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4.2相似三角形的判定和性质(2010年)
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关键字：.2相似三角形的判定和性质(2010年
1. (2010 四川省南充市) 如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E．
（1）求证：△ABD∽△CED．
（2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．
答案：（1）证明：∵　△ABC是等边三角形，
∴　∠BAC＝∠ACB＝60°．∠ACF＝120°．
∵　CE是外角平分线，　∴　∠ACE＝60°．
∴　∠BAC＝∠ACE．　　　　　……（2分）
又∵　∠ADB＝∠CDE，
∴　△ABD∽△CED．　　　　　……（4分）
（2）解：作BM⊥AC于点M，AC＝AB＝6．
∴　AM＝CM＝3，BM＝AB?sin60°＝ ．
∵　AD＝2CD，∴　CD＝2，AD＝4，MD＝1．　　　　　　　　……（6分）
在Rt△BDM中，BD＝ ＝ ．　　　　　　　……（7分）
由（1）△ABD∽△CED得， ， ，
∴　ED＝ ，∴　BE＝BD＋ED＝ ．　　　　　　　　　　……（8分）
.2 相似三角形的判定和性质
2. (2010 四川省内江市) 如图，在 中， 点 分别在 和 上， 与 相交于点 若 为 的中点， 的值为___________.
.2 相似三角形的判定和性质
3. (2010 四川省绵阳市) 如图，已知正比例函数y = ax（a≠0）的图象与反比例函致 （k≠0）的图象的一个交点为A（－1，2－k2），另—个交点为B，且A、B关于原点O对称，D为OB的中点，过点D的线段OB的垂直平分线与x轴、y轴分别交于C、E．
（1）写出反比例函数和正比例函数的解析式；
（2）试计算△COE的面积是△ODE面积的多少倍．
答案：（1）由图知k＞0，a＞0．∵ 点A（－1，2－k2）在 图象上，
∴ 2－k2 =－k，即 k2－k－2 = 0，解得 k = 2（k =－1舍去），得反比例函数为 ．
此时A（－1，－2），代人y = ax，解得a = 2，∴ 正比例函数为y = 2x．
（2）过点B作BF⊥x轴于F．∵ A（－1，－2）与B关于原点对称，
∴ B（1，2），即OF = 1，BF = 2，得 OB = ．
由图，易知 Rt△OBF∽Rt△OCD，∴ OB : OC = OF : OD，而OD = OB∕2 = ∕2，
∴ OC = OB ? OD∕OF = 2.5．由 Rt△COE∽Rt△ODE得
所以△COE的面积是△ODE面积的5倍．
.2 相似三角形的判定和性质
猜想、探究题
4. (2010 四川省绵阳市) 如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，G是BD的中点．若AD = 3，BC = 9，则GO : BG =（
D．11 : 20
.2 相似三角形的判定和性质
双基简单应用
5. (2010 四川省眉山市) 如图，Rt△AB ?C ? 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC ? 交斜边于点E，CC ? 的延长线交BB ? 于点F．
（1）证明：△ACE∽△FBE；
（2）设∠ABC= ，∠CAC ? = ，试探索 、 满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．
答案：（1）证明：∵Rt△AB ?C ? 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴AC=AC ?，AB=AB ?，∠CAB=∠C ?AB ?
………………（1分）
∴∠CAC ?=∠BAB ?
∴∠ACC ?=∠ABB ?
……………………………………（3分）
又∠AEC=∠FEB
∴△ACE∽△FBE
……………………………………（4分）
（2）解：当 时，△ACE≌△FBE．
…………………（5分）
在△ACC?中，∵AC=AC ?，
………（6分）
在Rt△ABC中，
∠ACC?+∠BCE=90°，即 ，
∴∠BCE= ．
∵∠ABC= ，
∴∠ABC=∠BCE
……………………（8分）
由（1）知：△ACE∽△FBE，
∴△ACE≌△FBE．………………………（9分）
.2 相似三角形的判定和性质
6. (2010 黑龙江省大庆市) 如图，等边三角形 的边长为3， 、 分别是 、 上的点，且 ，将 沿直线 折叠，点 的落点记为 ，则四边形 的面积 与 的面积 之间的关系是（
A． 　　　 B． 　　　
C． 　　　D．
.2 相似三角形的判定和性质
7. (2010 四川省泸州市) 如图，在平行四边形 中， 为 边上的一点，且 与 分别平分 和 .
(1)求证： ；
(2)设以 为直径的半圆交 于 ，连接 交 于 ，已知 ， ，求 值.
答案：（1）证明：在平行四边形 中， ∴
（2）解：在平行四边形 中，
又∵ 为半圆的直径，∴ ∴
.2 相似三角形的判定和性质
8. (2010 四川省凉山州) 如图，B为线段AD上一点，△ABC和△BDE都是等边三角形，连接CE并延长，交AD的延长线于F，△ABC的外接圆⊙O交CF于点M．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）求证： ；
（3）若过点D作DG//BE交EF于G，过G作GH//DE交DF于H，则易知△DHG是等边三角形．设△ABC、△BDE、△DHG的面积分别为 、 、 ，试探究 、 、 之间的数量关系，并说明理由．
答案：（1）证明：连结OB，
∵△ABC和△BDE都是等边三角形
∴∠ABC=∠EBD=60° ……………………………1分
∴∠CBE=60°，∠OBC=30°
∴∠OBE=90° ……………………………………2分
∴BE是⊙O的切线 ………………………………3分
（2）证明：连结MB,则∠CMB=180°-∠A=120°…………4分
∵∠CBF=60°+60°=120°
∴∠CMB=∠CBF
∵∠BCM=∠FCB
∴△CMB≌△CBF …………………………………5分
…………………………………6分
（3）解：作DG//BE，GH//DE ………………………………7分
∵AC∥BE∥DG
∵BC∥DE∥HG
∴ ………………………………………8分
∴ 即 ……………………………9分
.2 相似三角形的判定和性质
猜想、探究题
9. (2010 湖北省十堰市) 如图，已知 与 都经过点 ， 是 的切线， 交 于点 ，连结 并延长交 于点 ，连结 .
（1）求证： ；
（2）证明： ；
（3）如果 ，求 的长.
答案：解：（1） 是 的切线，
（2）延长 交 于点 连结 .
是 的直径，
又由（1）可知
（3）由（2）证可知 ，即 ，又
.2 相似三角形的判定和性质
猜想、探究题
10. (2010 湖北省咸宁市) 如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC， ， ， ．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当 时，求线段 的长；
（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；
（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究 是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．
答案：解：（1）过点C作 于F，则四边形AFCD为矩形．
此时，Rt△AQM∽Rt△ACF．……2分
即 ，∴ ．……3分
（2）∵ 为锐角，故有两种情况：
①当 时，点P与点E重合．
此时 ，即 ，∴ ．……5分
②当 时，如备用图1，
此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴ ．
由（1）知， ，
综上所述， 或 ．……8分（说明：未综述，不扣分）
（3） 为定值．……9分
当 ＞2时，如备用图2，
由（1）得， ．
∴四边形AMQP为矩形．
∴ ∥ ．……11分
∴△CRQ∽△CAB．
∴ ．……12分
.2 相似三角形的判定和性质
猜想、探究题
11. (2010 湖北省咸宁市) 问题背景
（1）如图1，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，
过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：
四边形DBFE的面积
△EFC的面积
△ADE的面积
（2）在（1）中，若 ， ，DE与BC间的距离为 ．请证明 ．
（3）如图2，□DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若
△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用（2）
中的结论求△ABC的面积．
答案：（1） ， ， ．……3分
（2）证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE为平行四边形， ， ．
∴△ADE∽△EFC．……4分
∴ ．……5分
∴ ……6分
（3）解：过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形．
∴ ， ， ．
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴△DBE≌△GHF．
∴△GHC的面积为 ．……8分
由（2）得，□DBHG的面积为 ．……9分
∴△ABC的面积为 ．……10分
（说明：未利用（2）中的结论，但正确地求出了△ABC的面积，给2分）
.2 相似三角形的判定和性质
猜想、探究题
12. (2010 浙江省台州市) 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．
（1）求证：△DHQ∽△ABC；
（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；
（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？
答案：（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，
∴ =90°，HD=HA，
∴ ，……………………………………………3分
∴△DHQ∽△ABC．……………………………………………………1分
（2）①如图1，当 时，
ED= ，QH= ，
此时 ．………………………3分
当 时，最大值 ．
②如图2，当 时，
ED= ，QH= ，
此时 ．………………………2分
当 时，最大值 ．
∴y与x之间的函数解析式为
y的最大值是 ．……………………………………………………1分
（3）①如图1，当 时，
若DE=DH，∵DH=AH= ， DE= ，
∴ = ， ．
显然ED=EH，HD=HE不可能；……………………………………1分
②如图2，当 时，
若DE=DH， = ， ；……………………………1分
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合， ；…………1分
若ED=EH，则△EDH∽△HDA，
∴ ， ， ．
………………1分
∴当x的值为 时，△HDE是等腰三角形.
（其他解法相应给分）
.2 相似三角形的判定和性质
13. (2010 湖北省武汉市) 已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连结AC，BD交于点P．
(1) 如图1，当OA=OB，且D为OA中点时，求 的值；
(2) 如图2，当OA=OB，且 时，求tan∠BPC的值．
(3) 如图3，当AD∶AO∶OB=1∶n∶ 时，直接写出tan∠BPC的值．
答案：解：(1) 延长AC至点E，使CE=CA，连接BE，∵C为OB中点，
∴△BCE≌△OCA，∴BE=OA，?E=?OAC，∴BE//OA，
∴△APD∽△EPB，∴ = ．又∵D为OA中点，
OA=OB，∴ = = ．∴ = = ，∴ =2．
(2) 延长AC至点H，使CH=CA，连结BH，∵C为OB中点，
∴△BCH≌△OCA，∴?CBH=?O=90?，BH=OA．由 = ，
设AD=t，OD=3t，则BH=OA=OB=4t．在Rt△BOD中，
BD= =5t，∵OA//BH，∴△HBP∽△ADP，
∴ = = =4．∴BP=4PD= BD=4t，∴BH=BP．
∴tan?BPC=tan?H= = = ．
(3) tan?BPC= ．提示：可以获得PD=AD=1,仍有则∠BPC=∠DPA=∠A，tan∠BPC=tan∠A= ．
.2 相似三角形的判定和性质
猜想、探究题
14. (2010 四川省乐山市) 如图（11），在矩形 中， 是 边上一点，连结 并延长，交 的延长线于点 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若P为BC边上的任意一点，求证 ．
答案：（1）解：四边形ABCD为矩形，
∴AB=DC，AB∥DC， ………………………………………………………………1分
△DPC ∽△QPB，
………………………………………………………3分
∴ ………………………………………………5分
（2）证明：由
得 ……………………………………………………………………6分
∴ …………………………………………………………7分
………………………10分
.2 相似三角形的判定和性质
15. (2010 黑龙江省绥化市) 已知在 中， 点 在 上，且
当点 为线段 的中点，点 分别在线段 上时（如图1），过点 作 于点
于点 可证 得出 （不需证
当 点 分别在线段 或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，
请写出线段 之间的数量关系，并任选其一给予证明.
解：如图2，如图3中都有结论：
选如图2：在 中，过点 作 于 ， 于
∴四边形 是矩形，∴ ，
又∵ 和 中：
若选如图3，其证明过程同上．（其他方法如果正确，可参照给分）
.2 相似三角形的判定和性质
猜想、探究题
16. (2010 黑龙江省绥化市) 如图所示，已知 和 均是等边三角形，点 在同一条直线上， 与 交于点
与 交于点 连接 则下列结论：① ② ③ ④ 其中正确结论的个数（　　）
.2 相似三角形的判定和性质
双基简单应用
17. (2010 广西桂林市) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结
AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．
（1）证明：AF平分∠BAC；
（2）证明：BF＝FD；
（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．
答案：证明：（1）连结OF
∵FH是⊙O的切线
……………1分
∵FH∥BC ，
∴OF垂直平分BC
∴AF平分∠BAC
…………3分
（2）证明：由（1）及题设条件可知
∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2
……………4分
∴∠1+∠4=∠2+∠3
∴∠1+∠4=∠5+∠3
……………5分
∠FDB=∠FBD
………………6分
（3）解： 在△BFE和△AFB中
∵∠5=∠2=∠1，∠F=∠F
∴△BFE∽△AFB
………………7分
∴ ， ……………8分
……………………9分
…………………10分
.2 相似三角形的判定和性质
双基简单应用
18. (2010 四川省成都市) 已知：如图， 内接于 ， 为直径，弦 于 ， 是 的中点，连结 并延长交 的延长线于点 ，连结 ，分别交 、 于点 、 ．
（1）求证： 是 的外心；
（2）若 ，求 的长；
（3）求证： ．
答案：（1）证明：∵ 是 的中点，∴ ．
∵ 是 直径，∴ ．
∴在 中，有 ．
∵ 直径 ，∴ ．
∴在 中，有 ．
∴ 是 的外心．
（2）解：∵ 直径 于 ，
∴在 中，由得 ．
∴由勾股定理，得 ．
∵ 是 直径，
∴在 中，由 ，
易知 ∽ ，∴ ．
（3）证明：∵ 是 直径，∴ ．
又 ，∴ ．
∴ ，即 ．
易知 ∽ ，
∴ ．（或由射影定理得）
由（1），知 ，∴ ．
.2 相似三角形的判定和性质
猜想、探究题
19. (2010 四川省成都市) 已知：在菱形 中， 是对角线 上的一动点．
（1）如图甲， 为线段 上一点，连接 并延长交 于点 ，当 是 的中点时，求证： ；
（2）如图乙，连结 并延长，与 交于点 ，与 的延长线交于点 ．若 ，求 和 的长．
答案：（1）证明：∵ 为菱形，∴ ．
∵ 是 的中点，
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ≌ ．（ASA）
（2）解：如图，过A作 ，与 的延长线交于T．
∵ABCD是菱形，∠DCB=60 ，
∴AB = AD=4，∠ABT=60 ．
∵ ，∴ ∽ ．
则 ，即 ， ．
∵ ，∴ ．
同理可得 ∽ ．
则 ，即 ， ．
.2 相似三角形的判定和性质
猜想、探究题
20. (2010 重庆市潼南县)
与 的相似比为3：4，则 与 的周长比为
答案：3：4
.2 相似三角形的判定和性质
21. (2010 浙江省丽水市) 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．
(1)　判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(2)　P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上
的7个格点，请在这7个格点中选取3个点
作为三角形的顶点，使构成的三角形与
△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角
形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．
答案：解：(1)　△ABC和△DEF相似．………………………………………………2分
根据勾股定理，得　 ， ，BC=5 ；
∵　 ，…………………………………………3分
∴　△ABC∽△DEF．………………………………………………1分
(2)　答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．…………………4分
△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D，
△P4P5D，△P2P4 P5，△P1FD．
.2 相似三角形的判定和性质
22. (2010 广西梧州市) 如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），∠OBA＝90°，BC∥OA， OB＝8，点E从点B出发，以每秒1个单位长度沿BC向点C运动，点F从点O出发，以每秒2个单位长度沿OB向点B运动. 现点E、F同时出发，当F点到达B点时，E、F两点同时停止运动.
（1）求梯形OABC的高BG的长.
（2）连接EF并延长交OA于点D，当E点运动到几秒时，四边形ABED是等腰梯形.
（3）动点E、F是否会同时在某个反比例函数的图象上？如果会，请直接写出这时动点E、F运动的时间t的值；如果不会，请说明理由.
答案：解法一：
（1）根据题意，得：OA＝10，OB＝8，∠OBA＝90°
……………………………………1分
∵ ∠ABO＝∠AGB＝90°
∴△ABO ∽△AGB……………3分
∴AG＝6×6÷10＝3.6
BG＝8×6÷10＝4.8………………4分
（2）设当E点运动到t秒时，四边形ABED是等腰梯形，由题意得：
BE＝t，OF＝2t，BF＝8－2t………………………………5分
∴∠EBF＝∠DOF，
又∵∠BFE＝∠OFD
∴△BEF ∽△ODF
∴ OD= …………………6分
过点E作EH⊥OA，垂足为点H，则有EH＝BG，HG＝BE＝t ，
∴Rt△EDH≌Rt△BAG
∴DH＝AG＝3.6，
∵OD+DH+HG+AG＝10
∴ ，………7分
解之得： .
经检验： 是原方程的解. ………8分
又∵ ，所以当点E运动到 秒时，四边形ABED是等腰梯形. …9分
(3)点E、F会同时在某个反比例函数的图象上. ……………10分
当t = 时，E、F在同一个反比例函数的图象上. …………12分
解法二：（1）根据题意，得：OA＝10，OB＝8，∠OBA＝90°
…………………………………………………1分
根据△OBA的面积计算，可知： ×OB×AB＝ ×OA×BG
∴BG＝8×6÷10＝4.8
………………………4分
（2）设当E点运动到t秒时，四边形ABED是等腰梯形，则有：
BE＝t，OF＝2t，BF＝8－2t…………………………5分
∴∠EBF＝∠DOF，
又∵∠BFE＝∠OFD ∴△BEF ∽△ODF
∴ OD= ……………………6分
过点E作EH⊥OA，垂足为点H，根据题意，得，EH＝BG，HG＝BE＝t
又∵ ED＝AB
∴Rt△EDH≌Rt△BAG
在Rt△ABG中，BG＝4.8，AB＝6
∴AG＝ ＝3.6，
∵OD+DH+HG+AG＝10
∴ ，………………7分
解之得： .
经检验： 是原方程的解. ……………8分
又∵ ，所以当点E运动到 秒时，四边形ABED是等腰梯形. …9分
(3) 点E、F会同时在某个反比例函数的图象上. …………10分
当t = 时，E、F同时在某个反比例函数的图象上.…12分
提示：过F作FK⊥OA，
则F（1.6t，1.2t），E（6.4－t，4.8）
动点E、F同时在某个反比例函数的
图象上，则有
.2 相似三角形的判定和性质
23. (2010 甘肃省天水市) 如图， 是 的直径，点C在圆上， ，则图中与 相似的三角形个数有（
C．3个　　Ｄ．4个
.2 相似三角形的判定和性质
24. (2010 青海省西宁市) 如图，在△ 中，AD⊥BC,垂足为D.
(1) 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作△ 的外接圆⊙O，作直径AE，连接BE.
(2) 若AB=8,AC=6,AD=5,求直径AE的长.(证明△ ∽△ .)
答案：解：（1）正确作出△ 的外接圆⊙O ………………………………………3分（图略）
正确作出直径AE……………………………………………………4分（图略）
（2）证明：由作图可知AE为⊙O的直径
∴∠ABE=90°（直径所对的圆周角是直角）
∴∠ADC=90°
∴∠ABE=∠ADC
∴△ABE∽△ADC
……………………………8分
.2 相似三角形的判定和性质
25. (2010 广西梧州市) 如图，在 ABCD中，E是对角线BD上的点，且EF∥AB，DE︰EB＝2︰3，EF＝4，则CD的长为
.2 相似三角形的判定和性质
双基简单应用
26. (2010 浙江省宁波市) 如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为(-2，0)，点
D的坐标为 (0， )，点B在 轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直
线 与 轴交于点F，与射线DC交于点G.
(1)求∠DCB的度数；
(2)当点F的坐标为(-4，0)时，求点G的坐标；
(3)连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF’，记直线EF’与射线DC的交点为H.
①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE；
②若△EHG的面积为 ，请直接写出点F的坐标.
答案：解：(1) 在Rt△AOD中，
∵tan∠DAO= ，
∴ ∠DAB=60°. …………………………………………………2分
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠DCB=∠DAB=60°……………………………………………3分
(2) ∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠DGE=∠AFE
又∵∠DEG=∠AEF，DE=AE
∴△DEG≌△AEF ………………………………………………4分
∵AF=OF-OA=4-2=2
∴点G的坐标为(2， )……………………………………6分
(3)①∵CD∥AB
∴∠DGE=∠OFE
∵△OEF经轴对称变换后得到△OEF’
∴∠OFE=∠OF’E…………………………………………7分
∴∠DGE=∠OF’E
在Rt△AOD中，∵E是AD的中点
∴OE= AD=AE
又∵∠EAO=60°
∴∠EOA=60°， ∠AEO=60°
又∵∠EOF’=∠EOA=60°
∴∠EOF’=∠OEA
∴AD∥OF’ ……………………………………………………8分
∴∠OF′E=∠DEH
∴∠DEH=∠DGE
又∵∠HDE=∠EDG
∴△DHE∽△DEG……………………………………………9分
②点F的坐标是F1( ，0)，F2( ，0). ……12分
(给出一个得2分)
对于此小题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求.
过点E作EM⊥直线CD于点M，
∴∠EDM=∠DAB=60°
∵△DHE∽△DEG
当点 在点 的右侧时，设 ，
　　　　　　∴
解得： （舍）
∵△DEG≌△AEF
∵OF=AO+AF=
∴点F的坐标为( ，0)
当点 在点 的左侧时，设 ，
解得： （舍）
∵△DEG≌△AEF
∵OF=AO+AF=
∴点F的坐标为( ，0)
综上可知， 点F的坐标有两个，分别是F1( ，0)，F2( ，0).
.2 相似三角形的判定和性质
27. (2010 宁夏回族自治区) 已知：正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE=DF，AE与BF交于点M．
（1）求证：△ABF≌△DAE；
（2）找出图中与△ABM相似的所有三角形（不添加任何辅助线）．
答案：(1)证明：在正方形ABCD中：
且∠BAD=∠ADC=
∴AD-DF=CD-CE
在△ABF与△DAE中
∴△ABF≌△DAE（SAS）----------------------------------------------------------------------------3分
（2）与△ABM相似的三角形有：△FAM; △FBA; △EAD----------------------------------6分
.2 相似三角形的判定和性质
28. (2010 湖南省益阳市) 我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等.
一条直线l与方形环的边线有四个交点 、 、 、 ．小明在探究线段 与
的数量关系时，从点 、 分别向对边作垂线段 、 ，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：
⑴当直线l与方形环的对边相交时（如图 ），直线l分别交 、 、 、 于 、 、 、 ，小明发现 与 相等，请你帮他说明理由；
⑵当直线l与方形环的邻边相交时（如图 ），l分别交 、 、 、 于 、 、 、 ，l与 的夹角为 ，你认为 与 还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出 的值（用含 的三角函数表示）.
答案：⑴解:
在方形环中，
∴ 　　　　　　　　 ……………………………5分
⑵解法一：∵
　　　∴ ∽
……………………………8分
（或 ）………………………10分
①当 时，tan =1,则
（或 ）……………………………12分
解法二：在方形环中，
在 与 中，
（或 ）　……………………………10分
（或 ） 　　　　……………………………12分
.2 相似三角形的判定和性质
29. (2010 广西柳州市) 如图， 是 的直径，弦 ， 是弦 的中点， ．若动点 以 的速度从 点出发沿着 方向运动，设运动时间为 ，连结 ，当 值为　　　　 时， 是直角三角形．
答案：1或 或
.2 相似三角形的判定和性质
30. (2010 江苏省苏州市) 如图，在 中， 两点分别在 边上.若
则 的长度是（
.2 相似三角形的判定和性质
31. (2010 湖南省湘西市) 如图，△ 中,DE∥BC， ， ，
则 边的长是
　　D．7cm
.2 相似三角形的判定和性质
32. (2010 内蒙古呼和浩特市) 如图，等边 的边长为12cm，点D、E分别在边AB、AC上，且 cm，若点F从点B开始以2cm/s的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为 秒，当 时，直线 与过点 且平行于 的直线相交于点 ， 的延长线与 的延长线相交于点 ， 与 相交于点 ．
（1）设 的面积为S（cm ），求S与t的函数关系式；
（2）在点F运动过程中，试猜想 的面积是否改变．若不变，求其值；若改变，请说明理由．
（3）请直接写出 为何值时，点 和点 是线段 的三等分点．
答案：解：（1）作 ，垂足为M
（2）猜想：不变． 4分
情况①： 时，
情况②： 时，有
情况③： 时
综上所述，当点F在运动过程中， 的面积为
（每种情况各1分）
.2 相似三角形的判定和性质
33. (2010 浙江省嘉兴市) 如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连结AE交CD于M，连结BD交CE于N．给出以下三个结论：
其中正确结论的个数是（　 　）
.2 相似三角形的判定和性质
34. (2010 浙江省嘉兴市) 如图，已知AD为△ABC的角平分线， 交AC于E，如果 ，那么 （　 　）
.2 相似三角形的判定和性质
双基简单应用
35. (2010 江苏省宿迁市) 如图， 是⊙O的直径， 为 延长线上的任意一点， 为半圆 的
中点， 切⊙O于点 ，连结 交 于点 ．
求证：（1） ；
答案：证明：(1)连接OC、OD………………1分
∴OD⊥PD ，OC⊥AB
∴∠PDE= —∠ODE，
∠PED=∠CEO= —∠C
又∵∠C=∠ODE
∴∠PDE=∠PED
…………………………………………4分
…………………………………………5分
(2) 连接AD、BD
………………………………………6分
∵∠BDP= —∠ODB，∠A= —∠OBD
又∵∠OBD=∠ODB
∴∠BDP=∠A
∴ PDB∽ PAD
………………………………………………8分
…………………………………………………10分
.2 相似三角形的判定和性质
36. (2010 广西贺州市) 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．
（1） 求证：△ADE∽△EFC ；
（2） 如果AB=6，AD=4，求 的值．
答案：（1）∵DE∥BC,EF∥AB
∴∠1=∠C, ∠A=∠2.
……………………2分
∴△ADE∽△EFC
………………3分
（2） ∵AB∥EF ,DE∥BC， ∴四边形BDEF为平行四边形。
………………………………4分
∵AB=6，AD=4。∴EF=BD=AB-AD=6-4=2
…………5分
…………6分
(注：用其它方法证明正确的均给予相应的分值。)
.2 相似三角形的判定和性质
双基简单应用
37. (2010 湖北省黄石市) 如图，直角梯形 中，
则 的长为(
A． 　　　　Ｂ．2　　　　Ｃ．3　　　　Ｄ．2
.2 相似三角形的判定和性质
双基简单应用
38. (2010 重庆市) 已知△ 与△ 相似且对应中线的比为 ，则△ 与△ 的周长比为
答案：2∶3
.2 相似三角形的判定和性质
39. (2010 浙江省杭州市) 如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上.
(1) 求证：△ABD∽△CAE；
(2) 如果AC =BD，AD = BD，设BD = a，求BC的长.
答案：(1) ∵ BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，
∴ ?DBA = ?CAE,
△ABD∽△CAE. ………………………………4分
∵AB = 3AC = 3BD，AD =2 BD ，
∴ AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2，
∴?D =90°,
由（1）得 ?E =?D = 90°,
∵ AE= BD , EC = AD =
BD , AB = 3BD ，
∴在Rt△BCE中，BC2 = (AB + AE )2 + EC2
= (3BD + BD )2 + ( BD)2 =
BD2 = 12a2 ,
………………………………………… ……….6分
.2 相似三角形的判定和性质
40. (2010 湖南省郴州市) 如图，已知?ABC中， ， ，D是AB上一动点，DE∥BC，交AC于E，将四边形BDEC沿DE向上翻折，得四边形 ， 与AB、AC分别交于点M、N.
（1）证明：?ADE
（2）设AD为x，梯形MDEN的面积为y，试求y与x的函数关系式. 当x为何值时y有最大值？
答案：（1）证明：
因为DE∥BC，所以 ，
…………………..2分
（2）因为 ，?ADE
，相似比为 ，
所以 ，所以
…………………..4分
…………………..6分
所以当 时，y有最大值.
…………………..10分
.2 相似三角形的判定和性质
41. (2010 广西桂林市) 如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE
与△ABC的面积比为（
.2 相似三角形的判定和性质
42. (2010 上海市) 如图， △ 中， ．半径长为1的圆 与边 交于点 、与边 交于点 ，联结 并延长，与线段 的延长线交于点 ．
(1) 当 时，联结 ，若△ 与△ 相似，求 的长；
(2) 若 ， ，求 的正切值；
(3) 若 ，设 ，△ 的周长为 ，求 关于 的函数解析式．
答案：解：(1) 当 时，易得△ 是等边三角形．
∴ ， ．∴ ．
∵△ 与△ 相似，∴ ．
在 △ 中， ．
(2) 在 △ 中，∵ ， ，
∴ ，得 ．
(方法一) 过点 作 ，交线段 于点 ．
∴ ．又∵ ，∴ ．∴ ． (1分)
(方法二) 过点 作 ，交线段 延长线于点 ．
　得 ， ．
　又∵ ，∴ ．
(3) (方法一) 过点 作 ，交线段 于点 ，易得 ．
在 △ 中， ，
即 ，得 ．
又由于 ，即 ，得 ．
所求的函数解析式为 ．
(方法二) 过点 作 ，交线段 延长线于点 ．
易得 ， ， ．
在 △ 中， ，
即 ，得 ．
所求的函数解析式为 ．
.2 相似三角形的判定和性质
43. (2010 山东省烟台市) 如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是(
A.AB2=BC?BD
B.AB2=AC?BD
C.AB?AD=BD?BC
D.AB?AD=AD?CD
.2 相似三角形的判定和性质
双基简单应用
44. (2010 重庆市江津区) 如图，在Rt△ABC 中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ 绕点 顺时针旋转90 后，得到△ ，连接 ．下列结论中正确的个数有（
C．３个　　 D．４个
.2 相似三角形的判定和性质
双基简单应用
45. (2010 山东省威海市) 如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A1B1C1．
﹙1﹚将△ABC，△A1B1C1如图②摆放，使点A1与B重合，点B1在AC边的延长线上，连接CC1交BB1于点E．求证：∠B1C1C＝∠B1BC．
﹙2﹚若将△ABC，△A1B1C1如图③摆放，使点B1与B重合，点A1在AC边的延长线上，连接CC1交A1B于点F．试判断∠A1C1C与∠A1BC是否相等，并说明理由．
﹙3﹚写出问题﹙2﹚中与△A1FC相似的三角形
答案：（1）证明：由题意，知△ABC≌△A1B1C1，
∴ AB= A1B1，BC1=AC，∠2=∠7，∠A=∠1．
∴ ∠3=∠A=∠1．
………………………………1分
∴ BC1∥AC．
∴ 四边形ABC1C是平行四边形． ………………2分
∴ AB∥CC1．
∴ ∠4=∠7=∠2． …………………………………3分
∵ ∠5=∠6，
∴ ∠B1C1C＝∠B1BC．……………………………4分
﹙2﹚∠A1C1C =∠A1BC． …………………………5分
理由如下：由题意，知△ABC≌△A1B1C1，
∴ AB= A1B1，BC1=BC，∠1=∠8，∠A=∠2．
∴ ∠3=∠A，∠4=∠7．
………………………6分
∵ ∠1＋∠FBC=∠8＋∠FBC，
∴ ∠C1BC＝∠A1BA．
…………………………7分
∵ ∠4= (180°－∠C1BC)，∠A= (180°－∠A1BA)．
∴ ∠4=∠A．
…………………………………8分
∴ ∠4=∠2．
∵ ∠5=∠6，
∴ ∠A1C1C=∠A1BC．……………………………………………………………………9分
﹙3﹚△C1FB，…………10分； △A1C1B，△ACB．…………11分﹙写对一个不得分﹚
.2 相似三角形的判定和性质
猜想、探究题
46. (2010 山东省泰安市) 如图， 是等腰三角形， ，以 为直径的 与 交于点 ， ，垂足为 ， 的延长线与 的延长线交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为2， ，求 的值．
答案：（1）证明：连接AD、OD．
∵AC是直径，
∴ 是 的中点．
又∵ 是 的中点，
∴ 是 的切线． 6分
（2）由（1）知 ，
∴ ． 10分
.2 相似三角形的判定和性质
47. (2010 山东省泰安市) 如图，在 中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
答案：证明：（1）在 和 中，
（2）在 和 中，
由（1）知 ， ，
.2 相似三角形的判定和性质
双基简单应用
48. (2010 上海市) 如图，△ 中，点 在边 上，满足 ，
若 ， ，则
.2 相似三角形的判定和性质
双基简单应用
49. (2010 山东省日照市) 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D．求证：
（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）BC2=2AB?CE．
答案：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90° ，
即AD是底边BC上的高．
………………………………………1分
又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，
∴D是BC的中点；………… ……………………………………………3分
(2) 证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，
∴ ∠CBE=∠CAD．…………………………………………………5分
又∵ ∠BCE=∠ACD，
∴△BEC∽△ADC；…………………………………………………6分
（3）证明：由△BEC∽△ADC，∴ ，
即CD?BC=AC?CE． …………………………………………………8分
∵D是BC的中点，∴CD= BC． ∴CD?BC= BC ．
又 ∵AB=AC，∴AC?CE=AB?CE．
∴ BC =AB?CE，
即BC =2AB?CE．……………………………………………………10分
.2 相似三角形的判定和性质
50. (2010 上海市) 下列命题中，是真命题的为（
(A) 锐角三角形都相似；
(B) 直角三角形都相似；
(C) 等腰三角形都相似；
(D) 等边三角形都相似．
.2 相似三角形的判定和性质
51. (2010 山东省临沂市) 如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB___________.
答案： （本小题答案不唯一，填出一个即得满分）
.2 相似三角形的判定和性质
双基简单应用
52. (2010 云南省昭通市) 如果两个相似三角形的一组对应边分别为 和 ，且较小三角形的周长为 ，则较大三角形的周长为__________ ．
.2 相似三角形的判定和性质
53. (2010 山西省) 如图， 中， 是 的中点，过点 作 于点 则 的长是_________.
.2 相似三角形的判定和性质
54. (2010 辽宁省沈阳市) 如图，在等边 中， 为 边上一点， 为 边上一点，且
则 的边长为（
A. 9　　　B. 12　　　C. 15　　　D. 18
.2 相似三角形的判定和性质
55. (2010 山东省济南市) 已知：△ABC是任意三角形．
⑴如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点．求证：∠MPN=∠A．
⑵如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，且 ， ，点P1、P2是边BC的三等分点，你认为∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正确？请说明你的理由．
⑶如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且 ， ，点P1、P2、……、P2009是边BC的2010等分点，则∠MP1N+∠MP2N+……+∠MP2009N=____________．
（请直接将该小问的答案写在横线上．）
答案：⑴证明：∵点M、P、N分别是AB、BC、CA的中点，
∴线段MP、PN是△ABC的中位线，
∴MP∥AN，PN∥AM， 1分
∴四边形AMPN是平行四边形， 2分
∴∠MPN=∠A.
⑵∠MP1N+∠MP2N=∠A正确.
如图所示，连接MN，
∵ ，∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴∠AMN=∠B， ，
∴MN∥BC，MN= BC，
∵点P1、P2是边BC的三等分点，
∴MN与BP1平行且相等，MN与P1P2平行且相等，MN与P2C平行且相等，
∴四边形MBP1N、MP1P2N、MP2CN都是平行四边形，
∴MB∥NP1，MP1∥NP2，MP2∥AC，
∴∠MP1N=∠1，∠MP2N=∠2，∠BMP2=∠A，
∴∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A.
.2 相似三角形的判定和性质
猜想、探究题
56. (2010 河南省) 如图， 中， 分别是 的中点，则下列结论：
其中正确的有（　　）
.2 相似三角形的判定和性质
双基简单应用
57. (2010 河北省) 在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1 = ∠2 = 45°．
（1）如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD 的数量关系和位置关系；
（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB．
求证：AC = BD，AC ⊥ BD；
（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到图15-3，求 的值．
答案：解：（1）AO = BD，AO⊥BD；
（2）证明：如图，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO = ∠BEO．
又∵AO = OB，∠AOC = ∠BOE，
∴△AOC ≌ △BOE．∴AC = BE．
又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°．
∴∠DEB = 45°．
∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．
∴AC = BD．
延长AC交DB的延长线于F，如图4．∵BE∥AC，∴∠AFD = 90°．
∴AC⊥BD．
（3）如图，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO = ∠ACO．
又∵∠BOE = ∠AOC ，
∴△BOE ∽ △AOC．
又∵OB = kAO，
由（2）的方法易得 BE = BD．
.2 相似三角形的判定和性质
猜想、探究题
58. (2010 广东省肇庆市) 如图， AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC=AB，CO交⊙O于点P，
CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E，连接AP 、AF．
（1）AF∥BE；
（2）△ACP∽△FCA；
（3）CP=AE．
答案：（1）∵∠B、∠F同对劣弧AP ，∴ ∠B =∠F
∵BO=PO，∴∠B =∠B PO
∴∠F=∠B P F，∴AF∥BE
（2）∵AC切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，
∠BAC=90°
∵ AB是⊙O的直径， ∴ ∠B PA=90°
∴∠EA P =90°—∠BE A，∠B=90°—∠BE A，
∴∠EA P =∠B=∠F
又∠C=∠C，∴△ACP∽△FCA
（3）∵ ∠C PE= ∠B PO=∠B=∠EA P， ∠C=∠C
∴△P C E ∽△ACP
∵∠EA P=∠B，∠E P A =∠A P B =90°
∴△EA P ∽△A B P
又AC=AB，∴
.2 相似三角形的判定和性质
双基简单应用
59. (2010 广东省肇庆市) 如图，已知∠ACB = 90°，AC=BC，B E⊥C E于E，AD⊥C E于D，C E与AB相交于F．
（1）求证：△CEB≌△ADC；
（2）若AD = 9cm，D E = 6cm，求B E及EF的长．
答案：证明：（1）∵B E⊥C E于E，AD⊥C E于D，
∴∠E=∠ADC=90°（1分）
∠BCE=90°— ∠ACD，∠CAD=90°?∠ACD，
∴∠BCE=∠CAD
在△BCE与△CAD 中，
∠E=∠ADC，∠BCE=∠CAD， BC = AC
∴△C E B≌△AD C
（2）∵△C E B≌△AD C
∴ B E= D C， C E= AD
∴C E= AD=9，D C= C E — D E= 9—6 = 3，∴B E= DC = 3(cm)
∵∠E=∠ADF=90°，∠B FE=∠AFD，∴△B FE∽△AFD
解得：EF= (cm)
.2 相似三角形的判定和性质
双基简单应用
60. (2010 辽宁省大连市) 如图，在△ 中， =5， 6，动点 从点 出发沿 向点 移动，（点 与点 不重合），作 交 于点 ，在 上取点 ，以 为邻边作 ，使点 到 的距离 ，连接 ，设
（1）△ 的面积等于
（2）设△ 的面积为 ，求 与 的函数关系，并求 的最大值；
（3）当 时，求 的值
答案：解：（1）12 1分
（2）作 于 ，分别交 于点 ，
四边形 是矩形 2分
（3）延长 交 于
由（2）知四边形 和四边形 均为矩形
由（2）知 ，得
四边形 是平行四边形
在 中， ，即
（舍去） 11分
.2 相似三角形的判定和性质
61. (2010 辽宁省大连市) 如图1，
= ， ，垂足为 ，点 在 上， 交 于点 ，
交 于点 ，若 = ， ，探索线段 与 的数量关系，并证明你的结论
说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取（1）或（2）中的条件，选（1）中的条件完成解答满分为7分；选（2）中的条件完成解答满分为5分.
=1（如图2）
=1， =1（如图3）
答案：结论：
证明：作 于 ， 于 .
四边形 为矩形 2分
选择（1）结论：
证明：作 于 ， 于 .
四边形 为矩形 2分
选择（2）结论：
证明：作 于 ， 于 .
四边形 为矩形 2分
.2 相似三角形的判定和性质
猜想、探究题
62. (2010 海南省) 如图， 在梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，则下列三角形中,与△BOC一定相似的是
.2 相似三角形的判定和性质
双基简单应用
63. (2010 福建省厦门市) 设 的面积是 ， 的面积为 ( )，当 ，且 时，则称 与 有一定的“全等度”，如图，已知梯形 ， ∥ ， °，∠ °，连结 .
（1）若 ，求证： 与 有一定的“全等度”；
（2）你认为：“ 与 有一定的‘全等度’”正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请举出一个反例说明.
答案：（1）证明：
过点 作 于点E.
有一定的“全等度”. 6分
（2）解： 有一定的“全等度”不正确. 7分
反例：若 ，则 不具有一定的“全等度”.
都是钝角三角形，且两钝角不相等.
不相似 9分
若 ，则 不具有一定的“全等度”. 10分
.2 相似三角形的判定和性质
64. (2010 吉林省吉林市) 如图，在 中， ， 是 上一点， 于点 ，若 =8， ，
，则 的长为（　　）
.2 相似三角形的判定和性质
65. (2010 广东省佛山市) 一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法. 请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题：
如图，在△ABC中，∠ACB
（1）若∠BAC是锐角，请探索在直线AB上有多少个点D，能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)？
（2）请对∠BAC进行恰当的分类，直接写出每一类在直线AB上能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)的点D的个数.
答案：（1） （ⅰ） 如图，若点D在线段AB上，
∠ABC，可以作一个点D满足∠ACD =∠ABC，
使得△ACD∽△ABC.
（ⅱ） 如图①，若点D在线段AB的延长线上，
∠ABC，与条件矛盾.
因此，这样的点D不存在. 4分
（ⅲ） 如图②，若点D在线段AB的反向延长线上，
由于∠BAC是锐角，则∠BAC
不可能有△ACD∽△ABC.
因此，这样的点D不存在. 7分
综上所述，这样的点D有一个. 8分
注：（ⅲ）中用“∠CAD是钝角，△ABC中只可能∠ACB是钝角，
而∠CAD ∠ACB”说明不存在点D亦可.
（2） 若∠BAC为锐角，由（1）知，这样的点D有一个； 8分
若∠BAC为直角，这样的点D有两个； 10分
若∠BAC为钝角，这样的点D有一个. 11分
注：（2）的第一个解答不写不扣分，第二个解答回答“这样的点D有一个”给1分.
.2 相似三角形的判定和性质
猜想、探究题
66. (2010 山东省滨州市) 如图，在 .
（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；
（2）请分别说明两对三角形相似的理由.
.2 相似三角形的判定和性质
双基简单应用
67. (2010 云南省楚雄州市) 已知：如图，⊙A与 轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为 ，过点C作⊙A的切线交 轴于点B（－4，0）．
（1）求切线BC的解析式；
（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；
（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在 轴上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：解：（1）如图1所示，连接AC，则AC=
在Rt△AOC中，AC=
，OA=1 ，则OC=2
∴点C的坐标为（0，2）
设切线BC的解析式为 ，它过点C（0，2），B（?4，0），则有
………………………………………………4分
（2）如图1所示，设点G的坐标为（a,c）,过点G作GH⊥ 轴，垂足为H点，则OH=a, GH=c= a + 2 ………………………………………………5分
连接AP, AG
因为AC=AP , AG=AG , 所以Rt△ACG≌Rt△APG (HL)
所以∠AGC= ×
在Rt△ACG中 ，∠AGC= 600，AC=
∴AG = …………………6分
在Rt△AGH中, AH=OH－OA=a－1 ，GH= a+ 2
解之得： =
, = ? (舍去)
……………………………………7分点G的坐标为（ , + 2 ） ………………………………………8分
(3) 如图2所示，在移动过程中，存在点A，使△AEF为直角三角形.
………………9分
要使△AEF为直角三角形
∴∠AEF=∠AFE
∴只能是∠EAF=900
当圆心A在点B的右侧时，过点A作
AM⊥BC,垂足为点M.
在Rt△AEF中 ，AE=AF= ,
则EF= ， AM= EF=
在Rt△OBC中,OC=2 , OB=4,则BC=2
∠BOC= ∠BMA=900
，∠OBC= ∠OBM
∴△BOC∽△BMA
∴OA=OB－AB=4－
∴点A的坐标为（－4+ ，0） ……………………………………11分
当圆心A在点B的左侧时，设圆心为A′，过点A′作A′M′⊥BC于点M′，可得
△A′M′B≌△AMB
A′B＝AB＝
∴O A′=OB+ A′B =4 +
∴点A′的坐标为（－4－ ，0）
综上所述，点A的坐标为（－4+ ，0）或（－4－ ，0） …13分
.2 相似三角形的判定和性质
猜想、探究题
68. (2010 吉林省长春市) 如图， 中， ，延长 至 ，使 ．点 在边 上，以 为邻边作 ．过点 作 交 于点 ，连接 ．
（1） 与 有怎样的数量关系？请说明理由．（3分）
（2）求证： ．（4分）
答案：（1）解： ，
理由如下：
（2）证明： 四边形 是平行四边形，
.2 相似三角形的判定和性质
双基简单应用
69. (2010 吉林省长春市) 如图，四边形 与四边形 都是矩形，顶点 在 的延长线上，边 与 交于点 ， ， ， ，求 的长．
答案：解： 四边形 和四边形 为矩形，
在 中， ，
.2 相似三角形的判定和性质
70. (2010 福建省莆田市) 如图1，在Rt 中， 点D在边AB上运动，DE平分 交边BC于点E， 垂足为 ，垂足为N.
（1）当AD=CD时，求证： ；
（2）探究：AD为何值时， 与 相似？
（3）探究：AD为何值时，四边形MEND与 的面积相等？
答案：（1）证明：
又∵DE是∠BDC的平分线
∴∠BDC=2∠BDE
∴∠DAC=∠BDE 2分
∴DE∥AC 3分
（2）解：（Ⅰ）当 时，得
∵DE平分∠BDC
∴DE⊥BC，BE=EC.
又∠ACB=90° ∴DE∥AC. 4分
∴AD=5 5分
（Ⅱ）当 时，得
又∵EN⊥CD
∴BD⊥CD即CD是△ABC斜边上的高 6分
由三角形面积公式得AB?CD=AC?BC
综上，当AD=5或 时，△BME与△CNE相似.
（3）由角平分线性质易得
∴EM是BD的垂直平分线.
∴∠EDB=∠DBE
∵∠EDB=∠CDE ∴∠DBE=∠CDE
又∵∠DCE=∠BCD
.2 相似三角形的判定和性质
猜想、探究题
71. (2010 北京市) 如图，在△ 中，点 分别在 边上，
∥ ，若 ， ，则 等于
.2 相似三角形的判定和性质
72. (2010 安徽省芜湖市) 如图，直角梯形 中， ，点 在 上，点 在 上， .
（1）求证： ；
（2）当 =8， =6，点 、 分别是 、 的中点时，求直角梯形 的面积.
（1）证明：
答案：证明：（1）在梯形 中， .
解：（2）由（1）知： .
.2 相似三角形的判定和性质
73. (2010 天津市) 如图，等边三角形 中， 、 分别为 、 边上的点， ， 与 交于点 ， 于点 ，
.2 相似三角形的判定和性质
74. (2010 陕西省) 如图，在 中， 是 边上一点，连接 .要使 与 相似，应添加的条件是______________.（只需写出一个条件即可）
.2 相似三角形的判定和性质
双基简单应用
75. (2010 安徽省) 如图，已知 ，相似比为k（k>1），且 的三边长分别为a、b、c（a>b>c）， 的三边长分别为 、 、 .
（1）若c=a1，求证：a=kc；
（2）若c=a1，试给出符合条件的一对 ，使得a、b、c和 、 、 都是正整数，并加以说明；
（3）若b=a1，c=b1，是否存在 使得k=2？请说明理由.
答案：（1）证： ，且相似比为
（2）解：取
注：本题也是开放型的，只要给出的 和 符合要求就相应赋分.
（3）解：不存在这样的 和 .理由如下：
故不存在这样的 和 ，使得
注：本题不要求学生严格按反证法的证明格式推理，只要能说明在题设要求下 的情况不可能即可.
.2 相似三角形的判定和性质
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