杭州电子科技大学
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课程编号：
& &《高等代数1》课程教学大纲&& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &&课程英文名&&Advanced &Algebra1&&课程编号&&A0711081&&课程类别&&学科基础课&&课程性质&&必修&&学&&& 分&&5&&总学时数&&80&&开课学院&&理学院&&开课教研室&&数学&&面向专业&&信息与计算科学、数学与应用数学、应用统计学&&开课学期&&1&&完成实现课程与毕业要求对应关系表中的能力要求&&数理基础知识，论证及计算能力，抽象思维能力，逻辑推理能力等&注：课程类别是指公共基础课/学科基础课/专业课/实践课/通识类选修课；课程性质是指必修/限选/任选&一、课程目标与教学任务高等代数是信息与计算科学专业、数学与应用数学专业、应用统计学专业的一门主要基础课。其基本概念、理论和方法具有较强的逻辑性、抽象性和广泛的实用性。其核心内容有两部分，一部分是研究矩阵理论；另一部分是研究有限维线性空间的结构和线性空间的线性变换。随着计算机应用的发展，代数学的作用日益显现。通过本课程的学习，要求学生（1）掌握好基本概念和基本理论，（2）培养其熟练的运算能力，（3）较强的逻辑思维能力及推理能力（4）为后续课程的学习做好知识储备。&二、课程内容与基本要求1.多项式了解数域概念及一元多项式、一元多项式环等概念,掌握多项式的运算。理解整除概念，熟练掌握带余除法。理解最大公因式概念及有关理论，熟练掌握最大公因式的辗转相除法。理解不可约多项式概念及其相关结论，了解因式分解定理。理解重因式概念，掌握存在重因式的判别方法，掌握根与系数的关系。了解实系数与复系数多项式的因式分解定理。掌握有理系数多项式的分解与求根方法，掌握Eisenstein判别法。2.行列式了解排列的逆序数及奇偶性。理解n阶行列式的定义。熟练掌握行列式的性质及行列式按一行（列）展开方法，并能熟练地运用行列式的性质进行行列式的计算。理解并掌握Cramer法则。了解Laplace定理。3.线性方程组理解消元法的思想，并会用消元法求解线性方程组。理解n维向量空间的概念，理解线性相关、线性无关、线性表示及向量组等价等概念，掌握线性关系有关的结论。理解极大线性无关组概念，理解向量组的秩及矩阵的秩的概念，并能求矩阵的秩，掌握用矩阵的初等行变换方法求向量组的极大线性无关组。熟练掌握线性方程组有解判别定理，掌握线性方程组的解的结构，掌握齐次线性方程组基础解系的概念及其求法。熟练掌握一般线性方程组的讨论方法与计算。4.矩阵理解矩阵概念，熟练掌握矩阵运算。理解方阵乘积的行列式及秩的有关结论。熟练掌握矩阵逆的概念及求逆方法。理解矩阵的分块及其运算。理解初等变换与初等矩阵的关系，熟练掌握初等变换的应用。初步掌握分块乘法的初等变换及应用。5.二次型理解二次型的矩阵表示，理解线性替换及矩阵合同等概念。理解二次型的标准形，掌握求二次型标准形的方法。理解二次型的规范形及惯性定理。理解正定二次型及正定矩阵概念，掌握判别矩阵正定的各个等价命题。了解其它有定二次型及其判别法。（三）实践环节及基本要求无&（四）与其它课程的联系先修课程：无；后续课程：高等代数2&（五）教学组织通过传统的教学方法来实现课程目标&六、学时分配&& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &&教& &学& 内& 容&&讲课时数&&实验时数&&实践学时&&上机时数&&自学时数&&习题课&&讨论时数&&多项式&&15&&3&&行列式&&11&&2&&线性方程组&&15&&4&&矩阵&&15&&4&&二次型&&9&&2&&合&&&&&&&&&&& 计&&65&&15&&七、考核方式该课程列为考试课；考试方式：闭卷；课程成绩评分：平时成绩（包括平时作业、课堂表现、作业、讨论等）和期末成绩占比为30%和70%。&八、教材与参考书教材：北京大学数学系编著，王萼芳，石生明修订，高等代数（第四版），高等教育出版社，2013.8&&参考书：1.丘维声著，高等代数（上、下）—大学高等代数课程创新教材，清华大学出版社，10.10&&&&&&&&&&2.钱吉林编著，高等代数题解精粹（第2版），中央民族大学出版社，2010.9&&&&&&&&&&3.胡适耕，刘先忠编著，高等代数（定理﹡问题﹡方法），科学出版社，2007.1&&&&&&&&&&4.杨子胥，高等代数习题解（修订版第2版），山东科学技术出版社，2006.9&九、说明&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&执笔人： 章春国审核人：赵易一．课程的教学目的和要求
通过这门课的学习，使学生掌握高等代数的基本知识，基本方法，基本思路，为进一步
学习专业课打下良好的基础，适当地了解代数的一些历史，一些背景。
要突出传授数学思想和数学方法，让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。突出高
等代数中等价分类的思想，分解结构的思想，同构对应的思想，揭示课程内部的本质的有机
通过活泼互动的课堂教学，刺激学生的学习兴趣；通过探索讨论课，调动学生的学习主
动性；通过写专题读书报告，训练学生的查阅资料和归纳总结的能力；通过难题攻关，享受
理解和应用数学思想和方法的乐趣，提高创新能力。
二．课程的主要内容：
《高等代数》分为两个部分主要内容。一块是基本工具性质的，包括多项式，行列式，
矩阵初步，二次型。既然是工具性质的，因而除了多项式内容外，也是数学专业以外的理科、
工科、经管类《线性代数》的内容。另外一块是研究线性空间的结构，这是研究代数结构的
起点和模型。从元素的角度看，研究向量间的线性表示，线性相关性，基向量；从子集角度
看，研究子空间和直和分解；从空间之间的关系来研究空间结构，就是线性映射，线性变换，
线性映射的核与值域，
标准形对应的空间分解。而欧氏空间则是具体的研究空间的
三．教学重点与难点：
在讲解内容的同时，要尽早地更多讲授高等代数中的数学的思想和方法，重点是传授代
数学的基本思想，如等价分类的思想，分解结构的思想，特别是同构对应的思想。所选教材
以线性空间为纲的做法，即把高等代数的主要内容放在线性空间的框架下展开，同时将必要
的代数方法做了尽可能详细的介绍。所以讲课的难点在于把握几何直观和代数方法的对应关
系和互动关系，使学生即能从几何的观点更好地理解内容，又可把握简洁和直接的代数方法。
四．课程教材和参考书：
姚慕生编著，高等代数，复旦大学出版社，第一版（
1.姚慕生编著，高等代数（指导丛书），复旦大学出版社（
北京大学数学系编，高等代数，高等教育出版社，北京（
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资料评价：
所需积分：0Eisenstein判别法的推广
Eisenstein判别法的功效在于能简便有力地判别一类多项式能否在Q[x]中可约,如多项式x2+2x+2在Q[x]中不可约(取p=2即可).但Eisenstein判别法却不能直接判别类似的多项式,如2x2+2x+1能否在Q[x]中可约.下述定理为Eisenstein判别法的推广,其中蕴涵Eisenstein判别法(取i=n时),利用它可扩充Eisenstein判别法的直接判别范围(见[1]).但原文的证明用了两个引理,研讨了多项式系数的因子分解矩阵,较为繁杂,本文为该定理的一种简单证明.定理设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(...&
(本文共2页)
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来稿日期:有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题,可以归结为整系数多项式能否分解为2个次数较低的整系数多项式的乘积的问题。Kronecker曾给出一个通过有限次计算,实际判断任意一个整系数多项式能否分解为次数较低的整系数多项式的乘积的方法[1]。但该方法较为繁琐,实用价值不大。关于整系数多项式在有理数域上是否可约的问题,有一充分的判定条件,这就是著名的Eisenstein判别法[2]。设f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn是1个整系数多项式。如果存在1个素数p,使得(1)p?an(2)p|ai,i=0,1,2,…,n-1(3)p2?a0那么f(x)在有理数域上不可约。Eisenstein判别法并不是对所有的在有理数域上不可约的整系数多项式都适用,即只是整系数多项式在有理数域上不可约的充分条件,而不是必要条件。为了扩大Eisenstein判别法的适用范围,可施行以下的变换与推广。1利用整系数多项式的...&
(本文共6页)
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(E,p)型数域在代数数论研究中具有重要的作用[1-9],其定义是由Eisenstein判别法得出的。本文将Eisen-stein判别法稍加推广,即可将(E,p)型数域推广。对推广后的(E,p)型数域进行讨论,得到一些相应的结果。首先介绍Eisenstein判别法和(E,p)型数域概念。引理1[1](Eisenstein判别法)设本原整系数多项f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0∈Z[x],且deg f≥1。如果存在素数p,使得p an,p|ai(0≤i≤n-1),p2a0,则f(x)为Z[x]中不可约多项式。定义1[2]((E,p)型数域)设f(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0∈Z[x],且deg f≥1。p为素数并且p|ai(0≤i≤n-1),p2a0。由引理1知f(x)是Q(x)中的不可约多项式。令ω是f(x)的一个根,则n次数域K=Q(ω)叫做是对于p的Eisenstein型数域,简称作(...&
(本文共4页)
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关于整系数多项式在有理数域上是否可约的问题,有一个充分的判定条件,这就是以下E isenstein判别法[1]设是一个整系数多项式.如果存在一个素数p,使得(1)(2)p|,ai,i=0,1,2,…,n-1;(3)p2 a0,那么f(x)在有理数域上不可约.E isenste in判别法并不是对所有的在有理数域上不可约的整系数多项式都适用,即它只是整系数多项式在有理数域上不可约的充分条件,而不是必要条件.为了扩大E isenste in判别法的适用范围,可对其进行以下推广.1 E isenste in判别法的若干推广形式首先,容易证明下面的命题1数域F上的n次多项式f(x)=z0+a1x+a2x2+…+anxn与f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an在F上同时可约或不可约.下面是E isenste in判别法的几种推广形式.这些新判别法仍是整系数多项式在有理数域上不可约的充分条件而不是必要条件,尽管它们...&
(本文共3页)
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一、引言1.推广的必要性近代数学中的因子分解理论及其方法在各个数学分支以及其他科学领域有着非常广泛的应用,如在计算代数理论、编码理论与密码学、微积分学、微分方程求解,以及计算机网络安全理论等方面。在高等代数课程中只介绍了数域K上的多项式环K[x]中多项式不可约性的Eisenstein判别法,本文将Eisenstein判别法推广到任意整环R的多项式环R[x]上。2.Eisenstein判别法的推广2.1对称形式的Eisenstein判别法定理2.1(对称形式的Eisenstein判别法)[4]设R是唯一分st(x),g(x),h(x)∈R[x]其中g(x)=i=0Σbixi,bs≠0,h(x)=i=0Σcixi,ci≠0,0r时,bk+m=0。由已知条件p｜ak+s得p｜bkcs,又因为p芑bk,从而p｜cs,这与p芑cs矛盾。所以f(x)在R[x]中不可约,则f(x)在P[x]中也不可约。证毕。2.2 Eisenstein判别法...&
(本文共2页)
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Eisenstein判别法〔11给出了一个利用系数判定多项式不可约的充分条件,自然是一犀利工其.特别,在讨论域的扩张时,它起到了重要的作用.本文将条件削弱,扩展了Eioenstein判别法的应用范围,从而得到域扩张方面的一些结果,将弱分歧全分歧循环扩张的条件推广到弱分歧非全分歧亚循环扩张的情形. 定理1设F是局部域,0是F的整环,,是素元,v是规范指数赋值,即v(刃一l,若多项式 f(,)~x,+。lx,一‘+…+a卜lx+。.,。‘〔O(l)满足 v(a。)~d)l,(d,。)~l, v(a,))d,i~1,…,n一1,则了(幻在F上不可约,且了(幻的根a定义一个全分歧扩张F(“)/F. 证设口是F的代数封闭域,a〔口是了(幻的一个根,由于 l(a)~。”十。1“一‘+…十‘_la十。。~O(2)及v(a,)》d0,推知v(“)0.否则,对于i~1,…,n,v(一。”)~。v(a)O立即得:对于若~l,…,,一1有 v(a产,...&
(本文共3页)
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《高等代数》考试大纲 - 数学科学学院
　　《高等代数》考试大纲
一、《高等代数》的课程性质
　　高等代数是数学与应用数学专业、信息与计算机科学专业和统计学专业一门重要基础课，是中学代数的继续和提高，但是又与中学代数有很大不同，表现在内容的深度和广度上，更主要表现在观点和方法上。具体表现在内容的高度抽象性、推理的严密性和解题技巧的独特性。本课程最活跃研究内容：数域上一元多项式理论、行列式、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换矩阵、欧氏空间和双线性函数。方法的特点：在阐述上更强调一般性原则，广泛使用公理化方法，用结构化方法揭示代数系统的内部构造，用矩阵表示作为主线，受整体、统一思想的支配，逐步抽象出高等代数的各个基本概念，揭示代数研究问题的基本方法。
二、《高等代数》课程的教学目的和要求
　　高等代数的教学目的要求是：通过本课程的学习，不仅要求学生掌握一元多项式和线性代数的基础知识、基本理论和基本技能，而且要求学生初步熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限的辩证关系。培养学生整体思考问题的能力，使之理解代数思想、公理化方法，把握概念的内涵和外延，提高抽象思维、逻辑推理、分析问题和解决问题的能力，为进一步后继课程的学习及继续深造或从事教学工作打下坚实的基础。
三、《高等代数》课程的知识点与考核要求
第一章：多项式
1、考核知识点：
　　（1）、一元多项式的定义、运算、性质，次数的定义和次数公式；
　　（2）、多项式整除的定义，整除的性质，带余除法；
　　（3）、最大公因子的定义、性质和求法；
　　（4）、多项式互素的概念和性质；
　　（5）、多项式的可约性，因式分解及唯一性定理，标准分解式；
　　（6）、重因式的概念与判别法，求多项式重因式的方法；
　　（7）、多项式函数、多项式根的概念，根的个数定理，多项式相等与根的关系，判别某数是多项式根的综合除法；
　　（8）、复数域和实数域上不可约多项式的特征，因式分解定理；
　　（9）、有理系数多项式是否可约的判别法，根与系数的关系，有理根的求法。
2、考核要求：
　　（1）、掌握数域F上一元多项式的概念、运算及多项式和与积的次数；
　　（2）、正确理解多项式的整除概念和性质、掌握带余除法；
　　（3）、掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素的概念和性质；　　（4）、理解不可约多项式的概念，掌握多项式唯一因式分解定理；
　　（5）、理解多项式的导数和重因式的概念，掌握多项式有无重因式的判别法；　　（6）、掌握多项式函数及多项式根的概念；
　　（7）、掌握复数和实数域上多项式因式分解定理；
　　（8）、熟练掌握有理系数多项式的有理根的求法和Eisenstein判别法。
第二章：行列式
1、考核知识点：
　　（1）、排列的定义、逆序、奇偶性，对换的概念，对换与排列奇偶性的关系；
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