A′B′相交于D、E,如图(乙)所示.⑴. △ACB至少旋转多少度才能得到△A′B′C′?说明理由.⑵.求△ACB与△A′B′C′的重叠部分(即四边形CDEF)的面积(若取近似值,则精确到0.1)　　　　　　解： ⑴∵ACGF是正方形，A′B′经过点F，∴
A′C=CF．又∵∠A′=60°,
△A′CF是等边三角形.又∵ ∠A′CF=60°∴ ∠ACA′=90°一60°=30°,∴
△ABC至少旋转30°才能得到△A′CB′.(2)∵ ∠ACA′=30°
,∠BAC=60°,∴
∠A′DE=90°.又∵
AC=2，可求得
CD=.∴A′D=2一.在Rt△A′DE中 ,
DE=A′Dtan60°=(2一_)·=2一3．∴ △A′DE的面积为：A′D·DE=(2一)·(2一3) = .又∵
A′F= 2,∴
F是A′B′的中点．∴ △A′CF的面积=△ABC的面积 , 而B′C=A'C·tan60°=2,∴
S△ABC=×2×2 =2， S△A'CF =　　∴
四边形DCFE的面积为：一()=一+6=6一(若取近似值，则结果应约为1．7．)2、探索结论型结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；解结论探索型题的方法是由因导果.例2:（衡阳市）已知，如图2，平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=1，BC=，对角线AC、BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F.⑴证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；⑵试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；⑶在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由：如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.解:⑴证明:当∠AOF=时, AB∥EF,又∵AF∥BE,∴四边形ABEF为平行四边形.⑵∵AO=CO, ∠FAO=∠ECO, ∠AOF=∠COE. ∴△AOF≌△COE. ∴AF=EC.⑶四边形BEDF可是是菱形.理由:如图2,连接BF、DE.由(2)知△AOF≌△COE.得OE=OF,∴EF与BD互相平分.当EF⊥BD时,四边形BEDF为菱形.在Rt△ABC中,AC=,∴OA=1=AB . 又AB⊥AC∴∠AOB=，∴∠AOF=.∴AC绕点O顺时针旋转时,四边形BEDF为菱形.3、存在性探索型　　存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目.解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论.　　例1.（河北）如图1－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．　　（1）如图1－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；　　（2）若三角尺GEF旋转到如图1－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．　　　　　　　　分析：本题主要考查旋转图形的性质，解答时应着眼于图形的旋转不变性来探索线段之间的变化规律.对于（1）问，经测量后可知BM=FN．然后利用三角形全等证明即可；对于（2）问，要明确，在继续旋转的过程中，虽然△OBM和△OFN都发生了变化，但二者之间全等的关系没变.故结论成立.　　解：（1）BM=FN．　　证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，　　∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．　　又∵∠BOM=∠FON
∴ △OBM≌△OFN ．　　
∴ BM=FN．　　（2）BM=FN仍然成立．　　
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，　　∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．　　∴∠MBO=∠NFO=135°．　　又∵∠MOB=∠NOF，
∴ △OBM≌△OFN ．　　∴ BM=FN．　　评注：本题利用图形旋转的不变性，探索图形在旋转过程中的有关规律，让同学们体验图形旋转变换的性质，同时也考查了同学们空间想象、规律探索、推理能力以及分析问题、解决问题的能力，是一道不可多得的优秀题目.　　例2. （黑龙江鸡西）已知∠AOB=900，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E．　　
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证：OD+OE=OC．　　
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明．　　　　　　　　图2-1
图2-3　　分析：由于在旋转的过程中，虽然点O的位置发生了变化，但∠AOC和∠COE的大小不变，都是45°，因此可过C分别作OA、OB的垂线，从而转化为等腰直角三角形（图1）来处理.对于图3可仿图2处理.　　解：图2结论：OD+OE=OC.　　
证明：过C分别作OA、OB的垂线，垂足分别为P、Q．　　
△CPD≌△CQE，DP=EQ.　　
OP=OD+DP，DQ=OE-EQ.　　
又OP+0Q=0C，即OD+DP+OE-EQ=0C.　　
∴ OD+OE=0C．　　
图3结论：OE-OD=OC.　　评注：从以上两例可以看出，解决这类问题的关键是要把握以下两点：　　1.在解题时，认真观察图形，不放过一个细节，看清旋转的角度和方向，找准旋转前后的相关的角与边，在旋转的过程中，弄清变与不变的量；　　2.再解决这类问题时，我们通常将其转换成全等形求解，根据旋转变换的特征，找到对应的全等形，通过线段、角的转换达到求解的目的.练习部分一、选择题1、（2009年泸州）如图1，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P'BA，则∠PBP'的度数是
（　　　　）A．45°
D．120°2、(2009年陕西省) 如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A'OB'可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，若点A'在AB上，则旋转角α的大小可以是 （
D．90°3、（2009年桂林市、百色市）如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得 ，则点的坐标为（
）．　A．（3，1）
B．（3，2）
C．（2，3）
D．（1，3）4、、（2009年甘肃白银）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）A．等腰梯形
B．平行四边形
C．正三角形
D．矩形5、（2009年台州市）单词NAME的四个字母中，是中心对称图形的是（　 　）A．N
D．E6、（2009年广西钦州）某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案，你认为符合条件的是（
）A．等腰三角形 B．正三角形 C．等腰梯形
D．菱形7、如图，在Rt△ABC 中，，D、E是斜边BC上两点， 且∠DAE=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连接，下列结论：①△≌△；②△≌△；③；④其中正确的是（
）A．②④；　　
B．①④；　　 C．②③；　　　　D．①③8、 (2009年四川省内江市)已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180O后得到图2，则旋转的牌是（
）9、(2009成都)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到0A′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在
）　　(A)第一象限
(B)第二象限
(c)第三象限
(D)第四象限10、（2009年崇左）已知点的坐标为，为坐标原点，连结，将线段绕点按逆时针方向旋转90°得，则点的坐标为（
D．二、填空题1、（2009肇庆）在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是
．2、（2009年衡阳市）点A的坐标为（，0），把点A绕着坐标原点顺时针旋转135o到点B，那么点B的坐标是 _________ ．3、 （2009年枣庄市）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，把绕点A顺时针旋转90°后得到，则点的坐标是
．4、(2009年抚顺市)如图所示，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标是．将绕原点按逆时针方向旋转后得到，则点的坐标是
．三、解答题1．如图，P是正方形内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若BP=3，求PP′．　　2．正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC=1：2：3，证明∠APB=135°．3、如图P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB=4、（2009年河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.(1) ①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．5、如图，△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α。(0o＜α＜90o)得到△A1B1C1，连结BB1.设CB1交AB于D，AlB1分别交AB、AC于E、F.(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明　　(△ABC与△A1B1C1全等除外)；　　(2)当△BB1D是等腰三角形时，求α；　　(3)当α＝60o时，求BD的长．6、（13分） 已知中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、当绕点旋转到于时（如图1），易证当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．7．已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,点G、E分别在线段AD、AB上.(1)
如图1, 连接DF、BF,若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,判断命题:"在旋转的过程中线段DF与BF的长始终相等."是否正确,若正确请说明理由,若不正确请举反例说明;(2)
若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转, 连接DG,在旋转的过程中,你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图2为例说明理由.8、将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放.　　（1）将图1中△DEC绕点C顺时针旋转任意角度，则 ∠ACB1+∠BCA1=____________　　（2）、将图1中△绕点C顺时针旋转45°得图2，点与AB的交点。　　①求出图中△ACP1的各个内角的度数；　　②求证：；　　（3）、将图2中△绕点C顺时针旋转30°到△（如图3），点与AB的交点。　　①求出图中△CP1 P2的各个内角的度数；　　②线段之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；　（4）、将图3中线段绕点C顺时针旋转60°到（如图4），连结，求证：⊥AB.　　9、把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠B＝∠F＝30°，斜边AB和EF长均为4．　　(1)当 EG⊥AC于点K，GF⊥BC于点H时（如图①），求GH：GK的值　　(2) 现将三角板EFG由图①所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转，旋转角α满足条件：0°＜α<30°（如图②），EG交AC于点K ，GF交BC于点H，GH：GK的值是否改变？证明你发现的结论；(3)在②下，连接HK，在上述旋转过程中，设GH=，△GKH的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；　　　　　　　　　　　　　　　　10、 （海口实验区）在△ABC中，∠ACB=90°，　　AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.　（1）、当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，　　　求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；　　　（2）、当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；　（3）、当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，　试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出　这个等量关系，并加以证明.11． 已知：将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H。　　（1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG=DH；　　（2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；12．已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．当绕点旋转到时（如图1），易证．（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．13、ABC是等腰三角形，，MN为AB上两点，如果，试说明AM、MN、NB可构成一个直角三角形的三条边.14、已知如图P为正方形ABCD内一点，ABP经过旋转后到达CBQ的位置，（1）请说出旋转中心及旋转角度；（2）若连结PQ，试判断PBQ的形状；（3）若∠BPA=135°，试说明点A、P、Q三点在同一直线上；（4）若∠BPA=135°，AP=3，，求正方形的对角线长；（5）在（4）的条件下，求线段AP在旋转过程中所扫过的面积.15．已知Rt△ABC中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N．（1）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图①，求证：；思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△沿直线对折，得△，连，只需证，就可以了．（2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．16．如图○14，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B、点C在x轴的负半轴上，∠CAO=30°，OA=4。　　(1)求点C的坐标；(2)如图○15，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转30°到△A'CB'的位置，其中A'C交直线OA于点E，A'B'分别交直线OA、CA于点F、G，则除△A'B'C≌△AOC外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；(不再另外添加辅助线)(3)在(2)的基础上，将△A'CB'绕点C按顺时针方向继续旋转，当△COE的面积为时，求直线CE的函数表达式。17、（江苏杨州课改）等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含300角的透明三角板，使300角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．　（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE～△CFP；　（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．　①探究１：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）　②探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；　③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．