第四章 数学教学模式与教学方法的选择
第四章数学教学模式与教学方法选择
教学目的：
知识与技能目标：通过本章的学习，了解建构主义的教学模式，掌握中学数学常用的教学模式和教学方法。学会选择正确的教学素材。
过程与方法目标：通过搜集整理，讨论交流等学习活动对我国和国际数学教学模式的变化有一个深刻的认识，通过实践活动基本掌握常用的课堂教学方法。
情感态度价值观目标：通过对数学教学模式的典型案例分析，真正认识到学习教学模式和教学方法的必要性，并能在学习中不断反思，学会学习。
教学重、难点：中学数学常用教学模式，教学模式的运用和创新。
教学方法：讨论与讲解相结合
教学时数：10节
教学内容：
第一节中学数学教学模式
教学模式是指在一定教育理论指导下，在大量的教学实验基础上，为完成特定的教学目标和教学内容形成稳定、简明的教学结构理论框架及其具体可操作性的实践活动方式。
教学模式强调教学理论与实践的结合。它不是简单的教学经验汇编，也不是一种空洞理论与教学经验的混合，而是理论与实践的中介，正因为此，教学模式被看成沟通理论与实践的桥梁。
教学模式反映了教学结构中教师、学生、教材三要素间的组合关系，揭示了教学结构中各阶段、环节、步骤之间纵向关系以及构成课堂教学的教学内容、教学目标、教学手段、教学方法等因素之间的横向关系，表现为影响教学目标达成的诸要素在一定时空结构内某一教学环节中的组合方式。
一、中学数学教学的主要教学模式介绍
1、教学模式分类
从心理学出发可将教学模式分为：以认知学派理论为依据的信息加工教学模式；以行为主义学派理论为依据的行为教学模式；以人本主义学派理论为依据的个性教学模式；以人本主义和社会本位教育思想为依据的合作教学模式。
现代教学理论将教学模式分为：着重于认知发展的教学模式，如奥苏伯尔的有意义接受学习教学模式，凯洛夫的五环节课堂教学模式，根舍因的范例教学模式；
着重于整体化出发的教学模式，如最优化教学模式；着重于探究发现的教学模式，如布鲁纳的发现法教学模式，探究式教学模式；着重于技能训练和行为形成的教学模式，如斯金纳的程序教学模式，布鲁纳的掌握教学模式；着重于非理性主义的、开放的教学模式，如罗杰斯的非指导教学模式等。
从教学活动特征出发分为：指导——接受教学模式；自学——辅导教学模式；
探索——发现教学模式；
情趣——陶冶教学模式；示例——模仿教学模式等。
2、我国常用的一些教学模式。
1．“引导—发现”模式
“引导—发现”模式是数学新课程中应用较为广泛的教学模式。在教学活动中，教师不是将现成的知识灌输给学生，而是将以“定论”形式陈述的材料，转化为精心设置的一个个问题链，变被动吸收式学习为主动探究式学习，激发学生的求知欲，使学生在老师的启发引导下，通过自主探索、合作交流，发现问题并解决问题，从而掌握知识与技能，自主地构建知识，发展能力的学习过程。
这一教学模式的主要理论依据是布鲁纳的“发现学习”理论、杜威的“活动教学”理论以及布兰达的“探究—研讨”教学法等教学理论。现代数学教学理论研究表明，学生数学学习的过程是一个学生自我构建，自我发现，进行再创造的过程。一个人要学好数学，就应该根据自己的体验，用自己的思维方式，创造数学知识。
这一模式的教学目标是：学习发现问题的方法，培养、提高创造性思维能力。
“引导—发现”模式的教学结构是：创设情境——提出问题——探究猜测——推理验证——得出结论。
“引导—发现”模式的实质是以学生自主探索、合作交流为主，充分发挥学生的主体性，激发学生的学习兴趣，产生自觉学习的内在动机，有利于学生的智能和创造性思维能力的发展，有利于培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，有利于培养良好的团队合作精神。但是采用这种教学模式对教师、学生、教材的要求比较高，教师不仅需要熟悉学生形成概念、掌握规则的思维过程和学生的能力水平，还要有更加广博的知识和设计教学情境，组织引导学生从情境中探索发现新知识的能力，学生则必须具备良好的认知结构。同时教学费时较多，对教师教学要求高，难把握，增加了教学管理的难度和要求。
交流讨论案例&&&& ［案例1］三角形中位线定理
师：（小黑板出示例题）如图4-1
，A、B是两个地方，中间有大山相隔，为了测量AB间的距离，另选一点C，使A、B、C三点构成三角形，并在AB、BC边上找到中点E、F，他在测量完E、F的距离后认为２EF就是AB的距离。那么，测量者的做法妥当吗？所得结果正确吗？
请同学们验证一下这两个问题。
生：我量了，结果是AB等于２EF。
师：（对全体同学）你们量的也是这个结果吗？
生：（全体）是。
师：只用直尺量出来的结果，能代表一般性吗？
生：（大部分）不行。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
师：对，只用直尺量出来的结果不行，不具有一般性，要说明理由。请同学们想办法来说明这个结论是正确的。
（学生动手证明，大约10分钟）
师：有谁做出来了？说说你的理由。
生：用平分线等分线段定理证明，引一条辅助线，得出一个平行四边行……
师：很好，请你到黑板上来把你的结果演示给大家。
生：我发现这两条线段是平行的。
师：你的发现太棒了！这正是我们马上要学习的内容。（回头看黑板）请同学们看一下，他的做法正确吗？
生：正确。
师：你的做法与他是否相同？
生：我是这样做的……
师：同学们能有这样多的做法我没想到，我真为同学们高兴。刚才同学们发现和总结出来的规律，就是我们今天的学习内容。这就是三角形的中位线定理：三角形两边中点连线平行于底边，并且等于底边的一半。
2.“活动—参与”模式
“活动—参与”模式强调学生的活动，以学生主体探究活动为中心组织教学，强调学生直接经验的获得、实践能力的培养，在教学活动中引导学生动手、动口、动脑，在做中学，用中学，通过动手操作，参与实践等数学活动将知识“内化”为学生头脑中的经验。从而掌握数学知识的发生、发展过程和数学建模方法，形成运用数学的意识。
这一模式的理论依据是皮亚杰的发生认识论和弗莱登塔尔的“数学化”思想。活动参与对个体的影响是广泛的，不只局限于学习方面，活动参与对学生的心理发展具有重要意义，对知识的掌握，思维能力的发展，学业成绩的提高以及学习兴趣、态度、意志品质等都具有积极的意义。
这一教学模式有多种形式，如数学实验、数学调查、问题解决、数学游戏、模型制作、测量活动等。
这一模式的教学目标是：培养学生的主动参与意识，增进师生、生生之间的情感交流，提高学生的动手、动脑以及实际操作能力，形成运用数学的意识。
这种模式的一般教学结构是：创设问题情境——实践活动——合作交流——归纳与猜想——验证与数学化。
在“活动—参与”模式的实施过程中，教师不是以专家、权威的角色出现，而是要创造一种使学生能够自由学习的环境和气氛，帮助学生正确认识自己和客观事物，与学生建立民主、平等关系，切忌将个人意志强加给学生而影响学生主体性的发挥，影响学生个性的充分发展。
交流讨论案例&&& ［案例2］摸到红球的概率（北师大版七年级上7.3）
设计理念：通过组织学生进行观察、实验、猜想等数学活动，并交流活动经验，帮助学生体会概率的意义，在丰富的实际问题中认识概率是刻画不确定现象的数学模型，并通过概率帮助自己作出合理的决策。
教材分析：本节课是第七章“可能性”的最后一节，它是在学生掌握了确定事件和不确定事件的概念，以及实际操作了“转盘游戏”的基础上展开的，由于学生在前面两节课对频率与概率的关系有了一些体验和感受，可能会得出可以用分数来刻画事件发生的概率，在此基础上，老师通过游戏引导学生列举出所有发生的可能结果，学习计算事件概率的公式，同时也为今后进一步学习“统计与概率”打下坚实基础。
教学目标：
知识与技能目标：了解计算一类事件发生可能性的方法，体会概率的意义；能对一类事件发生的概率进行简单计算。
过程与方法目标：经历“猜想——试验并收集试验数据——分析试验结果”活动过程，了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的数学模型，发展随机观念。
情感态度价值观：通过游戏活动，养成积极主动参与数学活动，并能在学习活动中获得成功的体验。
教学重点：不确定事件发生的的意义；能对一类事件发生的概率进行简单的计算。
教学难点：概率意义的理解。
教具准备：多媒体课件，形状、大小完全相同的各色小球若干。
第一环节& 创设问题情境
师：组织学习模拟某商场抽奖活动。
1）多媒体出示海报一张，内容如下：某商场特举行抽奖活动，凡摸到红球者获一等奖，摸到绿球者获二等奖，摸到黄球者获三等奖。
2）准备一盒子，内装形状、大小完全相同的白色、红色、黄色、绿色小球。
学生活动：1）一个学生上讲台模拟抽奖活动；2）学生从台上盒子中摸出一球；3）摸球活动结束后，学生猜测摸出各色球机会的大小。
师：提出探究的问题：摸到红球的可能性。
（评析：通过学生身边的生活事例，假设问题情境，激发学生探索知识的兴趣，同时培养学生的随机观念。）
第二环节 学生分小组自主探索、合作交流
活动准备:一只盒子，内装3 个红球和1个白球（它们除颜色外，形状、大小完全相同）。其中红球分别编上号码为：1号，2
号，3号。白球编号：4号。
活动要求：每个同学轮流从盒子中任意摸出一球，选出一位同学作好摸球结果记录。
分析试验结果：统计摸出球的号码及颜色。
师：（板书）摸出一个球有可能出现的结果：1号球，2 号球，3号球，4号球。
摸出一个红球可能出现的结果：1号球，2 号球，3号球。
师：同学们，你们摸出红球的可能性大吗？你能表示这种可能性吗？
学生大胆尝试，并相互交流。
（评析：让学生经历摸球活动并体验概率是描述不确定现象的数学模型，也进一步体会概率的意义，同时培养学生的探索、创新、合作精神。）
第三环节 建立模型
师：（板书）P(摸到红球)＝ ，
P(摸到红球)表示摸到红球的可能性，也称摸到红球的概率。
学生分组讨论摸到白球的概率是多少。
师：准备两只袋子，一袋内装入4个形状、大小完全相同的红球，另一袋内装入4个形状、大小完全相同的白球。
学生轮流从袋中任意摸出一球猜想，摸到红球的概率大吗？并分组交流讨论。
师：你从以上活动中得到什么体会？
（板书）P(必然事件)＝1，P(不可能事件)＝0，0＜P(可能事件) ＜1
(评析:让学生从摸球活动中自己体会得出必然事件、不可能事件发生的概率)
第四环节& 应用与拓展
提出问题：任意掷一枚骰子“6”朝上的概率是多少？
生：P(“6”朝上)＝
师：请同学们想一想：P(小于“4”的数朝上)＝？，P(奇数朝上)＝？。
然后1）做一做190页的随堂练习。
2）用10个球设计一种摸球游戏，使得摸到红球的概率是。
3）独立思考后，小组交流，并展示小组设计方案。
（评析：利用公式计算概率的目的是熟悉公式并体会概率的意义，学生根据要求设计的游戏体现了概率模型的思想）
第五环节& 归纳总结
师：引导学生谈谈这节课的体会和收获。
生：思考用自己的语言回答出对本节课的所思所感。
（评析：根据学生的回答，给予恰当的评价，培养学生的归纳能力）
在现代社会里，人们面临着更多的机会和选择，常常需要在不确定的情境中作出合理的决择。概率就是刻画不确定性现象和事件发生的可能性的模型，学习概率要避免机械套用公式进行概率计算，所以这节设计了若干个游戏，给学生提供了发挥的余地和想象的空间，提供了合作学习和交流的机会，感受数学的应用价值。这节课的整个活动过程中，学生通过观察、试验、猜想、验证、推理、合作交流，最后得出结论，充分体现了学生是学习的主人，让学生在轻松愉快的环境中学习数学，感悟数学。从以上案例我们了解了“活动—参与”模式的教学方式，下面对认识长方体一课的教学活动进行比较研究，加深对这一教学模式的认识和思考。
3.“情境—问题”模式
“情境—问题”模式强调创设问题情境，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为主线组织教学，在解决问题和数学应用的过程中又引发出新的学习情境，从而又产生出深一层次的数学问题，形成“情境—问题”学习链，有利于学生的创新意识和实践能力的培养。即学生在老师的指导下，从熟悉或感兴趣的实际情境中，通过主动探究，提出问题并研究问题和解决问题，从而获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学知识和应用技能，发展勇于探索、创新的科学精神。
“情境—问题”模式的课堂教学基本结构是：
　　　　　　　学生学习：质疑提问、自主合作探究
　　　　　　　　　
　　　（观察、分析）　（猜想、探究）　　（求解、反驳）　　（学做、学用）　
　　　　　　　　　教师导学：启发诱导、矫正解惑讲授
“情境—问题”模式的核心：把“质疑提问”，培养学生的问题意识，提高学生提出问题与解决问题的能力作为教与学活动的起点和归宿。
内在联系：设置数学情境是前提，提出数学问题是重点，解决数学问题是核心，应用数学知识是目的。
教学方法：教师采取以启发式为核心的灵活多样的教学方法；学生采取以探究式为中心的自主合作学习方法。在整个教学过程中，既要体现学生的主体作用，又要强调教师的主导作用，包括科学的讲授。
交流讨论案例& ［案例4］　图形运动与函数①（罗静）
一、教学设计
在中考的后期复习阶段，教师如果仅靠“题海战术”来训练学生是不可取的。虽然这样训练出来的学生能凭一些固定模式和技巧解决一些难题，但遇到比较灵活的开放型、能力型的题目就束手无策。因此，复习课不应只是让知识机械重复和再现，而是突出联系，揭示规律，提高能力的过程。
本节课的内容取材于教材《一元二次方程》中一道复习题。选择这道题目是因为它比较典型，其典型之处在于它是从运动的角度呈现题目，富有启发性、应用性、创新性，有利于激发学生的好奇心、求知欲。该题目主要是考察学生应用一元二次方程解决问题的能力。在此之前学生已经学习了相似形、函数等知识，教师在引导学生学习时，将此题进行变化与上述知识相联系，纵横勾通、逐步展开、一题多解、一题多变、推陈出新，可以达到高效复习的教学目标。
二、教学过程
（出示）情境一：如图4－2：在ABC中，AB=6cm
，BC=12 cm ，∠B＝ ，点P从点A开始沿AB边向B点以1 cm／s的速度移动，点Q从点B开始沿AB边向C点以2 cm／s的速度同时移动。
教师有意不将原题目中问题“几秒钟后，PBQ的面积等于8 cm？”马上给出。
①选自《中学数学情境与提出问题教学研究》贵州人民出版社，240～243其目的一是想留给学生一个思考的空间，让他们不拘形式大胆质疑；二是通过开放结论、探索条件，可锻炼学生思维的灵活性、开拓性、多向性和创造性。
在老师的启发引导下，学生提出许多问题。教师选择了一些有利于实现教学目标、有数学价值、有代表性的问题
板书出来，以便让学生思考。
提出问题：
问题１：ABC的面积是多少？&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
问题２：PBQ的面积是多少？　　　
问题３：ABC与PBQ能相似吗？&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
问题４： AC与PQ能平行吗？
……&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&
下面是教师组织学生解决问题的教学片段：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
解决问题：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
师：PBQ的面积是多少？可以确定吗？大家讨论一下。&&&&&&&&&&
（学生分小组进行讨论，积极性很高，讨论也非常激烈。大约过了五分钟，教师请学生代表起来发言。）
生１：我们组认为无法求出PBQ的面积。
生２：我们组也认为求不出来，因为没有条件，PB和PQ的长度不知道。
（这时另一小组学生举手发言了。）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
生３：可以求出来，它的面积等于PB与PQ乘积的一半。
生４：这不能算答案…
学生们争论起来，教师就势引导学生提出下面的问题：
师：如果给定一定条件，就可以求出PBQ的面积，那么请同学们再讨论一下应该给出什么条件？
生５：告诉时间，如“3s后，PBQ的面积是多少？”
生６：4s，5s，6s……
（学生们分别计算出给出不同时间的PBQ的面积，并发现随着时间的变化，PBQ面积的大小也随着变化，为下一教学内容埋下伏笔，于是教师提出以下问题。）
师：当时间为多少秒时，PBQ的面积等于8 cm？
解：设t秒后，PBQ的面积等于8 cm？
则AP=tcm，BQ=2tcm依题意列方程得：
（教师没立即给出题目的全部，有意引导学生去主动探索条件和结论，但在这过程中，教师要把握好度并引导学生使之提出的问题能紧紧围绕教学目标。）
（出示）情境二：当t＝s时，PBQ的面积等于5cm
当t＝2s时，PBQ的面积等于8cm
当t＝3s时，PBQ的面积等于9cm
当t＝4s时，PBQ的面积等于8cm
（该情境是刚才学生通过计算得到的，学生已经观察到这个问题中面积与时间存在一定关系，教师就把这些解的结果板书出来作为新的数学情境继续引导学生寻找规律，提出新问题。）
提出新问题：
问题5：当时间为多少秒时，PBQ的面积最大？最大为多少？
问题6：PBQ的面积在什么情况下最小？
问题7：PBQ的面积可能为ABC的一半吗？或者三分之一？
（学生提出的问题较多，教师有意筛选出以上三个比较有价值的问题，它们和函数的知识联系较大，通过对这几个问题的分析和思考，一方面可以复习函数的有关知识，另一方面让学生体会数形结合的解题思想。）
解决问题：
解：设PBQ的面积等于Scm，时间为ts 。
则S与t的函数关系式为：
所以：当t＝3s时，S有最大值，最大值为9cm
由于课堂的时间是有限的，不可能解决所有问题，只要解决有代表性的问题就可以了，所以问题6、7就留给学生去思考，再说也应该给学生“留有余地”让他有继续思考的兴趣。学生提出的问题3、4与相似形的知识有关系。于是教师反问学生：
师：欲使ABC与PBQ相似，已经具备哪些条件？还需要哪些条件？
生7：已经有∠ABC＝∠PBQ，还需
解：设AP＝t cm，BQ=2t
cm，PB＝（6－t）cm
得：t＝3（s）
当t＝3s时，ABC～PBQ
师：除了上述方法外，还有其它方法吗？…
小结：这节课大家通过对图形的探究和思考，发现并提出了许多有价值的问题，在解决问题的过程中，我们复习了三角形的面积计算、相似形、一次方程、二次方程、函数的有关基础知识，并且认识到将图形运动与方程、函数联系起来是解决问题的重要方法。课后同学们可应用上述方法去解决类似问题，将有更深的体会和更多的收获。
4.“讨论—交流”模式
这一模式是将学习的内容以问题的形式展开交流讨论，在动手操作和交流过程中，学生充分发表自己的意见和看法，通过讨论，交流思想，探究结论，掌握知识和技能，感受解决问题的策略与方法，发展学生的数学交流能力和创新意识，有助于学生合作学习，有利于养成学生积极思维的习惯，培养批判性思维能力，培养学生数学交流能力和协作能力。
“讨论—交流”模式的一般教学结构是：创设情景——提出问题——合作讨论——交流反馈——归纳总结。
5.“自学—辅导”模式
“自学—辅导”模式是在教师的指导下，学生进行自学、自练和自改作业，从而获得知识、发展能力的一种模式。在这一模式中，教师给出自学的问题和自学提纲，提供一定的阅读材料和学习资源，启发学生进行独立思考。学生则通过自学，自主探索、研究获得知识与技能，掌握学习方法,感悟数学学习的真谛。
&“自学—辅导”的一般教学结构是：提出提纲——自学探究——提出问题——讨论交流——鉴疑讲解——归纳总结.
6.“讲解—传授”模式
这一教学模式对我国的数学教育影响最大，是传统课堂教学的主要模式，目前在许多学校的课堂教学中仍然占主要地位。它的主要理论依据是凯洛夫的教育思想和奥苏贝尔“有意义学习理论”。这种模式以教师系统讲解为主，能较好地保证教学的进度，能使学生在单位时间内迅速系统地掌握较多的数学知识与技能，但对学生自主性发挥不够，不利于养成学生积极、主动学习的习惯和培养学生的创新意识。在运用该模式时，要注意渗透新的教育理念，教学方法，关注学生的主动学习，并与其它教学模式有机地结合起来，使这一传统的教学模式发挥它应有的作用。
“讲解—传授”模式的基本教学结构是：设置情境——讲授新课——练习巩固——归纳总结——布置作业。
二、建构主义理论下的教学模式
建构主义是当前教育界影响较大的一个学习理论，因此，基于建构主义理论基础上的教学实践在全世界广泛开展，并形成了以下几个比较成熟的教学模式：
1．支架式教学
这种教学思想来源于前苏联著名心理学家维果茨基的“最近发展区”理论。维果茨基认为，在儿童智力活动中，对于所要解决的问题和原有能力之间可能存在差异，通过教学，儿童在教师帮助下可以消除这种差异，这个差异就是“最近发展区”。换句话说，最近发展区是指：儿童独立解决问题时的实际发展水平(第一个发展水平)和教师指导或与同伴合作情况下解决问题时的潜在发展水平(第二个发展水平)之间的距离。借助建筑行业中的“脚手架”一词作为上述概念框架的形象比喻，其实质是利用上述概念框架作为学习过程中的脚手架。因此，在教学设计中针对学生的最近发展区设计合理的教学任务，把复杂的学习任务加以分解，通过“脚手架”的支撑作用不停顿地把学生的智力从一个水平提升到另一个新的更高水平，真正做到使教学走到发展的前面。
支架式教学由以下几个环节组成：
搭手脚架——从学生已有的认知结构出发，紧扣当前学习主题，按最近发展区的要求建立学习框架。
进入情境——根据学生的思维发展规律，创设问题情境，将学生引入一定的学习情境中。
独立探索——让学生独立探索。
协作学习——在独立探索的基础上组织学生交流与合作，从而加深对有关知识较为全面、正确的理解，促进学习质量的提高。
效果评价——对学习效果的评价要关注活动过程中学生参与度评价，关注学生个人的自我评价和小组成员间的相互评价。评价内容主要有：①自主学习能力；②对小组协作学习所做出的贡献；③是否完成对所学知识的意义建构。
2．抛锚式教学
这种教学模式要求建立在学生感兴趣的与实际联系密切的问题情境基础上，呈现有感染力的真实事件或真实问题的过程，可以形象地比喻为“抛锚”。而所确定的学习主题就是所谓的“锚”，这个“锚”一旦被确定了，整个教学内容和教学进程也就被确定了（就像轮船被锚固定一样）。建构主义认为，学习者要想完成对所学知识的意义建构，即达到对该知识所反映事物的性质、规律以及该事物与其它事物之间联系的深刻理解，最好的办法是让学习者到现实世界的真实环境中去感受、去体验，而不是仅仅聆听别人关于这种经验的介绍和讲解。由于抛锚式教学要以真实事例或问题为基础，所以有时也被称为“实例式教学”或“基于问题的教学”。 　　抛锚式教学一般有这样几个环节：
创设情境——通过学生感兴趣的与实际联系的问题情境的呈现，使学习能在和现实情况基本一致或相类似的情境中发生。
抛锚定位——在上述情境下，选择出与当前学习主题密切相关的真实性事件或问题，作为学习的中心内容，选出的事件或问题就是“锚”，这一环节的作用就是“抛描”。
自主探索——由教师向学生提供解决该问题的有关线索，以发展学生的“自主学习”能力。
协作学习——使学生在讨论、交流中，通过不同观点的补充、修正、质疑，加深每个学生对当前问题的理解。
效果评价——由于抛锚式教学要求学生解决面临的现实问题，学习过程就是解决问题的过程，即由该过程可以直接反映出学生的学习效果，相应地，评价也要注重过程性评价。
3．随机进入式教学
随机进入式教学模式关注了教学的随机性，体现了一种后现代的教学模式，其理论依据是建构主义学习论的一个新分支——弹性认知理论。它认为教学是预设的，更是生成的。由于事物的复杂性和问题的多面性，对同一教学任务，从不同的角度考虑可以得出不同的理解。所以，在教学设计时，更要关注教学的随机性、生成性，要注意对同一教学内容，在不同的时间、不同的情境下为不同的教学目标，要用不同的方式加以呈现。换句话说，学习者可以随意通过不同途径、不同方式进入同样教学内容的学习，从而获得对同一事物或同一问题的多方面的认识与理解，这就是所谓“随机进入教学”。
随机进入教学主要包括以下几个环节：
出示中心问题——问题是数学的心脏，教师通过设置与学习主题密切相关的典型问题，直接把学生引入到教学内容的情境中去。
随机进入教学——根据学生对问题情境作出的反映和学生所选择的内容，呈现新的问题情境（与当前学习主题的不同侧面相关的情境）。
思维发展训练——由于随机进入学习的内容通常不是预设的，因而呈现无序性和复杂性，所研究的问题往往涉及许多方面，因此在这类学习中，教师还应特别注意发展学生的思维能力。
小组协作学习——围绕呈现不同侧面的情境所获得的认识展开小组讨论，对教学中出现的不同见解进行思考、交流、深化、理解，达成共识。
学习效果评价——评价不是单纯由教师给出，还包括小组评价和自我评价，评价内容与前面一致。
了解并掌握了基本的教学模式后，我们要关心更为具体的操作方式、手段和教学途径，即课堂教学方法的设计与选择。
第二节中学数学教学方法
一、教学方法概述
教学方法是实现教学目标和教学任务的手段，是数学学习过程中最重要的组成部分之一，它是使学生掌握数学知识，形成创新意识，发展一般能力，养成良好的情感态度价值观等而进行的一整套有目的的活动，包括教师教的活动和学生学的活动。
教学方法不但包括教师教的方法，也包括学生学的方法，是教师引导学生掌握知识技能、获得身心发展以及师生共同发展的方法，是教与学相互协同，相互作用的共同活动，是教法与学法的统一。
选择恰当的教学方法，对提高课堂教学效益，充分发挥教师的组织者、引导者作用，调动学生的学习积极性、主动性，全面达成教学目标具有重要意义。高质量的教学与教师选用的教学方法是密不可分的，合理地、恰当地选择教学方法能启迪学生自觉地、积极地、创造性地学习和掌握数学知识与技能，发展学生的能力，使学生获得全面、充分的发展。因此，研究和掌握一些常用的教学方法是每个教师所必备的基本技能。
二、教学模式、教学策略与教学方法的关系
教学模式是指在一定的教学思想指导下，经过长期教学实践而形成的某种教学理论比较典型和比较稳定的简化表现形式，教学模式为组织教学环境提供一定的结构、程序和步骤，静态地看教学模式是一种多因素的结构，动态地看，教学模式就是一系列链接起来的活动。
教学策略是对教学模式的具体化，是教学设计的有机组成部分，是在特定的教学情境中为达成教学目标、完成教学任务，在清晰分析教学活动的基础上，对教学的形式和方法进行安排并进行调节与控制的执行过程。它包括了三层基本意思：第一，教学策略从属于教学设计；第二，教学策略的制定要依据特定的教学目标和教学对象；第三；教学策略既有观念功能又有操作功能。
教学方法则是更为详细具体的方式、手段和途径，是完成教学任务的具体办法，是一系列的活动方式、操作手段、实施路径。它包含了教与学两方面活动的协调一致。教学模式规定着教学策略、教学方法，属于较高层次，教学方法受制于教学模式和教学策略，介于教学策略与教学实践之间。教学模式与教学策略的设计最终要落实到教学方法上，从上面的分析可以发现，教学模式并不等同于教学方法，也不同于教学策略，但教学模式与教学方法是不能够截然分开的，而往往是教学过程中按照某种程序综合运用多种方法。
三、中学数学教学方法介绍
（一）讲授法
讲授法是由教师对所授教学内容作重点、系统的讲解与分析，学生集中注意力倾听的一种教学方法。
讲授法有利于控制课堂教学进程，使教学过程连贯、流畅，比较节约时间和人力。
一般来说，事实性知识；某一知识和方法的综合、概括、总结；对定义、定理的内涵、外延的引导性分析；解题过程的揭示与指导等明确的数学知识都可以作为讲授的内容。
如，一些基本的数学概念（如平行四边形、对数、指数等概念），一些基本的数学表示方法（如平行、垂直的表示方法等），基本的数学运算，基本的数学命题（如平行线的判定条件）和数学史实（如数系的引入、无理数、复数的发现史）等。
在进行教学设计时还应全面考虑所要学习的数学知识的教育价值。
例如，在用配方法解一元二次方程时，如果我们仅仅关注学生的运算技能的获得，那么可以使用讲解法，直接向学生讲授一些配方法解一元二次方程的例子，归纳出运算步骤和格式，然后通过例子巩固这一解题技能。如果我们更为关注在配方法解一元二次方程的学习过程中学生的数学转化能力的培养，也可以将这一内容设计为学生的探究活动。通过呈现具有一定层次的典型问题要求学生探究，学生在老师的引导下探究、交流并进行总结和归纳，能更好地发展化归能力。
在一定的条件下，一些知识超出了多数学生的日常经验和自我感悟能力，这时适当地将其外化并讲授给学生也是必要的。如在数学中一些重要的数学思想方法，更多的应该是学生的体会感悟，但也不排出在学生的知识水平尚无法对此进行提炼时，教师及时进行点破。例如，在二元一次方程组的解法教学中，可要求学生思考各种解法的本质，从而归纳出其中的消元思想。
有些内容虽然让学生经历相应的探究过程更具价值，但由于学生的认知水平有限，探究具有较大的困难，也可以直接讲授。
例如，无理数的概念，超出了人们的日常生活经验，是一种纯理性的思维结果，不可能让学生根据自己的生活经验探索出来。因此，可以通过介绍古希腊人发现无理数的故事，从人类理性的高度加以阐述，帮助学生接受无理数的存在，认识无理数。复数的概念也可以如此。
讲授方式也直接影响着学生接受的效果。同样的内容，讲授得生动形象，会激发学生的学习兴趣，给学生留下深刻的印象；讲授得具有启发性，便于学生接受与理解。如能设置恰当的情境，设置问题串，在讲授时留给学生一定的思考空间和时间，也能激发学生的思维活动，使学生主动思考，所以在运用讲授法时一定要精讲多练，安排足够的时间和有层次的巩固训练。
讲授法主要的不足之处在于学生主动活动机会少，学生一般处于被动接受状态，学习的行动没有预定的方向和要求，学生的主观能动作用不能得到很好的发挥，学生的观察、思维、想象能力得不到迅速发展，不利于培养学生主动探索精神。因此讲授法应与其它教学方法相结合，才能更好地培养学生的数学能力。
（二）合作学习法
1．合作学习的实质及其意义
合作学习是以学习小组为教学基本组织形式，系统地利用教学中动态因素的互动，促进学生的学习，并以团体成绩为评价标准，共同达到教学目标的一种教学方法。合作学习具有一定的目标导向，以教学动态因素的互动作为动力资源，强调各种教学因素之间的互动，特别是师生、生生之间的合作互动，以团体成绩作为评价依据，小组的活动被看成每一名成员的成就，不管是成功还是失败，实际上这一点是促进小组成员之间合作的一个基本保证。
合作学习的核心是学生之间的互助合作学习，合作学习的目的是要让人人参与学习过程，人人尝试成功的喜悦。
数学合作学习作为一种教学方法，其主要理论基础是建构主义学习理论、维果茨基的“最近发展区”理论和“群体动力”理论。
合作学习改变了传统课堂教学中静态的和单向的人际交往模式，教师将更多的学习时间留给了学生小组，通过生生、师生间平等交流与互动建立新型的师生关系，并以集体思维促进个体思维的发展，对学生的智力、情感及社会性都产生了积极的影响。在合作学习中，学生都是平等的学习主体，有利于学生主体性的发挥。
在合作学习中，学生感受到自己对团体的贡献，感受到别人对自己的尊重和关注，因而可以提高学生的自信心和自尊心，降低学习焦虑，提高成就动机，增强学习兴趣，能够激励学生发挥出自己的最高水平。
学生也感受到别人对团体的贡献，从而产生对别人的肯定态度，这样学生在相互尊重，相互理解，相互欣赏中，增进彼此间的情感交流，培养了学生的协作精神。
在合作学习中，学生可能提出各种不同的问题或者各种不同的解决问题的方法，进而共同讨论不同方法的优缺点，因而可以最大限度地发挥教学资源的作用。安全的、融洽的、平等的环境，为学生积极的思维活动创造了条件，有利于培养学生的创造新意识，也有助于教师因材施教，可以弥补一个教师难以面向众多有差异的学生进行教学的不足。
合作学习在培养学生的非智力品质方面具有比较显著的优势，它不仅关注学生认识目标的实现，而且更加关注学生情感目标的实现，尤其是在培养和形成学生的互助精神、合作意识、竞争意识、集体观念以及思维的深度和广度等方面具有比较显著的优势。
合作学习对提高学生的语言表达能力、交流沟通能力有显著的成效。
2．合作学习教学方法的教学设计和实施
合作学习是一种有效的教学方法，但它与传统的教学方法并不是替代关系，而是互补关系。合作学习不是万能的，并非所有内容的学习都可以通过合作学习进行。在教学设计时，首先要解决的问题是怎样分组，组内怎么合作，组间如何交流。
合作学习的分组：一般采取组内异质、组间同质的原则。小组人数一般在2—6人之间，并且这种分组可以随时调整。组长可采用轮换制，给每个同学以改变角色和锻炼的机会。
其次，合作学习的任务是团体任务，而不是个体任务，即任务所要求的资源（信息、知识、技能、材料等）是单个学习者不可能全部具有的。
一般来说，有一定的挑战性的，有利于引起认知冲突或有多种解决途径的，兼容各种操作方法，给每个参与者的个性发展和特长表现留有余地的；有助于求异与发散思维的发展的知识与问题适合合作学习。
第三，合作学习的内容一般按单元设计。一些规律性强、涵盖面广、迁移和应用范围大的知识应当首选；可以用不同事例、不同方法、从不同侧面去解决的课题，易于殊途同归、达成共识的，也适合选用；内容的构成易分解为若干具体的任务，可通过协作努力共同完成的，也可选取。那些富含大量可利用的课程资源，学生能够多方面介入，并且形成集体成果的问题，可为学生探究提供较大的空间；那些需要学生有更多交往活动的内容（如数学调查活动，数学小论文等），是合作学习很重要的载体。
第四，合作学习总是围绕某些问题来进行的，学生要学习和掌握的内容通常是以讨论问题的形式出现的，因此，教师在设计讨论问题时要注意以下几点：
（1）讨论问题要围绕课程标准和教材的重点和难点进行设计，数量要适度，不宜太多，更不能散，要避免随意设题；
（2）讨论问题难易要适度，要遵循“难度大于个人能力，小于小组合力”的原则；
（3）讨论问题要有一定的梯度和层次，问题之间要有一定的内在联系，有一定的逻辑性，以保证所学知识的完整和系统。
教师设计的小组合作学习的问题要有一定的挑战性。问题不能太难，不能超出学生的能力范围，要有的放矢，若问题太难，学生不知如何下手，不但解决不了问题，还造成学生望而生畏的恐惧心理，若任务的指向不明，学生无法讨论。当然也不能太简单，过简单就会使合作流于形式，思维停留在浅层，不能对问题进行实质性的探究分析，表面上看起来活跃，但久而久之，学生容易形成思维惰性，不利于创新意识的培养。
例如，在进行《圆柱的体积》的教学设计时，教师设计了一组思考题：①将圆柱体转化为长方体，在转化的过程中几何量发生了什么变化？②转化后得到的这个长方体的各部分与原来的圆柱体之间有怎样的联系？③由以上的讨论，大家能总结出圆柱体的体积公式吗？这样的设计步步为营，环环相扣，使学生有足够的空间去思考和探索，教学难点也迎刃而解。
第五，合作学习前要留给学生足够的独立思考时间，合作学习是建立在学生个体合作需要的基础上的，只有在学生个体解决某个数学问题遇到障碍，苦思而不得其解时进行合作学习才有价值，才有成效。如果教师呈现问题情境后，不留给学生思考时间，立刻开始小组讨论，这样学生还没来得及思考问题情境，更谈不上自己的独立方案，容易使讨论流于形式，达不到合作学习的目的。
第六，合作学习的次数要得当，一堂课的分组讨论不宜过多，每次讨论的时间要科学控制。若时间太短，学生刚进入角色，思维刚被激活，就匆忙结束。若时间过长，学生没有紧迫感，拖拖拉拉，浪费时间，都将导致合作学习流于形式。
第七，合作学习时，教师不应是旁观者，更不能做局外人，教师必须深入到每个小组，认真倾听大家的发言，适时地与小组成员进行交流，随时把握各组的学习情况。
3.全作学习的评价
对合作学习进行评价有两个最明显的特点：一是重视小组自评，二是以团体成绩为评价标准。合作学习通常不以个人的成绩作为评价依据，而是以各个小组在达成目标过程中的总体成绩作为评价与奖励的标准。这种评价机制注重把学生个人之间的竞争变为小组之间的竞争，形成一种组内成员合作，组间成员竞争的格局，把整个评价重心由鼓励个人竞争转向大家合作竞争，使学生在各自的小组中尽其所能，得到最大程度的发展。
讨论交流案例&&& ［案例5］&&& 平方差公式的几何证明
师：刚才，我们运用多项式乘法法则证明了平方差公式。那么，我们能否用几何图形来证明平方差公式呢？这可是我们从来没有做过的，我们可以大胆地试一试，看看从中你们能发现什么。
生：（齐答）好。
师：大家拿起课前发的那张纸卡，同学们观察一下这张纸卡是什么图形？
生：（齐答）正方形。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
师：阴影部分呢？
&生：也是正方形。
师：请你动手把阴影部分剪掉，然后求出所剩面积是多少？
同学们自己独立思考一下，再与小组同学交流。
&& （学生开始动手剪纸卡，并思考解决问题的办法，很快便与小组）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
的同学交流，大约用了5分钟时间
师：哪个组先来说一说。& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
生：我们组是这样做的：先设大正方形的边长为a，&&&&&&&&&&&&&&&
再设小正方形的边长为b，然后用大正方形的面积减去小正方形的面积就是剩余的面积。
写出算式。
师：其他组还有别的计算方法吗？
生：没有。
师：各小组同学再动手做一做，看看用什么办法能证明我们求得的面积是正确的，然后总结一下从中发现了什么。
（学生开始合作学习，教师深入各组巡视指导。大约15分钟后，只剩一个小组还在讨论，其余小组都做好了交流的准备）
师：哪个小组先发表你们的见解？
生：我们小组把纸卡剩余部分剪成两个长方形，再把这两个长方形拼成一个长方形，求得的这个长方形的面积与剩余面积正好相等。
师：请说出你们小组的计算式。
师：其他小组也是这样做的吗？
生：（齐答）是。
&师：那你们发现了什么呢？
生：这两种计算方法构成的等式正好是平方差公式，说明平方差公式是正确的。
师：你们还发现了什么呢？
生：代数问题也可用几何方法来证明。
师：同学们的这一发现太重要了，这就是数形结合思想。你们今天的表现太棒了！
这个案例安排了一个具体的情境——图形面积计算，教师让学生在合作学习中来解决平方差公式的证明问题。情境设置好，使学生在合作学习中有看的、有想的、有说的、有做的，既有知识上的收获，又有方法上的所得，同时也渗透了数形结合的思想。
（三）探究式教学法
1．探究性教学法的实质和意义
探究性学习是指不把现成的结论告诉学生，而是在教师指导下由学生以探究的方式发现问题、认识和解决问题，获得结论的学习和认知趋向。在教学中，创设一种类似于学术（或科学）研究的情境，通过学生自主、独立地发现问题，观察、实验、操作、调查、搜集与处理信息、表达与交流等探索活动，获得知识、技能、情感与态度的发展，特别是探索精神和创造能力的发展的一种教学方法。
基本结构为：创设情境→提出问题→自主探索→交流讨论→猜想验证→得出结论→拓展、应用。
探究式教学法的理论依据是多元智力论和建构主义学习理论。和接受学习相比，探究学习具有更强的自主性、问题性、实践性、参与性、开放性和生成性。经历探究过程以获得理智能力发展和深层次的情感体验，建构知识，掌握解决问题的方法，是探究学习要达到的三个基本目标。
应用探究性教学法要关注以下几个方面：
&①突出学生的探究，即创设问题情境，提供空间，引导学生探究。
②突出学生研究，即针对问题组织学生研究。
③突出学生学习，要求教师在进行教学设计时预设创设什么样的情境和问题能够激发学生主动探究学习。
&&& ④突出学生悟，悟就是解决问题，学会研究，是探究法的核心。悟的关键是“放”，放手让学生独立地想，去摸索，在试误中寻找正确的答案。在这里教师要注意的是，不是引导学生按教师的思路去思维，而是引导他们在自己的思路的基础上，得出问题结论。
&⑤突出多向思维，提倡多种角度、多种方法解决问题。
2．探究性教学方法的教学设计与实施
在教学设计中，首先要选好适合于探究学习的内容，并不是所有内容都适合探究学习，那种体现事物名称、概念、事实等方面的陈述性知识就不需要学生花时间去探究。适宜探究性学习的内容，大多是程序性知识、个人化的内隐知识，而不是公共的、外显的陈述性知识。就程序性的知识来说，要选那些学科领域中的核心知识，选择那些对提高学生的理解能力和创造性思维能力具有重要价值的知识，内容的难度应适合学生所处的年龄和能力水平。
程序性知识具有两种表现形态，一是“技术性知识”，如操作步骤、技术规范等，这种知识可以被“告知”，可以通过明确表述的程序语言加以外显化；二是“实践性知识”，这种知识是内隐的、个人化的知识，它不能以文字的方式直接由一个人传递给另一个人，它只能通过学习者亲身的参与、行动或实践，才能逐渐被意会到或体验到。
&“实践的知识”不是被“教”会的，而是在“做”的过程中被“悟”出来的。
在数学教学过程中，根据教学内容的特点，针对学生的心理特征，注重通过多种途径引导学生主动探究知识，获取知识，并运用知识解决问题，真正发动学生积极思考、探究。具体表现在：
①创设问题情境，激发学生参与兴趣，引发探究动机。
②关注现实生活，提出迫切需要解决的问题，促使学生寻找解决问题的方案。
③营造探究的氛围，在探究学习中，有的学生探究的结果可能是错误的，提出的问题可能是滑稽可笑的。教师对探究中出现的问题不要横加指责，要因势利导，引导学生冷静分析、反思，帮助学生找到解决问题的办法。
④把评价的主动权交给学生，鼓励学生大胆质疑，对猜想出的结论要学会验证和反驳，边分析边探究，自觉地把“评价方法”和“解决问题”连接在一起。
在学习《同角三角函数的基本关系》时，根据这一课时的内容适合学生探究的特点，在引导学生复习三角函数定义的基础上，激发学生积极参与、主动探究，学生们不但可以得出同角三角函数的基本关系，而且还得出了其它一些关系式，不但加深了理解，也培养了学生的探究和学习能力。具体的教学环节如下：&
&第一个环节创设问题情境
&以本节内容的重要性来激发学生的探索欲望，因为它是三角函数一章的教学重点和难点，8个同角三角公式不但在求值、化简和证明中有着广泛的应用，而且还可以由它推出许多三角公式。如果掌握不好这些基本关系，会给后续学习带来困难，并且根据三角函数的定义大家很容易自己推出这些公式。为便于探究，首先引导全班同学复习三角函数的定义，在复习时有意把sina与csca，cosa与seca，tana与cota放在一起，以便学生观察，并列举出这些同角三角函数之间的关系，如sina.csca=1， cosa.seca=1，tana..cota=1等，然后让学生动脑想一想，动手做一做，找出他们的联系。
组织合作小组交换自己发现的结果，然后讨论研究，归纳整理出同角三角函数间的关系。教师可向学生提示：研究它们间的关系可相乘、相除、平方等，这样学生通过探究就能找出许多关系。
第三环节 交流总结
各小组发言人汇报本组同学发现的结果，全班同学一起进一步进行评价研究，有些关系可由基本关系推出来。
如 sina=tana.cosa可由而得； 从而概括出8个基本关系式如下。
① 倒数关系：sina.csca=1，cosa.seca=1, tana.cota=1 ；
② 商数关系： ，
③ 平方关系：，，，&&&&&&&&&&
并使学生象科学家一样发现并证明公式。通过例子强化学生注意几点：①同角三角函数的基本关系应突出“同角”两字，使学生认识到不同角不行；②这8个基本关系都是对它们有意义的角a而言的，如果角a的值使关系式的任何一边失去意义，那么这个关系式就不成立，如在里，当时就不成立；③是的简写，不能写成，让学生区别并表达前者是正弦的平方，后者是平方的正弦，两者是迥然不同的。
拓展应用（略）
这节课采用探究性教学法，引导学生探索出同角三角函数的基本关系，这样学生不仅理解深刻、记忆牢固，而且会灵活运用，同时还培养了学生观察、分析、探索、研究的能力以及解决问题的能力。
每三节& 数学教学模式与教学方法的选择与整合
在教学活动中，不可能有一种普遍有效的可以适用于各种情况的万能教学模式、教学方法，也没有最好的教学模式，最有效的教学方法。任何一种教学模式、教学方法都有自身的功能、结构和一定的适用范围。如果超越了教学模式、教学方法的使用范围，将某一种教学模式、教学方法泛化，就会导致教学活动单调、重复和教学气氛枯燥乏味，遏制教师和学生的创造性的发挥。
例如，“活动—参与”模式，长于发展学生的探究精神和对具体知识的自我构建，但具体教学中要求教师有比较高的驾驭水平和调控能力，也比较难以保证课堂教学的进度；
“讲解—传授”模式长于知识技能训练，易于调控课堂，能较好地保证教学进度，但不利于调动学生的主动性和积极性，对培养学生探究精神和科学态度也不够理想；
“情境—问题”模式有利于培养学生创新意识与实践能力，但要求教师有较广泛的知识面和较强的应变调控能力。
选择合适的数学教学模式，通常可以从以下几个方面考虑：
1.根据教学目标进行选择
每一节课都有特定的教学目标，教学目标不同，所采用的教学模式也不同。如教学目标着眼于培养学生自学和独立思考能力的，可采用“自学—辅导”模式
；着眼于在单位时间内传授和学习较多的较为系统的基础知识和基本技能的，常采用“讲解—传授”模式；着眼于培养创造性思维能力的，可采用“情境—问题”模式；教学目标主要是培养实践能力的，常常采用“活动—参与”模式；主要是培养发现和探究能力的，常常采用“引导—发现”模式；主要是培养交流、表达能力，则常常采用“讨论—交流”模式等等。
2. 根据教学内容进行选择
首先，不同的学习内容也都有各自的特点，难易程度也不尽相同，对概念，定理、公式和法则以及例题等的学习，选择的教学模式也不相同。如数学定理、公式和法则的学习，可选择“引导—发现”模式；学习内容比较容易理解和掌握的课，可以采用“自学—辅导”模式
；学习实践内容比较丰富、可以进行操作的课，可以选用“活动—参与”模式；对容易产生混淆的数学知识和容易产生争议的内容的学习，一般选用“讨论—交流”模式。
其次，对于同一教学内容，教师的关注点不同，学生的认知情况不同，也会导致不同的教学设计，使用不同的教学模式。
例如，在轴对称现象的学习中，老师若更关注学生对轴对称现象的认识和轴对称的基本性质以及其中蕴涵的数学思想，可以采用“引导—发现”模式，先呈现一些对称图案，在教师的逐步启发下，找出这些图形的共同特征，然后要求学生进一步进行操作训练；如果教师更为关注通过图案分析，培养学生探究发现和数学交流的能力以及协作精神，则可选用“讨论—交流”模式，先呈现一些对称图形，让学生通过交流、讨论等小组学习形式，对观察、实验所得图形特征进行讨论和交流，然后再由学生或教师进行归纳总结；如果教师更为关注学生的实践操作能力和应用能力以及学生的情感态度与价值观（通过对称美来感受数学美、感受轴对称图形在现实生活中的运用价值），可采用“活动—参与”模式，在呈现一些生活中美丽的图案之后，要求学生通过剪、折、拼等实践活动，并在与同伴的交流中，探索发现轴对称图形的共同特征，然后再要求学生利用已掌握的轴对称图形知识与技能进行一些有象征意义的图案的设计。
3. 根据学生情况进行选择
在教学活动中，学生是学习的主体，因此学生情况也是选择数学教学模式的依据。每个班的学生的年龄特征、认知结构、学习水平、学习动机、学习态度、学习风格和已有的生活经验和学习经验各不相同，必须根据他们的特点选择适当的教学模式。如学生的自学能力较强，则可选用“引导—发现”或“自学—辅导”模式，学生年龄较小则应多用“活动—参与”模式，少用“讨论—交流”模式。
4. 根据教师特点和教学条件进行选择
任何教学模式、教学方法都要由教师来运用，都是在特定条件下才能运用。每一个老师有自己不同的特长、数学素养和教学风格，同时也受到教学条件（教材、教学设备、教学时间和空间等）的制约。这也是选择教学模式、教学方法的条件之一。
教学有方，教无定法，虽然数学教学模式具有一个相对稳定、明确的操作程序，但不意味着该教学模式是一成不变的，一种教学模式理论需要在实践中不断地进行充实提高与改进完善，否则就会被逐步淘汰。因此，任何教学模式、教学方法在具体的教学过程中都会产生各种变式，在具体的课堂教学中教师要灵活运用。另一方面，各种教学模式、教学方法是开放和相容的，很多情况下是几种教学模式、教学方法的综合运用。
教学设计应该把教学的着力点放在数学教学模式和教学方法上，学会运用模式来控制教学过程。通过对教学模式与方法的选择与调整，使教学活动更加符合教学实际的需求，使教学的各环节、各方面的配合更合理，更协调，也使我们在教学活动中逐步成长起来。
第四节数学教学情境的设计与选择
（一）教学情境概述
情境是一种特殊的教学环境，是教师为了发展学生的心理机制，通过调动情商来增强教学效果而有目的的构建的教学环境。良好的学习情境有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，启发学生思考。建构主义认为：学习是学生主动的建构活动，学习应与一定的情境相联系，在实际情境下进行学习，可以使学生利用原有的知识和经验同化新的知识，这样获取的知识，不但便于保持，而且容易迁移到新的问题情境中去。创设教学情境，不仅使学生容易掌握数学知识和技能，而且可以“以境生情”，使学生更好地体验教学内容中的情感，使原来枯燥的、抽象的数学知识变得生动形象，更有利于学生主动探索、合作交流，全面发展。
（二）教学情境的类型
数学情境的类型很多，在教学中应用较多的有以下几种：
1．数学问题情境　
即通过一定的数学和非数学的问题，引起学生认知结构之间的内部矛盾冲突。学生单凭现有的数学知识和技能暂时无法解决，于是激起学生的求知欲，使之产生非知不可的要求，再在教师的引导下，学生通过探究学习解决问题。例如“有理数及其运算”中“数怎么不够用了”的教学情境设计。
2．数学活动情境　
教师通过组织学生进行与本节教学知识相关的活动或游戏，构建教学情境，使学生在活动或游戏中提高学习数学的兴趣，掌握数学知识，感受数学情趣。
例如“机会的均等与不等”的教学设计中将班级分成几个小组，有的小组的盒子中全部放入白球，有的小组的盒子中全部放入红球，有的小组的盒子中放入相等的红球和白球数，让学生玩摸球游戏，以摸到红球者为胜。然后让学生思考为什么有的组总能摸到红球，有的组总是摸不到红球，有的组有时摸到的是红球，有时摸到的是白球。通过游戏活动让学生掌握什么是必然事件，什么是不可能事件，什么是随机事件，理解机会的均等与不等。
3．数学实验情境　
通过设计的数学实验，让学生通过观察、动手、分析、猜想等活动把本节课所学的数学知识内化而形成自己的认知结构，在实践操作中提高学生的分析和解决问题的能力。
例如 数学归纳法比较抽象，特别是学生对它为什么要有第二步不理解。可以设置下列实验情境：几十个骨牌一个紧挨着一个放在桌上，排成弯弯曲曲的蛇形队列，用一只手指推倒第１个骨牌，紧接着第２个骨牌，第３个骨牌……依次都倒下了。可以清楚地看到，要使每一个骨牌都倒下，除了第１个骨牌必须倒下外，还必须有：如果前面一个骨牌倒下，那么后面一个骨牌就紧接着倒下，也就是必须要当n=k成立时，n=k＋１也成立。
又如三角形内角和的教学中，可设置实验情境：让学生任意画一个或几个三角形，然后通过裁剪、拼凑得出三角形三内角和等于1800 ，然后再进行说理与证明。
4．数学故事情境
即通过数学史料中丰富的文化资源创设教学情境，激发学生学习数学的求知欲，并从中接受思想教育和爱国主义教育。
例如 勾股定理的教学中，通过我国首枚东方红卫星成功送入太空场景（在卫星上携带有向外星系展示地球文明的标志性建筑。特别值得一提的是画有几个直角三角形，几组特殊的数，（3、4、5），（5、12、13），……）。课题的引入富有科学特色和浓郁的数学气息，顿时激起学生强烈的求知欲，同时画面中出现的直角三角形，有效地把学生的注意力自然地引入到本节课所要研究的方向中来，此时学生已窃窃私语，情绪兴奋，这为课题的成功探究作了精神上的准备，因为探究性学习的前提是学生必须有探究的强烈愿望。
再如学习等差数列求前n项和的公式时，可用高斯小时候计算1＋2＋3＋……100的故事设置情境，既能引起学生的学习兴趣，又体现了推导等差数列求前n项和的公式的思路。
（三）情境创设的一些原则
问题情境应该具有现实性、趣味性、科学性、探究性和发展性。
1．现实性原则
情境的现实性一般表现在两个方面：一方面，现实的问题情境中蕴涵着大量的数学学习对象，通过这样的问题情境有利于学生良好数学观的养成，也有利于激发学生的学习兴趣。
［案例6］& 100万有多大
教师通过多媒体展示：国家统计局公布2005年我国人口总数已达13.06亿；据统计，全世界有3亿多球迷通过电视转播观看了中国与巴西的足球比赛；我校的总面积约为17.4万平方米；世界首富的总资产有540亿美元……学生自由发言，涉及的内容可以是世界每天死亡人数、出生人数，地球的半径，宇宙中的星球个数，每天我国消耗的物资（粮食、布料等），每年水士流失量，工农业生产总值等。从而引入具体的100万有多大？通过真实的活动过程来体会这些大数到底有多大和它们所表达的意义。
［案例7］ 生活中的立体图形
教学中首先呈现一些图片（包括学校的办公大楼、教学大楼、天安门城楼等）利用现实的生活背景让学生说出熟悉的几何体（如球体、长方体、正方体、圆柱等），引入教学内容，之后又展示球、长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱的教具模型，让学生认识观察这些几何体的特征。
另一方面，现实的问题情境也可能提供一个亟待解决的实际问题，要求学生应用所学数学知识去解决，这样的问题情境有利于提高学生解决具体问题的能力和应用数学的能力。
［案例8］& 波动的叠加
在物理学中已经学习了这样一个结论：两个具有相同周期的波动叠加后还是一个波，而且这个波与原来的两个波具有相同的周期（可通过教具或多媒体动态演示）。设原来的两个波动的方程分别是：
（也可视学生情况给出不同的波动方程，如）
那么，叠加后的波动方程应该是什么呢？通过这样的问题情境，引发学生解决实际问题，进而研究如何将化为同一函数。
通过学生非常熟悉的生活情境来进入学习，既激发学生的学习兴趣，又有利于使学生体会到数学来源于生活并服务于生活，当然也有效地完成了相应数学概念的引入与概括。
2.趣味性原则
学习的最大动力莫过于兴趣，因而，情境的趣味性也是问题情境创设的一个基本原则。首先，情境的内容要富有吸引力，能使学生爱看、爱想、爱提问；其次，情境的形式要新颖，让学生有新奇感；第三要言简意赅，让学生易于理解其意；第四要尽量生动形象，让学生有真实感和亲切感，这样才能使学生产生真切、积极的情感体验，才能有效地激发学生学习数学的兴趣和热情。
［案例9］ 让我们来做数学——试试看
教师利用学生比较感兴趣的传说故事，设计了下面的故事情境，以激起学生探索的欲望。
传说在2200年以前，夏禹治水到洛水。洛水中实然浮出一只大乌龟，乌龟背上有一个非常奇怪的图，图上有许多圈圈点点，这些点表示什么意思？大家弄不明白。经过观察和分析，人们发现图上的圈圈点点分别代表1－9的9个自然数，分别放在3×3九个格子里，而且每行、每列及对角线的和都是15。我国古代把这个方图叫九宫图。现在请同学们猜一猜，夏禹治水时在龟背上看到的图案是什么样的？
（四）对教科书情境的态度
教师应认真阅读教师教学参考用书，研究该情境的教学价值，在教学中将该情境的教育价值尽量充分体现出来，而不要轻易舍弃教科书中的教学情境。但是，教科书是一个静态的出版物，而具体的课堂教学的对象是千差万别的，不同的课堂存在着地域之间、城乡之间的差异以及文化背景和教学风格等的差异。就是同一课堂中也存在着很大的个体差异，学习者已有的生活经验和认知经验的不同，直接影响教学情境的选择。
教学设计时教师不仅应认真分析教科书中的问题情境的教育价值，也要分析学生的认知状况和学生的生活实际，根据学生的具体情况改进或创设更为适合学生的认知实际和生活实际的教学情境，把静止的画面变为动态的情境，从而取得更为高效的教学效果。
同时，教师自身的特征是制约教学情境设计的主观条件。教师在教学中表现出来的不同特征，从另外一个侧面影响着教学情境的设计。教师的个性是各不相同的，这些不同点主要包括教育教学观念、教育与学习理论知识的储备、组织调控能力、语言表达能力、教学研究能力、媒体应用能力、教学经验与教学风格等等。很显然，教师在考虑教学情境的选择时必须充分研究这些因素，使所选择的教学情境能够符合自己的个性特征。有的情境或方法虽好，但教师缺乏必要的条件，无法驾驭，那么再好的策略也是无济于事的。也就是说，我们不能迷信书本，只要你认为你所创设的教学情境确实能够取得原有教学情境的教育价值而又更符合学生的实际，符合自己的教学风格，就应大胆地创设新的教学情境。
［案例10］
无理数的引入
为了引入无理数的概念，教科书（北师大版·八年级上）设计了下面的一个活动：
用两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。
（1）设大正方形的边长为a，a满足什么条件？
（2）a可能是整数吗？说说你的理由。
（3）a可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流。
一些教师认为，剪拼活动消耗了较多时间，而且价值不大，因此直接要求学生思考单位正方形的对角线长或面积为2的正方形的边长。但是通过课堂教学的比较发现，经过这样的“改进”，学生解决问题的渠道明显减少。例如，直接思考面积为2的正方形的边长时，学生基本只能从对12 =1, 22 = 4…的观察中感受到边长不是整数，它在1和2之间，而用原来的情境时，学生除了上面的方法外，还比较多地从图形的特征思考问题，如很多学生说这个正方形的边长是直角边为1的等腰直角三角形的斜边，它大于任意一个直角边，小于两个直角边的和，同样可得出这个边在1和2之间。此外，这样的“改进”对学生的学习兴趣也有一定的负面影响。
［案例11］对顶角相等
在教学中可通过实际操作来验证“对顶角相等”这个平面几何的基本性质。具体操作时可在白纸上先画出对顶角，用量角器量对顶角是否相等；或用硬纸片制作一个角与一个对顶角相等，验证另一个角是否也与硬纸片制作的角相等。然后做出猜想：凡是对顶角都相等。这是通过图形测量，由具体到抽象的猜想过程。
然后，在白纸上先画直线S（如图4—4），把硬纸片制作一个角放在白纸上，一边与S重合，描出∠AOB；再把硬纸片绕着点0旋转180度到∠COD的位置。启发学生用直尺验证A0与0C是否在一条直线上。这是通过图形的变换，从角相等验证验证两个角是否为对顶角。最后，利用“同角的补角相等”证明“对顶角相等”。
有老师认为，“对顶角相等”这一性质，非常简单，
学生在学习上不会有困难，直接证明就可以了，而且直接证明还能节省时间。但是这样的设计，忽视了学生学习的过程。
实际上数学知识的学习不是仅为了会证明某一个定理、命题，会解某一道题目，更重要的是要让学生在学习中体会数学学
习的基本方法，解决问题的基本策略，学会如何学习，如何通&&&&&& 图 4—4
过观察、实验、操作、分析、归纳得出数学猜想，并学会合理地验证或反驳自己或别人的数学猜想、结论。
（五）情境创新的途径
1．对教科书中的情境的改造应用
教科书中有大量的数学情境，教师要根据自己的教学风格，学生的学习行为等多方面的因素进行选择和改造，可以从以下几个方面入手：
（1）根据原有情境的意义，选择一个类似的替代情境。如教科书里设置的例子可能是针对城市学生的学情，对农村学生可能不太适合，或者教科书设置的情境本班学生不太熟悉，这时可以选择学生生活中某些例子作为替代教学情境。
（2）对教科书中的一些原有的问题加以挖掘和加工。如对某些教学素材赋予一定的现实背景，将其情境化。
［案例12］& 100万有多大①
教科书中《100万有多大》一课设计了一个活动：估计100万粒大米的质量。老师在该课引入时，将教科书上的“读一读”改编成下面的故事和问题：古时候，某个王国里有一位聪明的大臣。他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此爱上了下棋。为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足大臣的一个要求。大臣说：“就在这个棋盘上放些米吧。第一格放1粒米，第二格放2粒米，第三格放4粒米，然后依次放8，16，32，…一直放到第64格”。国王哈哈大笑：“你真傻，就要那么一点大米？”大臣说：“就怕你的国库里没有这么多大米！算了，我只要21格的大米，请允许我把它们带回家。”同学们，你能帮这位国王算一算，第21格上大米大约有多少米粒吗？这米有多重？如果你是这位大臣，你准备怎样把这些大米运回家？
这样，既激起了学生的学习兴趣，又使学生测量估计100万大米的质量成为问题解决的必然步骤，十分自然。
讨论交流案例& ［案例13］ 考考数学家
《考考数学家》是北师大版七年级上册第五章《一元一次方程》的内容，在教该课时，教师设置了一个情境问题串，并通过多媒体手段逐步呈现。
问题1：当代数学家苏步青教授曾在法国遇到一个很有名气的数学家，在电车里给他出了一个题。
甲、乙两人同时出发，相对而行，距离是50km，甲每小时走3km
，乙每小时走2km ，问他们几小时可以碰到？苏步青教授一下子便回答出来了。你能回答上述问题吗？
问题2：接着这位法国数学家又说，甲带一只小狗，它每小时走5km ，同甲一起出发，
①义务教育课程标准实验教科书数学八年级上．北京：北京师范大学出版社，2003．25
碰到乙时它又往甲这边走，问小狗在甲、乙相遇时一共走了多少千米？苏步青教授思考了一会儿，在下车前就解决了这个问题。你知道他又是怎样解答的吗？
问题3：苏步青教授回国后，把这个问题向他的学生讲了之后，学生又向苏步青教授
问了几个问题。而苏步青也在很短时间内回答了这几个问题。你行吗？
如果乙带小狗，而小狗也以每小时走5km 的速度向甲跑，遇甲后又往乙跑，遇乙后又往甲跑，当两人相遇时，小狗跑的路程又是多少呢？
问题4 ：如果甲、乙、小狗都从同一点出发，同向而行，其速度终皆不变，而乙和小狗先出发3小时，甲后出发追赶乙，当甲追上乙时，小狗跑了多少米？
问题5：如果甲、乙、小狗都从同一点出发，同向而行，其速度终皆不变，而甲先出发5小时，乙和小狗才一起出发，当小狗追上甲时，甲走了多少千米？乙还能追上甲吗？为什么？
学生通过教师设计的问题串，从易到难、从简单到复杂、由老师带领自己探索和设计，充分感受到学习数学的趣味和意义。学生在老师的引导下展开学习，学生的思维也在不经
意中展开。这样学习和掌握知识，不是一种任务和负担，而是一种精神上的充实和享受。
（3）对教科书中的多个问题情境进行必要的整合。
为了方便抽象出有关概念或者希望学生获得比较全面的感受，编制教材时，编制人员往往创设了比较丰富的具体实例，以供教师教学时选择使用，这样既给教师的教学留下比较大的空间，又可以丰富学生的感受。但并不是将这些素材全部教给学生，这样的课堂显得比较零乱，难以成为一个整体，也缺少深度。为此，在教学设计时，应分析各个情境或活动的目的是什么，然后选择部分情境进行比较深入的研究或将这些情境进行整合。
［案例14］& 100万有多大
为了让学生借助自己熟悉的事物从不同角度对100万进行感受，发展数感，教科书中提供了“估计100万粒大米的质量”，“估计自己100万步的长度”，“估计语文课本一页的字数以及100万字的书有多厚”，“估计教室的面积，1万平方米的面积相当于多少间这样的教室，100万人站在一起约占多少间教室”，“测量数学课本的厚度，估计100万本这样的数学课本摞在一起有多高”等5项活动。在课堂教学活动中，部分教师按照课本的顺序让所有学生依次展开上面的5项活动。这样的课堂给学生一种比较零乱的感觉，学生不知教师带领自己从事一个个活动的目的是什么。马复教授认为未必要求所有的学生都开展所有的活动，可以按照活动对学生进行适当的分工，然后进行各小组之间的交流，或者干脆选择其中几项活动让全体学生参与。对每一项活动应尽量进行深入研究，以发挥更大的教学价值。
上面的5项活动中涉及的度量有质量、长度、面积、体积等，我们可以对这些问题进行整合设计下面的活动：
估计数学课本一页的字数；
估计100万本这样的数学课本摞在一起有你的教室高吗？有你所在城市最高的楼房高吗？你能用生活中的某个高度刻画这个高度吗？
100万本这样的数学课本平摊在地面上，估计占据了多大的面积，你们的教室内能摊得下吗？你们学校的操场呢？
100万本这样的数学课本放在一起，你们的教室能放得下吗？如果放不下，要多少间这样的教室？你们学校的体育馆能放得下吗？
100万本这样的数学课本装在载重4吨的卡车上，估计需要装多少车？如果卡车的长度是4米，这些卡车组成车队在行驶时相邻两车之间的距离要求不少于50米，装运100万本数学课本的卡车车队有多长？你能用生活中的距离来近似地进行刻画吗？
2．对学生现实生活的挖掘
当然，要想设计一个恰当的教学情境，仅仅停留在教科书的挖掘上还是远远不够的。教师主动的创造才是情境的最终源泉。为此，教师应广泛涉猎各门学科，具有更广阔的视野，尤其是关注现实生活，从现实生活中发掘优秀的教学情境。
［案例15］& 球的体积
球的体积如何求？南京师范大学附中的马明老师设计了“细沙实验”，用自测、猜想、实验、证明的方法，得到球体积公式。如图4—5，用细沙装满半球。将锥体放入圆桶，再将半球的细沙倒入圆桶，恰好填满圆桶除去圆锥的部分。于是猜想：。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
因此，球的体积是。然后，再用祖暅原理加以证明。
&& 由于 。
从学生的生活实际出发，创设了一个用实验的方法学习数学的教学情境。使学生通过动手、动脑感受知识的发生过程，主动地获得数学知识。
&［案例16］ 基本不等式
北大附中张思明老师在教基本不等式 和时，设置了这样的问题情境：
1）某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降价。有三种降价方案：甲方案是第一次打p折销售，第二次打q折销售；乙方案是第一次q打折销售，第二次打p折销售；丙方案是两次都打折销售，请问哪一种方案降价较多？
2）用一个有毛病（天平的两臂之长略有差异，其他因素忽略）的天平怎样称物体的重量？有人说只要左右各称量一次，再相加后除以2就可以了，你认为对吗？
这一教学情境的设置使学生处于“愤悱”状态，积极地投入到主动探索和研究的学习过程中去。
事实上，在现实生活中，这样的例子还有很多，我们要学会时刻留意和观察生活中的现象，学会收集素材，从学生的生活现实中挖掘素材。这样，在进行教学设计时，才能设计出生动活泼、符合学生生活及学习经验的数学教学情境，才能更好地开展教学活动，提高教学质量。
1．中学数学教学有哪些基本教学模式，各有什么长处与不足？各适用于那种类型的数学教学内容的教学。
2．中学数学教学有那几种常用的教学方法，它们各自的适用范围如何？
3．数学教学模式是怎样形成的？数学教学模式与数学教学设计有什么联系与区别？
4．你认为应用讲解法进行教学时，应如何启发学生？
5．教学策略与教学模式、教学方法之间有何关系。
6．教学策略与教学模式的选择应根据那些条件？你还有其它哪些建议？
7．你认为对教科书上给出的教学情境应该怎样处理？
8．自选一节课，结合自己的生活经验，分别设计出引入情境和学习新课的教学情境，并说明设计的理由。
9．就思考与练习三中第2题的教学设计，说明所应用的教学模式和教学方法以及选择该模式与方法的理由。