时间序列分析1.基本数学概念 - Eaton - 博客园
本文主要介绍时间序列分析中会用到的一些数学知识。
1.均值、方差、协方差、相关系数
1.1.1 期望的定义
令\(X\)具有概率密度函数\(f(x)\),并且令\((X,Y)\)对具有联合概率密度函数\(f(x,y)\)。
定义\(X\)的期望值为：\(E(X)={\int\limits_{-\infty}^\infty}xf(x)dx\)。
1.1.2 期望的性质
\(E(aX+bY+c) = aE(X)+bE(Y)+c\)
当\(X\)和\(Y\)相互独立时，\(E(XY)=E(X)E(Y)\)
1.2.1 方差的定义
随机变量\(X\)的方差定义为：\(D(X)=E\{[X-E(X)]^2\}\)，方差通常还记为\(Var(X)\)、\(\mu^2\)。
若\(X\)是离散型随机变量，则\(D(X)=\sum_{k=1}^{\infty}[x_k-E(x)]^2p_k\).
若\(X\)是连续型随机变量，则\(D(X)=\int_{-\infty}^{\infty}[x-E(x)]^2f(x)dx\)
\(D(X)=E\{[X-E(X)]^2\)
\(=E\{X^2-2XE(X)+[E(X)]^2\}\)
\(=E(X^2)-2E(X)E(X)+[E(x)]^2\)
\(=E(X^2)-[E(X)]^2\)
1.2.2 方差的性质
\(D(aX+b)=a^2D(X)\)
若\(X\)与\(Y\)相互独立，则\(D(X\pm Y) = D(X)+D(Y)\)
若\(X\)与\(Y\)不独立，则\(D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm2Cov(X,Y)\)
1.3 协方差
1.3.1 协方差的定义
\(Cov(X,Y)=E\{(X-E(X))(Y-E(Y))\}=E(XY)-E(X)E(Y)\)
1.3.2 协方差的性质
\(Cov(a+bX,c+dY)=bdCov(X,Y)\)
\(Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)\)
\(Cov(X,X)=D(X)\)
\(Cov(X,Y)=Cov(Y,X)\)
若\(X\)与\(Y\)相互独立，那么\(Cov(X,Y)=0\)
1.4 相关系数
1.4.1 相关系数的定义
\(X\)与\(Y\)的相关系数用\(Corr(X,Y)\)或者\(\rho\)表示，定义如下：
\[\rho=Corr(X,Y)=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y))}}\]
1.4.2 相关系数的性质
\(-1\leq Corr(X,Y)\leq 1\)
\(Corr(X,Y)=\pm 1\)的充要条件是，存在常数\(a\)和\(b\)，使得\(Pr(Y=aX+b)=1\).
相关系数如果为正号，则表示正相关，如果为负号，则表示负相关。通俗点说，正相关就是变量会与参照数同方向变动，负相关就是变量与参照数反向变动；
取值为0，这是极端，表示不相关。取值接近\(\pm 1\)时说明线性相关程度强。
1.5 时间序列与随机过程
对于随机变量序列\(\{Y_t: t=0,1,2,3,...\}\)称为一个随机过程，并以之作为观测时间序列的模型。
1.5.1 自协方差函数
\[\gamma_{t,s}=Cov(Y_t,Y_s),t,s=0,1,2,3,...\]
其中\(Cov(Y_t,Y_s)=E[(Y_t-\mu_t)(Y_s-\mu_s)]\)。
1.5.2 自相关函数
\({{\rho}_{t,s}}={Cov(Y_t,Y_s)},t,s=0,1,2,3,...\)
\[{Corr(Y_t,Y_s)}
=\frac{Cov(Y_t,Y_s)}{\sqrt{Var(Y_t)Var(Y_s)}}
=\frac{\gamma _{t,s}}{\sqrt{\gamma _{t,t}\gamma _{s,s}}}\]
1.5.3 重要结论
在研究不同时间序列的模型协方差的性质时，反复用到如下结论：如果\(c_1,c_2,c_3,...c_m\)和\(d_1,d_2,d_3,...d_n\)表示常数，\(t_1,t_2,t_3,...t_m\)和\(s_1,s_2,s_3,...s_n\)表示时间点，则有：
\[{Cov[\sum_{i=1}^{m}{c_iY_{t_i}},\sum_{j=1}^{n}{d_iY_{s_j}}]}
=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}c_id_jCov(Y_{t_i},Y_{s_j})\]
平稳性的基本思想是，决定过程特性的统计规律不随着时间的变化而变化。
2.1 严平稳
如果对于一切时间间隔\(k\)和时间点\(t_1,t_2,t_3,...,t_n\)，都有\(Y_{t_1},Y_{t_2},...,Y_{t_n}\)与\(Y_{t_1-k},Y_{t_2-k},...,Y_{t_n-k}\)的联合分布相同，则称过程\(\{Y_t\}\)为严平稳。
2.2 弱平稳
2.2.1 弱平稳时间序列的条件
1.\(E(Y_t)=\mu\)，序列的均值应该是一个常数，而不是随时间变化的函数。下图中左图满足要求，而右图的均值是随时间而变化的。
2.\(Var(Y_t)=\gamma\)，序列的方差为一个常数，而不随时间的变化。
3.\(Cov(Y_t,Y_{t+k})=\gamma_{0,k}\),序列协方差的值只与时间间隔\(k\)有关，与时间\(t\)无关。
以上的三个条件必须全部满足，才能被称为弱平稳的时间序列。我们建立时间序列模型时必须要求时间序列是平稳的，这是因为我们用时间序列做预测时，我们的随机变量的基本特性必须能在包括未来阶段的一个长时期里维持不变，否则，基于历史和现状来预测未来的思路便是错误的。所以在时间序列建模时第一步就是要将不平稳的序列平稳化，可以采用差分等方法。
2.2.2 弱平稳时间序列的自相关系数
弱平稳序列的自相关系数：
= \frac{Cov(x_t,x_{t,k})}{\sqrt{Var(x_t)Var(x_{t-k})}}
=\frac{Cov(x_t,x_{t-k})}{Var(x_t)}
=\frac{\gamma_k}{\gamma_0}\]
2.3 随机游动
令\(e_1,e_2,e_3,...\)为均值为\(0\)，方差是\({\sigma_e^2}\)的独立同分布的随机变量序列，观测时间序列\({Y_t:t=1,2,3,...}\)构造如下：
\(Y_1=e_1\)
\(Y_2=e_1+e_2\)
\(Y_t=e_1+e_2+e_3\)
也可以写成：
\[Y_t=Y_{t-1}+e_t\]
其初始条件为\(Y_1=e_1\)，\(e\)指沿数轴（前向或后向）方向游动的步长大小，\(Y_t\)是在时刻\(t\)，“漫步者”到达的位置。
对于所有的\(t\):
均值：\(\mu_t=0\)
方差：\(D(Y_t)=t\sigma_e^2\)
自协方差：\(\gamma_{t,s}=t\sigma_e^2\)
自相关系数：\(\rho_{t,s}=\frac{\gamma_{t,s}}{\sqrt{\gamma_{t,t}\gamma_{s,s}}}=\sqrt{\frac{t}{s}},1\leq t\leq s\)
可以看到，随机游动的方差、自协方差均是随时间线性增长的，所以随机游动不是平稳序列。
2.4 白噪声
如果序列\(\{Y_t\}\)的所有观测值都是独立同分布的，而且他的均值\(\mu\)和方差\(\sigma^2\)都是有穷的常数，则该序列称为白噪声(white noise)或纯随机过程(purely random process)。
白噪声的三个条件：
独立同分布
如果白噪声的分布是均值为0的正态分布，则\(\{Y_t\}\)也称为高斯白噪声。
\(Pr(e_{t_1}\leq x_1,e_{t_2}\leq x_2,...,e_{t_n}\leq x_n)\)
\(=Pr(e_{t_1}\leq x_1)Pr(e_{t_2}\leq x_2)...Pr(e_{t_n}\leq x_n)(根据独立性)\)
\(=Pr(e_{t_1-k}\leq x_1)Pr(e_{t_2-k}\leq x_2)...Pr(e_{t_n-k}\leq x_n)(同分布)\)
\(=Pr(e_{t_1-k}\leq x_1,e_{t_2-k}\leq x_2,...,e_{t_n-k}\leq x_n) (根据独立性)\)
根据定义要求，显然白噪声是严平稳的。
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生存分析还是随机过程？
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由于学校课程设置的原因，现在生存分析和随机过程只能二选一，对于以后统计，大家觉得选哪个比较好？
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生存分析（survival）在工作中建模（比如CoxPH model）应用很广泛，比如预测hospital 的 随机过程（stochastic）由刚开始的review 基本概率知识开始，往后会涉及很多distribution，应该来说对申请Ph.D. 更有益处（很多Ph.D. 的课程要求里有随机，但是没有生存分析）。以上个人观点，供参考。
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生存分析（survival）在工作中建模（比如CoxPH model）应用很广泛，比如预测hospital 的 随机 .... 鍥磋鎴戜滑@1point 3 acres
好的，想再请教下，是不是生存分析在生统里面应用更广泛，而随机过程对于金融更有用呢？
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好的，想再请教下，是不是生存分析在生统里面应用更广泛，而随机过程对于金融更有用呢？
生统接触的不多，不过我想你是对的。金融分析很多都是时间序列，所以随机过程应用较多。取决于你的目标吧，工作orPh.D.
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尽量学难一点的数学课
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尽量学难一点的数学课
好的，谢谢你的建议。
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随机过程 以后不一定能上到了
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一门课没啥影响。。。如果真读统计phd估计都会上。
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当然随机啦。除非你要做生统~
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当然随机啦。除非你要做生统~. from: /bbs
看到这么多回答已经坚定了我学随机的信念
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随机 随机 随机 重要的话说三遍
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随机 随机 随机 重要的话说三遍
好的&&好的&&好的 重要的话回三遍
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为何观点都一边倒...这个要看课程设置的啊。Math的随机过程会花将近半个学期讲Discrete Markov Chain，在涉及一点poisson process后面的内容都是随机的...OR的随机过程就很应用很广泛拎包工作型。survival analysis 还是很有用的，虽然应用性强了一点。如果不是很into math 然而你的随机过程很 math 上 sa 也挺好的嘛...
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我工作过药厂，保险， 生存分析用的很多，随机。。。就算了把
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. 鍥磋鎴戜滑@1point 3 acres
我工作过药厂，保险， 生存分析用的很多，随机。。。就算了把
谢谢分享，准备自己看看生存
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（ ）是随机过程的等时间隔的离散数值记录。A．时间序列B．判别分析C．聚类分析D．相关分析
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（ ）是随机过程的等时间隔的离散数值记录。A．时间序列B．判别分析C．聚类分析D．相关分析请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
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验证码提交中……英语翻译一个随机过程,如果它的数学期望、方差不随时间变化,且自相关函数仅是它们时间间隔的函数而与绝对时间无关,则称之为平稳随机过程,相应的时间序列称为平稳时间序列,否则为非平稳时间序列.
A stochastic process,if its mathematic expectation,the variance along with the time variation,the correlation function are only not their time-gap functions for the time being,but has nothing to do with the absolute time,then called that it the stationary random process,the corresponding time series is called the steady time series,otherwise for non-steady time series
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