复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
复变函数与积分变换
（修订版）
主编：马柏林
（复旦大学出版社）
——课后习题答案
《复变函数与积分变换复旦大学修订版》全部_习题答案.doc
复变函数与积分变换复旦大学修订版
复变函数与积分变换复旦大学修订版》全部_习题答案
复变函数与积分变换（修订版——复旦大学）课后习题答案
复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的习题答案
复变函数与积分变换（修订版）习题答案马柏林主编复旦大学出版社
复变函数与积分变换的课后习题
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复变函数习题四参考答案
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4复变函数幂级数
　　CH 4 级数1、复数项级数2、幂级数3、泰勒(Taylor)级数4、罗朗(Laurent)级数1第四章幂级数§4.1 复数项级数?1. 复数列的极限?2. 级数的概念26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University2 2第四章幂级数1. 复数列的极限定义 设复数列：{? n }( n ? 1,2,?), 其中 ? n＝an ? ibn , 又设复常数： ? a ? ib， ?若 ?? ? 0, ?N ? 0, 当 n ? N , 恒有 ? n ? ? ? ?，那么 ?称为复数列 {? n }当n ? ?时的极限， 记作lim? n ? ? , 或当n ? ?时，? n ? ? ,n? ?定理1 lim? n ? ? ? lim a n ? a , lim bn ? b. n? ? n? ? n? ? 证明 “?”已知 lim ? n ? ? 即，n? ?此时，也称复数列 n }收敛于? . {??? ? 0, ?N ? 0, ? n ? N , 恒有? n ? ? ? ?26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University3 3第四章幂级数又 ? n ? ? ? (an ? a ) ? i (bn ? b) ? (a n ? a ) ? (bn ? b)22? an ? a ? ? n ? ? ? ? 故 　 a n ? a , 　 bn ? b. lim limn? ? n? ?bn ? b ? ? n ? ? ? ?“?”已知　 a n ? a , 　 bn ? b 即， lim limn? ? n? ??? ? 0, ?N ? 0, ? n ? N , 恒有 a n ? a ? ，n ? b ? b 2 2 又 ? n ? ? ? (a n ? a ) ? i (bn ? b ) 　　　　 a n ? a ? bn ? b ? ? ?26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University??故 lim ? n ? ? .n? ?4 4第四章幂级数例1 判断下列数列是否收敛？若收敛，求出其 极限.1 ? ni (1) z n ? 1 ? ni( 3) zn ? (1 ? i 3 )? n(2) zn ? en ? ?i 2?1 ni (4) z n ? (1 ? )e n26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University5 5第四章幂级数2. 级数的概念定义 ?设复数列： {? n } ? {an ? ibn }( n ? 1,2,?, ),??n ?1?n? ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? n ? ? ---无穷级数n?级数的前面n项的和sn ? ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? n ? ? ? i ---级数的部分和?收敛－级数? ? n 称为收敛 ? n ?1 ? lim sn ? s称为级数的和 ?若部分和数列sn }? { n? ? ? ? 不收敛 －级数? ? n 称为发散 ? ? n ?126 December 2013? 2009, Henan Polytechnic Universityi ?1?6 63i 例2 判别? n 的敛散性. n ?1 2 n 3i 1 解 ? sn ? ? k ? 3i (1 ? n ), 又lim sn ? 3i n? ? 2 k ?1 2 ? 级数收敛 且和为3i . ,定理2级数? ? n收敛 ? ? an和? bn 都收敛.n ?1 nn?第四章幂级数???n ?1证明 ? s ? ? ? (a ? ib ) ? a ? i b ? ? ? i? ? k ? k k ? k ?k n n nk ?1 k ?1 k ?1 k ?1nn ?1n由定理１， sn ? a ? ib ? lim ? n ? a , lim ? n ? b limn? ? ? n? ? n? ?? ? an和? bn 都收敛.n ?1 n ?1?26 　　December 2013? 2009, Henan Polytechnic University7 7?第四章幂级数由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题.??: 性质 级数? ? n收敛的必要条件lim ? n ? 0. n? ?n ?1定理3 若? ? n 收敛 ? ? ? n收敛，且? ? n ? ? ? n .n ?1 n ?1 n ?1 n ?12 2 证明 ? ? n ? a n ? ibn ? an ? bn 2 2 ? a n ? a n ? bn , 2 2 bn ? a n ? bnn n ????由比较判定法? a 和? b 均 绝 对 收 敛 ，n ?1 n n ?1 n??? ? ? k ? ? ? k ,? ? ? n ? ? ? nk ?1 k ?1 n ?1 n ?1由 定 理2得 ? ? n收 敛 。??n ?126 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University8 8第四章幂级数2 2 a n ? bn ? a n ? bn 有 : 由定理3的证明过程，及不等式定理4 级数? ? n 收敛 ? ? a n 和? bn 都收敛。n ?1 n ?1 n ?1????若?n ?1??? 收敛? ?n??( ?1) n i ? n 收敛.(例如 : ? ) n n ?1 n ?1??定义 若? ? n 收 敛 ， 则 称 ? n为 绝 对 收 敛 ； ?n ?1 ? n ?1?若? ? n 发 散 ， 而 ? n收 敛 ， 则 称 ? n为 ? ?n ?1 n ?1 n ?1?条件收敛 .26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University9 9第四章幂级数例2 下列级数是否收敛？是 否绝对收敛？? 1 i ( 8i ) n (1)? (1 ? ) ( 2)? n n! n ?1 n n? 0 ?( ?1) n i ( 3)? ( ? n) n 2 n ?1?? ? 1 1 1 i 解 (1) ? ? 发散， 2 收敛， ? (1 ? )发散. ? ?n n n ?1 n n ?1 n ?1 n?( 2) ? ?n? 0??n n ? ? 8i 8 ( 8i ) ? ? 收敛， ? ? 绝对收敛。 n! n! n ? 0 n! n? 0n? ? ( ?1)n 1 ( ?1) n i ( 3) ? ? 收敛， n 收敛， ? ( ? ? n )收敛. ?2 n n 2 n ?1 n ?1 n ?1 ? ( ?1) n 又? ? 条件 收敛， 原级数非绝对收敛 ? . n n ?126 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University1010第四章幂级数级数收敛判定： 1.正项级数收敛判定：?部 分 和 有 上 界 ； ? （ 比 较 ） n ? v n , 若 v n收 敛 ， 则 n收 敛 ； 若 n发 散 ， 则 n发 散 ； u u u v ? u ? （达朗贝尔） lim n ? 1 ? q , 若q ? 1, 则 级 数 收 敛 ； ? 1, 则 发 散 ； ? 1， 不 能 确 定 ； q q ? n? ? u n ? （ 柯 西 ） n un ? p, 若 p ? 1, 则 级 数 收 敛 ； ? 1, 则 发 散 ； ? 1， 不 能 确 定 ； lim p p ? n? ? ? ? ? ? ?若 lim nun ? l ? 0, 则? un发 散 ； ? n? ? ? n ?1 （极限判别） ? ? ? ?若p ? 1, lim n p un ? l (0 ? l ? ? ), 则? un收 敛. ? n? ? ? n ?1 ? ?若数列un单调递减，且 un ? 0, 则? (-1)n un收敛. lim 2.交错级数收敛判定： n? ?? ? ? ?(阿贝尔 )若数列 un单调有界，且级数 ? v n　　收敛 , 则? un v n收敛； ? n ?1 n ?1 ? ? ? ? （狄力克雷）若数列 un单调递减，且 lim un ? 0, 级数 ? v n部分和有界 , 则? un v n收敛 . n? ? ? n ?1 n ?1 ??3.特殊结构的级数收敛判定：n ?126 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University1111第四章幂级数1? n ? 练习： 讨论? ? 1 ? ?e 的敛散性 ; n? n? 0 ?i??i 讨论? 的敛散性 ; n ?1 n1 ) ? ln( 1 ? n 敛散性 . 讨论? in n ?1?n26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University1212第四章幂级数§4.2 幂级数? ? ?1. 幂级数的概念2. 收敛定理3. 收敛圆与收敛半径??4. 收敛半径的求法5. 幂级数的运算和性质131326 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University第四章幂级数1. 幂级数的概念定义 ?设复变函数列： f n ( z )} z ? D, n ? 1,2,? {?fn ?1?n( z ) ? f1 ( z ) ? f 2 ( z ) ? ? ? f n ( z ) ? ? (1)---称为复变函数项级数?级数的最前面n项的和sn ( z ) ? f 1 ( z ) ? f 2 ( z ) ? ? ? f n ( z ) ? ? f k ( z )k ?1n---级数的部分和 ? 若?z0 ? D lim sn ( z0 ) ? s( z0 ), 称级数 (1)在z0收敛 ,n? ?其和为 s( z0 ), 　 sn ( z0 )不存在，称级数 (1)发散。 limn? ?26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University1414第四章幂级数若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数s( z ) ? f1 ( z ) ? f 2 ( z ) ? ? ? f n ( z )＋? ---级数(1)的和函数特殊情况，在级数(1)中 f n ( z ) ? cn ( z ? z0 )n 得? cn ( z ? z0 )n? 0??n( 2)当z 0 ? 0 ? ? c n z nn?0??( 3)称为幂级数? 在( 2)中令z ? z0 ? ?( 2) ? ? cn? kk ?0??? 研究级数 3)并不失一般性。 (26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University1515第四章幂级数2. 收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理： 定理1 (阿贝尔(Able)定理）⑴ 若 级 数 c n z n在z ? z0 ( ? 0)收 敛, 则 对 满 足 ?n? 0??　 　? z0 的z , 级 数 必 绝 对 收 敛 z .⑵若级数在 ? z0发 散, 则对满足z ? z0 的z , z 　级数必发散　 .26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University1616n n 证明 (1) ? ? cn z0 收敛, 则 lim cn z0 ? 0，即n ?? ? 0，?N ? 0， n ? N，恒有cn z0 ? ? ?2 N 取M ? max ? , c0 , c1 z0 , c2 z0 , ?, c N z0 n 故 cn z0 ? M , n ? 0,1,2, ?n z n 若 z ? z0 , 则 ? q ? 1 cn z n ? cn z0 z ? Mqn , z0 z0??第四章幂级数n??n?0??由于? Mqn收敛, 由比较判别法得 cn z n 收敛, ?n? 0????? ? cn z 绝对收敛。n n? 0??n?026 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University1717n 设 (2)用反证法， ?z1 , 当 z1 ? z0 　　，有 ? cn z1 收敛，??第四章幂级数由(1)知? c z 收敛与假设矛盾，得证 ！n ?0 n n 0??n? 03. 收敛圆与收敛半径由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处 处收敛. (ii )除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数(3)在复平面上除z=0外处处发散.26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University1818( iii)?? ? 0, 使 得? cn? n收 敛,??第四章幂级数小，在c?外部都是蓝色， n? 0 红、蓝色不会交错.故 ?? 　 ?? ? 0, 使 得? cn ? n发 散. 一定? c R： ? R , 为红、 z n? 0 由Able定 理 ， 在 圆 周 ? : 蓝两色的分界线。 c z ? ?内 ， 级 数 3)收 敛 ； ( ? 在 圆 周c ? : z ? ?外 ， 级 数( 3)发 散. 显然，?& ?否则，级数(3)将在?处发散. 将收敛部分染成红色，发散 部分染成蓝色，?逐渐变大， 在c?内部都是红色,?逐渐变?播放26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University1919第四章幂级数RcR26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University2020第四章幂级数定义 这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的 收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径.?(i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外 部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题 要具体分析. (ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R 的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径 为R的圆域.26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University2121第四章幂级数4. 收敛半径的求法关于幂级数 cn z n ?n? 0 ?( 3)的收敛半径求法，有?1 / ? 0 ? ? ? ?? cn?1 定理2 ? 若 lim ? ?，则 R ? ? ? ? ? ?0 (比值法) n?? cn ?0 ? ? ?? ? cn?1 z n?1 cn?1 证明 ( i )? ? 0,? lim ? lim z ??z n n? ? n? ? c cn z n当? z ? 1时, 即 z ? 1?时, ? cn z n绝对收敛；n? 0?当? z ? 1时，即z ?26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University1?时, ? cn z n 发散，n? 02222?以下证: 当 z ?1?时， cn z n也发散. ?n? 0??第四章幂级数? n? 0 1 再取一点 1 , 满足 ? z1 ? z0 ，由Able定理得: z ? ?? ?? n n ? cn z1 收敛, 矛盾! ? ? cn z0 发散,即n? 0用反证法 设在 z ? ,1n 外有一点 0， cn z0 收, z ???当z ???1? ? ?? n? 0 n ( ii )若? ? 0时，对?z都有? cn z 收敛n? 0n? 0时， cn z 发散, 故R ? ?n??n? 01.? ? cn z n在复平面上处处收敛， R ? ??; 故26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University2323第四章幂级数( iii)当? ? ??时 ， 除z ? 0外 ，　　对 一 切 , 有 z?n? 0??cn z n 发 散 ， 从 而 ? c n z n也 发 散. ,n? 0?? n??否 则， 如 果有 一点0 ? 0 , ? ? cn z0 收 敛, 则 zn? 0?z1 , 满 足 z0 ? z1 ? 0， c n z1 收 敛， 矛 盾 故R ? 0. ! ?n n? 0??定理3 若 lim n n?? (根值法)26 December 2013?1 / ? ? cn ? ?，则 R ? ?? ? ?0 ?0 ? ? ? ??? ?0 ? ? ??2424? 2009, Henan Polytechnic University第四章幂级数?1 / ? cn?1 定理2 ? 若 lim ? ?，则 R ? ? ? ? (比值法) n?? cn ?0 ??1 / ? ? cn ? ?，则 R ? ?? ? ?0 ?0 ? ? ? ?? ? ?0 ? ? ??定理3 若 lim n n?? (根值法)0 ? ? ? ??? ?0 ? ? ??26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University2525第四章幂级数例1 求幂级数? z n ? 1 ? z ? z 2 ? ? ? z n ? ?n? 0?的收敛范围及和函数。1 ? zn 又sn ? 1 ? z ? z 2 ? ? ? z n?1 ? 1? z 1 n ?当 z ? 1时， z ? 0,? lim sn ? lim . n? ? n? ? 1? z ?当 z ? 1时 ， z n ? 0,? 级 数 发 散 lim . n? ? 1 ? ? 收敛, 且和函数为 当 z ? 1时; n? 综上 ? z ? 1? z n? 0 ?发散　　　　　　　　 z ? 1时. 当 ?26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic Universitycn?1 解 ? lim ?1 ?R ?1 n? ? c n2626第四章幂级数例2 求下列幂级数的收敛半径zn (1) ? 2 ; n ?1 n?zn ( 2) ? ; n ?1 n！??( z ? 1)n ( 3) ? ; n n ?1?( 4) ?2n n ?1 ??(5) ? (cos in)n? 0( 6) ? ( 2i ) n z 2 n ? 1 .n ?126 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University2727第四章幂级数5. 幂级数的运算和性质??代数运算n?0设? a n z n ? f ( z )? ?R ? r1?bn z n ? g( z ) ?n?0?R ? r2---幂级数的加、减运算? ? an z n ? ? bn z n ? ? (an ? bn ) z n ? f ( z ) ? g( z )n? 0 n? 0 n? 0z?R---幂级数的乘法运算? ? ? n? 0 n? 0 n? 0其中：R ? min( r1 , r2 )( ? a n z n ) ? ( ? bn z n ) ? ? (a0 bn ? a1bn?1 ? a 2 bn? 2 ? ? ? a n b0 ) z n ? f ( z ) g ( z ),26 December 2013z?R2828? 2009, Henan Polytechnic University第四章幂级数---幂级数的代换(复合)运算设f ( z ) ? ? a n z nn?0 ?z ? r,?g ( z )在 z ? R内 解 析， 且g ( z ) ? r? f [ g( z )] ? ? an [ g( z )]nn ?0?z ?R幂级 数的代换运 算在函数展 成幂级数中 很有用.? 1 把 表成形如 cn ( z ? a ) n的幂级数， 例3 ? z?b n? 0 这里，复常数 ? a . b1 1 1 ? 解 z ? b ( z ? a ) ? (b ? a ) ? ? b?a26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University1 1 ? 1 ? ? ?? ? z ? a 1 ? g( z ) ? b ? a ? 1? 代换 b?a292　　9第四章幂级数1 1 1 解 ? ?? z ? b ( z ? a ) ? (b ? a ) b?a展开1 1 ? 1 ? ? ?? ? z ? a 1 ? g( z ) ? b ? a ? 1? 代换 b?a1 ? ? 1 ? g ( z ) ? [ g ( z )]2 ? ? ? [ g ( z )]n ? ? , g ( z ) ? 1 1 ? g( z ) z?a ?z?a? ?z?a? ? 1? ?? ? ??? ?b ? a ? ?? , z ? a ? b ? a ? R b ? a ?b ? a ? ? ?2 n还原1 1 1 1 1 ? ?? ?? ? (z ? a) 2 z?b b ? a 1 ? g( z ) b ? a (b ? a ) 1 1 2 ? (z ? a) ? ? ( z ? a )n ? ? (b ? a )3 (b ? a )n?126 December 2013? 2009, Henan Polytechnic Universityz?a ? R3030第四章幂级数? 分析运算定理4 设? cn z n ? f ( z )?z ?R?? (i )( ii )f ( z )在 z ? R内解析.f ' ( z ) ? (? cn z n )' ? ? (cn z n )' ? ? ncn z n?1n? 0 n? 0 n ?1 ? ?n?0z?R---幂级数的逐项求导运算( iii)? f ( z )dz ? ? ? c zcz?ncn z n?1 z ? R, C ? z ? a ? R 或 ? f (? )d? ? ? 0 n? 0 n ? 1 ---幂级数的逐项积分运算26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic Universityc n? 0 ?ndz ? ? cn ? z d zn n? 0 c?3131第四章幂级数例4 求幂级数的和函数及收敛圆.(1)nz n?1 ? 1 ? 2 z ? 3 z 2 ? ? ?n ?1?z z z ( 2) ? ? z? ? ?? 2 3 n ?1 n?n2326 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University3232第四章幂级数§4.3 泰勒(Taylor)级数? ?1. 泰勒展开定理2. 展开式的唯一性?3. 简单初等函数的泰勒展开式26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University3333第四章幂级数1. 泰勒(Taylor)展开定理由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在 它的收敛圆内部是一个解析函数. 现在研究与此相反的问题： 一个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函 数在解析点能否用幂级数表示？） 以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示.26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University3434第四章幂级数定理1（泰勒展开定理） 设f ( z )在 区 域D内 解 析, z 0 ? D , R为z 0到D的 边 界上 各 点 的 最 短 距 离 当 z ? z 0 ? R时 , ? f ( z ) ? ? cn ( z ? z0 )nn? 0 ?(1)f ( z )在z 0处 的Taylor级数1 (n) 其 中: c n ? f ( z0 ) n!n ? 0,1,2, ?1 (n) 1 f (? ) c 分析： n ? f ( z0 ) ? ?k ?? ? z ?n?1 d? n! 2?i 0 k : ? ? z0 ? r26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University?z0kD代入(1)得3535第四章幂级数cn ( z ? z0 ) n ? ? ?n?0 n?0 ????f ( n ) ( z0 ) ( z ? z0 ) n n!? 1 ? f (? ) ? ?? d? ?( z ? z0 ) n ? 2?i ?k (? ? z ) n?1 ? n?0 ? 0 ? 1 ? ? f (? ) n? ? ?k ? ?0 　　(? ? z0 )n?1 ( z ? z0 ) ?d? ? 2?i ? n? ? ? 1)?z0z kD1 又f ( z ) ? 2?if (? ) ?k ? ? z d?2)? f (? ) f (? ) 比较1), 2)有， ?? ( z ? z0 ) n (*) ? ? z n? 0 (? ? z0 ) n?126 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University3636第四章幂级数z ? z0 ? ? q ? 1, ? ? z01 1 1 注意到 ? ? ? ? z ? ? z0 ? ( z ? z0 ) ? ? z0 1 , z ? z0 1? ? ? z0 ? z ? z0 2 z ? z0 n 1 1 ? z ? z0 ? ? ?( ) ? ?? ( ) ? ?? ( 2) ?1 ? ? ? z ? ? z0 ? ? ? z0 ? ? z0 ? ? z0 ?? f (? ) f (? ) ( z ? z0 ) n 故 ?? n ? ? z n? 0 ? ? z0 (? ? z0 )f (? ) ?? ( z ? z0 ) n (? ? z0 ) n ?1 n? 0?---(*)得证！373726 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University第四章幂级数证明 设k : ? ? z 0 ? r , {? ? ? z 0 ? r } ? D ,z为k内 任 一 点由Cauchy积 分 公 式: , z ? z0 1 f (? ) f (z) ? ?k ? ? z d? ? ? ? z0 ? q ? 1, 2?i1 1 1 ? ? ? ? ? z ? ? z0 ? ( z ? z0 ) ? ? z0 1 z ? z0 1? ? ? z0z ? z0 z ? z0 2 1 ? [1 ? ?( ) ?? ? ? z0 ? ? z0 ? ? z0 z ? z0 n ?( ) ? ?] ( 3) ? ? z026 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University3838第四章幂级数f (? ) 两 端乘 以 , 沿 着k逐 项积 分得 , 2?i 1 f (? ) 1 f (? ) f (z) ? ?k ? ? z d? ? 2?i ?k ? ? z0 d? 2?i z ? z0 ? 2?i f (? ) ?k (? ? z0 )2 d? ? ? f (? ) ?k (? ? z0 )n?1 d? ? ?( z ? z0 )n ? 2?if ( n ) ( z0 ) n ? f ( z0 ) ? f ' ( z0 ) ? ? ? ( z ? z 0 ) ? ? ( 4) n! ? ?函 数f ( z )在z0处 的Talor级 数26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University3939第四章幂级数1 RN ( z ) ? 2? 1 ? 2?N ???Kf (? ) 1 n ? (? ? z )n?1 ( z ? z0 ) ds ? 2? n? N 0? ? n ?? ? (? ? z )K n? N 0?f (? )n?1z ? z0 dsnf (? ) z ? z0 1 ? n? ? ? z0 ? ? z0 ds ? 2? K ?NM n Mq N ? r q 2?r ? 1 ? q . n? N即: lim RN ( z ) ? 0在K内成立 .26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University4040第四章幂级数级数(4)的收敛范围是以0为中心， 为半径 z r 的圆域? ? z0 ? r ,圆k的半径r可以任意增大 , 只要圆k及其内部包含在 内即可,? f ( z )在 D 解析点z0处的Taylor级数收敛半径至少等于 从z0到D的边界上各点的最短距 .证毕! 离26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University4141第四章幂级数?(1)若f ( z )有奇点, 那么f ( z )在解析点z0的Talor展开式的收敛半径 等于从z0到 R f ( z )的最近的一个奇点 之间的距离, , ? 即 R ? z0 ? ?( 2) ?在收敛圆上, 这是因为f ( z )在收敛 圆内解析, 所以奇点?不可能在收敛圆内. 又 　　? 奇点?不可能在收敛圆外, 不然的话, 收敛半径还可以扩 因此, 大, 奇点?只能在 收敛圆周上.26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University4242第四章幂级数2. 展开式的唯一性利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样 的展开式是否唯一？ 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它 的Taylor级数. 事实上，设f (z)用另外的方法展开为幂级数:f ( z ) ? a0 ? a1 ( z ? z0 ) ? a2 ( z ? z0 )2 ? ? ? an ( z ? z0 )n ? ?结论则 f ( z0 ) ? a0，再由幂级数的逐项求 导性质得，f ' ( z ) ? a1 ? 2a2 ( z ? z0 ) ? ? ? na n ( z ? z0 )n?1 ? ? ? f ' ( z0 ) ? a1 1 ( n) ?, 依此类推得， n ? a f ( z0 ) n ? 0,1,2,? n!26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University4343第四章幂级数由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor 级数，因而是唯一的.当z0 ? 0时, Taylor级数为：f ' ' ( 0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( z ) ? f ( 0) ? f ' ( 0 ) z ? z ?? z ?? 2! n!函数展开成Taylor级数的方法： ? 代公式 ---直接法 ? 由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分 析运算和 已知函数的展开式来展开 ---间接法26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University4444第四章幂级数3. 简单初等函数的泰勒展开式例1 求f ( z ) ? e z , sin z , cos z在z ? 0的Talor展开式.解 ? ( e z )( n )z?0? ezz ?0? 1 ( n ? 0,1,2, ?)z2 z3 zn ?ez ? 1? z ? ? ? ?? ?? 2! 3! n! 又? e z 在复平面上解析 ? 该级数的收敛半径26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic UniversityR ? ??.4545第四章幂级数e zi ? e ? zi 1 ? ? ? ( zi ) n ? ? ( ? zi ) n ? ? sin z ? ? ?? ?? ? 2i 2i ? n ? 0 n! n! ? n? 0 1 ? ? 2i 2 k ?1 z 2 k ?1 ? ? ( ?1) k ?1 z 2 k ?1 ? ? ?? 2i k ?1 ( 2k ? 1)! ( 2k ? 1)! k ?1z z z ( ?1) z ? sin z ? z ? ? ? ? ? ? ? 3! 5! 7! ( 2k ? 1)! k ?13 5 7 ??k ?12 k ?1又 cos z ? (sin z )' z z n z ? 1? ? ? ? ? ( ?1) ?? 2! 4! ( 2n)!? sin z , cos z在全平面上解析， ?它们的半径 ? ? R26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University242n4646第四章幂级数?上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法.例2 把下列函数展开成 z 的幂级数:1 1 (1) f ( z ) ? ( 2) f ( z ) ? ( 3) f ( z ) ? ln( 1 ? z ) 2 1? z (1 ? z )1 2 n 解 (1) ? ? 1 ? z ? z ? ?? z ? ? 1? z1 1 n n ? ? ? 1 ? z ? ? ? ( ?1) z ? ? 1 ? z 1 ? (? z )26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic Universityz ?1z ?14747第四章幂级数(2)由幂级数逐项求导性质得：1 d ? 1 ? d ? ?? ? ? 1 ? z ? z 2 ? ? ? ( ?1) n?1 z n ? ? (1 ? z ) 2 dz ? 1 ?　　z ? dz ? ? 1 ? 2 z ? 3 z 2 ? ? ? ( ?1) n?1 nz n?1 ? ? z ? 1??( 3)在收敛圆z ? 1内任意取一条从 ? z ( z ? 1) 0 的路径c , 将(1)的展开式两边沿逐项积分得: cz z z dz n n ?0 1 ? z ? ?0 dz ? ?0 zdz ? ? ? ?0 (?1) z dz ? ? 2 n ?1 z 1 3 n z ln(1 ? z ) ? z ? ? z ? ? ? ( ?1) ?? z ? 1 2 3 n?1 z26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University4848第四章幂级数?(1)另一方面，因ln(1+z)在从z=-1向左沿负 实轴剪开的平面内解析， ln(1+z)离原点最近的一 个奇点是-1,?它的展开式的收敛范围为?z?&1.( 2)在实数域中 1 ? 1 ? x 2 ? x 4 ? ? ? ( ?1) n x 2 n ? ? 2 1? x 为什么它的收敛半径 ? 1, 在实数域中的不容易 R 1 看清楚, 在复数域中容易看出 ? 有两个奇点 2 1? z z ? ? i ,? R ? 126 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University4949第四章幂级数练习z (1) 在z ? 2处展开成幂级数 ; ( z ? 2)( z ? 1)( 2) e sin z 在z ? 0处展开成幂级数；z2 2sin z ( 3) z?? z - ?in (4) 求和? n n . 2 n ?126 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University?5050第四章幂级数定理(1) 函数f ( z )在点z0 解析 ? f ( z )在z0的 某一邻域内可展成幂级 ? cn ( z ? z0 ) . 数n n? 0 ?( 2) 函数f ( z )在区域D内解析 ? f ( z )在 D内可展成幂级数.26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University5151第四章幂级数小结：f ( z )在点z0 解析(1) f ( z )在点z0的某一邻域内可导 . ( 2) f ( z )的实部和虚部在点0的某一邻域内有连续偏 z 导数 且满足C ? R方程. ( 3) f ( z )在点z0的某一邻域内连续且沿 邻域内的任一条 正向封闭路线的积分为 0. (4) f ( z )在点z0的某一邻域内可展成幂 . 级数26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University5252第四章幂级数§4.4 罗朗(Laurent)级数? ? ?1. 预备知识 2. 双边幂级数 3. 函数展开成双边幂级数?4. 展开式的唯一性26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University5353第四章幂级数由§4.3 知, f (z) 在 z0 解析，则 f (z)总可以在z0 的某一个圆域 ?z - z0?&R 内展开成 z - z0 的幂级数. 若 f (z) 在 z0 点不解析，在 z0的邻域中就不可能展开成 z - z0 的幂级数，但如果在圆环域 R1&?z - z0?&R2 内解析， 那么，f (z)能否用级数表示呢？ 1 例如， f ( z ) ? 在z ? 0, z ? 1都不解析 但在 , z (1 ? z )圆环域: 0 ? z ? 1及0 ? z ? 1 ? 1内处处解析 . 当0 ? z ? 1时, 1 1 1 ?z ? 1 1 f (z) ? ? ? ? ? 1 ? z ? z2 ? ?? zn ? ? z (1 ? z ) z 1 ? z z26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University5454第四章幂级数当0 ? z ? 1 ? 1时 , 1 1 f (z) ? ? z (1 ? z ) 1 ? z? z ?1 ?1? ? 1 ? 　　1 ? (1 ? z ) ? ? ?1 ? 1 ? (1 ? z ) ? (1 ? z ) 2 ? ? ? (1 ? z ) n ? ? 1? z 1 ? ? 1 ? (1 ? z ) ? ? ? (1 ? z ) n ?1 ? ? 1? z??由此推想，若f (z) 在R 1&?z - z0?&R2 内解析, f (z) 可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即f ( z ) ? ? ? c ? n ( z ? z 0 ) ? n ? ? ? c ? 1 ( z ? z 0 ) ?1 ? c 0 ? c1 ( z ? z0 ) ? ? ? cn ( z ? z0 ) n ? ?26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University5555第四章幂级数本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法.它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 和计算留数的基础.26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University5656第四章幂级数1. 预备知识Cauchy 积分公式的推广到复连通域---见第三章第18题设f ( z )在D : R1 ? z ? z0 ? R2内 解析 .作圆周： 1 : z ? z0 ? r , k k 2 : z ? z 0 ? R , 且r ? R, k1、k 2 ? D, D1：r ? z ? z0 ? R， 对?z ? D1有，1 f (z) ? 2?i f (? ) 1 ?k2 ? ? z d? ? 2?i f (? ) ?k1 ? ? z d?5757R2 R rDR1zz0k1D1k226 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University第四章幂级数2. 双边幂级数定义 形如?? n? ? ?---含有正负幂项的级数c n ( z ? z 0 ) n ? ? ? c ? n ( z ? z 0 ) ? n ? ? ? c ?1 ( z ? z 0 ) ?1 ?　　　　　　0 ? c1 ( z ? z0 ) ? ? ? cn ( z ? z0 ) n ? ?(1) ?c 其中z0及cn ( n ? 0,?1,?2,?)都是常数 ---双边幂级数 正幂项(包括常数项)部分：? c (z ? z )n? 0 n 0??n? c0 ? c1 ( z ? z0 ) ? ? ? cn ( z ? z0 ) ? ?( 2)n负幂项部分：c ? n ( z ? z 0 ) ? n ? c ?1 ( z ? z 0 ) ?1 ? ? ? c ? n ( z ? z 0 ) ? n ? ? ( 3) ?n ?126 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University5858第四章幂级数级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 则级数在 ?z - z0?=R2 内收敛，且和为s(z)+; 在?z - z0?=R 2外发散.1 对于级数 3), 若令? ? ( ,则 z ? z0 ? ? c? n ( z ? z0 )? n ? ? c? n? n ? c?1? ? c? 2? 2 ? ? ? c? n? n ? ?(4) ?n ?1 n ?1对 变 数?级 数(4)为 幂 级 数 设 其 收 敛 半 径 为 , , R 则 当? ? R级 数 收 敛 ? ? R级 数 发 散 。 ,令 1 1 1 将? ? 代回得, ? R? , 则级数(4) z ? z0 z ? z0 R1当 z ? z0 ? R1收敛, 且和为s( z )－;当 z ? z0 ? R1发散.26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University5959第四章幂级数当且仅当 1 ? R2时，级数 2)及( 3)有公共收敛 R ( 区域即圆环域： 1 ? z ? z0 ? R2，此时， R 称 ? cn ( z ? z0 ) 收敛, 且和s( z ) ? s( z )? ? s( z )? .n n? ? ? ??R2R1R1R2z0z0R1 ? R2 有公 　　共收敛 域26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic UniversityR1 ? R2 无公共收敛域6060第四章幂级数???(1)当R1 ? R2时，称 ? cn ( z ? z0 )n 处处发散.n ? ????(2)在圆环域的边界?z - z0?=R1, ?z - z0?=R2上,n ? ??cn ( z ? z0 ) n 可能有些点收敛，有些点发散 . ?可以( 3) R1 ? 0?R2 ? ?，此时，n可以收敛域为： ? z ? z0 ? ? 0(4)级数 ? cn ( z ? z0 ) 在R1 ? z ? z0 ? R2内的n ? ??和函数是解析的而且可 以逐项求积和逐项求导 .26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University6161第四章幂级数3. 函数展开成双边幂级数定理设f ( z )在D : R1 ? z ? z0 ? R2内解析, 则 f (z) ?n ? ??cn ( z ? z0 ) n ???( 5)称为f ( z )在D : R1 ? z ? z0 ? R2内的Laurent级数 称为f ( z )在D : R1 ? z ? z0 ? R2内的Laurent展开式 1 f (z) 其中 : cn ? ?c ( z ? z0 )n?1 dz(n ? 0,?1,?2,?) (5' ) 2?ic是D内绕z0的任何一条简单闭曲线 .26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University6262第四章幂级数证明 由复连通域上的Cauchy 积分公式： 1 f (? ) 1 f (? ) f (z) ? ?k ? ? z d? ? 2?i ?k ? ? z d? (*) 2?i2 1R2R r R1D zz0k1z ? z0 ?当? ? k 2时 ， ? 1， ? ? z0记为I1记为I2D1k2重复§3的推导得：? 1 f (? ) I1 ? ? ( d? )( z ? z0 )n ? ? cn ( z ? z0 )n (*1) 2?i ?k2 (? ? z0 ) n?1 n? 0 n? 0 ??当? ? k1时 ， ? q ? 1， z ? z026 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University? ? z0记为6363第四章幂级数1 1 1 ? ? z ?? z ? z0 ? (? ? z0 ) z ? z01 1?? ? z0f (? ) 两边乘以 , 并沿k1逐项积分得: 2?iz ? z0 ? ? z0 (? ? z0 ) n?1 1 ? ? ? ?? ?? 2 n z ? z0 ( z ? z0 ) ( z ? z0 )( z ? z 0 ) ?1 1 f (? ) ? I2 ? ? ?k1 ? ? z d? ? 2?i ?k1 f (? )d? 2?i ( z ? z0 ) ? 2 ? 2?i ( z ? z0 ) ? n f (? ) ?k1 (? ? z0 )?1 d? ? ? ? 2?i f (? ) ?k1 (? ? z0 )? n?1 d? (*2)6464? ? ? c ?1 ( z ? z 0 ) ?1 ? c ? 2 ( z ? z 0 ) ? 2 ? ? ? c ? n ( z ? z 0 ) ? n ? ?26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University第四章幂级数式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1上进 行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路 定理可将cn写成统一式子：1 f (? ) cn ? ?k (? ? z0 )n?1 d? (n ? 0,?1,?2,?) 2?if (z) ?n? ? ?cn ( z ? z0 ) n ???证毕！级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数的解析部分和主要部分.26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University6565第四章幂级数级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数　　的解析部分和主要部分.? (1)当n ? 0时, 系数cn 形式上与高阶导数公式f ( n ) ( z0 ) 相同, 但cn ? ,? f ( z )在c内不是处处 n! 解析的.(2)在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点 z0的邻域内解析，需要把f (z)展成级数，那么 就利用洛朗（ Laurent ）级数来展开.26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University6666第四章幂级数4. 展开式的唯一性结论 一个在某一圆环域内解析的函数展开为含 有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z) 的洛朗级数. 设 事实上， f ( z )在D : R1 ? z ? z0 ? R2内 解 析 ，可表示为 ? ?f (z)?n? ? ?a n ( z ? z0 ) n ?R2( 6)R1D设c为D内任何一条绕 0 z 的简单闭曲线， ? ? c ?f (? ) ?n? ? ?z0a n (? ? z0 ) n ???c676726 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University第四章幂级数f (? ) ?1 将上式两边乘以 (? ? z 0 ) P ? 1 ( P为 任 一 整 数 ),n? ? ?a n (? ? z0 ) n ?z0??R2DR1c并 沿c的 正 向 积 分 得 ： ? f (? ) 1 ?c (? ? z0 ) p?1 d? ? n?? an ?c (? ? z0 ) p?1? n d? ? 2?ia p ?? 1 f (? ) 解得 ：a p ? ?c (? ? z0 ) p?1 d? 2?i 由此可知 在圆环域内解析的函数 , 展开成级数就是Laurent级数.26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University6868第四章幂级数?由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可 用间接法.在大都数情况，均采用这一简便的方 法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有 在个别情况下，才直接采用公式(5')求Laurent系 数的方法.sin z 在0 ? z ? ＋?展开成洛朗级数 . 例1 求 z sin z 1 ? ( ?1) n z 2 n ? 1 解 0 ? z ? ?? ? ? z z n ? 0 ( 2n ? 1)!3 5 2 4 ? ? 1 z z z z 　 ?z? ? ? ? ? ?? ? 1 ? ? ?? ? z? 3! 5! 3! 5! ?26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University6969第四章幂级数ez 例2 将 3 在0 ? z ? ＋?内展开成Laurent级数. z ez 1 ? zn 1 z2 zn 解 ? 3 ? ? 3 (1 ? z ? ? ? ? ? ?) 3 z z n? 0 n! z 2! n! 1 1 1 1 z zn 　 3? 2? ? ? ? ? ?? ? ? z z 2! z 3! 4! n!例3 将e 在0 ? z ? ??内展成Laurent级数. 1 1 解 ? 在复平面上， t ? 1 ? t ? t 2 ? ? ? t n ? ? e 2! n! 1 1 1 1 1 z 令t ? , e ? 1 ? ? ? ?? ?? 2 n z z 2! z n! z (0 ? z ? ??)26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University1 z7070第四章幂级数例41 将f ( z ) ? 在以下区域 ( z ? 1)( z ? 2)（i ) z ? 1; ( ii ) 1 ? z ? 2; ( iii) 2 ? z ? ?? 内展开成z0 ? 0的幂级数.yyyo12xo12xo12x（i ) z ? 126 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University( ii ) 1 ? z ? 2( iii) 2 ? z ? ??7171第四　　章幂级数1 1 ? 解: f ( z ) ? 1? z 2? zz (i ) z ? 1 ? z ? 1 ? ? 1 2 1 1 1 故 f (z) ? ? z 1? z 2 1? 2 1 z z2 ? (1 ? z ? z 2 ? ? z n ? ?) ? (1 ? ? ? ?) 2 2 4?? 1 3 7 2 1 n ? ? z ? z ? ? ? ? (1 ? n?1 ) z 2 4 8 2 n? 0没 有 奇 点727226 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University第四章幂级数1 z ( ii )1 ? z ? 2 ? z ? 1 ? ? 1 又 ? z ? 2 ? ? 1 z 21 1 1 f (z) ? ? ?? 1? z 2? z z 1 1 ? 1 2 z 1? 1? z 2 1 1 1 1 z z2 ? ? (1 ? ? 2 ? ?) ? (1 ? ? ? ?) z z z 2 2 4 11 1 1 1 z z ? ? ? n ? n ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? z z z 2 4 8 ? ? 1 zn ? ? ? n ? ? n?1 n ?1 z n? 0 226 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University27373第四章幂级数2 ( iii)2 ? z ? ?? ?? z ? 2 ? ? 1 z 1 1 1 1 1 1 f (z) ? ? ?? ? 1? z 2? z z 1 z 2 1? 1? z z 1? 1 1 ? 1? 2 4 ? ? ? ? 1 ? ? 2 ? ?? ? ? 1 ? ? 2 ? ?? z? z z ? z? z z ?1 3 7 ? 2 ? 3 ? 4 ?? z z z? n ? n注意首项? 1 ?1? 1 ? 2? 2 n ?1 ? 1 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? n z n? 0 ? z ? z n? 0 ? z ? z n? 226 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University7474第四章幂级数小结：把f (z)展成洛朗( Laurent )级数的方法：(1)对于无理函数及其他初 等函数的洛朗 展开式，可以利用已知 基本初等函数的 泰勒展开式，经过代换 、逐次求导、逐 次积分等计算来获得 .(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理 函数分解成多项式与若干个最简分式之和， 然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式.26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University7575第四章幂级数( 数由许多种不同的 ?3)由此可以看出同一个函 级数展式，这是因为在 不同的区域上的展式， 这与唯一性并不矛盾 .(4)根据区域判别级数方式：在圆域内需要把 f (z) 展成泰勒(Taylor)级数， 在环域内需要把f (z)展成洛朗( Laurent )级数.26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University7676第四章幂级数例51 将f ( z ) ? ( z ? 1)( z ? 2)oy在以点 z ? 1, z ? 2的去心邻 域内展开成 Laurent级数.解12x26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University(1) 在(最大的)去心邻域 0 ? z ? 1 ? 1 1 1 1 1 f (z) ? ? ?? ? 1? z 2? z z ? 1 1 ? ( z ? 1) ? 1 ?? ? ? ( z ? 1) n z ? 1 n? 0 1 ?? ? 1 ? ( z ? 1) ? ( z ? 2) 2 ? ? z ?17777(2) 在(最大的)去心邻域第四章幂级数0? z?2 ?1 1 1 1 1 f (z) ? ? ? ? 1 2 1 ? z 2 ? z z ? 2 1 ? ( z ? 2) o ? 1 ? ? ? ( ?1) n ( z ? 2) n 1 z ? 2 n? 0 ze z ? z ? 12 1 ? 1 2 ? ? 1 ? ( z ? 2) ? ( z ? 2) 　　? ? 1 z?2 ze zxz 练习：将f ( z ) ? e 在区域 (1) 0 ? z ? 1, 1? z ( 2) 1 ? z ? ??内展开成幂级数。26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University1 z?z ?21? zdz.7878???第四章幂级数(3) Laurent级数与Taylor 级数的不同点：Taylor级数先展开求R, 找出收敛域.Laurent级数先求 f(z) 的奇点，然后以 z0为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所有使 f(z) 解析的环，在环域上展成 级数.26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University7979第四章幂级数本章作业? ? ? ? 1.（2），（5）； 11.（2），（6）； 12.（2），（3）； 16.（5），（7）.26 December 2013? 2009, Henan Polytechnic University8080
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